高中数学几何模型教案 5页

]利用几何模型求二面角（1）数学-教案-彭敏【教学目标：】（一）知识与技能1、进一步熟练掌握用三垂线法作二面角的平面角及正确计算二面角的平面角。2、培养学生数学探究、数学建模的意识，会利用双垂四面体模型突破找、作二面角的平面角这一难点。（二）过程与方法1、探求双垂四面体中的六个二面角的求法，从而建立双垂四面体模型，并能正确使用模型解决二面角的平面角的作法。2、增强学生的建模意识，培养学生空间想像、抽象概括、反思与建构的能力，领会转化的数学思想。（三）情感态度价值观在数学学习活动中获得成功的体验，培养学生知难而进的勇气，建立学好数学的信心。【教学重难点】教学重点：探求双垂四面体模型的规律，利用双垂四面体模型解决二面角的求法教学难点：如何过空间一点找、作平面的垂足，（本节课只是对双垂四面体能适用的问题进行这一问题的突破。）【教学方法】观察、启发、探究相结合的教学方法【教学手段】多媒体辅助教学【教学过程】一、复习引入在求二面角中难点是如何过空间一点找、作平面的垂足，其实在求线面角时难点也是过空间一点找、作平面的垂足，今天我们一起通过几何模型来探求这一难点的突破。二、回顾课本如图，河堤斜面与水平面所成的二面角为60度，堤面上有一条直道CD,它与堤角的水平线AB的夹角为30度,沿这条直道从堤角向上行走到10m时人升高了多少?ADCBGFE解:取CD上一点E,设CE=10m,过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG,垂足为G,则线段EG的长就是所求的高度.在河堤斜面内,作EF⊥AB,垂足为F,并连接FG,由三垂线定理和逆定理,可知FG⊥AB,因此∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成的二面角的平面角,∠EFG=60度,由此得EG=EFsin600=CEsin300sin600=2.5答:沿直道行走到10m时人升高约\n2.5m.一、模型探究1、求二面角的平面角实质上就是划归到一个四面体问题，而课本例题中的四面体就是一个常用模型，下面我们来看看这个四面体有何特征？（1）这个四面体模型中有哪些直线互相垂直？（2）这个四面体模型中有哪些直线与平面互相垂直？（3）这个四面体模型中相邻两个平面可以组成一个二面角，这六个二面角中，是直二面角的有哪些？其他的二面角有如何求呢？2、规律小结ADCBEF（1）AB、BC、CD两两垂直(2）AB⊥面BCD，CD⊥面ABC（3）相邻两节所在三角形第三边上的垂线，恰好是该边与另一节所在平面的垂线。（即BE⊥面ACD，CF⊥面ABD）我们将以上模型称为：“三节棍”或“双垂四面体”二、模型运用\n例1：在三棱锥A-BCD中，AB,BC,CD两两垂直，若AD与平面BCD成450,AD与平面ABC所成角为300,求二面角B-AD-C的余弦值.ABDFEC解：由平面BCD，得为AD与平面BCD所成的角，于是.同理，，作BEAC于点E，作BFAD于点F，连结EF，可得BE面ACD.因BFADEFAD，得是二面角的平面角,又，.故，即二面角的余弦值为.例2:如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1BC⊥侧面A1ABB1.求证:(1)AB⊥BC;(2)若AA1=AC=a,若直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A1-BC-A的大小为φ,则θ+φ=.(Ⅰ)证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，则D由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1＝A1B得AD⊥平面A1BC.又BC平面A1BC所以AD⊥BC.因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱,则AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC.又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1,又AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC.(Ⅱ)连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1就是二面角A1－BC－A的颊角，即∠ACD＝θ，∠ABA1=j.于是在RtΔADC中，sinθ=,在RtΔADA1中，sin∠AA1D＝,∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ与∠AA1D都是锐角，所以θ＝∠AA1D.\n又由RtΔA1AB知，∠AA1D＋j＝∠AA1B＋j＝，故θ＋j＝.例3：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=600,PA=AB=BC求二面角A-PD-C的大小。PABCDEF解：过点A作AE⊥PC作，垂足为，连结．平面，在平面内的射影是，则．因此是二面角的平面角．由已知，可得．设，可得，，，．在中，，，则．在中，．所以二面角的大小．一、自主探究（1）在正方体内由学生编题，体会双垂四面体的运用（2）下课后自主研究下课后自主研究一下三条侧棱两两垂直的四面体模型中六个二面角的求法由何规律？\nABDCA1B1C1D1ADCB【教学设计理念及环节】学生在处理二面角问题时，作面垂线是难点，为了突破这一难点，我设计了利用几何模型来降低学生的思维难度，简化作辅助线思路，提高教学实效性。具体我是这样设计的：（1）先从课本例题入手，抽象出双垂四面体模型。（2）引导学生探究双垂四面体模型中的六个二面角特征。（3）小结双垂四面体模型中二面角规律。（4）双垂四面体模型应用，从而达到熟练掌握。