高中数学新课向量教案 7页

课题：平面向量数量积的坐标表示教学目的：⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式⑶能用所学知识解决有关综合问题.教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b,作OA=a,OB=b，则/aob=。（ow9<兀）叫a与b的夹角.2.平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b,它们的夹角是0,则数量|a||b|cos训5与b的数量积，记作ab,即有ab=|a||b|cos6,（OW0►______oi)分配律：(a+b)c=ac+bc二、讲解新课：1.平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)，试用a和b的坐标表示ab.设「是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，那么_A*___a=x1i+0j,b=x2i+y2j所以ab=(x1i必j)(x2iy?j)=xM2x^ijx2%ijy*j2又「「=1,j-j=i,「j=j-「=0所以ab=x1x2V1V2这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和*即ab=x1x2yiy22.平面内两点间的距离公式(1)设a*=(x,y),则|5|2=x2+y2或|5|=Jx2+y2.(2)如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y?)，那么|a尸J(x1-x2)2+(y1-y?)2(平面内两点间的距离公式)3.向量垂直的判定设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a_Lbux1x2+y1y2=0\n4.两向量夹角的余弦（0M日Wn）ab8sl=|a||b|Xix2必y22222Xi%x2y2三、讲解范例:设a=（5,口）,b=(-6,-4),求ab解:ab=5X(-6)+(-7)X(^)=40+28=-2已知a(1,2),b(2,3),C(—2,5),求证：△ABC是直角三角形.证明：••・AB=(2-1,3-2)=(1,1),AC=(-2—1,5-2)=(-3,3)ABAC=1X(4)+1X3=0AB_LAC・•.△ABC是直角三角形已知a=(3,_i),b=(i,2),求满足xa=9与xb=m的向量x.解:设x=(t,s),xa=9由--二xb=-43t-s=9—t+2s=-4rt=2-x=(2,-3)s=—3■.已知a=(i,J3),b=(J3+i,J3—1),则a与b的夹角是多分析：为求a与b夹角，需先求a，b及|aI•Ibl,再结合夹角0的范围确定其值.J3),b=(V3+1,V3-D1+33(V3—1)=4,|记a与b的夹角为JI•0=一4\n评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定^例5如图，以原点和A(5,2)为顶点作等腰直角△ABC,使Nb=90求点b和向量AB的坐标.解：设b点坐标(x,y),则OB=(xy),AB=(x-5,y-2)OBJ_ABx(x-5)+y(y-2)=0即：x2+y2_5x_2y=0又|OB|=|AB|x2+y2=(xW)2+(y—2)2即：10x+4y=2922.2___x+y—5x—2y=0—r10x+4y=29x13x2-27“2.,,,一73、37•1-b点坐标(―,--)或(一,一)；2222AB=(-|-2)^(-1|)例6在4ABC中，AB=(2,3),AC=(1,k),且△ABC的一个内角为直角,求k值.3解：当a=90W,ABAC=0,2X1+3xk=0..k=-2当b=90时，ABBC=0,BC=AC-AB=(1-2,k^3)=(-1,k-3)11・•・2X(—1)+3X(k-3)=0k=33二13当C=90对，ACBC=0,-1+k(k3=0k=2四、课堂练习：1.若a=(-4,3),b=(5,6),则31a|2—4Ab=()A.23B.57C63D.832.已知5(1,2),b(2,3),C(-2,5),则4Ab土为()A.直角三角形B.锐角三角形C钝角三角形D.不等边三角形\n1.已知a=(4,3),向量b是垂直a的单位向量，则b等于()\nB.D.4.a=(2,3),b=(-2,4),则(a+b)・(a-b)=fl34、_43A(,)或(，)555534、_/43、(_,__)(__,一)55555.6.已知3(3,2),b(-1,-1),若点F(x,--)在线段ab的中垂线上，则x=2已知a(1,0),b(3,1),C(2,0),且a=BC,b=CA,则a与b的夹角参考答案：1.D2.A3.D4.-75.76.45:4五、小结两向量数量积的坐标表示长度、夹角、垂直的坐标表示六、课后作业：1.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为(A.J313B.5P.65C.5D...652.已知a=(入，2),b=(-3,5)且a与b的夹角为钝角，则入的取值范围是()“10A.入>—3B.入>1°人才33.给定两个向量a=(3,4),b=(2,-i)且(a+xb)，(a-b),则x等于()A.23B.232C.2331.已知|a>而,b=(1,2)且a//b,则5的坐标为5.已知a=(1,2),b(1,1),c=b-ka,若c^a,则c=6.已知a=(3,0),b=(k,5)且a与b的夹角为7.已知a=(3,-1),b=(1,2),求满足条件x-2=9与*・b=-4的向量x.8.已知点A(1,2)和B(4,-1),问能否在y轴上找到一点C,使/ABC=90°,\n若不能，说明理由；若能，求C点坐标.9.四边形ABCD中=AB(6,1),BC=(x,y),CD=(-2,-3),⑴若BC//DA,求x与y间的,关系式:(2)满足⑴问的同时又有AC±BD,求x,y的值及四边形ABCD的面积.参考答案：1.C2.A3.C4.(J2,272)或(-—272)一215.(-,—)6.-57.(2,-3)8.不能(理由略)55x=-6rx=29.(1)x+2y=0(2)』或，S四边形ABCD=16J=3)=-1七、板书设计(略)八、课后记及备用资料：已知a=(3,4),b=(4,3),求x,y的值使(xa+yb)，a,且Ixa+yb|=1.分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想^解：由a=(3,4),b=(4,3),有xa+yb=(3x+4y,4x+3y)又(xa+yb)Lay(xa+yb)•a=Ou3(3x+4y)+4(4x+3y)=0即25x+24y=0①一,一・,.,—・,2一，一，、2,,一、2一又Ixa+yb|=1uIxa+yb|=lu(3x+4y)+(4x+3y)=1整理得：25x2+48xy+25y2=1即x(25x+24y)+24xy+25y2=1②由①②有24xy+25y=1③一'一一一5将①变形代入③可得：y=±2424x二一一355厂77再代回①得:35和〈5厂“