高中数学教案教程18 27页

高考考点（一）三角函数的性质1、三和函数的定义域，值域或最值问题；2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇函数（或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等.3、三介函数的周期性；寻求了（处+©型三角函数的周期以及难度较高的含有绝对值的三角函数的周期.（二）三角函数的图象1、基本三角函数图象的变换；2、（处+卩）型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草图的逆用：由给出的一段函数图象求函数解析式；3、三角函数图彖的对称轴或对称中心：寻求或应用；4、利用函数图彖解决应用问题.（三）化归能力以及关于三角函数的认知变换水平.知识要点（一）三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性（1）基本函数的奇偶性奇函数：y=sinx,y=tanx；偶函数：y=cosx.（2）了（处+的型三角函数的奇他性（i）g（x）=°sin（处+卩）（XGR）g（x）为偶函数Og（-R=g（x）（xeR）(p(x)-j4cos(gx+朝二Hex（宓+©）为奇函数Oj4sin（^+Q=j4sin（-（2）x+^（xeR）Osin宓cos®=0（xeR）由此得2.同理，W=Asin(<2%4-eA)力奇函数Osin0=Oo貯=尤兀(疋已Z)(ii)勿X)==j4cos(宓+0)(xe7?)cos0,且『i+Z函数的值域为山血］.(5)注意到所给函数为偶函数,又当心时,如sinx|+sinx..■此时0兰*2同理，当"0时，亦有°刃*2....所求函数的值域为阴.(6)令心曲刃+cosxl+sin42x兀则易见f(x)为偶函数，且27V・••㊁是f(X)的一个正周期.①只需求出f(x)在一个周期上的取值范围.7T又注意到2当xe［0,㊁］时，/CO二sinx+cosx+sin"2x・・・x=N为f(x)图象的一条对称轴②7F・・.只需求出f(X)在［0,4］上的最大值.7T而在［0,4］上,sinx+cosx=递增.©sin42x=(sin2x)4亦递增④7T•••山③④得f(x)在［0,4］上单调递增.于是l+l①、②、⑤得所求函数的值域为［1」+更］.点评：解(1)(2)运用的是基木化归方法；解(3)运用的是求解关于sinx+cosx与sinxcosx的函数值域的特定方法；解(4)借助平方转化；解(5)(6)则是利用函数性质化繁为简，化暗为明•这一点在解(6)时表现得淋漓尽致.例2、求下列函数的周期:尹=2sin彳兀+4sinxcosx+3cos2x・42y=sinx+cosx(1)67Tzv=sinx+2sinx(4)z为=sinxcosx(5)1\n分析：与求值域的情形相似，求三角函数的周期，首选是将所给函数化为月$垃(处+朝+k的形式，而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数,卜，设法转化为分段函数來处理.在不能利用已有认知的情况y=(1-cos2x)4-2sin2x-I-3”+学対)解：(1)八(2sin2x4-—cos2x)-1-—22卫丄sin(2x+(p)4--(其中辅助角(p=arctan丄)224・••所求最小正周期2y=((2)l-cos2x~~2l+cos2x~~2=44l+cos4x2~1”7-cos4x+—88T=-•••所求周期2•(3)尹=sin7T•兀sin2x-(sin2xcos—一cos2xsin—)66(1一务"忑sin(2x+妙其中卩为辅助角——sin(2x4-(J2)•注意到2的最小正周期为兀7T所求函数的周期为㊁(4)3sinx,y=<-sinx,sinx>0;sinx<0.注意到3sinx及-sinx的周期为2兀,又sinxNO(或sinx<0)的解区间重复出现的最小正周期为2兀••••所求函数的周期为2兀•\n(5)sinxcosx,7=-smxcosx,sinx>0;sinx<0.-sin2x?sinx>0;2-—sin2x,sinx<0.I2注意到sin2x的故小止周期丫\_兀,又sinxNO(或sinx<0)的解区间重复出现的最\n小止周期耳山,这里易的瑕小公倍数为2兀.・••所求函数的周期T=2兀・点评：对于(5),令f(x)=|sinx|cosx,则山％+2兀)二/(兀)知,2开是f&)的一个正周期•①f(x4-71)=|sin(xH-71)|cos(x4-7t)=-|sinxcosx(x)・・・开不是f(x)的最小正周期.②于是由①②知，f(X)的最小正周期为2兀.在一般情况下，探求上述一类分段函数的周期，仅考虑各段函数的最小正周期的最小公倍数是不够的，还要考虑各分支中的条件区间重复出现的最小正周期.双方结合，方可能获得正确结果.冲、sinx,sin0;/(xj=sinx=5・c请人家研究的最小正周期，并总结fi己的有关感悟与经验.例3、已知函数的部分图象，(1)求血少的值；(2)求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标.解：(1)令严皿(宓+朝，则由题意得f(0)=]02如歼17Tf(x)=2sin(宓+—)6注意到函数图象在所给长度为一个周期的区间的右端点横坐标为117F,故逆用“五点作图法”e也+亠2兀得：1267Tcp——・・・所求°=2,6由此解得3=2/(x)=2sin(2x+—)(2)rh(1)得62x+-=k7r+-(keZ)令62解得k7T开心,=-+-(keZ)\n兀二竺+兰(上eZ)2x+-=k7r(keZ)・・・函数f(x)图象的对称轴方程为26；令&解竺-兰伙印212•••函数f(x)图象的対称中心坐标为点评：前事不忘，后事之师•冋顾运用“五点作图法”作出所给三角函数在一个周期内图象的列表、描点过程，便可从屮悟出所给函数图象上的五个关键点横坐标满足的等式：c7T3打宓］+0=0;wx2+0=—;+(p=tv,+0=——;22cox5+cp=2jl例4.^=logicos(^-2x)(1)函数5的单调递增区间为f(x)=2sin(x+巴~)在区间[―,a](2)若函数1°2上为单调函数，则a的最大值为0兀^=5sin(3x--)(3)函数°的图彖的对称中心是o函数.2x.2x开、y=sincos(—+—)3367的图象中相邻两条对称轴的距离为(4)把函数的图象向左平移m(in>0)个单位，所得的图象关于y轴对称，则m的最小正值为，/(x)=sin(处+⑵(e>0,阀<_)(5)对于函数2,给出四个论断：\n7T①它的图象关于立线x=12对称;7T②它的图象关于点(三，0)对称;兀③它的周期为兀：④它在区间(-6,0)上单调递增.以其屮的两个论断作为条件，余下的两个论断作为结论，写出你认为正确的命题，它是。分析：=log1sin(-2x)(1)这里2的递增区间0血(一为的正号递减区间Ou=sin2区递增且sin2x<0\n7Tk7T-—0)个单位，所得图象的y=2cos(x+—4-w).函数解析式为6Ocos(x+—4-w)=cos(-x+兰+珑)则由题设知f(x)为偶函数°f(—x)=f(x)66^7"TVO(x血)土(一兀m)=2k?r(keZ)<=>x=k?^m=k/c-—(keZ)•:所求m6665tt的最小值为6・(5)为使解题的眉n清晰，首先需要认定哪个论断必须作为条件，哪个论断只能作为结论，哪个论断既可作为条件，又可作为结论；-•燉地，独自决定图象形状的论断必须作为条件，既不能决定形状，也不能确定位置的论断只能作为结论•在这里，③必须作为条件，而④只能作为结论.于是这里只需考察①、③二②、④与②、③二①、④这两种情形.(i)考察①、③亠②、④是否成立.由③得e=2,故/W=sin(2x+0)的最小正周期为2,当时，f(x)取得最大值2.(1)求f(x)的表达式；［仝马(2)在闭区间44上是否存在f(x)图彖的对称轴？如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理rh.分析：出于利用己知条件以及便于考察f(x)的图象的对称轴这两方而的考虑，先将f(X)化为/sin(处+©)+k的形式，这是此类问题的解题的基础.sin®x+—,=7a2+b2Btancp=—,即月则有f(x)=7a2+b7Et+—=k7V+—(keZ)(2)在③屮令62解得x=k+(a解：(i)去Va?+e2Af-=COS0-令J才+肝,J#+g2f(x)=V-A-2+B2sin(cox+◎①山题意得込=2CD3+肝=2As\n—+Bcos—=233A=^3a)=7r5=1又由①知75tancp-——3，注意到这里A>0且B>0,\n13(心)jrf(x)=2sin(7ix+—)则由②得6③211丄1一2359一65门八—乞k+—乞—'侍—兰k.兰—QkGZJz,卩、解不等式4341212④注意到匕已乙)，故由④得k=5.「2123.16[—,—]x=—于是可知，在闭区间°4上有且仅有一条对称轴，这一对称轴的方程为3.点评:对于最值,对称轴和对称中心等问题,f(X)一经化为Hsin(無+的+k的形式，解题便胜券在握.气7F—&2汀,1),0(兰,1)都在函数/(X)=asmx+6cosx+c(a,b,ceR)例6、已知点2的图象上.若定义在非零实数集上的奇函数g(x)在(0,+oo)上是增函数，且g(2)=0.求当g[f(X)]<0且xW[0,2]时，实数a的取值范围.p+<7=1分析：由点A、B都在函数”)乩osx+c的图象上得：,/•b=a,c=l—a..%)wsinx+九宀+(1t)丿心屆诚兀+才)+(1一小••••此时，由g[f(x)]<0且XW[O,扌]解出4的范围，一方面需要利用g(x)的单调性脱去“f”，另一方而又要注意借助换元进行转化：化生为熟，化繁为简•因此，下一步的首要工作是考察并利用g(X)的单调性.f(x)=y/2asin(x+兰)+(1-a)解：由分析得4・・•定义在非零实数集上的奇函数g(X)在(0,4-00)上是增函数，且g(2)=0,①・・・g(x)在(一8,0)上是增函数，且g(_2)=0②・•・山①②知，当x〈-2或0〈x〈2时，g(x)〈0③sin(x+—)=Z,贝0当xG[0,—€[1,]f(x)=>/2asin(x4-—)+(1-a),x€[0,—]<=>乂设42.则42h(t)=at+(1-a),"【IQ.・・・g[f(x)]〈0且xW[0,i]Og[h(t)]<0,口心I，©.・••由③得，当化[1，血]时,h(t)<-2或00),'0<^(1)<2由00Hh(t)<2(1)h(t)>0,'丘门忑］O%A°⑤当a>o时，h(t)在⑴忑］上递增，・••由⑤得,h(l)>0,显然成立；当a<0时，h(t)在⑴血］上递减・・・由⑤得，h(旋)>()O(血-1)a+l>0—CV^+1)0,'"1，旋］得-l0,0<<2tt)i\n的部分图象如图，则（TV7T3B.7VC.7T7FD.7T5兀分析：由图彖得-=3-\^T=842tt7TG=—=—849sin(—+q))=1又f(l)=l,・•・4_7T注意到。'水羽，:®4应选c.（二）、填空题1、（湖北卷）函数1曲朮宀-1的最小止周期与最大值的和为O分析：对于含有绝对值的三角函数的周期或值域，皋木策略是化为分段函数，分段寻求周期或范围，而后综合结论.•]—sin2x-l,sinx>0H21..-—sin2x-1,sinx<02（1）注意到sin2x的最小正周期丫,而sinxN0的解区间重复出现的最小正周期G=2兀，而爲，爲的最小公倍数为2兀，故所求函数的最小正周期为2兀._2（2）由分段函数知，y的最人值为2,于是由（1）（2）知应填2兀N2、（辽宁卷）Q是正实数，设孔={&l/（x）=cos[0（x+&）]>奇函数}若对每个实数a.，6门（恥+1）的元素不超过两个，且有a.使兀门〔恥+1）含2个元素，则G\n的取值范围是0分析:由f（X）=\n7V“订一/r注意到有a使SJI2卫十1丿含有两个元索，・・.相邻两&值之差°①注意到卫+1）的元索不超过两个，・••相I'可的两个&值之差2兀①②"①、②得兀"兰2兀，应填（71,271].点评：对于（1）,在考察了各个分支小三角函数的最小正周期后，还要考察各分支中“不等式的解区间”重复出现的周期，二者结合才能得出正确结论.对于（2）,这里的&决定于f（x）在一个周期图象的左端点横坐标，由此便于认识相邻两个&值之差忘的意义.（三）解答题/to=1、若函数l+cos2x.x,x.-asm_cos(/r_—)4sin(-+x)‘Z的最大值为2,试确定常数a的值.分析：鉴于过去的经验，首先致力于将f（X）化为Esin（处+的+k的形式，而厉便会一路坦途.解:/«=2cos2x4cosx-asm—cos—22a・1—sinx+—cosx=22J7+sin(x4-其中辅助角滿足sin(p=「由已知得H4J1+/：+7=4,解得“±后44■点评：本题看似简单，但考察多种三角公式，亦能体现考牛的基本能力.2、设函数于⑺）二sin（2x+©）（-开<0,0S“)是r上的偶函数，其图象关于点m—,0[0,-](4)对称，且在区间2上是单调函数，求®Q的值.分析：在此类三角函数问题小，已知函数的周期nJ直接确定G的值；已知函数图彖关于某直线(或某点)对称，则只能导出关于⑵或©的可能取值，此时要进一步确定Q或©的值，还盂要其它条件的辅助；而已知函数在某区间上单调的条件，一般只在利用函数图象对称性寻出曲©的可能取值Z后，用它来进行认定或筛选.解：rhf(x)为偶函数得f(-x)=f(x)(xeR)即sin(無+⑵=sin(一僦+ER)Ocos(p-sincox=0(xER)Ocos0=0\n7T00,:.-=2k7r+7r(ke眄令x=0得2而2(keN)山此解得当k=0时,当k=l时,f（x）=cos—在［0上］上是减函数;,此时32此时f仪）=cos2x在［0,兰］上是减函数;CD>3,此时f(x)当k>2吋，的最小正周期T詈今而闭区间［0上］的长度＞丄22故此时f（X）在［0,3上不是单调函数22\n7T・・・所求兀\n©为f(z)的一个极值点，证明：［£(络)『=©2；(2)设1+®(3)设f(x)在(0,+-)内的全部极值点按从小到大的顺序排列为ng...-＜型"=1,2,.....)证明：2分析：注意到正弦函数为f(x)的成员函数之一，试题中又指出f(x)的极值点，故需应用导数研究极值的方法与结论.可见，解(2)(3),均需要从f‘(x)切入.证明：(1)Vf(X)=xsinx(xER)/(x+2fcr)-/(x)=(x+2k7f)sin(x+2kjf)-xsinx=2^71)sinx-xsinx=2A7Tsinx(keZ)(2)(兀)=(xsinsinx+xcosx尽了1(x)=0得sinx+xcosx=0•X显然cosx=0不是①的解，故山①得X=—tanx②•••心为^(X)的极值点兀满足②即有心=_tanxo[F(x。)]=xosinxo=于是sinx0cos2x04-sin2x0tan?坯=2xjl+tan2x0°l+x02(3)设心是八兀)=°的一个正整数根，即兀二~tanX°,则由直线y=x与Hl］线y=-tanx的位置关系知：对每-个可,存在x0e(k7V-—fk7V),使2g(x)=x+tanx在(炊一㊁用羽上是增函数，Mg^o)=^o+tanxo=O,-g(x)(細■—£,©)内与〔心,烷內异号.(伽一彳,如在2又cosx在2cosx内符号不变,/•(x+tanx)cosx=sinx+xcosx="''在乙与在Go，"内异号,・••所有满足/，W=°的"都是f(x)的极值点.\n由题设如，砌，…色，…为方程x=_tanx的全部正根.且7T7Tane（丸兀__卫亓）0十\e（以兀+―少兀+巧⑺eNJ22开3/r、••宀宀h+）③再注意到=_(tan^+]—tan^)=-tan(an+1-an)(l+tan^+1tan^)>0④而tan务+i>O,tan仏>0】十tan^K+1tan务A0・・・由④得M^+1-^)<0⑤71-<兀丁是由③、⑤得，点评：在这里应注意对（2）、（3）中极值点的区别.对丁（2）,心只需满足/'（兀）=°即可；对于（3）中的卬°=123……）不仅要满足广（恋），还需认定广U）在点x=X°左右两边异号.