【教案】高中数学新课极限小结与复习教案 7页

课题：小结与复习(一)教学目的：1.理解数学归纳法证明命题的步骤，并用它来证明一些命题.2.掌握数列的极限以及几个重要的极限，会求数列的极限.3.掌握函数的极限，利用图象来求函数极限.4.掌握函数极限，数列极限的四则运算法则，以及几个特殊的极限，会用代入法、因式分解法、分子分母同除x的最高次幂，分子有理化法，求函数极限、掌握数列极限的二个规律.5.学会用函数的连续性来求函数的极限教学重点：1.掌握用数学归纳法证明与正整数n有关的数学命题.2.学会求数列极限，函数极限的一些基本方法，以及一些特殊的极限.教学难点：关键是要掌握哪种基本方法适合哪类题型的极限.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、知识点：1.用数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；*(2)假设当n=k(k∈N，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.2.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限趋近于．．．．．某个常数a，那么就说数列{an}以a为极限.记作limana．n3.几个重要极限：1（1）lim0（2）limCC（C是常数）nnnnn（3）无穷等比数列{q}（q1）的极限是0，即limq(0q)1n4.函数极限的定义:(1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a.记作：limf(x)=a，或者当x→+∞时，f(x)→a.x精品学习资料可选择pdf第1页，共7页-----------------------\n(2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a.记作limf(x)=a或者当x→－∞时，f(x)→a.x(3)如果limf(x)=a且limf(x)=a，那么就说当x趋向于无穷大时，函xx数f(x)的极限是a，记作：limf(x)=a或者当x→∞时，f(x)→a.x5.常数函数f(x)=c.(x∈R)，有limf(x)=c.xlimf(x)存在，表示limf(x)和limf(x)都存在，且两者相等.所以limf(x)xxxx中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限liman中的∞仅有+∞的意义x6.趋向于定值的函数极限概念：当自变量x无限趋近于x0（xx0）时，如果函数yf(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向x时，函数yf(x)0的极限是a，记作limfx()a特别地，limCC；limxx0xx0xx0xx07.limfx()alimfx()limfx()axxxxxx000其中limfx()a表示当x从左侧趋近于x0时的左极限，limfx()a表xxxx00示当x从右侧趋近于x时的右极限08.对于函数极限有如下的运算法则：如果limf(x)A,limg(x)B，那么lim[f(x)g(x)]AB,xxoxxoxxof(x)Alim[f(x)g(x)]AB,lim(B)0xxoxxog(x)Bnn当C是常数，n是正整数时:lim[Cf(x)]Climf(x),lim[f(x)][limf(x)]xxoxxoxxoxxo这些法则对于x的情况仍然适用9.数列极限的运算法则:与函数极限的运算法则类似,如果limaA,limbB,那么nnnnlim(anbn)ABlim(anbn)ABnn精品学习资料可选择pdf第2页，共7页-----------------------\nanAlim(a.b)A.Blim(B)0nnnnbBn10.函数在一点连续的定义:如果函数f(x)在点x=x0处有定义，limf(x)存在，xx0且limf(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0处连续.xx011.函数f(x)在(a，b)内连续的定义：如果函数f(x)在某一开区间(a，b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间(a，b)内连续，或f(x)是开区间(a，b)内的连续函数.12.函数f(x)在［a，b］上连续的定义：如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x=a处有limf(x)=f(a)，在右端xa点x=b处有limf(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间xb［a，b］上的连续函数.13.最大值f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对于任意x∈［a，b］，f(x1)≥f(x)，那么f(x)在点x1处有最大值f(x1).14.最小值f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对于任意x∈［a，b］，f(x2)≤f(x)，那么f(x)在点x2处有最小值f(x2).15.最大值最小值定理如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值.二、讲解范例：an例1lim()等于()n1aA.－1B.0C.1D.不能确定a1an答案:D.因为当||＜1即a＜时，lim()=0，1a2n1aaan当||＞1时，lim()不存在.1an1aa1an当=1即a=时，lim()=11a2n1a精品学习资料可选择pdf第3页，共7页-----------------------\naan当=－1时，lim()也不存在.1an1an1nn1nabab*例2已知|a|＞|b|，且limlim(n∈N)，那么a的取值nnnana范围是()A.a＜－1B.－1＜a＜0C.a＞1D.a＞1或－1＜a＜0n1nab1bn1答案：D.左边=limlim[()]nnanaaan1nabbn右边=limlim[a()]annnaabbn∵|a|＞|b|，∴||＜1.∴lim()=0ana1∴不等式变为＜a，解不等式得a＞1或－1＜a＜0.an例1、例2在数列极限中，极限limq=0要注意这里|q|＜1.这个极限很重要.n32xaxb例3lim=8，试确定a，b的值.x2x2分析：因为x→2时，分母x－2用代入法时等于0，所以应该用因式分解法，则分母中应该也有x－2这个因子，只要将公因式x－2消去，用代入法求极限，再根据极限是8，就可以求a，b了.3222xaxbx(x)22(a)xb解：limlimx2x2x2x22x(x)22(a)x(x)22(2a)(x)22(4a)blimx2x222(4a)blim[x2(a)x2(2a)]limx2x2x242(a)22(2a)8a1∴由题意2(4a)b0b4精品学习资料可选择pdf第4页，共7页-----------------------\n4x2例4求limx09x3分析：首先，当x=0代入分母时分母为零，所以可能要用因式分解法，但分子分母都是根式，所以要分别对分子分母有理化法.4x2(4x2)(4x)2解：limlimx09x3x0(9x3)(4x)2x(9x3)(9x3)limlimx0x0(9x3)(4x2)(9x3)(4x2)9x3333limx04x2222三、课堂练习：x1r1.计算lim(r＞0)xx1rxxlim1(r)x1rx10解：1°0＜r＜1，∵limr=0，∴lim1.xxxx1rlim1(r)10xxx1r112°r=1，r=1，∴limlim0xx1rx11113°r＞1，0＜＜1，∴lim0.xrxr11x1lim()1xx1rrxr01∴limlim1xx1rx11011lim()1xxrxr2x32.limx33x3解：分子分母同除x.精品学习资料可选择pdf第5页，共7页-----------------------\n3212x3x10limlim1.x33x3x3310313x3.写出下列函数在x=－2的左极限、右极限，其中哪些函数在x=－2处极限不存在？322x2x323(xx2)x3(x2)(1)f(x)=;(2)g(x)=4x+3;(3)h(x)=;(4)v(x)=3x2x1(2)xx(x2)分析：要求一个函数在一点处的左右极限，可画图.32x2x2解：(1)f(x)==x(x≠－2)x222limf(x)=limx=4.limf(x)=limx=4.∴limf(x)=4.x2x2x2x2x233(2)limg(x)=lim(4x+3)=4·(－2)+3=－29.x2x233limg(x)=lim(4x+3)=4×(－2)+3=－29.x2x2∴limg(x)=－29.x2(3)limh(x)=lim(x+1)=－2+1=－1.x2x2limh(x)=lim(2x+3)=2(－2)+3=－1.x2x2∴limh(x)=－1.x233(4)limv(x)=limx=(－2)=－8.x2x222limv(x)=lim(x－3)=(－2)－3=1.x2x2∴limv(x)不存在.x2极限存在左、右极限存在且相等.cosxx04.设f(x)=试确定a的值，axx0精品学习资料可选择pdf第6页，共7页-----------------------\n使f(x)成为区间(－∞，+∞)中的连续函数.解：f(x)在(－∞，0］和(0，+∞)上连续，只要使f(x)在x=0处也连续.1°f(x)在x=0处有定义.f(0)=a2°limf(x)=limcosx=cos0=1.,limf(x)=lim(a+x)=a.x0x0x0x0要使limf(x)存在.∴a=1.x0此时limf(x)=1=f(0).∴f(x)在x=0处连续.x0∴a=1时f(x)在(－∞，+∞)上连续.分段函数要连续，主要看各段的交界处是否连续四、小结：本节课主要复习了第二章极限里的一些主要内容.怎样根据具体题目，选择正确的方法进行求解极限.五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记：精品学习资料可选择pdf第7页，共7页-----------------------