高中数学 平面向量系列课时教案15 教案 3页

第十五教时平面向量教材：平面向量的数量积平移的综合练习课目的：使学生对平面向量数量积的意义、运算有更深的理解，并能较熟练地处理有关长度、角度、垂直的问题。过程：一、复习：1．平面向量数量积的定义、运算、运算律2．平面向量数量积的坐标表示，有关长度、角度、垂直的处理方法3．平移的有关概念、公式二、例题例一、a、b均为非零向量，则|a+b|=|a-b|是的………………（C）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：若|a+b|=|a-b|Û|a+b|2=|a-b|2Û|a|2+2a×b+|b|2=|a|2-2a×b+|b|2Ûa×b=0Ûa^b例二、向量a与b夹角为，|a|=2，|b|=1，求|a+b|×|a-b|的值。解：|a+b|2=|a|2+2a×b+|b|2=4+2×2×1×cos+1=7∴|a+b|=,同理：|a-b|2=3,|a-b|=∴|a+b|×|a-b|=例三、ABCD中，=a，=b，=c，=d，且a×b=b×c=c×d=d×a，问ABCD是怎样的四边形？解：由题设：|a|×|b|cosB=|b|×|c|cosC=|c|×|d|cosD=|d|×|a|cosA∵|a|=|c|,|b|=|d|∴cosA=cosB=cosC=cosD=0ABCacab∴ABCD是矩形例四、如图△ABC中，=c，=a，=b，\n则下列推导不正确的是……………（D）A．若a×b<0，则△ABC为钝角三角形。B．若a×b=0，则△ABC为直角三角形。C．若a×b=b×c，则△ABC为等腰三角形。D．若c×(a+b+c)=0，则△ABC为正三角形。解：A．a×b=|a||b|cosq<0，则cosq<0，q为钝角B．显然成立C．由题设：|a|cosC=|c|cosA，即a、c在b上的投影相等D．∵a+b+c=0,∴上式必为0，∴不能说明△ABC为正三角形例三、已知：|a|=，|b|=3，a与b夹角为45°，求使a+b与a+b夹角为锐角的的取值范围。解：由题设：a×b=|a||b|cosa=3××=3(a+b)×(a+b)=|a|2+|b|2+(2+1)a×b=32+11+3∵夹角为锐角∴必得32+11+3>0∴或例六、i、j是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的两个单位向量，且=4i+2j，=3i+4j，证明：△ABC是直角三角形，并求它的面积。解：=(4,2),=(3,4),则=(3-4,4-2)=(-1,2),=(-4,-2),∴×=(-1)×(-4)+(-2)×2=0∴^即△ABC是直角三角形||=,||=,且ÐB=90°,CABDab∴S△ABC=\n例七、用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。证：设==a,==b∵ABCD为菱形∴|a|=|b|∴×=(b+a)(b-a)=b2-a2=|b|2-|a|2=0∴^例八、已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角。解：由(a+3b)(7a-5b)=0Þ7a2+16a×b-15b2=0①(a-4b)(7a-2b)=0Þ7a2-30a×b+8b2=0②两式相减：2a×b=b2代入①或②得：a2=b2设a、b的夹角为q，则cosq=∴q=60°一、作业：P150复习参考五A组19—26B组1—6