高中数学片段教学教案 16页

高中数学片段教学教案【篇一：教学片断与案例】教学片断与案例1、综合法和分析法的一个教学片断师：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的．观察、思考下列证明过程各有什么特点？它们是以怎样的形式使结论获证的？引例1已知a,b0,求证a(b+c)+b(c+a)≥4abc证明：因为b+c≥2bc,a0，所以a(b+c)≥2abc，因为c+a≥2ac,b0，所以b(c+a)≥2abc.因此,a(b+c)+b(c+a)≥4abc.引例2已知a,b∈r，求证：证明：要证+22222a+b≥2a+b≥a+b≥，2只需证a+b-0，只需证2≥0\n因为2≥0显然成立，所以原不等式成立．a,b,c0引例3已知a+b+c0,ab+bc+ca0,abc0.求证：证：设a0，∵abc0，∴bc0又由a+b+c0，则b+c=-a0∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc0，与题设矛盾又若a=0，则与abc0矛盾，∴必有a0.同理可证：b0,c0设计意图：通过三种证明方法案例的展示，引导学生观察、比较、辨析、思考三种证明方法的形式、特点，为归纳、抽象、概括三种证明方法提供感性认识，也为理解不同证明方法的表述形式打下基础．引例1、2的方法是本课要学习的重点内容，引例3的方法（反证法）是下一课的学习任务，在此给出引例3有两方面的作用，一方面，让学生对不同方法有一个整体认识与了解，另一方面，为下一课的学习作好铺垫．对三个引例，引导学生分两个层次比较、归纳．第一层次的比较，是否直接针对结论进行证明？得出直接证明与间接证明；第二层次的比较，是引例1、2之间，证明的起点及逻辑推理形式，由此可引导学生归纳、概括出本课重点学习的两种方法：综合法与分析法．2、归纳探索的一个教学片断\n问题情境：（河内塔游戏）传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则,把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡”的作用.①每次只能移动1个圆环；②较大的圆环不能放在较小的圆环上面.如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上，那么世界末日就来临了.请你推测：把64个圆环从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?启发性思考：首先，你是否理解了这个问题？是否理解清楚了圆环的移动规则？是否明白了问题要求什么？然后，你打算怎样考虑这个问题？能否把问题化简单、化容易一些？怎样的情况会更简单、更容易呢？（为归纳作准备，逐步形成归纳意识）【评析】这一系列的启发性思考问题，在于引导学生在面对一个新问题或较难的问题时，首先要准确理解好问题，然后学会寻找问题的切入点．生成预设：片数较少的情况会更简单、更容易，先考虑片数较少的情况，看看1片、2片、3片、…，等情况，再找找方法规律或联系，考虑解决更难、更一般的情况.操作实验：（1）可先让学生进行适当的思想实验，想明白1片、2片、3片时的情况，并引进符号an表示n片圆环的移动次数；\n（2）再用课前备好的四个大小不一的圆环，让两位学生对2个、3个、4个圆环的情况分别进行实际操作试验，其他学生注意观察并思考规律．生成预设：（1）表面的试验观察结果可能只是a1=1,a2=3,a3=7,a4=15,，进而发现规律1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1，…，猜想a64=264-1．（2）更进一步的试验、观察可能发现：a1=1,a2=1+2,a3=1+2+4,a4=1+2+4+8,．即：对于两个圆环，底下一个只要移动1次，上面一个则要移动2次；对于3个圆环，由下到上，第1个只要移动1次，第2个需要移动2次，第3个则要移动4次；对于4个圆环的情况可作同样解释．进而猜想a64=1+2+22++263=264-1．（3）更深入的试验、观察、思考可能发现更本质的移动规律，在理性的层面上解决问题：移动n个圆环时，只要化归为移动n-1个圆环即可，第一步，先把上面的n-1个圆环按要求移到2号针上，需移an-1次；第二步，把最底下的第n个圆环移到3号针上，需要移1次；第三步，再把2号针的n-1个圆环移到3号针，需要再移an-1次，从而得an=2an-1+1，这样就可依次求得各种圆环数的移动次数，或转化为等比数列an+1=2(an-1+1)，结合a1=1，求得通项an+1=2?2n-1，即an=2n-1．\n【评析】移动3个、4个圆环的情况，学生可能会有一些困难．要根据学生的实际情况，给予适当的点拨、提示，或质疑启发．（1）缺乏思维指导的学生可能只是盲目地、孤立地试验各种情况，这样，要试验求出a3、a4就更困难，而求出a3、a4对于归纳猜想又是关键所在．（2）预设（2）体现了更进步的观察、归纳，是注意到试验中每个圆环的移动次数规律性，从这样的角度，可能更有利于得出a3、a4．（3）预设（3）则体现了更深的理性思考，这要从联系与转化的角度进行观察、思考．让学生进行实际的试验操作，给学生以感性体验，并通过动手操作，促进思维领悟，这也体现了一种思维训练，在这过程中，也能体现学生不同的思维层次与多种思维品质，对激发学生的探究兴趣也可能有积极的作用．另外，从省时的角度，也可考虑运用多媒体课件进行移动圆环的演示实验，并引导学生进行观察、思考，这种技术手段同样能产生较好的直观效果，也有利于学生的观察发现，但这种观察有一定的被动性．在教学中，如何挖掘不同层次的学生思维潜能，让学生感受不同角度、不同层次的观察、思考，归纳、概括，是值得我们教师下功夫的地方，相信这对学生的思维训练是大有好处的．3、案例\n案例1：头上戴的帽子的颜色（华罗庚的例子）有位老师，想辨别他的3个学生谁更聪明．他采用如下的方法：事先准备好3顶白帽子，2顶黑帽子，让他们看到，然后，叫他们闭上眼睛，分别给戴上帽子，藏起剩下的2顶帽子，最后，叫他们睁开眼，看着别人的帽子，说出自己所戴帽子的颜色．3个学生互相看了看，都踌躇了一会，并异口同声地说出自己戴的是白帽子。聪明的你，想想看，他们是怎样推算出来的呢？他们怎样能够从别人头上帽子的颜色，正确地推断出自己头上帽子的颜色的呢？“为了解决上面的伺题，我们先考虑“2个人，1顶黑帽，2顶白帽”问题．因为，黑帽只有1顶，我戴了，对方立刻会说自己戴的是白帽．但他踌躇了一会，可见我戴的是白帽．这样，“3人2顶黑帽，3顶白帽”的问题也就容易解决了．假设我戴的是黑帽子，则他们2人就变成“2人1顶黑帽，2顶白帽”问题，他们可以立刻回答出来，但他们都踌躇了一会，这就说明，我戴的是白帽子，3人经过同样的思考，于是，都推出自己戴的是白帽子．看到这里。同学们可能会拍手称妙吧．后来，华罗庚还将原来的问题复杂化，“n个人，n-1顶黑帽子，若干（不少于n）顶白帽子”的问题怎样解决呢？运用同样的方法，便可迎刃而解．他并告诫我们：复杂的问题要善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窃．简化问题：有位老师想辨别他的二个学生谁更聪明.\n他采用如下的方法：事先准备好两顶白帽子，一顶黑帽子，让学生们看到，然后让他们闭上眼睛.老师给他们戴上帽子，并把剩下的那顶帽子藏起来.最后让学生睁开眼睛，看着对方的帽子，说出自己所戴帽子的颜色.两个学生互相望了望，犹豫了一小会儿，然后异口同声地说：“我们戴的是白帽子”.聪明的各位，想想看，他们是怎么知道的？这里的思维方式就是推理.案例2：探索活动是如何进行的？（华罗庚的例子）面对着一个装有不明物的袋子，观察者问自己，这袋子里装的是什么？于是探索活动开始了。从一个袋子里摸出的第一个是红玻璃球，第二个是红玻璃球，甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候，我们立刻会出现一种猜想：“是不是这个袋里的东西全部都是红玻璃球？”但是，当我们有一次摸出一个白玻璃球的时候，这个猜想失败了；这时，我们会出现另一种猜想：“是不是袋里的东西全都是玻璃球？”但是，当有一次摸出来的是一个木球的时候，这个猜想又失败了；那时，我们又会出现第三个猜想：“是不是袋里的东西都是球？”这个猜想对不对，还必须继续加以检验，要把袋里的东西全部摸出来，才能见个分晓。袋子里的东西是有限的，迟早总可以把它摸完，由此可以得到一个肯定的结论，但是，当东西是无穷的时候，那怎么办？\n如果我们有这样的一个保证：“当你这一次摸出红玻璃球的时候，下一次摸出的东西，也一定是红玻璃球”，那么，在这样的保证之下，就不必费力去一个一个地摸了。只要第一次摸出来的确实是红玻璃球，就可以不再检查地作出正确的结论：“袋里的东西全部是红玻璃球”。华罗庚举的这个例子，是对简单枚举归纳推理结论性质的一个通俗说明。人们应用简单枚举归纳推理，当然可以从为数不多的事例中推导出普遍的规律性来，然而这还是一个“猜想”。这种猜想对不对，还必须进一步加以验证。因为对于不完全归纳推理来说，结论所断定的范围超过了前提所断定的范围，所以，它的结论就不具有必然性，它可能真，也可能假。从一个袋子里摸球，连续摸了五次，摸的都是红玻璃球，这时候，我们可以通过简单枚举归纳推理得出结论：“这个袋子里装的都是红玻璃球。”但是，你在得出这个结论时，必须清醒地认识到这个结论是不可靠的。正如这个例子所表明的，你第六次摸出的，却是白玻璃球了，这就把你的这个结论推翻了。因此，当你摸了六个球时，虽然可以得出“这个袋子里装的都是玻璃球”的结论；摸第七个球时，可以得出“这个袋子里装的都是球”的结论，但必须明白，这些结论同样都是或然的。总而言之，我们在进行简单枚举归纳推理时，必须充分估计到其结论的或然性。案例3：我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油；\n案例4：三角形的内角和为，四边形的内角和为，五边形的内角和为，……，所以边形的内角和为；【篇二：人教版高中数学《组合》全国一等奖教学设计】组合教学设计（第一课时）一、教材分析本节课的教学内容是选修2-3（人教a版）1.2.2《组合》第一课时．本节内容是两个计数原理及排列知识的延续，也是后续学习二项式定理，研究二项式系数性质及求等可能事件概率的基础，因此本节课在整个章节中起了承上启下的重要作用。本节课主要是借助学生身边的例子，类比排列的知识探究组合的定义、组合数的定义、组合数计算公式及组合数的性质，并从具体情境中体会排列与组合的区别与联系。通过对组合教学的探究，让学生体会类比，从特殊到一般等重要数学思想的应用以及数学来源于生活又服务于生活的课程理念。二、学情分析\n从学生的现有知识水平看，在学习本节前，学生已学习了两个基本计数原理、排列。绝大多数学生能正确运用两个计数原理，能正确理解排列、排列数的概念，能比较熟练地应用排列数公式进行计算。还能遵循先特殊后一般、先取后排、先分类后分步的原则，解决典型的排列问题。因此在本节课教学要借助这些已有的知识，通过观察、分析、类比、归纳，帮助学生理解组合的概念；从能力的角度看，学生已经具备了一定的分析问题的能力、思考的能力、探究的能力、计算的能力、数学表达的能力，教学中要借助学生已有的能力，提供实际问题情境，引导学生进行分析，向学生提供合适的探究材料，引发学生的主动探究，借助小组讨论、合作交流，全班展示等活动培养学生的自主学习、合作学习及数学表达能力。三、设计思想《组合》是继排列后的又一特殊的计数模型，是计数问题的延续与拓展。本节课我的设计理念是：以问题为载体，以学生为主体，创设有效问题情境，努力营造开放、民主、和谐的学习氛围，充分调动学生的兴趣与积极性。让学生在经历“自主、探究、合作”的过程中，体验从生活中发现数学，并通过观察、分析、对比、归纳、猜想、证明、展示、交流等一系列思维活动，在教师的适当引导、组织下主动地建构数学知识的过程。同时注重渗透“特殊与一般”、“分类讨论”、“转化与化归”等重要数学思想及类比的学习方法，让学生掌握知识的同时提升数学素养与思维品质，真正做到“授之以鱼不如授之以渔”。四、教学目标1、知识与技能:正确理解组合、组合数的概念；会利用排列与组合的关系推导组合数公式；初步掌握组合数的性质；2、过程与方法:\n借助学生生活中熟悉的例子创设问题情境，学生通过对实际问题的探究、思考、对比、分析，初步形成组合、组合数的概念；用类比、归纳的思想得出组合、组合数的概念，并深刻体会组合、排列的区别与联系；通过小组讨论、交流合作、成果展示等活动，才用类比、特殊到一般的思想探究推导组合数公式并能进行简单应用；从组合数的计算中观察、归纳、猜想得到组合数的性质并进行简单的应用。3、情感态度与价值观:学会用联系的观点看问题，培养良好的个性品质及团队合作意识；让学生充分感受到数学来源于生活又服务于生活，提高应用数学的意识。五、教学重点：组合的概念、组合数公式、组合数的性质六、教学难点：组合数公式的推导.七、教学方法：启发、引导、自主、合作、探究【篇三：2.2.2对数函数及其性质片段教学教案】2.2.2对数函数及其性质片段教学（第一课时）教案一、教学目标1、知识技能（2）掌握对数函数的图像和性质，并进行简单的应用。2、过程与方法（1）形成数学交流能力和与人合作意识；（2）用联系的观点提出问题、分析问题、解决问题；（3）从对数函数的学习中渗透数形结合、类比归纳、分类讨论的数学思想。3、情感、态度与价值观\n（1）类比指数函数通过图像研究对数函数的图象和性质，体会知识之间的有机联系，激发学习兴趣.（2）在教学过程中，对对数函数有关性质的研究，形成观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时形成倾听、接受别人意见的优良品质.二、教学重难点重点：对数函数的图象和性质。难点：对数函数性质。三、教学过程教学环节教师活动学生行为教学前准备1、复习指数函数的图像与性质（见附录），并做成表格放在ppt上；2、复习指数与对数的互化：；\n3、通过互化引出对数函数的概念：一般而言，函数叫对数函数，其中是自变量，函数的定义域.；4、教师引导学生从具体到一般做出对数函数图像。注：片段教学是在学生已经掌握了课前准备的内容基础上进行的，故课前准备的内容不会在课堂上操作。无对数函数的图像与性质活动1：在课前准备的内容的基础上，通过联系对数函数的概念是由指数函数化过来的，以及可以通过图像来研究指数函数的性质引导学生探究对数函数性质：图象性质定义域：值域：过点在上是增函数在上是减函数\n1、能够自然说出对数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和定点（0,1）；2、通过老师引导能够发现函数图像与x=1的关系。（时间为5钟）对数函数性质的应用活动2：通过让学生比较大小，学会应用对数函数的性质活动2.3：1、学生在练习本先计算；2、老师讲评，规范步骤；3、通过认识逐步掌握数学中分类讨论的思想。归纳小结活动3：教师课堂小结:引导学生从知识、方法、思想三个方面进行总结然后归纳：\n1．知识：对数函数的图象和性质。（再次重复，并与指数函数比较以单调性为例）2．方法：（1）类比指数函数通过图像研究函数性质；（2）同底对数比较大小考察对应函数的单调性。3．思想：（1）数形结合的数学思想；（2）分类讨论的数学思想。通过老师的引导对本节课进行小结（两分钟）课后作业1．阅读教材第70～72页；2．课本习题2.2a第2、7题3、做对数函数与指数函数的对照表，归纳它们的异同4．探究底数是如何影响函数的？学生课后自主完成作业（1分钟）四、板书设计五、附录指数函数图像与性质图象性\n质定义域：值域：过点在上是增函数在上是减函数