高中数学 平面向量系列课时教案5 教案 3页

第五教时平面向量教材：实数与向量的积目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。二、1．引入新课：已知非零向量作出++和(-)+(-)+(-)BAOCPQMN==++=3==(-)+(-)+(-)=-3讨论：1°3与方向相同且|3|=3||2°-3与方向相反且|-3|=3||2．从而提出课题：实数与向量的积实数λ与向量的积，记作：λ定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ1°|λ|=|λ|||2°λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=3．运算定律：结合律：λ(μ)=(λμ)①第一分配律：(λ+μ)=λ+μ②第二分配律：λ(+)=λ+λ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则①式成立如果λ¹0，μ¹0，¹有：|λ(μ)|=|λ||μ|=|λ||μ||||(λμ)|=|λμ|||=|λ||μ|||∴|λ(μ)|=|(λμ)|\n如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与反向。从而λ(μ)=(λμ)第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则②式显然成立如果λ¹0，μ¹0，¹当λ、μ同号时，则λ和μ同向，∴|(λ+μ)|=|λ+μ|||=(|λ|+|μ|)|||λ+μ|=|λ|+|μ|=|λ|||+|μ|||=(|λ|+|μ|)||∵λ、μ同号∴②两边向量方向都与同向即：|(λ+μ)|=|λ+μ|当λ、μ异号，当λ>μ时②两边向量的方向都与λ同向当λ<μ时②两边向量的方向都与μ同向还可证：|(λ+μ)|=|λ+μ|∴②式成立第二分配律证明：如果=，=中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立OABB1A1当¹，¹且λ¹0，λ¹1时1°当λ>0且λ¹1时在平面内任取一点O，作λλ则+λ+λ由作法知：∥有ÐOAB=ÐOA1B1||=λ||∴λ∴△OAB∽△OA1B1\n∴λÐAOB=ÐA1OB1因此，O，B，B1在同一直线上，||=|λ|与λ方向也相同AOBB1A1λ(+)=λ+λ当λ<0时可类似证明：λ(+)=λ+λ∴③式成立4．例一（见P104）略三、向量共线的充要条件（向量共线定理）1．若有向量(¹)、，实数λ，使=λ则由实数与向量积的定义知：与为共线向量若与共线(¹)且||：||=μ，则当与同向时=μ当与反向时=-μ从而得：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ使=λ2．例二（P104-105略）三、小结：四、作业：课本P105练习P107-108习题5.31、2