高中数学导数的应用 教案 6页

导数的应用典型例题分析：一、已知函数为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）求函数在区间[0，1]上的最大值.解：（Ⅰ）（i）当a=0时，令若上单调递增；若上单调递减.（ii）当a<0时，令若上单调递减；若上单调递增；若上单调递减.（Ⅱ）（i）当a=0时，在区间[0，1]上的最大值是（ii）当时，在区间[0，1]上的最大值是.（iii）当时，在区间[0，1]上的最大值是二、设曲线≥0）在点M（t,e--t）处的切线与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t）.（Ⅰ）求切线的方程；（Ⅱ）求S（t）的最大值.解：（Ⅰ）因为所以切线的斜率为故切线的方程为即.（Ⅱ）令y=0得x=t+1,又令x=0得\n所以S（t）==从而∵当（0，1）时，>0,当（1,+∞）时,<0,所以S(t)的最大值为S(1)=三、设函数其中常数m为整数.(1)当m为何值时,(2)定理:若函数g(x)在[a,b]上连续,且g(a)与g(b)异号,则至少存在一点x0∈(a,b),使g(x0)=0.试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)=0,在[e-ｍ-m,e2ｍ-m]内有两个实根.（I）解：函数f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)连续，且当x∈(-m,1-m)时,f’（x）<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m)当x∈(1-m,+∞)时,f’（x）>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m)根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且对x∈(-m,+∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m故当整数m≤1时，f(x)≥1-m≥0(II)证明：由（I）知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0,函数f(x)=x-ln(x+m),在上为连续减函数.由所给定理知，存在唯一的而当整数m>1时，\n类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在上为连续增函数且f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的故当m>1时，方程f(x)=0在内有两个实根。O-２ＢＣxAy四、如图，在△ＡＢＣ中，Ｂ（０，２）　Ｃ（０，－２）且．（Ⅰ）求△ＡＢＣ的顶点Ａ的轨迹c的方程．（Ⅱ）设Ｐ（）为曲线c上一点，求以Ｐ为切点的曲线c的切线的方程（写出求解过程）.（Ⅲ）设Ｍ（x,），Ｎ（x-1,）分别为c与上的点，求向量在向量上的投影的最小值．解：（１）由正弦定理得：，所以所求轨迹为以点Ｂ，Ｃ为焦点的上半支双曲线（除顶点外），方程为（２），，切线，．（３），在上的投影为Ｙ＝＝，，令，\n时，代人得不在曲线C上，故舍去，所以．补充作业：1.当时，证明不等式：证明：令，，为减函数，而，，即令，，为增函数，而，则有，，原命题得证。2.已知i，m，n是正整数，且，证明：证明：且i，m，n为正整数,设则由知，，,f(x)是减函数又,即3．已知函数.（1）求函数的反函数的导数（2）假设对任意成立，求实数m的取值范围.解：（1）；\n（2）令：所以都是增函数.因此当时，的最大值为的最小值为而不等式②成立当且仅当即，于是得解法二：由得设于是原不等式对于恒成立等价于③…7分由，注意到故有，从而可均在上单调递增，因此不等式③成立当且仅当即4．（选做）已知函数f(x)=ln(1+x)－x，g(x)=xlnx.（Ⅰ）求函数f(x)的最大值；\n（Ⅱ）设0