高中数学必修5教案整理 15页

教案1.教学正弦定理的推导：①特殊情况：直角三角形中的正弦定理：sinA=sinB=sinC=1即c=.②能否推广到斜三角形？（先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据三角函数的定义，有,则.同理，（思考如何作高？），从而.③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC=.两边同除以即得：==.证明二：（外接圆法）如图所示，∠A＝∠D，∴，同理=2R，＝2R.证明三：（向量法）过A作单位向量垂直于，由+=边同乘以单位向量得…..④正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值.2.教学例题：①出示例1：在中，已知，，cm，解三角形.分析已知条件→讨论如何利用边角关系→示范格式→小结：已知两角一边②出示例2：.分析已知条件→讨论如何利用边角关系→示范格式→小结：已知两边及一边对角③练习：.在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）④讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？3.小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论.三、巩固练习：1.已知ABC中，A=60°，，求1.教学余弦定理的推导：①如图在中，、、的长分别为、、.∵，∴.即，→②试证：，.③提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.用符号语言表示，…等；→基本应用：已知两边及夹角④讨论：已知三边，如何求三角？\n→余弦定理的推论：，…等.⑤思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？2.教学例题：①出示例1：在ABC中，已知，，，求b及A.分析已知条件→讨论如何利用边角关系→示范求b→讨论：如何求A？（两种方法）（答案：，）→小结：已知两边及夹角②在ABC中，已知，，，解三角形.分析已知条件→讨论如何利用边角关系→分三组练习→小结：已知两角一边3.练习：①在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.②在ΔABC中，已知a＝2，b＝3，C＝82°，解这个三角形.4.小结：余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边.三、巩固练习：1.在ABC中，若，求角A.（答案：A=120）2.三角形ABC中，A＝120°，b＝3，c＝5，解三角形.→变式：求sinBsinC；sinB＋sinC.1.教学三角形的解的讨论：①出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.(i)A＝，a＝25，b＝50；(ii)A＝，a＝25，b＝50；(iii)A＝，a＝，b＝50；(iiii)A＝，a＝50，b＝50.分两组练习→讨论：解的个数情况为何会发生变化？②用如下图示分析解的情况.（A为锐角时）②练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.(i)A＝，a＝25，b＝50；(ii)A＝，a＝25，b＝102.教学正弦定理与余弦定理的活用：①出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求最大角的余弦.分析：已知条件可以如何转化？→引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.②出示例3：在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，判断三角形的类型.分析：由三角形的什么知识可以判别？→求最大角余弦，由符号进行判断结论：活用余弦定理，得到：③出示例4：已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角？→再思考：又如何将角化为边？3.小结：三角形解的情况的讨论；判断三角形类型；边角关系如何互化.三、巩固练习：\n1.已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且，求的值2.在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝4:5:6，则cosA:cosB:cosC＝.[探索研究](图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又,A则bc从而在直角三角形ABC中，CaB(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则，C同理可得，ba从而AcB(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（证法二）：过点A作，C由向量的加法可得则AB∴∴，即同理，过点C作，可得从而类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即\n[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；（2）等价于，，从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。[例题分析]例1．在中，已知，，cm，解三角形。评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。Ⅲ.课堂练习第5页练习第1（1）、2（1）题。[补充练习]已知ABC中，，求（答案：1：2：3）Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式：；或，，（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。[探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。A如图1．1-5，设，，，那么，则CB从而(图1．1-5)同理可证\n于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若ABC中，C=，则，这时由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。[例题分析]例1．在ABC中，已知，，，求b及A评述：解法二应注意确定A的取值范围。例2．在ABC中，已知，，，解三角形[补充练习]在ABC中，若，求角A（答案：A=120）Ⅳ.课时小结（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。[探索研究]例1．在ABC中，已知，讨论三角形解的情况分析：先由可进一步求出B；则从而1．当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。2．当A为锐角时，\n如果≥，那么只有一解；如果，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若，则有两解；（2）若，则只有一解；（3）若，则无解。（以上解答过程详见课本第910页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。[随堂练习1]（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。（2）在ABC中，若，，，则符合题意的b的值有_____个。（3）在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。（答案：（1）有两解；（2）0；（3））例2．在ABC中，已知，，，判断ABC的类型。分析：由余弦定理可知（注意：）[随堂练习2]（1）在ABC中，已知，判断ABC的类型。（2）已知ABC满足条件，判断ABC的类型。（答案：（1）；（2）ABC是等腰或直角三角形）例3．在ABC中，，，面积为，求的值分析：可利用三角形面积定理以及正弦定理Ⅲ.课堂练习（1）在ABC中，若，，且此三角形的面积，求角C（2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积，求角C（答案：（1）或；（2））Ⅳ.课时小结（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；\n（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即　　===2R（R为△ABC外接圆半径）1．直角三角形中：sinA=，sinB=，sinC=1即　　c=，c=，c=．∴==2．斜三角形中证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC=两边同除以即得：==证明二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴同理=2R，＝2R证明三：（向量法）过A作单位向量垂直于由　+=两边同乘以单位向量得•(+)=•则•+•=•∴||•||cos90°+||•||cos(90°-C)=||•||cos(90°-A)∴∴=同理，若过C作垂直于得：=∴==正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题：1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:\n⑴若A为锐角时:⑵若A为直角或钝角时:三、讲解范例：例1已知在例2在例3例4已知△ABC，BＤ为B的平分线，求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB∶AD＝BC∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用四、课堂练习：1在△ABC中，,则k为()A2RBRC4RD(R为△ABC外接圆半径)2△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为()A直角三角形B等腰直角三角形C等边三角形D等腰三角形3在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件\n4在△ABC中，求证：参考答案：1A，2A3C4五、小结正弦定理，两种应用六、课后作业：1在△ABC中，已知，求证：a2，b2，c2成等差数列证明：由已知得sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）·sin（A－B）cos2B－cos2C＝cos2A－cos2B2cos2B＝cos2A＋cos2C∴2sin2B＝sin2A＋sin2C由正弦定理可得2b2＝a2＋c2即a2，b2，c2成等差数列1正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即　　===2R（R为△ABC外接圆半径）2正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题：1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:⑴若A为锐角时:\n⑵若A为直角或钝角时:3．在Rt△ABC中(若C=90°)有：在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？二、讲解新课：1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即[问题]对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？[推导]如图在中，、、的长分别为、、∵∴即同理可证，2．余弦定理可以解决的问题\n利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角三、讲解范例：例1在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C例2在ΔABC中，已知a＝2730，b＝3696，C＝82°28′，解这个三角形例3ΔABC三个顶点坐标为(6，5)、(－2，8)、(4，1)，求A例4设=(x1,y1)=(x2,y2)与的夹角为q（0≤q≤p），求证：x1x2+y1y2=||||cosq四、课堂练习：1在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为()A直角三角形B锐角三角形C等腰三角形D等边三角形2在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为 3在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为4在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A=参考答案：1C2钝角三角形，直角三角形，锐角三角形3等腰三角形4120°五、小结余弦定理及其应用六、课后作业：1在△ABC中，证明下列各式：（1）（a2－b2－c2）tanA＋（a2－b2＋c2）tanB＝0(2)2在△ABC中，已知sinB·sinC＝cos2，试判断此三角形的类型一、复习引入：正弦定理：余弦定理：，\n二、讲授新课：1正余弦定理的边角互换功能对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它其实，在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决例1已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且，求的值例2已知△ABC中，三边a、b、c所对的角分别是A、B、C，且a、b、c成等差数列求证：sinA＋sinC＝2sinB2正、余弦定理的巧用某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：例3求sin220°＋cos280°＋sin20°cos80°的值例4在△ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长()分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角关系其中利用正弦二倍角展开后出现了cosα，可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的评述：此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的方程例5已知三角形的一个角为60°，面积为10cｍ2，周长为20cｍ，求此三角形的各边长分析：此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于边长为三个未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知60°角的余弦，其二可用面积公式Ｓ△ABC＝absinC表示面积，其三是周长条件应用评述：(1)在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用(2)由条件得到的是一个三元二次方程组，要注意要求学生体会其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力三、课堂练习：1在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是() A等边三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰三角形或直角三角形2在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，则此三角形为()A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形3在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，则secA=4△ABC中，，则三角形为5在△ABC中，角A、B均为锐角且cosA＞sinB，则△ABC是\n 6已知△ABC中，，试判断△ABC的形状7在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断△ABC的形状参考答案：1D2A384等腰三角形5钝角三角形6等边三角形7等腰三角形或直角三角形四、小结熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用，并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断五、课后作业：1在△ABC中，已知，求证：a2，b2，c2成等差数列2在△ABC中，A＝30°，cosB＝2sinB－sinC(1)求证：△ABC为等腰三角形；(提示B＝C＝75°)(2)设D为△ABC外接圆的直径BE与AC的交点，且AB＝2，求AD∶DC的值一、复习引入：正弦定理：余弦定理：，二、讲解范例：例1在任一△ABC中求证：例2在△ABC中，已知，，B=45°求A、C及c例3在△ABC中，BC=a,AC=b,a,b是方程的两个根，且2cos(A+B)=1求（1）角C的度数（2）AB的长度（3）△ABC的面积例4如图，在四边形ABCD中，已知AD^CD,AD=10,AB=14,ÐBDA=60°,ÐBCD=135°求BC的长\n例5△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1°求最大角;2°求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积例6在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为ｘ后，建立关于ｘ的方程而正弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下：由三角形内角平分线性质可得，设BD＝5ｋ，DC＝3ｋ，则由互补角∠ADC、∠ADB的余弦值互为相反数建立方程，求出BC后，再结合余弦定理求出cosA，再由同角平方关系求出sinA三、课堂练习：1半径为1的圆内接三角形的面积为0．25，求此三角形三边长的乘积评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：，其中R为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式Ｓ△ABC＝发生联系，对abc进行整体求解2在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用3在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，求cosC的值评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具体确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较四、小结通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力1正、余弦定理的综合运用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得：sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，下面举例说明之［例1］在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sinAsinC，求B的度数\n［例2］求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值［例3］在△ABC中，已知2cosBsinC＝sinA，试判定△ABC的形状2一题多证［例4］在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形证法一：欲证△ABC为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数由正弦定理得a＝∴2bcosC＝，即2cosC·sinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC∴sinBcosC－cosBsinC＝0即sin（B－C）＝0，∴B－C＝ｎπ（ｎ∈Ｚ）∵B、C是三角形的内角，∴B＝C，即三角形为等腰三角形证法二：根据射影定理，有a＝bcosC＋ccosB，又∵a＝2bcosC∴2bcosC＝bcosC＋ccosB∴bcosC＝ccosB，即又∵∴即tanB＝tanC∵B、C在△ABC中，∴B＝C∴△ABC为等腰三角形证法三：∵cosC＝∴化简后得b2＝c2∴b＝c∴△ABC是等腰三角形