【教案】高中数学选修2-1知识总结教案 8页

选修2-1知识点小结第一章《常用逻辑用语》1.命题：可以判断真假的语句叫命题；常用小写的拉丁字母p，q，r，s，⋯⋯表示命题。2.四种命题原命题互逆逆命题若p则q若q则p互为否互逆互否逆否为否互逆否命题否命题若┐p则┐q互逆若┐q则┐p注：（1）原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假；（2）四种命题真假的个数可能为0个、2个、4个。否命题：若p,则q命题的否定：若p,则q3.条件：若pq，则p是q的充分条件；q是p的必要条件。可分为四类：（1）充分不必要条件，即pq,而qp；(2)必要不充分条件，即pq,而qp；(3)既充分又必要条件（充要条件），即pq，又有qp；“pq”(4)既不充分也不必要条件，即pq，又有qp。4.（1）pq“p且q”命题pq真假的判定：“同真为真，一假即假”（2）pq“p或q”命题pq真假的判定:“一真即真，同假即假”（3）┐p“非p”命题p与┐p真假的判定:“你真我假”5.全称命题p：“xM,p(x)”它的否定p:“xM,p(x)”特称命题q：“xM,p(x)”它的否定q:“xM,p(x)”第二章《圆锥曲线与方程》一．曲线方程1.（1）求曲线(图形)方程的方法及其步骤：“建设现(限)代化”（2）求曲线方程（轨迹）的常见方法：直接法；相关点法；几何法；参数法；待定系数法。2．圆锥曲线综合问题：（1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于Axy(,11),(Bxy2,2)两点，则弦长|AB|为：222AB1kx1x21k(x1x2)4xx12若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．（抛物线中，ABxxp）12精品学习资料可选择pdf第1页，共8页-----------------------\n（2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题：它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。（3）实际应用题：如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。（4）知识交汇题：圆锥曲线常和数列、三角、平面向量、不等式结合到一块的综合题。二．直线与圆锥曲线的位置关系1．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系2．直线与圆锥曲线的位置关系（1）直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度分为三类：无公共点，一个公共点，两个相异公共点。（2）a.直线与椭圆：①直线斜率不存在时，画图；②直线斜率存在时，将直线l方程带入椭圆C，求b.直线与双曲线：①直线斜率不存在时，画图；②直线斜率存在时，直线l与渐近线平行或重合，平行一个交点，重合无交点；③直线斜率存在时，直线l与渐近线不平行或重合，将直线l方程带入双曲线C，求c.直线与抛物线：①直线斜率不存在时，画图；②直线斜率存在时，直线l与对称轴平行或重合，一个交点；③直线斜率存在时，直线l与对称轴不平行或重合，将直线l方程带入抛物线C，求精品学习资料可选择pdf第2页，共8页-----------------------\n注：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．三、圆锥曲线方程及性质1.（1）椭圆的概念和性质定义|PF1||PF2|2(2aa|FF12|)2222xyxy标准方程1ab01ab02222abba图像范围|x|≤a,|y|≤b|x|≤b,|y|≤a对称性关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称顶点(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)长轴长2a短轴长2b焦点F1c0、Fc2,0F10,c、F20,cc离心率e(0e1,e越大椭圆越扁,)a222a、b、c的关系abc焦点位置的判断哪个分母大，焦点就在哪个轴上22aa准线xyccPFaexPF,aexPFaeyPF,aey10201020焦半径Pxy(,00)注：①当ac时,|PF1||PF2|2a轨迹不存在;精品学习资料可选择pdf第3页，共8页-----------------------\n②当ac时,|PF||PF|2a轨迹是一条线段;12③当c0,|时PF||PF|2a轨迹是一个圆.12（2）椭圆的第二定义：c当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e0(e)1时，这个点的轨a迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．2．双曲线（1）双曲线的概念：平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（||PF1||PF2||2a）。|FF12|2c注：①（*）式中是差的绝对值，在0ac条件下；|PF1||PF2|2a时为双曲线的右支；|PF2||PF1|2a时为双曲线的左支；②当ac时，||PF1||PF2||2a表示两条射线；|PF1||PF2|2a或|PF2||PF1|2a时表一条射线；③当ac时，||PF||PF||2a不表示任何图形；12④当a0时，||PF1||PF2||2a表示线段FF12的中垂线。（2）双曲线的性质定义||PF1||PF2||2(2aa|FF12|)2222xyyx标准方程112222abab图像范围xa或xaya或ya对称性关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称顶点(a,0)、(-a,0)(0,a)、(0,-a)实轴长2a焦点F1c0、F2c,0F10,c、F20,cc离心率e(e1,e越大开口越大,)a222a、b、c的关系cab焦点位置的判22看xy,前的系数，哪一个为正，焦点就在哪个轴上断精品学习资料可选择pdf第4页，共8页-----------------------\n22aa准线xyccba渐近线yxyxab右支PF1ex0aPF,2ex0a焦半径上支PF1ey0aPF,2ey0a左支Pxy(0,0)下支PF(eyaPF),(eya)1020PF1(ex0a),PF2(ex0a)（3）等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab；2）等轴双曲线的性质：①渐近线方程为：yx；②渐近线互相垂直；③e2。223）等轴双曲线可以设为：xy()0，当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上。2a（4）双曲线第二定义:当动点M(x,y)到一定点F(c,0)的距离和它到一定直线lx:的距离之比cc是常数e1时,这个动点M(x,y)的轨迹是双曲线。其中定点F(c,0)是双曲线的一个焦点，定直线a2alx:叫双曲线的一条准线，常数e是双曲线的离心率。c3．抛物线（1）抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定2点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。方程y2pxp0叫做抛物线的标准方程。pp注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是x；22（2）抛物线的性质2222y2pxy2pxx2pyx2py标准方程(p0)(p0)(p0)(p0)yyyllF图形oxoFxFoxlpppp焦点坐标(,0)(,0)(0,)(0,)2222pppp准线方程xxyy2222范围x0x0y0y0对称性x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率e1e1e1e1精品学习资料可选择pdf第5页，共8页-----------------------\n说明：①通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；通经长为2p；②p的几何意义：是焦点到准线的距离。第三章《空间向量与立体几何》一、空间向量及其运算1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。2．向量运算和运算律OBOAABabBAOAOBabOPa(R)加法交换律：abb.a加法结合律：(ab)ca(bc).数乘分配律：(ab)ab.3．平行向量(共线向量)：a平行于b记作a∥b。共线向量定理：对空间任意两个向量a（a≠0）、b，a∥b的充要条件是存在实数使b＝a推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式OPOAat①其中向量a叫做直线l的方向向量。在l上取ABa，则①式可化为OP1(t)OAtOB.②当11t时，点P是线段AB的中点，则OP(OAOB).③224．向量与平面平行：记作a∥。注意：向量a∥与直线a∥的联系与区别。共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理：若两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y，使paxy.b①推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使MPxMAyMB,④或对空间任一定点O，有OPOMxMAyMB.⑤OP1(xy)OMxOAyOB.⑥④、⑤、⑥也是M、A、B、P四点共面的充要条件。5．空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使pxayb.cz推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使OPxOAyOBzOC.6．数量积（1）夹角：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作OAa，OBb，则角∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b。注：①规定0≤a，b≤,因而a，b=b，a；②如果a，b=，记作a⊥b；2精品学习资料可选择pdf第6页，共8页-----------------------\n（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。（3）向量的数量积：abcosa,b叫做向量a、b的数量积，记作ab。即ab=abcosa,b，（4）性质与运算律⑴ae|a|cosae,。⑴(ab)(ab)⑵a⊥bab=0⑵ab=ba2⑶|a|aa.⑶ab(c)abac二、立体几何中的向量方法1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。（1）用法向量求异面直线所成的角：异面直线所成的角的范围是,0(]。2ab设直线,lm的方向向量分别为,abcosab（2）用法向量求直线与平面所成的角：直线与平面所成的角的范围是,0[]。2au设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，且直线l与平面所成的角为，则sinau（3）用法向量求二面角：二面角的范围是,0(]。n1与n2分别为平面α与β的法向量，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，coscosnn1,2coscosnn1,2关键：观察二面角的范围2．空间的距离（1）用法向量求异面直线间的距离：a、b是两异面直线，n是a和b公垂线的方向向量，点E∈a，F∈b，EFn则异面直线a与b之间的距离是d；nA（2）用法向量求点到平面的距离：如右图所示，已知AB是平面α的一条斜nABnCB线，n为平面α的法向量，则A到平面α的距离为d；αn（3）用法向量求直线到平面间的距离先必须确定直线与平面平行，后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。（4）用法向量求两平行平面间的距离：首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。精品学习资料可选择pdf第7页，共8页-----------------------\n3.线段的定比分点：设Px11，y1，Px22，y2，分点Px，y，设P1、P2是直线l上两点，P点在l上且不同于P、P，若存在一实数，使PPPP，则叫做分有向线段P1212PP12所成的比（0，在线段PPP12内，0，在PPP12外），且x1x2x1x2xx12，为PPP12中点时，y1y2y1y2yy12如：ABC，Ax1，1y，Bx，22，y，Cx33yx1x2x3y1y2y3则ABC重心G的坐标是，33精品学习资料可选择pdf第8页，共8页---------------------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