【教案】2021-2021年高中数学必备知识点高中数学集合教案 23页

2019-2020年高中数学必备知识点高中数学集合教案1、集合的概念和性质.2、集合的元素特征.3、有关数的集合.教学难、重点1、集合.的概念.2、集合.元素的三个特征..教学过程Ⅰ复习回顾回顾初中代数中涉及“集合”的提法.一般地说，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.不等式的解集中涉及到“集合”.Ⅱ新课讲授实例⑴数组1，3，5，7.⑵到两定点距离的和等于两定点间距离的点.⑶满足的全体实数3x-2>x+3.⑷所有直角三角形.⑸高一（3）班全体男同学.⑹所有绝对值等于6的数的集合.⑺所有绝对值小于3的整数的集合..⑻中国足球男队的队员.⑼参加xx年奥运会的中国代表团成员.⑽参与中国加入WTO谈判的中方成员.通过以上实例.教师指出：1、定义一般地，某些指定对象集在一起就成为一个集合（集）.集合中每个对象叫做这个集合的元素.上述集合的元素是什么？例⑴的元素为1，3，5，7.例⑵的元素为到两定点距离的和等于两定点间距离的点.例⑶的元素为满足不等式3x-2>x+3的实数x.例⑷的元素为所有直角三角形.例⑸的元素为高一（3）班全体男同学.例⑹的元素为-6，6.例⑺的元素为-2，-1，0，1，2.例⑻的元素为中国足球男队的队员.精品学习资料可选择pdf第1页，共23页-----------------------\n例⑼的元素为参加xx年奥运会的中国代表团成员.例⑽的元素为参与WTO谈判的中方成员.请同学们举出三个例子，并指出其元素.一般地来讲，用大括号表示集合.例⑴{1，3，5，7}.例⑵{到两定点距离的和等于两定点间距离的点}.例⑶{3x-2>x+3的实解}.例⑷{直角三角形}.例⑸{高一（3）班全体男同学}.例⑹{-6，6}.例⑺{-2，-1，0，1，2}.例⑻{中国足球男队的队员}.例⑼{参加xx年奥运会的中国代表团成员}.例⑽{参与中国加入WTO谈判的中方成员}.2、集合元素的三个特征问题及解释⑴A={1，3}问3，5哪个是A的元素？⑵A={所有素质好的人}能否表示为集合？⑶A={2，2，4}表示是否准确？⑷A={太平洋，大西洋}，B={大西洋，太平洋}是否表示为同一集合？教师指导例⑴3是集合A的元素，5不是集合A的元素.例⑵由于素质好的人标准不可量化，故A不能表示为集合.例⑶的表示不准确，应表示为A={2，4}.例⑷的A与B表示同一集合，因其元素相同.由此可知，集合元素具有以下三个特征：⑴确定性集合中的元素必须是确定的，也就是说，对于一个给定的集合，其元素的意义是明确的.⑵互异性集合中的元素必须是互异的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.⑶无序性集合中的元素是无先后顺序，也就是说，对于一个给定集合，它的任何两个元素都是可以交换的.如上例⑴元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∈”（∈也可表示为∈）两种.如A={2，4，8，16}4∈A8∈A32∈A.请同学们考虑：A={2，4}，B={{1，2}，{2，3}，{2，4}，{3，5}}.A与B的关系如何？虽然A本身是一个集合.但相对B来讲，A是B的一个元素.故A∈B.3、常见数集的专用符号N：非负整数集（或自然数集）（全体非负整数的集合）精品学习资料可选择pdf第2页，共23页-----------------------\nN*或N+：正整数集（非负整数集N内排除0的集合）Z：整数集（全体整数的集合）Q：有理数集（全体有理数的集合）R：实数集（全体实数的集合）请同学们熟记上述符号及其意义.Ⅲ课堂练习：课本P51、（口答）说出下面集合中的元素.⑴{大于3小于11的偶数}其元素为4，6，8，10⑵{平方等于1的数}其元素为-1，1⑶{15的正约数}其元素为1，3，5，152、用符号∈或∈填空1∈N0∈N-3∈N0.5∈N2∈N1∈Z0∈Z-3∈Z0.5∈Z2∈Z1∈Q0∈Q-3∈Q0.5∈Q2∈Q1∈R0∈R-3∈R0.5∈R2∈RⅣ课时小结：1、集合的概念中，“某些指定的对象”，可以是任意的具体确定的事物，例如数、式、点、形、物等.2、集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性，要熟练运用之.高中数学集合部分知识点一集合知识1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.3.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.4.集合运算：交、并、补.5.主要性质和运算律（1）包含关系：（2）等价关系：（3）集合的运算律：交换律：精品学习资料可选择pdf第3页，共23页-----------------------\n结合律:分配律:.0-1律：求补律：A∩CUA=φA∪CUA=UCUU=φCUφ=UCUU(CUA)=A反演律：CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB)CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)6.有限集的元素个数定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card(A)规定card(φ)=0.基本公式：(3)card(CUA)=card(U)-card(A)（4）设有限集合A,card(A)=n,则①A的子集个数为；②A的真子集个数为；③A的非空子集个数为；④A的非空真子集个数为.（5）设有限集合A、B、C，card(A)=n，card(B)=m,m0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；精品学习资料可选择pdf第4页，共23页-----------------------\n④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.（自右向左正负相间）则不等式的解可以根据各区间的符号确定.特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的讨论.2.分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为>0(或<0)；≥0(或≤0)的形式，（2）转化为整式不等式（组）3.含绝对值不等式的解法（1）公式法：,与型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.2019-2020年高中数学必胜秘籍之函数知识点总结人教版1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。如：集合Axy|lgx，Byy|lgx，C(,)|xyylgx，、、ABC精品学习资料可选择pdf第5页，共23页-----------------------\n中元素各表示什么？A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹2进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。2如：集合Axx|2x30，Bxax|1若BA，则实数的值构成的集合为a显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一个元素。故B只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3.但是，这里千万小心，还有一个B为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。3.注意下列性质：n（）集合1a1，a2，⋯⋯，an的所有子集的个数是2；要知道它的来历：若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a2,a3,⋯⋯an,都有2种选择，所以，总共有种选择，即集合A有个子集。当然，我们也要注意到，这种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为，非空真子集个数为（）若2ABABA，ABB；（3）德摩根定律：CUABCUACUB，CUABCUACUB有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂ABABA,BAB4.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）ax5如：已知关于x的不等式0的解集为M，若3M且5M，求实数a2xa的取值范围。a·35（∵3M，∴023a5a1，9，25）3a·55∵5M，∴025a注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过；如告诉你函数2f(x)=ax+bx+c(a>0)在上单调递减，在上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上，也应该马上可以想到m，n实际上就是方程的2个根精品学习资料可选择pdf第6页，共23页-----------------------\n5、熟悉命题的几种形式、可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”()，“且”()和“非”().若pq为真，当且仅当p、均为真q若pq为真，当且仅当p、至少有一个为真q若p为真，当且仅当p为假命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）满足条件，满足条件，若；则是的充分非必要条件；若；则是的必要非充分条件；若；则是的充要条件；若；则是的既非充分又非必要条件；7.对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映m射个数有n个。如：若，；问：到的映射有个，到的映射有个；到的函数有个，若，则到的一一映射有个。函数的图象与直线交点的个数为个。8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)9.求函数的定义域有哪些常见类型？x4x例：函数y的定义域是2lgx3（答：0，22，33，4）函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。正切函数xR,且xk,k2精品学习资料可选择pdf第7页，共23页-----------------------\n余切函数反三角函数的定义域函数y＝arcsinx的定义域是[－1,1]，值域是，函数y＝arccosx的定义域是[－1,1]，值域是[0,π]，函数y＝arctgx的定义域是R，值域是.，函数y＝arcctgx的定义域是R，值域是(0,π).当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。10.如何求复合函数的定义域？如：函数fx()的定义域是a，，bba0，则函数F(x)fx()f(x)的定义域是_____________。复合函数定义域的求法：已知的定义域为，求的定义域，可由解出x的范围，即为的定义域。例若函数的定义域为，则的定义域为。分析：由函数的定义域为可知：；所以中有。解：依题意知：解之，得∴的定义域为11、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例求函数y=的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂精品学习资料可选择pdf第8页，共23页-----------------------\nbay.型：直接用不等式性质2k+xbxb.y型,先化简，再用均值不等式2xmxnx11例：y21+x12x+x2xmxncy..型通常用判别式2xmxn2xmxnd.y型xn法一：用判别式法二：用换元法，把分母替换掉22xx1（x+1）（x+1）+11例：y（x+1）1211x1x1x14、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例求函数y=值域。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例求函数y=，，的值域。xe1x1yye0xe11y2sin11yy|sin|||1,1sin2y2sin1y2sin1y(1cos)1cos2sinycos1y21y4ysin(x)1y,即sin(x)24y1y又由sin(x)1知124y解不等式，求出，就是要求的答案y6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数y=（2≤x≤10）的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角精品学习资料可选择pdf第9页，共23页-----------------------\n函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例求函数y=x+的值域。8数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。22例：已知点P（x.y）在圆x+y=1上，y(1)的取值范围x2(2)y-2x的取值范围y解:(1)令k,则ykx(2),是一条过(-2,0)的直线.x2dRd(为圆心到直线的距离,R为半径)(2)令y-2xb,即y2xb0,也是直线ddR例求函数y=+的值域。解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。由上图可知：当点P在线段AB上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10故所求函数的值域为：[10，+∞）例求函数y=+的值域解：原函数可变形为：y=+上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，y=∣AB∣==，故所求函数的值域为[，+∞）。例求函数y=-的值域解：将函数变形为：y=-精品学习资料可选择pdf第10页，共23页-----------------------\n上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B（-2，1）到点P（x，0）的距离之差。即：y=∣AP∣-∣BP∣由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P1，则构成△ABP1，根据三角形两边之差小于第三边，有∣∣AP1∣-∣BP1∣∣＜∣AB∣==即：-＜y＜（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣=。综上所述，可知函数的值域为：（-，-）。注：求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A，B在x轴的同侧。9、不等式法利用基本不等式a+b≥2，a+b+c≥3（a，b，c∈），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例：22x(x0)x22x(3-2x)(0=1.排除选项C,D.现在看值域。原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1,答案为B.我题目已经做完了，好像没有动笔（除非你拿来写*书）。思路能不能明白呢？14.反函数的性质有哪些？反函数性质：1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）3、反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性；精品学习资料可选择pdf第12页，共23页-----------------------\n1③设yf(x)的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f(a)=bf()ba111ffa()f()ba，ff()bfa()b由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如（04.上海春季高考）已知函数，则方程的解__________.1对于这一类题目，其实方法特别简单，呵呵。已知反函数的y,不就是原函数的x吗？那代进去阿，答案是不是已经出来了呢？（也可能是告诉你反函数的x值，那方法也一样，呵呵。自己想想，不懂再问我15.如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：(1)定义法：根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系可以变形为求的正负号或者与1的关系(2)参照图象：①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性；（特例：奇函数）②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）(3)利用单调函数的性质：①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）⑤函数f(x)与在f(x)的同号区间里反向变化。⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ(x),x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）－1⑦若函数y＝f(x)是严格单调的，则其反函数x＝f(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。f(g)g(x)f[g(xf(x)+g(xf(x)*g(x)都是正)])数增增增增增增减减//减增减//减减增减减2如：求ylog1x2x的单调区间2精品学习资料可选择pdf第13页，共23页-----------------------\n2（设ux2x，由u0则0x22且log1u，ux11，如图：2uO12x当x(0，时，1]u，又log1u，∴y2当x[1，2)时，u，又logu，∴y12∴⋯⋯）16.如何利用导数判断函数的单调性？在区间a，b内，若总有f'()x0则fx()为增函数。（在个别点上导数等于零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'()x0呢？3如：已知a0，函数fx()xax在，1上是单调增函数，则a的最大值是（）A.0B.1C.2D.32aa（令f'()x3xa3xx033a由已知fx()在[1，)上为增函数，则1，即a33∴a的最大值为3）17.函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）若f(x)fx()总成立fx()为奇函数函数图象关于原点对称若f(x)fx()总成立fx()为偶函数函数图象关于y轴对称注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。精品学习资料可选择pdf第14页，共23页-----------------------\n（）若2f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0。xa·2a2如：若fx()为奇函数，则实数ax21（∵fx()为奇函数，xR，又0R，∴f()000a·2a2即00，∴a1）21x2又如：fx()为定义在(1，1)上的奇函数，当x(0，1)时，fx()，x41求fx()在1，上的解析式。1x2（令x1，0，则x0，1，f(x)x41xx22又fx()为奇函数，∴fx()xx4114x2x(1，0)x41x0又f()00，∴fx()）x2x0，1x41判断函数奇偶性的方法一、定义域法一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数..二、奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x)=0奇函数f(x)-f(-x)=0偶函数f(x)1偶函数f(-x)f(x)1奇函数f(-x)三、复合函数奇偶性f(g)g(x)f[g(xf(x)+g(xf(x)*g(x精品学习资料可选择pdf第15页，共23页-----------------------\n)]))奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶18.你熟悉周期函数的定义吗？（若存在实数T（T0），在定义域内总有fxTfx()，则fx()为周期函数，T是一个周期。）如：若fxafx()，则（答：fx()是周期函数，T2a为fx()的一个周期）我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t.推导：f()xf(xt)0f()xf(x2)t，f(xt)f(x2)t0同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。又如：若fx()图象有两条对称轴xax，b即fa(x)fax()，fb(x)fb(x)fx()f(2ax)f(2ax)f(2bx)fx()f(2bx)令t2ax,则2bxt2b2,()aftft(2b2)a即fx()fx(2b2)a所以函数,fx()2|以ba|为周期因不知道(ab,的大小关系,为保守起见我加了一个绝对值,如：19.你掌握常用的图象变换了吗？精品学习资料可选择pdf第16页，共23页-----------------------\nfx()与f(x)的图象关于y轴对称联想点（x,y）,(-x,y)fx()与fx()的图象关于x轴对称联想点（x,y）,(x,-y)fx()与f(x)的图象关于原点对称联想点（x,y）,(-x,-y)1fx()与f()x的图象关于直线yx对称联想点（x,y）,(y,x)fx()与f(2ax)的图象关于直线xa对称联想点（x,y）,(2a-x,y)fx()与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称联想点（x,y）,(2a-x,0)左移aa(0)个单位yfx(a)将yfx()图象右移aa(0)个单位yfx(a)上移bb(0)个单位yfx(a)b下移bb(0)个单位yfx(a)b（这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。）注意如下“翻折”变换：fx()|fx()|把轴下方的图像翻到上面xfx()f(|x|)把轴右方的图像翻到上面y作出ylog2x1及ylog2x1的图象yy=log2xO1x19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？精品学习资料可选择pdf第17页，共23页-----------------------\n(k<0)y(k>0)y=bO’(a,b)Oxx=a（）一次函数：1ykxbk0(k为斜率，b为直线与y轴的交点)kk（）反比例函数：2yk0推广为ybk0是中心Oa'(，b)xxa的双曲线。222b4acb（）二次函数3yaxbxca0ax图象为抛物线2a4a2b4acbb顶点坐标为，，对称轴x2a4a2a24acb开口方向：a0，向上，函数ymin4a24acba0，向下，ymax4ab根的关系：x2abcx1x2,x1x2,|x1x2|aa|a|二次函数的几种表达形式：2fx()axbxc(一般式)2fx()ax(m)n(顶点式，（m，）为顶点nfx()ax(x1)(xx2)(xx1,2是方程的2个根）fx()ax(x1)(xx2)h(函数经过点（xhxh1,)(2,)应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程22axbxc0，0时，两根x1、x2为二次函数yaxbxc的图象与x轴2的两个交点，也是二次不等式axbxc0(0)解集的端点值。②求闭区间［m，n］上的最值。精品学习资料可选择pdf第18页，共23页-----------------------\nb区间在对称轴左边（n）fmaxfm(),fminfn()2ab区间在对称轴右边（m）fmaxfn(),fminfm()2ab区间在对称轴2边（nm）2a24acbfmin,fmaxmax((fm),fn())4a也可以比较m,n和对称轴的关系，距离越远，值越大(只讨论a0的情况）③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。④一元二次方程根的分布问题。02b如：二次方程axbxc0的两根都大于kk2afk()0y(a>0)Okx1x2x一根大于k，一根小于kfk()00bmn在区间（m，）内有根n22afm()0fn()0在区间（m，）内有n1根fmfn()()0x（）指数函数：4yaa0，a1（）对数函数5ylogaxa0，a1由图象记性质！（注意底数的限定！）精品学习资料可选择pdf第19页，共23页-----------------------\nyxy=a(a>1)(01)1O1x(00且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（）＝f（x）－f（y）5.三角函数型的抽象函数f（x）＝tgx--------------------------f（x＋y）＝f（x）＝cotx------------------------f（x＋y）＝例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝－2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根据区间求其值域.例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>02时，f(x)>2，f(3)＝5，求不等式f（a－2a－2）<3的解.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1].（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；（3）若a≥0且f（a＋1）≤，求a的取值范围.分析：（1）令y＝－1；（2）利用f（x1）＝f（·x2）＝f（）f（x2）；（3）0≤a≤2.例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：精品学习资料可选择pdf第21页，共23页-----------------------\n（1）f（0）；（2）对任意值x，判断f（x）值的符号.分析：（1）令x=y＝0；（2）令y＝x≠0.例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.x分析：先猜出f（x）＝2；再用数学归纳法证明.例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：（1）f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.分析：（1）利用3＝1×3；（2）利用函数的单调性和已知关系式.例7设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由.分析：设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b，进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝f（ab）＝f[g（m）g（n）]⋯.例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：①x1、x2是定义域中的数时，有f（x1－x2）＝；②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；③当0＜x＜2a时，f（x）＜0.试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由；（2）在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由.分析：（1）利用f[－（x1－x2）]＝－f[（x1－x2）]，判定f（x）是奇函数；（3）先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数.对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），（1）求证：f（1）＝f（－1）＝0；（2）求证：f（x）为偶函数；（3）若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.分析：函数模型为：f（x）＝loga|x|（a＞0）（1）先令x＝y＝1，再令x＝y＝－1；（2）令y＝－1；（3）由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）.例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，求证：（1）当x＞0时，0＜f（x）＜1；精品学习资料可选择pdf第22页，共23页-----------------------\n（2）f（x）在x∈R上是减函数.分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；（3）受指数函数单调性的启发：由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝，进而由x1＜x2，有＝f（x1－x2）＞1.练习题：1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立，则（）（A）f（0）＝0（B）f（0）＝1（C）f（0）＝0或1（D）以上都不对2.若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y），则下列各式中错误的是（）（A）f（1）＝0（B）f（）＝f（x）n（C）f（）＝f（x）－f（y）（D）f（x）＝nf（x）（n∈N）3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，则当x＞0时，f（x）的取值范围是（）（A）（1，＋∞）（B）（－∞，1）（C）（0，1）（D）（－1，＋∞）4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有f（x1－x2）＝，则f（x）为（）（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，则函数f（x）是（）（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数参考答案1．A2．B3．C4．A5．B23.你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？112（l·，RS扇l·R·R）(和三角形的面积公式很相似，可以比22较记忆.要知道圆锥展开图面积的求法)R1弧度OR精品学习资料可选择pdf第23页，共23页-----------------------