高中数学 向量的内积教案 苏教版必修4 教案 13页

向量的内积摘要：向量的数量积在高中阶段应用很广泛，在向量加减法的基础上，进一步学习向量的内积运算的坐标表示，具有针对性的对高中基础薄弱学生采用构建式生态课堂，利用分组式小黑板教学营造高效课堂环境，给学生好的学习空间，教师引导与学生自主学习、讨论、交流我主导完成上课教学目标，培养学生学习数学兴趣。关键词：向量数量积构建式生态课堂小黑板分组合作课堂演示淘金式思维矛盾课堂空白领域简单化一、案例背景描述本节教材是实施新课改后，应用建构式生态课堂针对高一基础薄弱学生上的一堂数学课，这样的课是在实验教学法的基础上，对“三案·六模块”教学模式的理论探索和数学实践，又受到现在教育改革的新课堂——“建构式生态课堂”深入影响，而展开的一堂高效生态数学课堂。本堂课教室在高一（4）班，共63位同学，并对学生进行了分组，分组情况是六人一组，但是学生分配是根据上学期期末成绩，座位的排列情况还是和上个学期一样按照顺时针或者逆时针的方向排列。教室中每组学生都有一块小黑板，小黑板由小组长负责保管，这样学生上课就不需要随意走动，在座位上就能利用小黑板进行操作，这一点是针对第一阶段中学生下位课堂秩序混论作出的进一步调整，以改善课堂秩序，更好的掌控课堂的秩序，教师能够进一步更好的掌控课堂。二、情景描述：堂课的第一个阶段是物理中物体的做功的真实生活情景中引入课题，一个方面是针对基础薄弱的学生，这方面的物理问题已经学过，可以提升他们的学习兴趣，另一个方面，通过物理的矢量与标量可以很自然的引入向量的内积的概念,对第一、第二课时的教学总结，以及对只是点的初步认识，本节课从向量的方向，进一步对向量加以研究。我主要摘取的教学片断是教学的第二个环节——交流与展示，具体的环节如下：\n开始和平常一样，开始上课......师：“同学们，在前面两节课我们学习了向量的内积的一些知识，现在请同学们回忆一下上节课学习的内容，谁能回顾一下上节课的知识？。”生：“上节课学习了向量的内积的公式，还有（1）交换律：（2）数乘结合律：（3）分配律：．师：“还有没有要补充的？（一段时间学生没有反应），此时我继续提问：“在学习向量加法坐标运算的时候是如何做的呢？”生：“先建立直角坐标系，然后再在两个坐标轴上分别取单位向量，然后再......”师：“我补充一下同学回答的问题，然后再用有序实数对表示，然后通过坐标运算推到出向量的坐标运算，这是我们上节课学习的内容，同学们，你们能不能根据前面学习的向量的线性运算，来推到向量内积的坐标之间的关系吗？请同学们展开思考，如果能请同学们自己思考，然后小组交流讨论，可以将你们小组最后的结论写到小黑板上。”（学生思考一段时间，然后很自然的的展开了讨论，学生在上小黑板上写小组的结论时候有的小组很犹豫。）大约经过了十分钟，大部分小组已经将自己的分析结果写到了小黑板上。师：“现在大部分小组已经将他们的推到过程写到了小黑板上，还没有写好的同学需要加快速度了。”师：“好现在请两边各组的同学将你们的小黑板展示出来，共其他的小组观摩，其他小组在看的时候看看那些小组和你们自己写的不一样，以及他们存在的问题你们能不能解决呢？”（现在学生开始七嘴八舌的交流与谈话，并且部分学生站起来看其他小组的题目。）五分钟后师：“中间组，你们在看两边组的题目过程中与你们的结果是否一样？”张纹纹（生）：“第二小组的学生没有先设。”\n师：“很好，张纹纹观察的很仔细，还有吗？（学生没有回答，学生开始沉闷，基础薄弱的同学没有信心回答这样的问题）其他同学还有不同的看法吗？”师：“刚才在推到的过程中，有没有同学感觉到推到的吃力，或者那些地方不懂，不好推到，或者你们在什么地方不懂但是又说不来，似是非懂。”王远（生）：“老师我有一个问题，他们都写了可是我不明白为什么可以直接得到这个式子？”师：刚刚这位同学提到了这个问题，哪位同学能为他解答啊？李金玲（生）：“因为，，，这是上节课学习的内容，根据。时他们的夹角是0度，当时，他们的夹角是90度。”师：“这位同学说的不错，很好，现在还有哪位同学什么地方不明白的，看看你们小黑板上的问题是不是得到了解答？”学生没有回答的，接下来我总结了刚刚学生推导的过程。师：“刚刚同学们已经对向量的内积形式进行了推导，现在请同学们看看黑板上的题目。（题目是在学生讨论的过程中抄到黑板上的）”例1设，求．（例一老师讲解，并且将详细的解题过程写到黑板上，座位板书。）例2已知，求（3-）·（-2）师：“请同学们思考例二，并将小组内的结论写到小黑板上。”5分钟后，学生陆续将小黑板展示出来，然后同学开始互相观看，这次发现了很多的错误。师：“\n请同学们观察个小组题目，看看他们的过程以及结果是不是和你的相同，如果不想同，他们的做法和你的做法有什么不同呢？”生：“第二小组的公式没有写对，第三小组计算（3-）·（-2）时，不对，写成了。”师：“第三小组计算（3-）·（-2）时，展开后写成了，这也是很多同学经常会犯的错误，以后同学们多留意这个问题。应该写成什么？”生：“”师：请同学们再仔细观察一下第四组和第七组你们发现了什么？生：两组的方法不一样。师：那你们再来看一下那种方法比较好？学生七嘴八舌，有的说先化简在求职，有的先求职再化简。师：“好，你们觉得那种方法更好就可以用那种方法。”......三、教学设想： 1、案例概要 本案例是一堂利用小黑板教学的课例。我首先在设计上不同于过去的讲解式、问答式教学，而是充分利用学生参与学习与探讨的热情，通过小黑板,让学生充分发表意见，通过对问题的争论与探讨，得出正确的结论。这有利于学生的学习与记忆，同时注重培养学生的淘金式思维。在课的开始，设计一些问题，进行小组讨论，再针对相应问题展开。考虑到学生基础薄弱的问题，有针对性地对向量的内积概念、向量内积的坐标表示，进行了讨论和解答，取得了较好的效果，但也存在一些问题待后解决。 2、教学建议 采用小组讨论的形式，让学生通过小黑板自主探究与合作，以培养学生的对数学学习的兴趣，教师组织、引导的方式进行，并配以适当的练习加以巩固。 3、建议讨论的问题 （1）如何在新的课程实验中利用教学用具（小黑板）进行教学？ \n（2）在学生自主探究、合作学习的过程中，如何调动每个学生的积极性，使他们都能参与到探究活动中去？ （3）如何在学生探究活动中，使每个人各有所获，都得到发展，减小差距？（4）让学生都能参入到学习当中。四、案例分析：首先备课时将备课簿分成了四栏分别是：1、教学流程：主要写本节课的主要上课过程；2、教学内容：一节课讲解的内容，包括书上的内容，还可以补充一些知识；3、学生活动：备学生上课可能出现的活动，包括正常的活动，但更重要的是将学生可能出现的不同寻常的活动备好；4、教师活动：备教师上课时说话方式，问题的呈现方式以及动作等，还有一些要补充的内容也可以备到里面。为了充分利用备课簿，同时充分的备好教学过程、教学内容、课堂学生、教师的表现，这样备课更细致、精确，但是对老师的要求很高，同时培养的教师创造性思维与抽象思维，也能更好的从整体上把握整堂课，提高教师的能力。对于基础薄弱的学生，本节课的要求很低，主要是让学生会推导向量内积的坐标公式，然后对公式进行简单的应用。突出学生的主体性与教师的主导性。教学过程的环节抓是老师引导学生进行思考，教师活动少但是教师的引导要到位、清晰，讲解的内容要表象性。在第二个环节中，学生能够充分的利用小黑板来展开讨论，并且效果也很好，学生能积极主动参与学习，小黑板在这个环节中起到了一个中介的作用，使得学生主动的合作与交流他们的信息，让想法扩散，氛围感染，课堂沉浸在思考中。最后学生将小组内的交流成果写到小黑板上，学生互相展示他们的成果，以及书写的情况，这个过程可以发现学生在书写过程中存在的问题，这节课发现的有书写格式的错误，还有运算法则不会，运算结果不同等。五、教后反思\n开始上课回顾学生已经建构过的知识发现学生对之前学过的向量的加减法不能够很好的回忆，学生的回答不全面，这也是基础薄弱学生学习的一个特点，回顾的过程教师在提问的时候还是应该以引导的方式来展开问题，注意跨度适中。让学生能够反映出已经建构的知识框架。同时，情境的引入及问题的回顾阶段是课的开始部分，学生没有能够很好的进入课堂的状态，他们的思想、精力依然游离于课堂周围，也可能是因为是下午第一节课，学生困意很浓厚，使得开始部分学生没有精神，不能很好的回答提出的问题。因此教师在上课时要注重说话的方式与说话内容的，以与学生展开高效、生动、有趣的沟通。在说向量的加减法的推到方法时，学生没有直接回答，教师却把所有的内容都表达给学生，这个过程可以让学生展开思考与交流，让学生进一步建构知识框架。学生对公式的推到过程以及在小黑板上书写的时间感觉不能够很好的把握，以及在学生发现问题时，教师少了一句很重要的话：“请问还有其他的想法或者发现吗？”这样可以督促学生展开发现之旅，因为真正的发现不是找到新大陆，而是用新眼光看待事物，看待问题。通过教学发现这个教学片段还存在一个很大的问题就是随着教学的推进课堂气氛虽然好了，但是整个课堂表现的还是有点乱。这个问题主要出现在在学生小组展开工作的过程中学生不能有效的组织教学活动，组长分工不明确，因此学生会因为一些小的与课堂无关的事情展开攻击或者讨论。这增加了教学课堂的风险性，如果同学关系处理不好，可能会出现问题课堂。因为通过这节课的总结发现，要控制课堂需要老师更需要学生。通过对这节课的思考，发现课堂给予学生学习的环境，不同的环境，学生的学习心态和上课情绪都会受到感染和影响，通过这个课堂，我感觉上课更应该关注的是学生的情绪的变动，包括个人情绪和整个课堂的情绪，因为情绪可以相互传染，同时教师在课堂中应及时根据学生情绪反馈的信息作出不同调整，以吸引学生的注意力，让学生更好的投入到课堂中。同时课堂教学要给学生思考的空间，没有思考就没有学习，没有思考也就没有进步。因此，从开始的引入开始，学生就开始思考，直到最后，教师给出承上启下的一个问题，让学生在不知不觉中进一步思考。培养学生的发散性思维，和创造性思维，依靠自己和合作来解决问题。建构式生态课堂，以及小黑板在课堂中的应用都会引发很多教师之前想不到的问题，因此，这节课我最大的感觉就是压力很大，因为在整个教学的过程中，学生不知道会提出什么问题。这就要求教师在备课的过程还要详细的尽可能完善的想学生可能提出的问题，并作出相应的策略，针对没有想到的问题，应该怎么去应答。针对上面的问题总结出一下五点：\n1、速率，首先教师要以高效的与学生沟通，使学生在情感方面尽快融入到课堂，其次学习效率上要讲究速率。2、复杂性，构建式生态课堂整体是复杂多变的，它能将看似不相关但是彼此相互冲突的情绪、学习氛围、环境等大量的融入到整个课堂中。3、风险，表现在课堂学生提出问题的复杂性以及学生上课情绪波，课堂开放性等因素使课堂失去平衡失去控制。4、改变，学着去适应内部与外部持续不断的变化，整个课堂的推进都在变化，包括学生、环境、教师。5、意外，课堂的发生与发展不再是容易预测的，也不再是传统课堂中有规划的整体，小黑边教学的构建式生态课堂发生争执的可能性更频繁、更富有戏剧性。课堂中针对学生的错误如何才能最合理？这个在上课后思考了很久，学生在大部分课堂中几乎都会犯错误，但是处理学生的错误要适当，不能直接没灭掉学生的积极性，因为我觉得现在的课堂正在向创新性的课堂转变，在创新的概念里多数的创新想法都是以失败告终的，上课过程中会发现学生讨论时会很有很多的想法，但是具体能不能实施，对与不对不是问题，问题是教师应该给学生留下这样思考的大脑。深入教学实践，发现教学过程还存在空白领域，深入思考教学课堂中学生、环境、教师之间的联系，观察并挖掘学生在课堂中的幸福感，让基础薄弱的学生在学习上的脆弱的情感充满期待。渐进式教学一直是教育心理学倡导的的循序渐进，在应用小黑板教学的过程中，主要的流程应该是：1、课堂思考2、延伸拓展3、专心致志4、学生合作5、探索交流6、提出挑战7、进一步创新\n这个过程中以想为主题，因为想象要比知识本身来的重要，知识是有限的，而想象却是可以环绕整个世界。从而使学生从直觉的课堂中发展到思维的课堂，进一步从接受的学习课堂转化为矛盾的课堂，矛盾是进步的基础，使得学生已有的知识与现在的知识形成对立统一的观念，进一步从感性认识上升到理性认识。针对高中基础薄弱的学生，教学中一个最大的体会就是将教学生活化，将教学简单化。史蒂文·斯皮尔伯格说过：“我渴望生活。”从生活中学习不失为一个好的方法，让学生渴望生活。复杂与简单是相对而言的，简单是指事物变得的更简洁，有时候简单能实现最好的结果，特别是对基础薄弱的学生。简单应该遵循以下原则：1、减少，减少是简单化的嘴简洁的方式，对待基础薄弱的学生，上课内容要少，不能太多。2、组织，使得很多东西显的很少，没有什么比上课乱哄哄的更让人烦恼。3、时间，加快速度，节省时间。4、差异，简单需要复杂，学习越复杂学生就越渴望简单。5、情感，让课堂变的人性化与个性化。简单有时候给我我们很多的微妙感，对于数学题目，开始想的时候是复杂的，因为陌生，不信任自己能解决，所以感觉到很复杂而当我们解决，回头想的时候就会感觉到很简单，并且很微妙，不由的感叹一句：“哦，原来是这样啊？”以上是我从这节课中得到的感慨以及启发后的个人想法。下面是这节课的教案。第11课时：§2.4向量的数量积（三）三维目标：一、知识与技能1.掌握数量积的坐标表达式，并会简单应用；2.掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式3.揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识.能用所学知识解决有关综合问题.\n二、过程与方法1.让学生充分经历，体验数量积的运算律以及解题的规律。2.通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理解析几何问题是一种有效手段，通过应用帮助学生掌握几个公式的等价形式，然后和同学一起总结方法，最后巩固强化.三、情感、态度与价值观通过本节的学习，使同学们对用坐标来研究向量的数量积有了一个崭新的认识；提高学生迁移知识的能力.教学重难点：重点：数量积的坐标表达式及其简单应用难点:用坐标法处理长度、角度、垂直问题.学法与教学用具：1.学法：(1)自主性学习法+探究式学习法(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2.教学用具：多媒体、实物投影仪.教学流程教学内容学生活动教师活动一、创设情境1.两平面向量垂直条件；2.两向量共线的坐标表示3.轴上单位向量，轴上单位向量，则：，，．学生回答问题，如果学生回答不上来，让他们询问同学，自己寻找答案。教师提出问题：（回顾之前学习的向量的有关内容）二、研探新知1．向量数量积的坐标表示：1、\n设，设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，试用和的坐标表示，则，∴又，，从而得向量数量积的坐标表示公式：这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和即2．长度、夹角、垂直的坐标表示：（1）长度：设，则（2）两点间的距离公式：若，则；（3）夹角：；（）根据老师的提示，学生可能先回想向量的加减法的坐标表示。1、根据老师的第二个问题，学生可能发生的行为是先自己思考，然后再利用小黑板进行小组讨论。也可能直接利用小黑板进行讨论。2、当推导过程中遇到问题时，学生可能会问老师，也可能会下位询问其他的小组的成员。3、小组长分配任务，然后在小黑板上书写。4、观察完小黑板后，学生进行提问。教师引导学生探究向量内积的坐标表示方法。针对问题提出问题：1、向量的加减法的坐标表示是如何推到的？2、（过段时间后）你们能用类比的方法来推到向量内积的坐标表示吗？3、在推到的过程中你遇到了什么难题？4、如果你们小组推到好了，请将你们推导的结果写到小黑板上？5、请两边的同学讲小黑板立起来，中间的同学观察两边的同学写的，你能发现那些问题？\n（4）垂直的充要条件：设，则（注意与向量共线的坐标表示的区别）三、精讲点播1设，解：．例2（教材例2）已知，求（3-）·（-2）例3已知，求证是直角三角形。学生根据自己的推导过程，自己解题。（两个同学到黑黑板前做），其他小组在小黑边上做。学生自己观察讨论，最终给出结果。老师提示：根据向量的内积公式。要求学生在小黑板写出。因为学生书写的过程中会发生很多的错误。例2、教师在黑板上精讲，展示给学生看。例3、学生思考讨论，然后将结果呈现出来。\n说明：两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。四、学生练习1.已知，，（1）求证：（2）若与的模相等，且，求的值。2.已知＝（3，4），＝（4，3），求的值使(+)⊥，且|+|=1.分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.解：由＝（3，4），＝（4，3），有+=(3+4,4+3)，又（+y）⊥(+)·＝０3(3+4)+4(4+3)=0，即25+24＝０①又|+|=1|+＝１（３+4＋（４+3＝１整理得：25＋48+25学生对问题先进行自己求解，然后通过小组讨论，能够将题目解决。这一阶段是学生自学的阶段。老师抄一题，学生做一题，每题都能做透彻，学生能理解，然后不理解的进行讨论。\n＝１即(25+24)+24+25＝１②由①②有24+25＝１③将①变形代入③可得：=±再代回①得：五、归纳整理，1．平面向量数量积的坐标公式；向量垂直的坐标表示的条件，复习向量平行的坐标表示的条件．2．向量长度（模）的公式及两点间的距离公式和夹角公式；先让学生思考归纳，然后教师补充学生能整体认识本节课的知识。六、最后的问题1.什么是方向向量？2.怎样把一个已知向量转化为单位向量？给学生思考的空间。教师最后把问题写到黑板上，学生能记下来。