高中数学导数经典题教案 19页

高中数学导数经典考题1.设，函数．（Ⅰ）若是函数的极值点，求实数的值；（Ⅱ）若函数在上是单调减函数，求实数的取值范围．解：（Ⅰ）．因为是函数的极值点，所以，即，所以．经检验，当时，是函数的极值点．即．…………………6分（Ⅱ）由题设，，又，所以，，，这等价于，不等式对恒成立．令（），则，所以在区间上是减函数，所以的最小值为．所以．即实数的取值范围为．…………………13分3.已知函数.（Ⅰ）若函数有三个零点，且，，求函数的单调区间；（Ⅱ）若，，试问：导函数在区间(0，2)内是否有零点，并说明理由.\n（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若导函数的两个零点之间的距离不小于，求的取值范围.【解】（I）因为，又，则（1分）因为x1，x3是方程的两根，则，，.即（3分）从而：，所以.令解得：（4分）故的单调递减区间是（1，4），单调递增区间是。（6分）（Ⅱ）因为，，所以，即.因为，所以，即.（7分）于是，，.（8分）（1）当时，因为，则在区间内至少有一个零点.（9分）（2）当时，因为，则在区间（1，2）内至少有一零点.故导函数在区间(0，2)内至少有一个零点.（10分）（Ⅲ）设m，n是导函数的两个零点，则，.所以.由已知，，则，即.所以，即或.（12分）又，，所以，即.\n因为，所以.综上分析，的取值范围是.（14分）4.(2010届沈阳市四校协作体高三联考)已知函数,且.（I）讨论的单调性,并求出极值点.（II）若（I）中的.求在上的最小值.解：（I）当时,在上单调递减,在上单调递增,――――――――――――――――――――――――――――――――(3分)当时,在上单调递减,在上单调递增.――(5分)极值点―――――――――――――――――――――――――――(6分)（II）――――――――――――――――――――――――――(12分)7.(山东省威海市2010届高三上学期教学质量检测)已知函数．（Ⅰ）求函数的单调减区间和极值;（Ⅱ）当时，若恒成立，求实数的取值范围．解：（Ⅰ）函数的定义域为，2分，令，解得，列表－－0+单调递减单调递减极小值单调递增由表得函数的单调减区间为，;极小值为＝，无极大值.6分（Ⅱ）因为，所以\n在两边取自然对数，，即，12分由（1）知的最小值为，所以只需，即.14分11.（台州中学2009-2010学年第一学期期中试题）已知，函数.（1）设曲线在点处的切线为，若与圆相切，求的值；（2）求函数的单调区间；（3）求函数在[0，1]上的最小值。解：（1）依题意有，（1分）过点的直线斜率为，所以过点的直线方程为（2分）又已知圆的圆心为，半径为1∴，解得（3分）（2）当时，（5分）令，解得，令，解得所以的增区间为，减区间是（7分）（3）当，即时，在[0，1]上是减函数所以的最小值为（9分）当即时在上是增函数，在是减函数所以需要比较和两个值的大小（11分）\n因为，所以∴当时最小值为，当时，最小值为（12分）当，即时，在[0，1]上是增函数所以最小值为.综上，当时，为最小值为当时，的最小值为（14分）2.（广东省东华高级中学2010届高三上学期摸底考试）1.已知在区间上是增函数（I）求实数的取值范围；（II）记实数的取值范围为集合A，且设关于的方程的两个非零实根为。①求的最大值；②试问：是否存在实数m，使得不等式对及恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．1.解：（1）……………………………………………1分在上是增函数即，在恒成立…………①…………3分设，则由①得解得所以，的取值范围为………………………………………………………6分（2）由（1）可知\n由即得是方程的两个非零实根，，又由……………………………9分于是要使对及恒成立即即对恒成立………②………11分设，则由②得解得或故存在实数满足题设条件…………………………14分7（江西师大附中、临川一中、南昌三中2010届高三联考文科）1．已知函数（1）试求函数的单调递增区间；（2）若函数在处有极值，且图象与直线有三个公共点，求的取值范围.1.（1）　　　　　…………（1分）当时，　　　　…………（2分）当时，，方程有不相等的两根为…………（3分）当时，或　　……（4分）当时，　　…………（5分）综上：当时，在上递增当时，在、上递增当时，在上递增　　……（6分）（2）∵在处有极值，∴，∴　　　　…………（7分）\n令∴　　　　　…………（8分）∴在处有极大值，在处有极小值　　　　…………（9分）要使图象与有三个公共点则　　　　　…………（11分），即的取值范围为　　　　…………（12分）13.（吉林一中高三第四次“教与学”质量检测）设函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.（Ⅰ）,曲线在点处的切线方程为.…………3分（Ⅱ）由，得，若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，………6分若，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，…………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，\n若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，综上可知，函数内单调递增时，·的取值范围是.…………12分2.(长沙市一中2010届高三第五次月考试卷)已知函数（1）讨论函数f(x)的极值情况；（2）设g(x)=ln(x+1)，当x1>x2>0时，试比较f(x1–x2)与g(x1–x2)及g(x1)–g(x2)三者的大小；并说明理由．【解析】（1）当x>0时，f(x)=ex–1在(0，+∞)单调递增，且f(x)>0；当x≤0时，．①若m=0，f′(x)=x2≥0,f(x)=在(–∞，0]上单调递增，且f(x)=．又f(0)=0，∴f(x)在R上是增函数，无极植；②若m<0，f′(x)=x(x+2m)>0，则f(x)=在(–∞，0)单调递增，同①可知f(x)在R上也是增函数，无极值；………………………………………………………………4分③若m>0，f(x)在(–∞，–2m]上单调递增，在(–2m，0)单调递减，又f(x)在(0,+∞)上递增，故f(x)有极小值f(0)=0，f(x)有极大值．6分（2）当x>0时，先比较ex–1与ln(x+1)的大小，设h(x)=ex–1–ln(x+1)(x>0)h′(x)=恒成立∴h(x)在(0，+∞)是增函数，h(x)>h(0)=0\n∴ex–1–ln(x+1)>0即ex–1>ln(x+1)也就是f(x)>g(x)，成立．故当x1–x2>0时，f(x1–x2)>g(x1–x2)………………………………………………10分再比较与g(x1)–g(x2)=ln(x1+1)–ln(x2+1)的大小．==∴g(x1–x2)>g(x1)–g(x2)∴f(x1–x2)>g(x1–x2)>g(x1)–g(x2)．………………………………………………13分3.(山东省东营市胜利一中)已知函数、为实数）有极值，且在处的切线与直线平行.（1）求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得函数的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；（3）设令求证：.【解析】，…………①…………2分有极值，故方程有两个不等实根②由①、②可得，故实数a的取值范围是…………4分（2）存在…………5分，\n+0－0+极大值极小值，…………8分的极小值为1…………9分（3），，……10分证明：当n=1时，左边=0，右边=0，原式成立…………11分假设当n=k时结论成立，即，当n=k+1时，左边当且仅当x=1时等号成立，即当时原式也成立…………13分综上当成立…………14分4.（浙江省2010届第一次调研卷）已知函数().(1)当a=0时,求函数的单调递增区间;\n(2)若函数在区间[0,2]上的最大值为2,求a的取值范围.【解析】(1):当a=0时,f(x)＝x3－4x2＋5x,>0,所以f(x)的单调递增区间为,.…………………(6分)(2)解:一方面由题意,得即;另一方面当时,f(x)=(－2x3＋9x2－12x＋4)a＋x3－4x2＋5x,令g(a)=(－2x3＋9x2－12x＋4)a＋x3－4x2＋5x,则g(a)≤max{g(0),g()}=max{x3－4x2＋5x,(－2x3＋9x2－12x＋4)＋x3－4x2＋5x}=max{x3－4x2＋5x,x2－x＋2},f(x)=g(a)≤max{x3－4x2＋5x,x2－x＋2},又{x3－4x2＋5x}=2,{x2－x＋2}=2,且f(2)＝2,所以当时,f(x)在区间[0,2]上的最大值是2.综上,所求a的取值范围是.…………………(14分)\n10（山东省实验中学）已知函数，（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（2）令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）当时，证明：.【解析】：（1）在上恒成立，令，有得………………………4分得……………………………………………………………………………5分（2）假设存在实数，使（）有最小值3，……………………………………………6分①当时，在上单调递减，，（舍去），②当时，在上单调递减，在上单调递增，，满足条件.③当时，在上单调递减，，（舍去），综上，存在实数，使得当时有最小值3.……………………10分（3）令，由（2）知，.令，，当时，，在上单调递增\n∴即.………14分19.（福州三中2009—2010学年高三第一学期半期考）已知，R，函数的图象经过点．（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值；（Ⅱ）若函数在上为减函数，求实数的取值范围；（Ⅲ）令，R，函数．若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．【解析】（Ⅰ），．……2分则在点出的切线的斜率为=，所以．……4分（Ⅱ）函数在上为减函数，所以在上恒成立，所以在上恒成立．……6分令，则．因为，所以，所以在为增函数，所以，所以．经检验，的取值范围是．……9分（Ⅲ）若对任意，总存在，使得成立，则函数在上的值域是函数在上的值域的子集．对于函数，因为，所以，\n又因为过点，所以，所以，定义域．．令，得，（舍去）．当变化时，与的变化情况如下表：所以，所以的值域为．……12分对于函数．（ⅰ）当时，的最大值为，值域为，所以，即以，解得，所以．（ⅱ）当时，的最大值为，值域为．所以，即，解得或，所以．综上所述，的取值范围是．……14分20.（大连24中2009—2010学年高三上学期期中考试）已知函数（I）若在定义域内的单调性；（II）若的值；（III）若上恒成立，求a的取值范围。【解析】：（I）由题意…………2分\n上是单调递增函数…………4分（II）由（I）可知，（1）若上为增函数，（舍去）………………5分（2）若上为减函数，（舍去）………………6分（3）若综上所述，………………8分（III）…………9分5.(衡阳市八中2010届高三第二次月考数学（理科）设函数＞，(1)求函数的极大值与极小值；(2)若对函数的，总存在相应的，使得\n成立，求实数a的取值范围.解答(1)定义域为R-3—0+0—↘极小值↗极大值↘令，且∴：极大值为，极小值为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(2)依题意，只需在区间上有∴在↑，↓取小值或又∴当＜＜时，当时，又在↓∴式即为＜＜或w.w.w.k.s.5.u.c.o.m＜＜解的（无解）∴6.(辽宁省东北育才学校2010届高三第一次模拟（数学理）\n已知函数（Ⅰ）为定义域上的单调函数，求实数的取值范围；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）当时，求函数的最大值；（Ⅲ）当时，且，证明：.解答：（1），∴因为对，有∴不存在实数使，对恒成立………2分由恒成立，∴，而，所以经检验，当时，对恒成立。∴当时，为定义域上的单调增函数………4分（2）当时，由，得当时，，当时，∴在时取得最大值，∴此时函数的最大值为………7分（3）由（2）得，对恒成立，当且仅当时取等号当时，，∵，∴∴w.w.w.k.s.5.u.c.o.m同理可得，\n∴………12分法二：当时（由待证命题的结构进行猜想，辅助函数，求差得之），在上递增令在上总有，即在上递增当时，即令由（2）它在上递减∴即∵∴，综上成立………12分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m其中9.(广东省广州市2010届第二次调研数学试题（理科）.设函数有两个极值点，且（I）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解答:（I）令，其对称轴为。由题意知是方程\n的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得⑴当时，在内为增函数；⑵当时，在内为减函数；⑶当时，在内为增函数；（II）由（I），设，则⑴当时，在单调递增；⑵当时，，在单调递减。故．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m