人教版高中数学（必修2）教案 81页

讲义1：空间几何体一、教学要求：通过实物模型，观察大量的空间图形，认识柱体、锥体、台体、球体及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.二、教学重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括出柱体、锥体、台体、球体的结构特征.三、教学难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括.四、教学过程：（一）、新课导入：1.导入：进入高中，在必修②的第一、二章中，将继续深入研究一些空间几何图形，即学习立体几何，注意学习方法：直观感知、操作确认、思维辩证、度量计算.（二）、讲授新课：1.教学棱柱、棱锥的结构特征：①、讨论：给一个长方体模型，经过上、下两个底面用刀垂直切，得到的几何体有哪些公共特征？把这些几何体用水平力推斜后，仍然有哪些公共特征？②、定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱.→列举生活中的棱柱实例（三棱镜、方砖、六角螺帽）.结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面、对角线.③、分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等.表示：棱柱ABCDE-A’B’C’D’E’④、讨论：埃及金字塔具有什么几何特征？⑤、定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥.结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高.→讨论：棱锥如何分类及表示？⑥、讨论：棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？有什么共同的性质？★\n棱柱：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形★棱锥：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.2.教学圆柱、圆锥的结构特征：①讨论：圆柱、圆锥如何形成？②定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆柱；以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥.→结合图形认识：底面、轴、侧面、母线、高.→表示方法③讨论：棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征？→柱体、锥体.④观察书P2若干图形，找出相应几何体；三、巩固练习：1.已知圆锥的轴截面等腰三角形的腰长为5cm,,面积为12cm,求圆锥的底面半径.2.已知圆柱的底面半径为3cm,,轴截面面积为24cm,求圆柱的母线长.3.正四棱锥的底面积为46,侧面等腰三角形面积为6,求正四棱锥侧棱.（四）、教学棱台与圆台的结构特征：①讨论：用一个平行于底面的平面去截柱体和锥体，所得几何体有何特征？②定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台；用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台.结合图形认识：上下底面、侧面、侧棱（母线）、顶点、高.讨论：棱台的分类及表示？圆台的表示？圆台可如何旋转而得？③讨论：棱台、圆台分别具有一些什么几何性质？★棱台：两底面所在平面互相平行；两底面是对应边互相平行的相似多边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点.★\n圆台：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长线交于一点；母线长都相等.④讨论：棱、圆与柱、锥、台的组合得到6个几何体.棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥有什么关系？（以台体的上底面变化为线索）2．教学球体的结构特征：①定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体，叫球体.结合图形认识：球心、半径、直径.→球的表示.②讨论：球有一些什么几何性质？③讨论：球与圆柱、圆锥、圆台有何关系？（旋转体）棱台与棱柱、棱锥有什么共性？（多面体）3.教学简单组合体的结构特征：①讨论：矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢？②定义：由柱、锥、台、球等几何结构特征组合的几何体叫简单组合体.4.练习：圆锥底面半径为１cm，高为cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.（补充平行线分线段成比例定理）（五）、巩固练习：1.已知长方体的长、宽、高之比为4∶3∶12，对角线长为26cm,则长、宽、高分别为多少？2.棱台的上、下底面积分别是25和81，高为4，求截得这棱台的原棱锥的高3.若棱长均相等的三棱锥叫正四面体，求棱长为a的正四面体的高.★例题：用一个平行于圆锥底面的平面去截这个圆锥，截得的圆台的上、下底面的半径的比是1：4，截去的圆锥的母线长为3厘米，求此圆台的母线之长。●解：考查其截面图，利用平行线的成比例，可得所求为9厘米。★例题2：已知三棱台ABC—A′B′C′的上、下两底均为正三角形，边长分别为3和6，平行于底面的截面将侧棱分为1：2两部分，求截面的面积。（4）★\n圆台的上、下度面半径分别为6和12，平行于底面的截面分高为2：1两部分，求截面的面积。（100π）▲解决台体的平行于底面的截面问题，还台为锥是行之有效的一种方法。讲义2、空间几何体的三视图和直视图一、教学要求：能画出简单几何体的三视图；能识别三视图所表示的空间几何体.掌握斜二测画法；能用斜二测画法画空间几何体的直观图.二、教学重点：画出三视图、识别三视图.三、教学难点：识别三视图所表示的空间几何体.四、教学过程：(一)、新课导入：1.讨论：能否熟练画出上节所学习的几何体？工程师如何制作工程设计图纸？2.引入：从不同角度看庐山，有古诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。”对于我们所学几何体，常用三视图和直观图来画在纸上.三视图：观察者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形；直观图：观察者站在某一点观察几何体，画出的空间几何体的图形.用途：工程建设、机械制造、日常生活.(二)、讲授新课：1.教学中心投影与平行投影：①投影法的提出：物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子。人们将这种自然现象加以的抽象，总结其中的规律，提出了投影的方法。②中心投影：光由一点向外散射形成的投影。其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形.③平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影.分正投影\n、斜投影.→讨论：点、线、三角形在平行投影后的结果.2.教学柱、锥、台、球的三视图：①定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图②讨论：三视图与平面图形的关系？→画出长方体的三视图，并讨论所反应的长、宽、高③结合球、圆柱、圆锥的模型，从正面（自前而后）、侧面（自左而右）、上面（自上而下）三个角度，分别观察，画出观察得出的各种结果.→正视图、侧视图、俯视图.③试画出：棱柱、棱锥、棱台、圆台的三视图.（④讨论：三视图，分别反应物体的哪些关系（上下、左右、前后）？哪些数量（长、宽、高）正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；　俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；　侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。⑤讨论：根据以上的三视图，如何逆向得到几何体的形状.（试变化以上的三视图，说出相应几何体的摆放）3.教学简单组合体的三视图：①画出教材P16图（2）、（3）、(4)的三视图.②从教材P16思考中三视图，说出几何体.4.练习：①画出正四棱锥的三视图.④画出右图所示几何体的三视图.③右图是一个物体的正视图、左视图和俯视图，试描述该物体的形状.(三)复习巩固、\n1.何为三视图？（正视图：自前而后；侧视图：自左而右；俯视图：自上而下）2.定义直观图（表示空间图形的平面图）.观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.把空间图形画在平面内，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形(四)、讲授新课：1.教学水平放置的平面图形的斜二测画法：①讨论：水平放置的平面图形的直观感觉？以六边形为例讨论.②给出斜二测画法规则：建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O’X’,O’Y’,使=450（或1350），它们确定的平面表示水平平面；画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半；擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。③出示例1用斜二测画法画水平放置的正六边形.（师生共练，注意取点、变与不变→小结：画法步骤）④练习：用斜二测画法画水平放置的正五边形.⑤讨论：水平放置的圆如何画？（正等测画法；椭圆模板）2.教学空间图形的斜二测画法：①讨论：如何用斜二测画法画空间图形？②出示例2用斜二测画法画长4cm、宽3cm、高2cm的长方体的直观图.（师生共练，建系→取点→连线，注意变与不变；小结：画法步骤）③出示例3（教材P20）根据三视图，用斜二测画法画它的直观图.\n讨论：几何体的结构特征？基本数据如何反应？师生共练：用斜二测画法画图，注意正确把握图形尺寸大小的关系④讨论：如何由三视图得到直观图？又如何由直观图得到三视图？空间几何体的三视图与直观图有密切联系.三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据三视图可以得到一个精确的空间几何体，得到广泛应用（零件图纸、建筑图纸）.直观图是对空间几何体的整体刻画，根据直观图的结构想象实物的形象.正视图俯视图左视图3.练习：探究P21奖杯的三视图到直观图.(五)、巩固练习：1.练习：P211～5题2.右图是一个几何体的三视图，请作出其直观图.3.画出一个正四棱台的直观图.尺寸：上、下底面边长2cm、4cm;高3cm(六)高考题:●★1．(2007广东·文)已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S■解:由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD;(1)(2)该四棱锥有两个侧面VAD.VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为,另两个侧面VAB.\nVCD也是全等的等腰三角形,AB边上的高为；因此★①正方形②圆锥③三棱台④正四棱锥(2007年山东高考)（3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（D）A．①②B．①③C．①④D．②④讲义3:空间几何体的表面积和体积一、教学要求：了解柱、锥、台的表面积计算公式；能运用柱锥台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.二、教学重点：运用公式解决问题.三、教学难点：理解计算公式的由来.四、教学过程：(一)、复习准备：\n1.讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→正方体、长方体的表面积计算公式？2.讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？→圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？(二)、1.教学表面积计算公式的推导：①讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）②练习：求各面都是边长为10的等边三角形的正四面体S-ABC的表面积.一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.③讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线），S=2，S=2，其中为圆柱底面半径，为母线长。圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为，S=，S=，其中为圆锥底面半径，为母线长。圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，侧面展开图扇环中心角为，S=，S=.④练习：一个圆台，上、下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60°，求圆台的表面积.（变式：求切割之前的圆锥的表面积）2.教学表面积公式的实际应用：①出示例：一圆台形花盆，盘口直径20cm，盘底直径15cm，底部渗水圆孔直径1.5cm，盘壁长15cm..为美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，涂200个这样的花盘要多少油漆？讨论：油漆位置？→如何求花盆外壁表面积？列式→计算→变式训练：内外涂②练习：粉碎机的上料斗是正四棱台性，它的上、下底面边长分别为80mm、440mm，高是200mm,\n计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积.(三)、巩固练习：1.已知底面为正方形，侧棱长均是边长为5的正三角形的四棱锥S-ABCD，求其表面积.2.圆台的上下两个底面半径为10、20,平行于底面的截面把圆台侧面分成的两部分面积之比为1：1，求截面的半径.（变式：r、R；比为p:q）3.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，求这个圆锥的表面积.*4.圆锥的底面半径为2cm，高为4cm，求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值.5.面积为2的菱形，绕其一边旋转一周所得几何体的表面积是多少？(四)、1.教学柱锥台的体积计算公式：①讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？（祖暅(gèng，祖冲之的儿子)原理，教材P34）②根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？→给出柱体体积计算公式：（S为底面面积，h为柱体的高）→③讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系？等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系？④根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公式？→给出锥体的体积计算公式：S为底面面积，h为高）⑤讨论：台体的上底面积S’，下底面积S，高h，由此如何计算切割前的锥体的高？→如何计算台体的体积？⑥给出台体的体积公式：（S，分别上、下底面积，h为高）→（r、R分别为圆台上底、下底半径）⑦比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？\n从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令S’=S和S’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式讨论：侧面积公式是否也正确？圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一？(五)1.教学体积公式计算的运用：①出示例：一堆铁制六角螺帽，共重11.6kg,底面六边形边长12mm，内空直径10mm，高10mm，估算这堆螺帽多少个？（铁的密度7.8g/cm3）讨论：六角螺帽的几何结构特征？→如何求其体积？→利用哪些数量关系求个数？②练习：将若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形容器中，量得水面高度为6cm；若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形容器中，求水面的高度.(六)、巩固练习：1.把三棱锥的高分成三等分，过这些分点且平行于三棱锥底面的平面，把三棱锥分成三部分，求这三部分自上而下的体积之比。2.已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，它的轴截面的面积为4，求圆锥的体积.*3.高为12cm的圆台，它的中截面面积为225πcm2,体积为2800cm3，求它的侧面积。4.仓库一角有谷一堆，呈1/4圆锥形，量得底面弧长2.8m，母线长2.2m，这堆谷多重？720kg/m3(七)、1.教学球的表面积及体积计算公式：①讨论：大小变化的球，其体积、表面积与谁有关？②给出公式：V=；S=4R2.（R为球的半径）→讨论：公式的特点；球面是否可展开为一个平面图形？（证明的基本思想是：“分割→求体积和→求极限→求得结果”，以后的学习中再证明球的公式）③出示例：圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求球的体积与圆柱体积之比；证明球的表面积等于圆柱的侧面积.讨论：圆柱与球的位置关系？（相切）→几何量之间的关系（设球半径R，则…）→师生共练→小结：公式的运用.→变式：球的内切圆柱的体积④\n练习：一个气球的半径扩大2倍，那么它的表面积、体积分别扩大多少倍？2.体积公式的实际应用：①出示例：一种空心钢球的质量是142g，外径是5.0cm，求它的内径.（钢密度7.9g/cm3）讨论：如何求空心钢球的体积？②有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放入一个半径为R的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器中水的深度.BCAD452③探究阿基米德的科学发现：图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球。在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的，球的表面积也是圆柱全面积的.(八)、巩固练习：1.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为6cm，求这个球表面积和体积。2.如果球的体积是V球，它的外切圆柱的体积是V圆柱，外切等边圆锥的体积是V圆锥，求这三个几何体体积之比.3.如图，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积。*4．一个正方体的内切球的体积为V，求正方体的棱长。若球与正方体的各棱相切，则正方体的棱长是多少？5.求正三棱柱的外接圆柱体体积与内切圆柱体积之比.6.已知球的一个截面的面积为9π，且此截面到球心的距离为4,求此球的表面积和体积.\n讲义4：空间的点、线、面之间的位置关系第一课时2.1.1平面一、教学要求：1、理解平面的无限延展性；正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；2、初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化二、教学重点：理解三条公理，能用三种语言分别表示.三、教学难点：理解三条公理.四、教学过程：（一）、复习准备：1.讨论：长方体的8个顶点、12条棱所在直线、6个面之间有和位置关系？（二）、讲授新课：1.教学平面的概念及表示：①平面的概念：平面是无限伸展的；一个平面把空间分成两部分。②平面的画法：画法：通常画平行四边形来表示平面。———水平平面：通常画成锐角成45°，横边等于邻边的两倍。非水平平面：只要画成平行四边形。直立的平面：一组对边为铅垂线。相交的平面：一定要画出交线；遮住部分的线段画虚线或不画。C.练习：画一个平面、相交平面③平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。④点与平面的关系：点A在平面内，记作；点不在平面内，记作.2.教学公理1：①揭示公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。（即直线在平面内，或者平面经过直线）（2）、符号：点A的直线l上，记作：A∈l；点A在直线l外，记作Al；\n直线l在平面α内，记作lα。④用符号语言表示公理1：3.教学公理2：①揭示公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。记写：平面ABC。4.教学公理3：①揭示公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线③符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。④符号语言：三、巩固练习：1.练习：P481～42.根据符号语言画出下列图形：①a∩α＝A，B∈a，但Bα；②a∩b＝A，bα，aα3.过直线l上三点A、B、C分别作三条互相平行的直线a、b、c，讨论四条直线共面？第二课时2.1.2空间直线与直线之间的位置关系一、教学要求：了解空间两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，掌握平行公理，掌握等角定理，掌握两条异面直线所成角的定义及垂直二、教学重点：掌握平行公理与等角定理.三、教学难点：理解异面直线的定义与所成角四、教学过程：（一）、复习准备：1.提问：同一平面上的两条直线位置关系有哪几种？三条公理的内容？2.按符号画出图形：aα，b∩α＝A，Aa二、讲授新课：1.教学两条直线的位置关系：①实例探究→\n定义异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线.→以长方体为例，寻找一些异面直线？→性质：既不平行，又不相交。→画法：以辅助平面衬托：（三种）→讨论：分别在两个平面内的两条直线，是不是异面直线？②讨论：空间两条直线的位置关系：（整理如下）2.教学平行公理：①提出公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行？②出示例：空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且＝＝，求证：EFGH是梯形。注意：什么是空间四边形？（四个顶点不在同一平面上的四边形）；以及：平面几何中的性质，如何在立体几何中使用？3.教学等角定理：①讨论：平面几何中，两角对边分别平行，且方向相同，则两角有何关系？到立体几何中呢？②提出定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两角相等。→试将题改写成数学符号语言题，并画出立体图形。③推广：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。→图形表示→讨论：与点O的位置是否有关？为什么？最简单的取法如何取？→垂直4.小结：空间两直线的位置关系；公理4；等角定理；异面直线的定义、垂直、所成角.三、巩固练习：1.教材P531、2题.\n2.已知空间边边形ABCD各边长与对角线都相等，求异直线AB和CD所成的角的大小.第三课时2.1.3空间直线与平面之间的位置关系&2.1.4平面与平面之间的位置关系一、教学要求：了解直线与平面的三种位置关系，理解直线在平面外的概念，了解平面与平面的两种位置关系.二、教学重点：掌握线面、面面位置关系的图形语言与符号语言.三、教学难点：理解各种位置关系的概念.四、教学过程：（一）、复习准备：1.提问：公理1～4的内是什么？空间两条直线有哪几种位置关系？2.探究：以长方体为例，探求一面对角线与各面的位置关系？生活中直线与平面的位置关系？（二）、讲授新课：1.教学直线与平面的位置关系：①讨论：直线和平面有哪几种位置关系？②定义：直线和平面平行：直线和平面没有公共点。→小结：三种位置关系：直线在平面内、相交、平行；→探究：公共点情况；→定义：直线在平面外：相交或平行的情况。③三种位置关系的图形画法：④三种位置关系的符号表示：\naαa∩α＝Aa∥α（后两个统称为aα）2.教学平面与平面的位置关系：①以长方体为例，探究相关平面之间的位置关系？②讨论得出：相交、平行。→定义：平行：没有公共点；相交：有一条公共直线。→符号表示：α∥β、α∩β＝b→举实例：…③画法：相交：……平行：使两个平行四边形的对应边互相平行④练习：画平行平面；画一条直线和两个平行平面相交；画一个平面和两个平行平面相交⑤探究：A.分别在两平行平面的两条直线有什么位置关系？B.三个平面两两相交，可以有交线多少条？C.三个平面可以将空间分成多少部分？3.小结：线面位置关系；面面位置关系.三、巩固练习：1.三个平面两两相交于三条直线，交线不平行，求证：三条交线交于一点.2.已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG交于点O,求证：B、D、O三点共线.3.求证：空间四边形各边的中点共面.4.作业：P582、3题.\n讲义五：直线、平面平行的判定和性质第一课时2.2.1直线与平面平行的判定一、教学要求：通过学习掌握直线与平面平行的判定定理；掌握转化的思想“线线平行线面平行”.二、教学重点：掌握直线与平面平行的判定定理.三、教学难点：理解直线与平面平行的判定定理.四、教学过程：（一）、复习准备：1、直线与平面有哪几种位置关系？（1）直线与平面平行；（2）直线与平面相交；（3）直线在平面内。2、判断两条直线平行有几种方法？（结合图形）(1)三角形中位线定理；(2)平行四边形的两边；(3)平行公理；(4)成比例线段。（二）、讲授新课：1.教学线面平行的判定定理：①探究:有平面和平面外一条直线a,什么条件可以得到a//？分析:要满足平面内有一条直线和平面外的直线平行。判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.符号语言:思想:线线平行线面平行②练习：Ⅰ、判断对错直线a与平面α不平行，即a与平面α相交．（   ）直线a∥b，直线b平面α，则直线a∥平面α． （   ）直线a∥平面α，直线b平面α，则直线a∥b． （   ）Ⅱ在长方体ABCD-A’B’C’D’中，判断直线与平面的位置关系（解略）2.教学例题：\n①出示例1求证：:空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面.→改写：已知：空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点，求证：EF//平面BCD.→分析思路→学生试板演②出示例2在正方体ABCD-A’B’C’D’中，E为DD’中点，试判断BD’与面AEC的位置关系，并说明理由.→分析思路→师生共同完成→小结方法→变式训练：还可证哪些线面平行③练习：在空间四边形ABCD中,E，F，G，分别是AB，BC，CD的中点，探索可以证得哪些线面平行.3.小结：线面平行判定定理；转化思想（三）、巩固练习：1.探索：如图,已知P为△ABC外一点，点M、N分别为△PAB、△PBC的重心．求证：MN∥平面ABC2．作业：教材P68-3题。第二课时2.2.2平面与平面平行的判定一、教学要求：更进一步理解两个平面平行的概念，掌握两个平面平行的判定定理与应用。二、教学重点：掌握两个平面平行的判定定理与应用.三、教学难点：理解面面平行的判定四、教学过程：（一）、复习准备：1.讨论：两个平面有些什么位置关系？一个三角板如何与桌面平行？2.提问：直线和平面平行的判定定理？符合语言？图形语言？（二）、讲授新课：1.教学两个平面平行的判定定理：①讨论：两个平面平行，其中一个平面内的直线和另一个平面有什么位置关系？一个平面内有两条直线平行于一个平面，这两个平面有什么位置关系？②将讨论的结论用符号语言表示：aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥α，则β∥α。③以长方体模型为例，探究面面平行的情况.\n④提出判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。☆图形语言、文字语言、符号语言；☆思想：线面平行→面面平行.⑤讨论：水准器判断水平平面的方法及其原理。⑥出示例：平行于同一个平面的两个平面互相平行。分析结果→以后待证→结论好处→变问：垂直于同一条直线的两个平面呢？⑦讨论：A.如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面是否平行？B.平面α上有不在同一直线上的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系是怎样的？试证明你的结论。2.教学例题：①出示例：在长方体ABCD-A1B1C1D1,求证：平面AB1D1∥平面C1BD.分析：如何找线线平行→线面平行→面面平行？师生共练，强调证明格式变式：还可找出一些什么面面平行的例子？并说证明思路.小结：证明思想.②练习：已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、CC1的中点。求证：平面BDF//平面B1D1E3.小结：面面平行判定定理；证明思想；常见的研究模型.（三）、巩固练习：1.练习：教材P631、3题.2.已知四棱维P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形点M、N、Q分别在PA、BD、PD上,且PM：MA=BN：ND=PQ：QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.3.四点不共面，分别是，，的重心，求证：平面∥平面．4.作业：P632题；P687、8题.\n第三课时2.2.3直线与平面平行的性质一、教学要求：掌握直线和平面平行的性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行的转化.二、教学重点：掌握线面平行的性质定理.三、教学难点：掌握平行之间的转化.四、教学过程：（一）、复习准备：1．提问：线面平行、面面平行判定定理的符号语言？2.讨论：①直线与一个平面平行，那么这条直线和平面内的直线有何位置关系？②直线a与一个平面平行，在平面内如何作一条直线与直线a平行？二、讲授新课：1.教学线面平行的性质定理：①讨论：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线的位置关系如何？②给出线面性质定理及符号语言：．③讨论性质定理的证明：∵，∴和没有公共点，又∵，∴和没有公共点；caαcaαβb即和都在内，且没有公共点，∴．④讨论：如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线是否在此平面内？如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条与平面有何位置关系？2.教学例题：①出示例1：已知直线a∥直线b，直线a∥平面α,bα，求证：b∥平面α分析：如何作辅助平面？→怎样进行平行的转化？→师生共练→小结：作辅助平面；转化思想“线面平行→线线平行→线线平行→线面平行”②练习：一条直线和两个相交平面平行，求证：它和这两个平面的交线平行。（改写成数学符号语言→试证）\n已知直线∥平面，直线∥平面，平面平面=，求证.③出示例2：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′．要经过木料表面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？所画的线和面AC有什么关系？讨论：存在怎样的线线平行或线面平行？怎样画线？如何证明所画就是所求？变式：如果AD∥BC，BC∥面A′C′，那么，AD和面BC′、面BF、面A′C′都有怎样的位置关系．为什么？3.小结：线面平行的性质定理；转化思想.三、巩固练习：1.如图，b∥c，求证：a∥b∥c（试用文字语言表示→分析思路→学生板演）*2.设平面α、β、γ，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a//b.求证：a∥b∥c.3.作业：P685、6题.第四课时2.2.4平面与平面平行的性质一、教学要求：掌握平面和平面平行的性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线、线面、面面”平行的转化.二、教学重点：掌握面面平行的性质定理.三、教学难点：掌握平行之间的转化.四教学过程：（一）、复习准备：1．提问：线面平行、面面平行判定定理的符号语言？线面平行性质定理的符号语言？2.讨论：两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线有什么关系？（二）、讲授新课：1.教学面面平行性质定理：①\n讨论：两个平面平行，其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？两个平面内的直线有什么位置关系？当第三个平面和两个平行平面都相交，两条交线有什么关系？为什么？②提出性质定理：两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。③用符号语言表示性质定理：④讨论性质定理的证明思路.⑤出示例：求证夹在两个平行平面间的两条平行线的长相等.→首先要将文字语言转化为符号语言和图形语言：已知：，是夹在两个平行平面间的平行线段，求证：.→分析：利用什么定理？（面面平行性质定理）关键是如何得到第三个相交平面2.教学例题：①出示例：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个平面也相交.讨论：如何将文字语言转化为图形语言和符号语言？→如何作辅助平面？→师生共同完成②练习：若，，求证：．（试用文字语言表示→分析思路→学生板演）在平面内取两条相交直线，分别过作平面，使它们分别与平面交于两相交直线，∵，∴，又∵，同理在平面内存在两相交直线，使得，∴，∴3.小结：面面平行的性质定理及其它性质（）；转化思想.（三）、巩固练习：1.两条直线被三个平行平面所截，得到四条线段.求证：这四条线段对应成比例.2.已知是两条异面直线，平面，平面，面，平面，求证：．*3.设是单位正方体的面、面\n的中心，如图：（1）证明：平面；（2）求线段的长。4.课堂作业：书P69B组2、3题。讲义六：直线、平面的垂直的判定和性质第一课时2.3.1直线与平面垂直的判定一、教学要求：掌握直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定义和判定定理证明直线与平面垂直的关系.二、教学重点：直线与平面垂直的判定定理.三、教学难点：判定定理的应用.四、教学过程：（一）、复习准备：1.复习直线与平面平行的判定定理及性质定理.（二）、讲授新课：1.教学直线与平面垂直的定义：②定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面互相垂直，记作.－平面的垂线，－直线的垂面，它们的唯一公共点叫做垂足.（线线垂直线面垂直）2.教学直线与平面垂直的判定：②判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.图形语言→符号语言：若⊥，⊥，∩＝B，Ì，Ì，则⊥\n→辨析（讨论正确性）：A.若一条直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面；B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面；C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线；D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一直线必垂直于这个平面.③练习：如图，在长方体中，与平面垂直的直线有　　　　　　　　　　；与直线垂直的平面有　　　　　　　　.④出示例1：如图，已知，求证：（分析：线面垂直线线垂直线面垂直）⑤练习：P73探究；P74　练习1（线线垂直线面垂直线线垂直）⑥定义：直线与平面所成角；→讨论范围（）；→辨析（P74练习3）.⑦出示例2：在正方体中，求直线和平面所成的角.　（讨论老师引导学生版书）3.小结：直线与平面垂直的定义与判定.（三）、巩固练习：1.平行四边形ABCD所在平面a外有一点P，且PA=PB=PC=PD，求证：点P与平行四边形对角线交点O的连线PO垂直于AB、AD2.如图，已知AP所在平面，AB为的直径，C是圆周上的任意，过点A作于点E.求证：平面PBC.3.作业：教材P74　2、3第二课时2.3.2平面与平面垂直的判定一、教学要求：掌握二面角和两个平面垂直的定义，理解平面与平面垂直的判定定理并会用判定定理证明平面与平面垂直的关系，会用所学知识求两平面所成的二面角.\n二、教学重点：平面与平面垂直的判定定理.三、教学难点：判定定理的应用及二面角的求法.四、教学过程：（一）、复习准备：1.复习直线与平面垂直的判定（定理、图形、符号语言）.2.探究：已知三棱锥P-ABC，作PO⊥底面ABC，垂足为O，当给定什么已知条件时，O分别是三角形ABC的外心、垂心？3.实际需要引出二面角的定义：（二）、讲授新课：1.教学二面角的定义：①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedralangle）.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.记作二面角.（简记）②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.作用：衡量二面角的大小；范围：.2.教学平面与平面垂直的判定：①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作.（能用定义来判定两个平面是否垂直？）②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.（线面垂直面面垂直）③出示例1：如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点，求证：平面.（讨论师生共析学生试写证明步骤归纳：线线垂直线面垂直面面垂直）④练习：教材P77页探究题⑤出示例2：已知空间四边形ABCD的四条边和对角线都相等，求平面ACD和平面BCD所在二面角的大小.(分析学生自练)⑥练习：如图，已知三棱锥的三个侧面与底面全等，且，求以为棱，以面与面为面的二面角的大小？\n3.小结：二面角的定义、二面角的平面角、二面角平面角的求法、平面与平面垂直的判定.（三）、巩固练习：1、如图，是正方形，是正方形的中心，，的中点，求证：（1）；（2）2、在正方体中，二面角的余弦值.3、作业：教材P81－82页第4、7题.第三课时2.3.3直线与平面垂直的性质　2.3.4平面与平面垂直的性质一、教学要求：掌握两个定理及定理的应用.二、教学重点：两个定理的应用.三、教学难点：两个定理的应用.四、教学过程：（一）、复习准备：1.直线、平面垂直的判定，二面角的定义、大小及求法.2.练习：对于直线和平面，能得出的一个条件是（　）①②③④.（二）、讲授新课：1.教学直线与平面垂直的性质定理：①定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.（线面垂直线线平行）②练习：表示直线，表示平面，则的充分条件是（　）A、B、　　C、　　D、所在的角相等③出示例1：设直线分别在正方体中两个不同的平面内，欲使，应满足什么条件？（判定两条直线平行的方法有很多：平行公理、同位角相等、内错角相等、同旁内角互补、中位线定理、平行四边形等等）2.教学平面与平面垂直的性质定理：①定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.（面面垂直线面垂直）\n探究：两个平面垂直，过其中一个平面内一点作另一个平面的垂线有且仅有一条.②练习：两个平面互相垂直，下列命题正确的是（　）A、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线C、一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面D、过一个平面内任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.③出示例2、如图，已知平面，直线满足，试判断直线与平面的位置关系.④练习：如图，已知平面平面，平面平面，，求证：3.小结：直线、平面垂直的性质定理及其应用.（三）、巩固练习：1、下列命题中，正确的是（　）A、过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直B、过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直C、若异面，过一定可作一个平面与垂直D、异面，过不在上的点，一定可以作一个平面和都垂直.2、如图，是所在平面外一点，的中点，上的点，求证：3、教材P81页2、3、5题讲义七：直线方程\n第一课时3.1.1直线的倾斜角与斜率一、教学要求：会根据直线上的两点坐标求直线的倾斜角与斜率,给出一直线上的一点与它的斜率,能够画出它的图象.二、教学重点：理解倾斜角,斜率.三、教学难点：倾斜角,斜率的理解及计算.四、教学过程：（一）、复习准备：（二）、、讲授新课：1.教学平面倾斜角与斜率的概念：①直线倾斜角的概念：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.。讨论:倾斜角的取值范围是什么呢?②直线斜率的概念：直线倾斜角的正切值叫直线的斜率.常用表示,讨论:当直线倾斜角为度时它的斜率不存在吗?.倾斜角的大小与斜率为正或负有何关系?斜率为正或负时,直线过哪些象限呢?取值范围是.③直线斜率的计算:两点确定一直线,给定两点与,则过这两点的直线的斜率思考:(1)直线的倾斜角确定后,斜率的值与点,的顺序是否有关?(2)当直线平行表于y轴或与y轴重合时,上述公式还适用吗?2.教学例题:例1,求经过两点的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.例2:在平面直角坐标系中画出经过原点且斜率分别为的直线.（三）.巩固与提高练习:1.已知下列直线的直线倾斜角,求直线的斜率k.\n⑴　　⑵　　　⑶　　　⑷　　2:已知直线l过点、,求直线l的斜率和倾斜角3,已知是现两两不等的实数,求经过下列两点直线的倾斜角.4.画出经过点且斜率分别为3和-2的直线.（四）.小结:倾斜角、斜率的概念,斜率的计算公式.（五）:作业,2题.第二课时3.1.2两条直线平行与垂直的判定一、教学要求：明白两直线平行与垂直时倾斜角之间的关系,能够通过代数的方法,运用斜率来判定两直线平行与垂直关系.二、教学重点：用斜率来判定两直线平行与垂直.三、教学难点：用斜率来判定两直线平行与垂直.四、教学过程：（一）、复习准备：1.提问：直线的倾斜角的取值范围是什么?如果计算直线的斜率?2.在同一直角坐标系中画出过原点斜率分别是-3,3,1的直线的图象.3.探究：两直线平行(垂直)时它们的倾斜角之间有何关系?（二）、讲授新课：1.两条直线平行的判定：①由上述探究→两条直线平行：两直线倾斜角都相等.即:,提问:两直线平行,它们的斜率相等吗?②两条直线平行的判定:两条不重合的直线,斜率都存在.它们的斜率相等.即:,注意:上述结论的前提是两条直线不重合并且斜率都存在.1.两条直线垂直的判定：探究两直线垂直时,它们的斜率的关系.①的倾斜角,时,斜率不存在;②当斜率都存在时.设的倾斜角分别为\n,其中>，则有，即：两条直线垂直的判定：两直线的斜率都存在时，两直线垂直，则它们的斜率的乘积。即：3.教学例题：例1：已知四边形的四个顶点分别为，试证明四边形为平行四形。例2：已知，试判断直线与位置的关系。4．练习与提高：1，试判断分别经过下列两点的各对直线是平行还是垂直？⑴　与⑵与2,经过点，经过点，当直线与平行或垂直时，求m的值。（四）.小结:倾斜角、斜率的概念,斜率的计算公式.（五）:作业,6.7题.第三课时3.2.1直线的点斜式方程一、教学要求：明白直线可以由直线线上的一点坐标与斜率确定，会由直线的一点坐标与斜率求直线的方程，会根据直线的点斜式方程求直线的截距。二、教学重点：直线点斜式方程的理解与求解，由点斜式方程求直线的截距。三、教学难点：直线点斜式方程的理解与求解。四、教学过程：（一）、复习准备：1.直线的倾斜角与斜率有何关系?什么样的直线没有斜率?2.提问：两条不重合的直线,斜率都存在.它们的斜率有何关系.如何用直线的斜率判定两直线垂直?（二）、讲授新课：直线点斜式方程的教学:\n①　已知直线上一点与这条直线的斜率，设为直线上的任意一点，则有：⑴探究:两点可以确定一直线,那么知道直线上一点的坐标与直线的斜率能不能确定一直线呢?满足方程⑴的所有点是否都在直线上?点斜式方程：方程⑴:称为直线的点斜式方程.简称点斜式.①讨论:直线的点斜式方程能否表示平面上的所有直线?(引导学生从斜率的角度去考虑)结论:不能表示垂直于轴的直线.②斜截式方程:由点斜式方程可知,若直线过点且斜率为,则直线的方程为:方程称为直线的斜截式方程.简称斜截式.其中为直线在轴上的截距.③能否用斜截式表示平面内的所有直线?斜截式与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论.(截距就是函数图象与轴交点的纵坐标)④教学例题:⒈直线经过点,且倾斜角为,求直线的点斜式方程并画出直线图象.⒉求下列直线的斜截式方程:⑴斜率为3,在轴上的截距为1:⑵斜率为,在轴上的截距为5;⒊把直线的方程化成，求出直线的斜率和在y轴上的截距，并画图．（三）.:练习与提高:1.已知直线经过点,斜率为,求直线的点斜式和斜截式.2.方程表示过点、斜率是、倾斜角是、在y轴上的截距是的直线。3.已知直线的方程为,求过点且垂直于的直线方程.（四）小结:点斜式.斜截式.截距\n（五）:作业,3.5题.第四课时3.2.2直线的两点式方程一、教学要求：会由两点求直线的方程,明白直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，清楚直线与二元一次方程的对应关系．能由直线的一般式转化为所需要的其他直线形式.二、教学重点：直线两点式及一般式理解与求解.及各种形式互化.三、教学难点：直线两点式及一般式理解与求解.及各种形式互化.四、教学过程：（一）、复习准备：1．写出下列直线的点斜式、斜截式方程,并求直线在轴上的截距.①经过点A(-2,3),斜率是-1；②经过点B(-3,0),斜率是0；③经过点,倾斜角是；（二）、讲授新课：1.直线两点式方程的教学:①　探讨:已知直线经过(其中)两点,如何求直线的点斜式方程?两点式方程:由上述知,经过(其中)两点的直线方程为⑴,我们称⑴为直线的两点式方程,简称两点式.例1:求过两点的直线的两点式方程,并转化成点斜式.②当直线不经过原点时,其方程可以化为⑵,方程⑵称为直线的截距式方程,其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.②中点:线段AB的两端点坐标为,则AB的中点\n,其中例2:已知直线经过两点,则中点坐标为,此直线截距式方程为、与轴轴的截距分别为多少？1.巩固与提高:①　已知ABC的三个顶点是A(0,7)B(5,3)C(5,-3)，求（1）三边所在直线的方程；（2）中线AD所在直线的方程。②　一直线经过点（-3，4）且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程③　经过点（１，２），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有（）A1条B2条C3条D4条④　上题若把点坐标改为(1,0)(2,2)呢?2.小结:两点式.截距式.中点坐标.4.:作业题.第五课时3.2.3直线的一般式方程一、教学要求：引导学生体会直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，清楚直线与二元一次方程的对应关系．能由直线的一般式转化为所需要的其他直线形式.二、教学重点：直线一般式理解与求解.及一般式与点斜式、斜截式、两点式和截距式互化.三、教学难点：直线一般式理解与求解.及其它形式互化.四、教学过程：（一）、复习准备：1.写出下列直线的两点式方程.\n①经过点A(-2,3)与B(-3,0)；②经过点B(-3,0)与；2.探讨:点斜式、斜截式、两点式和截距式能否表示垂直于坐标轴的直线?(我们需要直线的一般表示法)（二）、讲授新课：1问：直线的方程都可以写成关于的二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线关于的二元一次方程:,(叫直线的一般方程,简称一般式.①当,式可化为,这是直线的斜截式.②当,时,式可化为.这也是直线方程.定义一般式:关于的二元一次方程:(不全为0)叫直线的一般式方程,简称一般式.2.引导学生思考:直线与二元一次方程的对应是什么样的对应?(直线与二元一次方程是一对多的对应,同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程.)出示例题:已知直线经过点,斜率为,求直线的点斜式和一般式方程.3.探讨直线,当为何值时,直线①平行于轴;②平行于轴③与轴重合④与轴重合.4.出示例题:把直线的一般方程化成斜截式方程,并求出直线与轴、轴的截距,画出图形.（三）.练习与提高:1.设直线的方程为,根据下列条件分别求的值.①在轴上的截距为.②斜率为2．若直线通过第二、三、四象限，则系数A、B、C满足条件（）(A)A、B、C(B)AC<0,BC>0(C)C=0,AB<0(D)A=0,BC<03.已知直线\n经过点（－２，２）且与两坐标轴围成单位面积的三角形，求该直线的方程．（四）.小结:一般式..（五）.:作业题.讲义八：两条直线的交点坐标第一课时3.3.1两条直线的交点坐标一、教学要求：进一步掌握两条直线的位置关系，能够根据方程判断两直线的位置关系，理解两直线的交点与方程的解之间的关系，会求两条相交直线的交点坐标.二、教学重点：理解两直线的交点与方程组的解之间的关系.三、教学难点：理解两直线的交点与方程组的解之间的关系.四、教学过程：（一）、复习准备：1.讨论：如何用代数方法求方程组的解?2.讨论：两直线交点与方程组的解之间有什么关系？（二）、讲授新课：1.教学直线上的点与直线方程的解的关系：①讨论：直线上的点与其方程AX+BY+C=0的解有什么样的关系？②练习：完成书上P109的填表.③直线L上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解。反之直线L的方程的每一组解都表示直线上的点的坐标。2.教学两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系及求两直线的交点坐标①讨论：点A（-2,2）是否在直线L1：3X+4Y-2=0上？\n点A（-2,2）是否在直线L2：2X+Y+2=0上？①A在L1上，所以A点的坐标是方程3X+4Y-2=0的解，又因为A在L2上，所以A点的坐标也是方程2X+Y+2=0的解。即A的坐标（-2,2）是这两个方程的公共解，因此（-2,2）是方程组3X+4Y-2=02X+Y+2=0的解.②讨论：点A和直线L1与L2有什么关系？为什么？③出示例1：求下列两条直线的交点坐标L1：3X+4Y-2=0L2：2X+Y+2=03．教学如何利用方程判断两直线的位置关系？①如何利用方程判断两直线的位置关系？②两直线是否有公共点，要看它们的方程是否有公共解。因此，只要将两条直线L1和L2的方程联立，得方程组1．若方程组无解，则L1//L22.若方程组有且只有一个解，则L1与L2相交3.若方程组有无数解，则L1与L2重合③出示例2：判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标。（1）L1：x-y=0L2:3x+3y-10=0（2）L1：3x-y+4=0L2:6x-2y=0（3）L1：3x+4y-5=0L2:6x+8y-10=04.小结：两条直线交点与它们方程组的解之间的关系.求两条相交直线的交点及利用方程组判断两直线的位置关系.（三）、巩固练习：1、求经过点且经过以下两条直线的交点的直线的方程：2、为何值时直线的交点在第一象限3、作业：P1201、2第二课时3.3.2两点间的距离一、教学要求：使学生理解并掌握平面上任意两点间的距离公式，使学生初步了解解析法证明，教学中渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的思想与“数”和“形”结合转化思想.\n二、教学重点：猜测两点间的距离公式.三、教学难点：理解公式证明分成两种情况.四、教学过程：（一）、复习准备：1.提问：我们学习了有向线段，现在有问题是：如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|又怎样求？(|AB|=|xB-XA|，|CD|=|yC-yD|)2.讨论：如果A、B是坐标系上任意的两点，那么A、B的距离应该怎样求呢？（二）、讲授新课：1.教学两点间的距离公式：①讨论：(1)求B(3，4)到原点的距离是多少?根据是什么?(通过观察图形，发现一个Rt△，应用勾股定理得到的)②讨论：(2)那么B()到A()又是怎样求呢?根据是什么?根据(1)的方法猜想,(2)也构造成Rt△→给出两点间的距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则③出示例1：已知点（1）：求的值（2）：在轴上求一点，使，并求的值（讨论：点应该怎么设？怎样利用两点间的距离公式？）④练习：1.已知两点,求的值,并在轴上求一点,使⑤示例2:证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.(分析:首先建立适当的坐标系,用坐标表示有关量,然后进行代数运算,最后把代数运算”翻译”成几何关系)⑥出示例3：已知(分析:通过利用两点的距离公式,找出两边相等,并有两边的斜率关系说明A、B、C、三点不共线，从而证明是等腰三角形)⑦练习：已知的顶点坐标是,求三条中线的长度2．小结：两点间的距离公式，两点间的距离公式的应用（三）、巩固练习：\n1、求两点的距离2、已知点3、已知点，求的值4、求在轴上与点的距离为13的点的坐标5、已知若，求点的坐标6、求函数的最小值7、作业：教材P1207、8第三课时3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离一、教学要求：使学生掌握点到直线的距离公式及其结构特点，并能运用这一公式，学习并领会寻找点到直线距离公式的思维过程以及推导方法，教学中体现数形结合、转化的数学思想，培养学生研究探索的能力．二、教学重点：点到直线的距离公式的研究探索过程.三、教学难点：点到直线的距离公式的推导.四、教学过程：（一）、复习准备：1、提问：两点间的距离公式2、讨论：什么是平面上点到直线的距离？怎样才能求出这一段的距离？3、讨论：两条平行直线间的距离怎样求？（二）、讲授新课：1.教学点到直线的距离：①探讨：如何求平面上一点到一直线的距离？已知点P(-1，2)和直线：2x+y-10=0，求P点到直线的距离．（分析：先求出过P点与垂直的直线：x-2y+5=0，再求出与的交点，则=即为所求）②若已知点P(m，n)，直线l：y=kx+b，求点P到l的距离d．则运算非常复杂．③通过构造三角形，由三角形面积公式可得：点到直线距离④出示例1：求点到直线的距离\n①出示例2：已知点，求的面积②练习：已知直线BC的方程是，求的BC边上的高2．教学两条平行直线间的距离：①讨论：两条平行直线间的距离怎么求？（是指夹在两条平行直线间公垂线段的长）②可以将平行直线间的距离转化为点到直线的距离③出示例1：已知直线，与是否平行？若平行，求与间的距离④练习1：若直线与直线平行，则的值⑤练习2：求两条平行直线的距离，3．小结：点到直线的距离，两条平行直线间的距离（三）、巩固练习：1、求点到下列直线的距离：（1）；（2）；（3）2、求过点，且与距离相等的直线方程3、做直线，使之与点的距离等于2，求此直线方程1、求两条直线的夹角平分线方程2、求与直线平行且到的距离为2的直线的方程6、作业p1209、10讲义九：圆的方程第一课时4.1.1圆的标准方程一、教学要求：使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程\n二、教学重点：圆的标准方程的推导步骤；根据具体条件正确写出圆的标准方程．三、教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题四、教学过程：（一）、复习准备：1.提问：两点间的距离公式？2.讨论：具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？（二）、讲授新课：1.圆的标准方程：①建系设点：A.C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．②写点集:根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}③列方程：由两点间的距离公式得=r④化简方程:将上式两边平方得(建系设点写点集列方程化简方程圆的标准方程(standardequationofcircle))⑤思考：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？⑥师指出：只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．2.圆的标准方程的应用①.写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3；(2)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；(指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．)②.已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程，试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？(从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决)③的三个定点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程（用待定系数法解）\n④.已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),却圆心C在直线L:上，求圆心为C的圆的标准方程。3.小结：①．圆的方程的推导步骤：建系设点→写条件→列方程→化简→说明②．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；③．求圆的方程的两种方法：（1）待定系数法；确定a，b，r；(2)轨迹法：求曲线方程的一般方法．（三）、巩固练习：1.练习：P131142.求下列条件所决定的圆的方程：(1)圆心为C(3，-5)，并且与直线x-7y+2=0相切；(2)过点A(3，2)，圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切．3.已知：一个圆的直径端点是A(x1，y1)、B(x2，y2)．证明：圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0．4.作业P134习题41、2题.第二课时4.1.2圆的一般方程一、教学要求：使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．二、教学重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．三、教学难点：圆的一般方程的特点四、教学过程：（一）、复习准备：1.提问：圆的标准方程？2.对方程配方，化为圆标准方程形式.则圆心、半径？（二）、讲授新课：1．圆的一般方程的定义（1）分析方程表示的轨迹1)当时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程\n表示以为圆心，为半径的圆。2)当时，方程只有实数解。它表示一个点3)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．（2）给出圆的一般方程的定义当时，方程叫做圆的一般方程。（3）思考：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？2．圆的一般方程的运用1）求过三点O(0,0),的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。（小结：1．用待定系数法求圆的方程的步骤：1.根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；2.根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；3.解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程．）2）求圆心在直线l：上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2：的交点的圆的方程．3.小结：一般方程；化标准方程；配方法；待定系数法.（三）.巩固练习：1．练习132.求下列各圆的一般方程：(1)过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)；(2)过三点A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)．2．已知一曲线是与两定点的距离的比为的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线3．作业：习题4.1第4题\n讲义十：直线与圆的位置关系第一课时4.2.1直线与圆的位置关系（1课时）一、教学要求：理解和掌握直线与圆的位置关系，利用直线与圆的位置关系解决一些实际问题。二、教学重点：直线与圆的位置关系三、教学难点：直线与圆的位置关系的几何判定.四、教学过程：（一）、复习准备：1.在初中我们知道直线现圆有三种位置关系：（1）相交，有一两个公共点；（2）相切，只有一个公共点；（3）相离，没有公共点。2.在初中我们知道怎样判断直线与圆的位置关系？现在如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？（二）、讲授新课：设直线,圆圆心到直线的距离1.利用直线与圆的位置直观特征导出几何判定：比较圆心到直线的距离d与圆的半径r①②③2.看直线与圆组成的方程组有无实数解:有解,直线与圆有公共点.有一组则相切:有两组,则相交:b无解,则相离3.例题讲解:例1直线与圆相切,求r的值例2如图1,已知直线和圆心为C的圆.判断直线与圆的位置关系;如果相交,求出他们交点的坐标.例3如图2,已知直线过点且和圆相交,截得弦长为,求的方程练习.已知超直线,圆求直线\n被圆C截得的弦长4.小结：判断直线与圆的位置关系有两种方法(1)判断直线与圆的方程组是否有解a有解,直线与圆有公共点.有一组则相切;有两组,则相交b无解,则直线与圆相离(2)圆心到直线的距离与半径的关系:如果直线与圆相交;如果直线与圆相切;如果直线与圆相离.（三）、巩固练习：1.圆上到直线的距离为的点的坐标2.求圆心在直线上,且与两坐标轴相切的圆的方程.3.若直线与圆(1)相交(2)相切(3)相离分别求实数a的取值范围（四）.作业:p1404题第二课时4.2.2圆与圆的位置关系一、教学要求：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系；二、教学重点：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系三、教学难点：用坐标法判断两圆的位置关系四、教学过程：（一）、复习准备1.两圆的位置关系有哪几种？2.设圆两圆的圆心距设为d.当时，两圆当时，两圆当时，两圆当时，两圆当时，两圆３．如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系？(探讨)（二）、讲授新课：1.两圆的位置关系利用半径与圆心距之间的关系来判断\n例1.已知圆，圆，试判断圆与圆的关系？（配方→圆心与半径→探究圆心距与两半径的关系）2．两圆的位置关系利用圆的方程来判断方法：通常是通过解方程或不等式和方法加以解决例2圆的方程是:圆的方程是:,m为何值时,两圆(1)相切.(2)相交(3)相离(4)内含思路：联立方程组→讨论方程的解的情况（消元法、判别式法）→交点个数→位置关系）练习：已知两圆与，问m取何值时，两圆相切。3.小结：判断两圆的位置关系的方法:(1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定.(2)依据连心线的长与两半径长的和或两半径的差的绝对值的大小关系.（三）、巩固练习：1.求经过点M(2,-2),且与圆与交点有圆的方程2.已知圆C与圆相外切,并且与直线相切于点,求圆C的方程.1.求两圆和的外公切线方程2.求过两圆和圆的交点,且圆心在直线上的圆的方程.（四）、作业：P141练习题；p1449题第三课时４.２.３直线与圆的方程的应用一、教学要求：利用直线与圆的位置关系解决一些实际问题二、教学重点：直线的知识以及圆的知识三、教学难点：用坐标法解决平面几何.四、教学过程：（一）、复习准备：(1)直线方程有几种形式?分别为什么?\n(2)圆的方程有几种形式?分别是哪些?(3)求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?(4)直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?（二）、讲授新课：出示例1.图1所示是某圆拱形桥.这个圆拱跨度,拱高,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,求支柱的高度(精确0.01m)出示例2.已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边距离等于这条边所对这条边长的一半.(提示建立平面直角坐标系)小结:用坐标法解题的步骤:1建立平面直角坐标系,将平南几何问题转化为代数问题;2利用公式对点的坐标及对应方程进行运算,解决代数问题:3根据我们计算的结果,作出相应的几何判断.（三）、巩固练习：1.赵州桥的跨度是37.4m.圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程2.用坐标法证明:三角形的三条高线交于一点3.求出以曲线与的交点为顶点的多边形的面积.4.机械加工后的产品是否合格,要经过测量检验某车间的质量检测员利用三个同样的量球以及两块不同的长方体形状的块规检测一个圆弧形零件的半径.已知量球的直径为2厘米,并测出三个不同高度和三个相应的水平距离,求圆弧零件的半径.（四）、作业：P144练习4题；第四课时直线、圆的方程练习课一、复习准备：(1)直线方程有几种形式?分别为什么?\n(1)圆的方程有几种形式?分别是哪些?(3)如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？(4)如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系?二、讲授新课1推导标准方程例1.推导以点A(a,b)为圆心,r为半径的圆的方程★练习:一个圆经过点A(5,0)与B(-2,1)圆心在直线上,求此圆的方程例1.求圆上的点到的最远、最近的距离2.轨迹问题充分利用几何图形的性质,熟练掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式。例3.求过点A(4,0)作直线交圆于B,C两点,求线段BC的中点P的轨迹方程★练习：由圆外一点引圆的割线交圆于A,B两点,求弦AB的中点的轨迹.3.弦问题主要是求弦心距（圆心到直线的距离），弦长，圆心角等问题。一般是构成直角三角形来计算例4.直线经过点，且和圆相交，截得的弦长为，求的方程。4.对称问题圆关于点对称，圆关于圆对称例5.求圆关于点对称的圆的方程★练习：求圆关于直线对称的圆的方程\n三、巩固练习1.从圆外一点P(1,1)向圆x2+y2=1引割线,交该圆于A,B两点,求弦AB的中点的轨迹方程2.等腰三角形的顶点是A(4.2)底边一个端点是B(3,5)求另一个端点的轨迹是什么?3.已知圆的半径为，圆心在直线上，圆被直线截得的弦长为，求圆的方程四、典型题摘抄：★例1、已知圆C的圆心坐标是(-1,3),且圆C与直线x+y-3=0相交于P,Q两点,又OP⊥OQ,O是坐标原点,求圆C的方程.解：（1）设而不求思想的应用，（2）OP⊥OQ转化为x1x2+y1y2=0，从而可求得r2=13（3）、所求的圆的方程为★例2、已知⊙C满足：（1）、截y轴所得的弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；（3）、圆心到直线L:x-2y=0的距离为，求此圆的方程。解：或讲义十一：空间直角坐标系第一课时4.3.1空间直角坐标系教一、教学要求：使学生能通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法。二、教学重点：在空间直角坐标系中，确定点的坐标三、教学难点：通过建立适当的直角坐标系，确定空间点的坐标\n教学过程：（一）.复习准备：1.提问：平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法？2.讨论：一个点在平面怎么表示？在空间呢？（二）、讲授新课：1.空间直角坐标系：如图，是单位正方体.以A为原点，分别以OD,O,OB的方向为正方向，建立三条数轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.1）叫做坐标原点2）x轴，y轴，z轴叫做坐标轴.3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。2.右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。3.有序实数组1）.间一点M的坐标可以用有序实数组来表示，有序实数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标思考：原点O的坐标是什么？讨论:空间直角坐标系内点的坐标的确定过程。3）.例题1：在长方体中，写出四点坐标.（建立空间坐标系写出原点坐标各点坐标）讨论：若以C点为原点，以射线BC、CD、CC1 方向分别为ox、oy、oz轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么，各顶点的坐标又是怎样的呢？（得出结论：不同的坐标系的建立方法，所得的同一点的坐标也不同。）4.练习：V-ABCD为正四棱锥，O为底面中心，若AB=2，VO=3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标。（三）、巩固练习：1．练习：P1481,22.已知M(2,-3,4)，画出它在空间的位置。\n3.思考题：建立适当的直角坐标系，确定棱长为3的正四面体各顶点的坐标。（四）．小结：1．空间直角坐标系内点的坐标的确定过程.2．有序实数组；五．作业1.课本P1483第二课时4.3.2空间两点的距离公式一、教学要求：使学生掌握空间两点的距离公式由来，及应用。二、教学重点：空间两点的距离公式的推导。三、教学难点：空间两点的距离公式的熟练应用。四、教学过程：（一）、复习准备：1.提问：平面两点的距离公式？2.建立空间直角坐标系时，为方便求点的坐标通常怎样选择坐标轴和坐标原点？（二）、讲授新课：1.空间两点的距离公式（1）已知两点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)，求此两点间的距离d。如图7-5所示，ΔM1PQ和ΔMQM2都是直角三角形，根据勾股定理,。,，从而得两点的距离公式:。思考：1）点M（x，y，z）于坐标原点O（0，0，0）的距离？2)M1，M2两点之间的距离等于0M1=M2，两点重合，也即x1=x2，y1=y2，z1=z2。\n讨论：如果是定长r,那么表示什么图形？（2）例题1：求点P1(1,0,-1)与P2(4,3,-1)之间的距离。练习：求点之间的距离（3）思考：1.在z轴上求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点。2.试在xoy平面上求一点，使它到A(1,-1,5)、B(3,4,4)和C(4,6,1)各点的距离相等。（三）.巩固练习：1．练习132．已知三角形的顶点为A（1，2，3），B（7，10，3）和C（-1，3，1）。试证明A角为钝角。1.在z轴上，求与A(-4,1,7)和B(3,5,-2)两点等距离的点。（四）．小结1．空间两点的距离公式的推导。2．公式的应用（五）．作业1．课本练习第4题讲义十二向量法处理立体几何(一)、复习空间直角坐标系：1、空间向量的坐标运算：设=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),则①+=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)；②-=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)；③向量,的数量积为·=x1x2+y1y2+z1z2,④向量,的模||=；⑤两向量垂直⊥⇔x1x2+y1y2+z1z2=0；⑥两向量的夹角cos<,>=\n2、平面的法向量：平面a内的两条相交直线,,如果直线满足·=0,且·=0，则直线称为平面的法向量(二)、典例剖析：★例1、已知向量=(4,-2,-4),=(6,-3,2),求(2+3)·(-2)之值。（答案：-244）FHGE★例2、若A、B两点的坐标分别为A（3cosa,3sina,1),B(2cosb,2sinb,1)，求出||的取值范围.(答案:1≤|AB|≤5)★例3、在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E、F分别是D′D、BD的中点，G点在棱CD上，且CG=CD，①建立适当的空间直角坐标系，然后写出点A、B、C、D、A′、B′、C′、D′、E、F、G、H的坐标；②证明：EF⊥B′C；③求异面直线EF与C′G所成的角的余弦值；④设H为C′G的中点，求出FH的长；⑤求出平面EFH的法向量。★例4、已知直三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱AA′=4，底面△ABC中，AC=BC=2，∠BCA=90°，E为AB的中点，①求证；CE⊥AB′；②求二面角A′-AB′-C的余弦值。（答案：cosq=)★例5、在长方体ABCD-A′B′C′D′\n中，已知AB=4，AD=6，AA′=4，M是A′C′的中点，点P在线段BC上，且|CP|=2，点Q是DD的中点，求：①异面直线AM与PQ所成的角的大小；②点M到平面ABP的距离。解、①cosq=；②★例6、在四棱锥S-ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1,AD=2，①求证：平面SAC⊥平面SCD；②求二面角A-SD-C的大小；③求异面直线SD与AC所成的角的大小；④设E为BD的中点，求SE与平面SAC所成的角的大小。解、②cosq=;③cosa=;④sinb=★例7、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F，①证明：PA∥平面EDB；②证明：PB⊥平面EFD；③二面角C-PB-D的大小。（答案：③）★例8、在正三棱柱ABC-ABC中，底面边长为1，侧棱长为，①建立适当的空间直角坐标系，并写出点A、B、A、C的坐标\n①求出AC与侧面ABBA所成的角的大小。（答案：②）★例9、已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO′折成直二面角，①证明：AC⊥BO′；②求二面角O-AC-O′的大小。解：②cosq=(三)、巩固练习：●★1．(2007北京·文)如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角．是的中点．（I）求证：平面平面；（II）求异面直线与所成角的大小．\n●★19．(2007福建·文)如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的大小．●★20．(2007安徽·文)如图，在三棱锥中，，，是的中点，且，．（I）求证：平面平面；（II）试确定角的值，使得直线与平面所成的角为．●★25．(2007全国Ⅱ·文)如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面分别为的中点．（1）证明平面；\n（2）设，求二面角的大小．●★26．(2007安徽·文)如图,在底面为直角梯形的四棱锥v,BC=6.(Ⅰ)求证:BD(Ⅱ)求二面角的大小.●★27．(2007四川·文)如图，平面PCBM⊥平面ABC,∠PCB=90°,PM∥BC,直线AM与直线PC所成的角为60°，又AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90°(Ⅰ)求证：AC⊥BM;(Ⅱ)求二面角M-AB-C的大小；（Ⅲ）求多面体PMABC的体积.\n讲义十三、二面角和距离的求解（一）、定义法求二面角的平面角：★例题1、在正四面体ABCD中；（1）求AD与平面BCD所成的角；（2）、求相邻两个面所成的二面角的平面角的大小。●解；（1）、arccos/3;(2)、arccos1/3▲基础训练:P30:题11；学法大视野:P46:题11;（二）、三垂线法求二面角的平面角：★例题2、如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，M、N、P分别为相应的棱之中点，（1）、求证：面PAB⊥面MNB′；（2）、求二面角M-B′N-B的正切值解：（1）、由三垂线定理有PB⊥MN，PB⊥B′N……（2）、由MB⊥面B′NB，则用三垂线法有tan∠MQB=▲学法大视野:P46:10题,基础训练:P30:题13\14;P34：题11；题13★例3、在四棱锥S-ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1,AD=2，\n①、求证：平面SAC⊥平面SCD；②、求二面角A-SD-C的大小；③、求异面直线SD与AC所成的角的大小；④、设E为BD的中点，求SE与平面SAC所成的角的大小。解、②cosq=;③cosa=;④sinb=★例题4、在直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面三角形ABC中AC=BC=1，∠ACB=90°，棱A′A=，求二面角A-A′B-C的大小。★例题5、如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA，（1）求异面直线PA与CD所成的角的大小；（2）、求证；PC∥面EBD，（3）、求二面角A-BE-D的大小。解：（1）、60°，（2）、设BD与AC相交于点G，则EG∥PC；（3）、arccos/6；或arctan.★【※题6】已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直,\n∠ABC=90°,BC=2,AC=2,且AA1⊥A1C,AA1=A1C,①求侧棱A1A与底面ABC所成的角的大小;②求侧面A1ABB1与底面ABC所成的二面角的大小;③求顶点C到侧面A1ABB1的距离.(解:①45°;②60°;③)★【题7】如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2,PO=,PB⊥PD.(Ⅰ)求异面直接PD与BC所成角的余弦值；(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小；(Ⅲ)设点M在棱PC上，且为何值时，PC⊥平面BMD.解：①异面直线PD与所成的角的余弦值为（Ⅱ）连结，由（Ⅰ）及三垂线定理知，为二面角的平面角；，；二面角的大小为（Ⅲ）连结，平面平面，；又在中，，，故时，平面\n（三）、巩固练习题：★【题1】、如图,四棱锥的底面为菱形,且,,的中点.(1)求直线与平面所成角的大小;(2)求二面角的平面角的正切值;(3)在线段上是否存在一点,使成立?如果存在,求出的长;如果不存在,请说明理由.解：(1)30°；②2；(3)★【题2】、如图：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=AD=1，则（1）直线BC到平面PAD的距离为___________（找）1（2）点D到平面PAC的距离为__________（做）（3）点C到平面PAB的距离为__________（先转化→再做）题3：填空：（1）平面α∥平面β，平面β⊥平面γ，则平面α与平面γ的位置关系为_____a⊥γ(2)平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ，则平面α与平面γ的位置关系为_________.a∥γ或a与γ相交（注意：不一定是垂直）(3)直线a⊥平面α，直线a⊥平面β，则平面α与平面β的位置关系为_________.a∥b\n（4）直线a⊥平面α，直线b⊥平面β，直线a⊥直线b,则平面α与平面β的位置关系___.a⊥b题4：已知m、n、l为不同的直线，α、β、γ为不同的平面，则真命题序号有_________①②④①α⊥γβ∥γ则α⊥β　　②l∥αl⊥β则α⊥β　③m⊥αnβm⊥n则α⊥β；④α∥β；m⊥α　n∥β则m⊥n⑤α⊥βα∩β=m　n⊥m　则n⊥β⑥β∩γ=ll∥αmαm⊥γ则l⊥mm∥β题5：三角形ABC中　AB=BC=1，∠ABC=120o,将三角形ABC所在平面沿BC边所在的直线旋转90o之后，得到平面A′BC，（1）求AA′与平面A′BC所成角的大小？（2）求二面角A-BA′-C的平面角的大小？（3）求点B到平面AA′C的距离？题6、斜三棱柱ABC-A′B′C′中∠BAC=90o，且BC′⊥AC，过C′做C′H⊥平面ABC，垂足为H，则（B）A、点H落于直线AC上B、点H落于直线AB上\nC、点H落于直线BC上D、点H落于三角形ABC之内解：∵∠BAC=90o，且BC′⊥AC，则AC⊥面BAC′Þ面BAC⊥面BAC′，交线为ABÞ点H落于直线AB上题7：（湖南05年文科4题）正方体ABCD-A′B′C′D′中棱长为1，E为A′B′中点，则E到平面ABC′D′的距离为（B）ABCD题8：（湖南05年文科15题）平面α、β和直线m，给出条件①m∥α②m⊥α③mα④α⊥β⑤α∥β则(1)当满足条件_________时有m∥β③⑤(2)当满足条件_________时有m⊥β②⑤题9：（06年全国文7题）平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角为45o,30o,过A、B分别做两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，设AB=12，则A′B′=（B）A、4B、6C、8D、9\n讲义十四：柱、锥、台体的表面积和体积一、柱、锥、台体的表面积、全面积和体积公式及其应用：★例1、圆台的上、下底面的半径分别是10和20，它的侧面展开图（圆环）的圆心角是180度，求此圆台的表面积（高效读教材P47例5）二、几何体表面两点的最短距离和其侧面展开图的问题：★例2、（江西卷）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，ÐACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是__________解：连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，如图所示，连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值。通过计算可得ÐA1C1C＝90°又ÐBC1C＝45°，\ÐA1C1C＝135°由余弦定理可求得A1C＝★例3.（江西卷）如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为.10\n解：将正三棱柱沿侧棱CC1展开，其侧面展开图如图所示，由图中路线可得结论。★例4、在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB=a,BC=b,BB′=c，并且a>b>c，求沿着长方体的表面自A到C′的最短路线的长度。（教材全解：P44：例1）★例5、有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是__________。▲解答：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况四棱柱有一种，就是边长为的边重合在一起，表面积为24+28三棱柱有两种，边长为的边重合在一起，表面积为24+32，边长为的边重合在一起，表面积为24+36；两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况表面积为12+48；最小的是一个四棱柱，这说明\n★例6、在直三棱柱中，.（1）求异面直线与所成的角的大小；（2）若与平面S所成角为，求三棱锥的体积。▲解：(1)∵BC∥B1C1,∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角)∵∠ABC=90°,AB=BC=1,∴∠ACB=45°,∴异面直线B1C1与AC所成角为45°.(2)∵AA1⊥平面ABC,∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角,∠ACA=45°.∵∠ABC=90°,AB=BC=1,AC=,∴AA1=.∴三棱锥A1-ABC的体积V=S△ABC×AA1=.★例题7、已知三棱台ABC-A′B′C′中，AB：A′B′=1：2，则三棱锥A′-ABC、B-A′B′C、C-A′B′C′的体积之比为__________(高效读教材P52:例题3)1:2:4★\n例题8、用上口直径为34厘米，底面直径为24厘米，深35厘米的水桶盛得雨水正好为桶深的1/5，问此次的降雨量为多少（精确到0。1毫米，且降雨量是指单位面积的水平地面上降下雨水的深度）（高效读教材P54：例题5）三、球的表面积和体积问题：★题1．（福建卷）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于A.2B.C.D.解：正方体外接球的体积是，则外接球的半径R=2，正方体的对角线的长为4，棱长等于，★题2．（湖南卷）过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°则该截面的面积是A．π　　　　　　B.2π　　　　C.　3π　　　　D.解：过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则截面圆的半径是R=1，该截面的面积是π，选A.★题3．（江西卷）\n如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）A．S1S2C.S1=S2D.S1，S2的大小关系不能确定解：连OA、OB、OC、OD，则VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFD，VA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，故选C★题4.（全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是A．B．C．D．【解析】正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，∴球的半径为，球的表面积是，选C.★题5.（全国II）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（A）(B)(C)(D)\n【解析】设球的半径为R,过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面,由勾股定理可得一个半径为的圆,所以,故选A★题6．（山东卷）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为(A)(B)(C)(D)解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为，选C★题7．（山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为(A)1∶(B)1∶3(C)1∶3(D)1∶9解：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为，它的外接球的半径为，故所求的比为1∶3，选C★题8.（四川卷）如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是（A）（B）（C）（D）\n解析：如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，，，所以，R=2，球的表面积是，选D.★题9.（辽宁卷）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱锥的侧面积是________．解：显然正六棱锥的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底面边长为2，又正六棱锥的高依题意可得为2，依此可求得★题10.（全国卷I）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_____________【解析】正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=,∴二面角等于。★题11.(陕西卷)水平桌面α上放有4个半径均为2R的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是解：水平桌面α上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形)．在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面4个球恰好都相切，5\n个球心组成一个正四棱锥，这个正四棱锥的底面边长为4R，侧棱长为3R，求得它的高为R，所以小球的球心到水平桌面α的距离是3R．13．(2007天津·文)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，，，则此球的表面积为．★题12．(2007全国Ⅰ·文)正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为_________．★题13．(2007全国Ⅱ·文)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm．四、综合应用：★题1．(2007北京·文)如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角．是的中点．（I）求证：平面平面；（II）求异面直线与所成角的大小．解（I）由题意，，，是二面角是直二面角，，又，\n平面，又平面．平面平面．（II）作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成的角．在中，，，．又．在中，．★题2．(2007安徽·文)如图，在三棱锥中，，，是的中点，且，．（I）求证：平面平面；（II）试确定角的值，使得直线与平面所成的角为．解：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中点，，又底面．．于是平面．又平面，平面平面．（Ⅱ）过点在平面内作于，则由（Ⅰ）知平面．连接，于是就是直线与平面所成的角．依题意，所以在中，；在中，，．，．故当时，直线与平面所成的角为．\n★题3．(2007湖南·文)如图3，已知直二面角，，，，，，直线和平面所成的角为．（I）证明；（II）求二面角的大小．解：（I）在平面内过点作于点，连结．因为，，所以，又因为，所以．而，所以，，从而，又，所以平面．因为平面，故．（II）：由（I）知，，又，，，所以．过点作于点，连结，由三垂线定理知，．故是二面角的平面角．由（I）知，，所以是和平面所成的角，则，不妨设，则，．在中，，所以，于是在中，．故二面角的大小为．★题4．(2007江西·文)如图是一个直三棱柱（以\n为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，，．（1）设点是的中点，证明：平面；（2）求与平面所成的角的大小；（3）求此几何体的体积．（1）证明：作交于，连．则，因为是的中点，所以．则是平行四边形，因此有，平面，且平面则面．（2）解：如图，过作截面面，分别交，于，，作于，因为平面平面，则面．连结，则就是与面所成的角．因为，，所以．与面所成的角为．（3）因为，所以．．．所求几何体的体积为．\n★题5．(2007四川·文)如图，平面PCBM⊥平面ABC,∠PCB=90°,PM∥BC,直线AM与直线PC所成的角为60°，又AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90°(Ⅰ)求证：AC⊥BM;(Ⅱ)求二面角M-AB-C的大小；（Ⅲ）求多面体PMABC的体积.解：（Ⅰ）∵平面平面，，平面．∴平面又∵平面∴（Ⅱ）取的中点，则．连接、．∵平面平面，平面平面，．∴平面．∵，∴，从而平面．作于，连结，则由三垂线定理知．从而为二面角的平面角．∵直线与直线所成的角为60°，∴．在中，由勾股定理得．在中，．在中，．在中，故二面角的大小为★题6．(陕西卷)如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,点A在直线l上\n的射影为A1,点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1,BB1=,求:(Ⅰ)直线AB分别与平面α,β所成角的大小;(Ⅱ)二面角A1－AB－B1的大小.解:(Ⅰ)如图，连接A1B，AB1，∵α⊥β，α∩β=l,AA1⊥l，BB1⊥l，∴AA1⊥β，BB1⊥α．则∠BAB1，∠ABA1分别是AB与α和β所成的角．Rt△BB1A中，BB1=，AB=2，∴sin∠BAB1==．∴∠BAB1=45°．Rt△AA1B中，AA1=1，AB=2，sin∠ABA1==，∴∠ABA1=30°．故AB与平面α，β所成的角分别是45°，30°．(Ⅱ)∵BB1⊥α，∴平面ABB1⊥α．在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B．过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1F⊥AB，∴∠A1FE就是所求二面角的平面角．在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°，∴AB1=B1B=．∴Rt△AA1B中，A1B===．由AA1·A1B=A1F·AB得A1F===，∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE==，∴二面角A1－AB－B1的大小为arcsin．★题7．(上海卷)在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2\n的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．（1）求四棱锥P－ABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．[解]（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,∠PBO=60°.在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1,由PO⊥BO,于是,PO=BOtg60°=,而底面菱形的面积为2.∴四棱锥P-ABCD的体积V=×2×=2.（2）：取AB的中点F,连接EF、DF.由E是PB的中点,得EF∥PA，∴∠FED是异面直线DE与PA所成角(或它的补角)，在Rt△AOB中AO=ABcos30°==OP，于是,在等腰Rt△POA中，PA=，则EF=.在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=，cos∠FED==∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.题8．(上海卷)在直三棱柱中，.（1）求异面直线与所成的角的大小；（2）若与平面S所成角为，求三棱锥的体积。解：(1)∵BC∥B1C1,∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角)∵∠ABC=90°,AB=BC=1,∴∠ACB=45°,∴异面直线B1C1与AC所成角为45°.(2)∵AA1⊥平面ABC,∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角,∠ACA=45°.∵∠ABC=90°,AB=BC=1,AC=,∴AA1=.∴三棱锥A1-ABC的体积V=S△ABC×AA1=.\n题9、（四川卷）如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，（Ⅰ）求证：面；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求三棱锥的体积。解：（Ⅰ）证明：取的中点，连结∵分别为的中点∵∴面，面∴面面∴面（Ⅱ）设为的中点∵为的中点∴∴面作，交于，连结，则由三垂线定理得，从而为二面角的平面角。在中，，从而在中，故：二面角的大小为（Ⅲ）；作，交于，由面得∴面∴在中，；∴\n讲义十五、立体几何提高练习题1、斜三棱柱ABC-A′B′C′中∠BAC=90o，且BC′⊥AC，过C′做C′H⊥平面ABC，垂足为H，则（）A、点H落于直线AC上B、点H落于直线AB上C、点H落于直线BC上D、点H落于三角形ABC之内★题2、如图,四棱锥的底面为菱形,且,,的中点.(1)求直线与平面所成角的大小;(2)求二面角的平面角的正切值;(3)在线段上是否存在一点,使成立?如果存在,求出的长;如果不存在,请说明理由.★题3、如图：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=AD=1，则（1）直线BC到平面PAD的距离为___________（找）（2）点D到平面PAC的距离为__________（做）（3）点C到平面PAB的距离为__________（先转化→再做）题4：（湖南05年文科4题）正方体ABCD-A′B′C′D′中棱长为1，E为A′B′中点，则E到平面ABC′D′\n的距离为（）BCD★题5．(2007北京·文)如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角．是的中点．（I）求证：平面平面；（II）求异面直线与所成角的大小．★题6．(2007安徽·文)如图，在三棱锥中，，，是的中点，且，．（I）求证：平面平面；（II）试确定角的值，使得直线与平面所成的角为．★题7．(2007四川·文)如图，平面PCBM⊥平面ABC,∠PCB=90°,PM∥BC,直线AM与直线PC所成的角为60°，又AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90°(Ⅰ)求证：AC⊥BM;(Ⅱ)求二面角M-AB-C的大小；（Ⅲ）求多面体PMABC的体积.\n★题8．(陕西卷)如图,α⊥β,α∩β=L,A∈α,B∈β,点A在直线L上的射影为A1,点B在L的射影为B1,已知AB=2,AA1=1,BB1=,求:(Ⅰ)直线AB分别与平面α,β所成角的大小;(Ⅱ)二面角A1－AB－B1的大小.