全国高中数学教案教程 20页

高考考点（一）三角函数的性质　　1、三角函数的定义域，值域或最值问题；　　2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇函数（或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等.　　3、三角函数的周期性；　　寻求型三角函数的周期以及难度较高的含有绝对值的三角函数的周期.　　（二）三角函数的图象　　1、基本三角函数图象的变换；　2、型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草图的逆用：由给出的一段函数图象求函数解析式；　　3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用；　　4、利用函数图象解决应用问题.　　（三）化归能力以及关于三角函数的认知变换水平.知识要点（一）三角函数的性质　　1、定义域与值域　　2、奇偶性　　（1）基本函数的奇偶性　　奇函数：y＝sinx，y＝tanx；　　偶函数：y＝cosx.　　（2）型三角函数的奇偶性　　（ⅰ）g（x）＝（x∈R）g（x）为偶函数　　由此得；　　同理，为奇函数　　.　　（ⅱ）为偶函数；为奇函数.　　3、周期性　　（1）基本公式　　（ⅰ）基本三角函数的周期　　y＝sinx，y＝cosx的周期为；　　y＝tanx，y＝cotx的周期为.　　（ⅱ）\n型三角函数的周期　　的周期为；　　的周期为.　　（2）认知　　（ⅰ）型函数的周期的周期为；的周期为.　　（ⅱ）的周期的周期为；的周期为.　　均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别.　　（ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.　　（ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明.　　（3）特殊情形研究　　（ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为；　　矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。（ⅱ）的最小正周期为；　　（ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为.　　由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象.　　4、单调性　　（1）基本三角函数的单调区间（族）　　依从三角函数图象识证“三部曲”：　　①\n选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；　　②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）；　　③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族）　　循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.　　揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.　　（2）y＝型三角函数的单调区间　　此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为　　①换元、分解：令u＝，将所给函数分解为内、外两层：y＝f（u），u＝；　　②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出f（u）的单调性，而后利用（1）中公式写出关于u的不等式；　　③还原、结论：将u＝代入②中u的不等式，解出x的取值范围，并用集合或区间形成结论.　　（二）三角函数的图象　　1、对称轴与对称中心　　（1）基本三角函数图象的对称性　　（ⅰ）　正弦曲线y＝sinx的对称轴为；　正弦曲线y＝sinx的对称中心为（，0）.　　（ⅱ）　余弦曲线y＝cosx的对称轴为；　余弦曲线y＝cosx的对称中心　　（ⅲ）正切曲线y＝tanx的对称中心为；　正切曲线y＝tanx无对称轴.　　认知：　　①两弦函数的共性：x＝为两弦函数f（x）对称轴为最大值或最小值；（，0）为两弦函数f（x）对称中心＝0.　　②正切函数的个性：　　（，0）为正切函数f（x）的对称中心＝0或不存在.　　（2）\n型三角函数的对称性（服从上述认知）　　（ⅰ）对于g（x）＝或g（x）＝的图象x＝为g（x）对称轴为最值（最大值或最小值）；（，0）为两弦函数g（x）对称中心＝0.（ⅱ）对于g（x）＝的图象（，0）为两弦函数g（x）的对称中心＝0或不存在.　　2、基本变换　（1）对称变换　（2）振幅变换（纵向伸缩）（3）周期变换（横向伸缩）（4）相位变换（左右平移）（5）上、下平移　　3、y＝的图象　　（1）五点作图法　　（2）对于A，T，，的认知与寻求：　①A：图像上最高点（或最低点）到平衡位置的距离；　　2A：图像上最高点与最低点在y轴上投影间的距离.　　②：图象的相邻对称轴（或对称中心）间的距离；：图象的对称轴与相邻对称中心间的距离.　　：由T＝得出.　　③：　　解法一：运用“代点法”求解，以图象的最高点（或最低点）坐标代入为上策，若以图象与x轴交点坐标代入函数式求，则须注意检验，以防所得值为增根；　　解法二：逆用“五点作图法”的过程（参见经典例题）.　　四、经典例题例1、求下列函数的值域：　　（1）　（2）　（3）　　（4）　　（5）　（6）　分析：对于形如（1）（2）（3）的函数求值域，基本策略是（ⅰ）化归为的值域；（ⅱ）转化为sinx（或cosx）的二次函数；对于（4）（5）（6）之类含有绝对值的函数求值域，基本策略则是（ⅰ）在适当的条件下考察y2；（ⅱ）转化为分段函数来处理；（ⅲ\n）运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化.　　解：　　（1）聞創沟燴鐺險爱氇谴净。∵∴，　　即所求函数的值域为.　　（2）由∴∴　注意到这里x∈R，，　　∴∴所求函数的值域为[－1，1].　　（3）这里　令sinx＋cosx＝t　则有　　且由　　于是有残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。∵∴因此，所求函数的值域为\n.（4）注意到这里y>0，且∵∴即所求函数的值域为.　　（5）注意到所给函数为偶函数，又当∴此时　　同理，当亦有.　∴所求函数的值域为.　　（6）令　则易见f（x）为偶函数，且∴是f（x）的一个正周期.　①　　只需求出f（x）在一个周期上的取值范围.　　当x∈[0，]时，　又注意到，　　∴x＝为f（x）图象的一条对称轴　②酽锕极額閉镇桧猪訣锥。∴只需求出f（x）在[0，]上的最大值.　　而在[0，]上，递增.③亦递增④∴由③④得f（x）在[0，]上单调递增.　　彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。∴　　即⑤　　于是由①、②、⑤得所求函数的值域为.　　点评：解（1）（2）运用的是基本化归方法；解（3）运用的是求解关于sinx＋cosx与sinxcosx的函数值域的特定方法；解（4）借助平方转化；解（5）（6）则是利用函数性质化繁为简，化暗为明.这一点在解（6）时表现得淋漓尽致.　　例2、求下列函数的周期：　　（1）；　　（2）；　　（3）；　　（4）；　　（5）\n分析：与求值域的情形相似，求三角函数的周期，首选是将所给函数化为＋k的形式，而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数，在不能利用已有认知的情况下，设法转化为分段函数来处理.　　解：　（1）　　＝　　＝謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。∴所求最小正周期.　　（2）＝　　＝＝∴所求周期.　　（3）　＝＝＝.注意到的最小正周期为，故所求函数的周期为.　　（4）　注意到3sinx及-sinx的周期为2，又sinx≥0（或sinx<0）的解区间重复出现的最小正周期为2.　　∴所求函数的周期为2.　　（5）　　注意到sin2x的最小正周期，又sinx≥0（或sinx<0）的解区间重复出现的最小正周期，这里的最小公倍数为.　　∴所求函数的周期\n.　　点评：对于（5），令　则由知，是f（x）的一个正周期.①　　又∴不是f（x）的最小正周期.②　　于是由①②知，f（x）的最小正周期为.　　在一般情况下，探求上述一类分段函数的周期，仅考虑各段函数的最小正周期的最小公倍数是不够的，还要考虑各分支中的条件区间重复出现的最小正周期.双方结合，方可能获得正确结果.　　厦礴恳蹒骈時盡继價骚。请大家研究的最小正周期，并总结自己的有关感悟与经验.　　例3、已知函数的部分图象，　　（1）求的值；　　（2）求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标.　　解：　　（1）令，则由题意得f（0）＝1∵∴　　注意到函数图象在所给长度为一个周期的区间的右端点横坐标为，故逆用“五点作图法”　得：　由此解得∴所求，.　　（2）由（1）得　令，解得，　　∴函数f（x）图象的对称轴方程为；令解得\n，　　∴函数f（x）图象的对称中心坐标为.　　点评：前事不忘，后事之师.回顾运用“五点作图法”作出所给三角函数在一个周期内图象的列表、描点过程，便可从中悟出所给函数图象上的五个关键点横坐标满足的等式：　　例4、　（1）函数的单调递增区间为。　　（2）若函数上为单调函数，则a的最大值为。　　（3）　函数的图象的对称中心是。　　函数的图象中相邻两条对称轴的距离为。（4）把函数的图象向左平移m（m>0）个单位，所得的图象关于y轴对称，则m的最小正值为。　　（5）对于函数，给出四个论断：　　①它的图象关于直线x＝对称；　　②它的图象关于点（,0）对称；　　③它的周期为；　　④它在区间〔－，0〕上单调递增.　　以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的命题,它是。　　分析：　　（1）这里的递增区间的正号递减区间递增且茕桢广鳓鯡选块网羈泪。\n∴应填　　（2）由f（x）递增得　　易见，　　由f（x）递减得　　当k＝0时，　注意到而不会属于其它减区间，　故知这里a的最大值为.（3）（ⅰ）令∴所给函数图象的对称中心为（，0）；　　（ⅱ）①　　解法一（直接寻求）　在①中令　则有②　　又在②中令k＝0得，　　令k＝1得∴所求距离为－　　解法二（借助转化）：注意到所求距离等于函数的最小周期的一半，又由①得这一函数的最小正周期为T＝，故所求距离为\n.　　（4）这里将这一函数图象向左平移m（m>0）个单位，所得图象的函数解析式为　　令　　则由题设知f（x）为偶函数f（－x）＝f（x）　∴所求m的最小值为.　　（5）为使解题的眉目清晰，首先需要认定哪个论断必须作为条件，哪个论断只能作为结论，哪个论断既可作为条件，又可作为结论；一般地，独自决定图象形状的论断必须作为条件，既不能决定形状，也不能确定位置的论断只能作为结论.在这里，③必须作为条件，而④只能作为结论.于是这里只需考察　　①、③②、④与②、③①、④这两种情形.　　（ⅰ）考察①、③②、④是否成立.由③得，故；又由①得　　注意到.　∴在①、③之下，，易知此时②、④成立.　　（ⅱ）考察②、③①、④是否成立.　　由③得，故；　　又由②得　注意到.　　∴在②、③之下，，易知此时①、④成立.　　于是综合（ⅰ）（ⅱ）得正确的命题为①、③②、④与②、③①、④.点评：对于（4）利用了如下认知：；　　\n.　　对于（5），认定哪个论断必须作为条件，哪个论断必须作为结论是认知问题和简化解题过程的关键，请大家注意领悟和把握这一环节.　　例5、已知的最小正周期为2，当时，f（x）取得最大值2.　　（1）求f（x）的表达式；　　（2）在闭区间上是否存在f（x）图象的对称轴？如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由.　　分析：出于利用已知条件以及便于考察f（x）的图象的对称轴这两方面的考虑，先将f（x）化为＋k的形式，这是此类问题的解题的基础.　　解：　（1）去　　令，，即　则有①　　由题意得②　又由①知，注意到这里A>0且B>0，取辅助角，　　则由②得③　　（2）在③中令　解得x＝k＋　　解不等式④　　注意到，故由④得k＝5.　　于是可知，在闭区间上有且仅有一条对称轴，这一对称轴的方程为.　　点评：对于最值，对称轴和对称中心等问题，f（x）一经化为＋k的形式，解题便胜券在握.　　例6、已知点的图象上.若定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，＋∞\n）上是增函数，且g（2）＝0.求当g[f（x）]<0且x∈[0，]时，实数a的取值范围.　　分析：由点A、B都在函数的图象上　得：，∴b＝a，c＝1－a.　　∴∴　　此时，由g[f（x）]<0且x∈[0，]解出a的范围，一方面需要利用g（x）的单调性脱去“f”，另一方面又要注意借助换元进行转化：化生为熟，化繁为简.因此，下一步的首要工作是考察并利用g（x）的单调性.　　解：由分析得∵定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，＋∞）上是增函数，且g（2）＝0，①∴g（x）在（－∞，0）上是增函数，且g（－2）＝0②∴由①②知，当x<-2或00),　　由00且h（t）<2　　（1）h(t)>0，⑤　当a>0时，h(t)在上递增，　∴由⑤得，h(1)>0，显然成立；　　当a<0时，h(t)在上递减　　∴由⑤得，h()>0（－1）a＋1>0；　　当a＝0时，h（t）显然满足10，得　　－－10时，h(t)在上递增，∴\n由⑦得，h()<2；　　当a<0时，h(t)在上递减　　∴由⑦得，h(1)<2,显然满足条件；　当a＝0时，h（t）＝1，显然满足条件.　　因此由⑦得⑧　　于是综合（1）（2）知，由0