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- 2022-08-15 发布
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第十二教时不等式教材：不等式证明综合练习目的：系统小结不等式证明的几种常用方法，渗透“化归”“类比”“换元”等数学思想。过程：一、简述不等式证明的几种常用方法比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造二、例一、已知01,∴∴∴解三：∵00且a¹1，其余条件不变。例二、已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac+bd证一：（分析法）∵a,b,c,d,x,y都是正数\n∴要证：xy≥ac+bd只需证：(xy)2≥(ac+bd)2即：(a2+b2)(c2+d2)≥a2c2+b2d2+2abcd展开得：a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd即：a2d2+b2c2≥2abcd由基本不等式，显然成立∴xy≥ac+bd证二：（综合法）xy=≥证三：（三角代换法）∵x2=a2+b2，∴不妨设a=xsina,b=xcosay2=c2+d2c=ysinb,d=ycosb∴ac+bd=xysinasinb+xycosacosb=xycos(a-b)≤xy例三、已知x1,x2均为正数，求证：证一：（分析法）由于不等式两边均为正数，平方后只须证：即：再平方：化简整理得：（显然成立）∴原式成立证二：（反证法）假设ABCDPM化简可得：（不可能）∴原式成立证三：（构造法）构造矩形ABCD，\n使AB=CD=1,BP=x1,PC=x2当ÐAPB=ÐDPC时，AP+PD为最短。取BC中点M，有ÐAMB=ÐDMC,BM=MC=∴AP+PD≥AM+MD即：∴
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