人教版高中数学《数列》全部教案 41页

第三章数列第一教时教材：数列、数列的通项公式目的：要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。过程：一、从实例引入（P110）1．堆放的钢管4,5,6,7,8,9,102．正整数的倒数3．4．-1的正整数次幂：-1,1,-1,1,…5．无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,…二、提出课题：数列1．数列的定义：按一定次序排列的一列数（数列的有序性）2．名称：项，序号，一般公式，表示法3．通项公式：与之间的函数关系式如数列1：数列2：数列4：4．分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列；有穷数列、无穷数列。5．实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。6．用图象表示：—是一群孤立的点例一（P111例一略）三、关于数列的通项公式1．不是每一个数列都能写出其通项公式（如数列3）2．数列的通项公式不唯一如数列4可写成和\n1．已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要例二（P111例二）略四、补充例题：写出下面数列的一个通项公式，使它的前项分别是下列各数：1．1，0，1，02．，，，，3．7，77，777，77774．-1，7，-13，19，-25，315．，，，五、小结：1．数列的有关概念2．观察法求数列的通项公式六、作业：练习P112习题3．1（P114）1、2《课课练》中例题推荐2练习7、8第二教时教材：数列的递推关系目的：要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列递推公式的意义，会根据给出的递推公式写出数列的前n项。过程：一、复习：数列的定义，数列的通项公式的意义（从函数观点出发去刻划）二、例一：若记数列的前n项之和为Sn试证明：证：显然时，当即时∴∴\n注意：1°此法可作为常用公式2°当时满足时，则例二：已知数列的前n项和为①②求数列的通项公式。解：1．当时，当时，经检验时也适合2．当时，当时，∴三、递推公式（见课本P112-113略）以上一教时钢管的例子从另一个角度，可以：“递推公式”定义：已知数列的第一项，且任一项与它的前一项（或前项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式。例三（P113例三）略例四已知，求．解一：可以写出：，，，，……观察可得：解二：由题设：\n∴∴例五已知，求．解一：观察可得：解二：由∴即∴∴四、小结：由数列和求通项递推公式（简单阶差、阶商法）五、作业：P114习题3．13、4《课课练》P116-118课时2中例题推荐1、2课时练习6、7、8第三教时教材：等差数列（一）目的：要求学生掌握等差数列的意义，通项公式及等差中项的有关概念、计算公式，并能用来解决有关问题。过程：一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，……3，0，-3，-6，……，，，，……12，9，6，3，……\n特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数—“等差”一、得出等差数列的定义：（见P115）注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。1．名称：AP首项公差2．若则该数列为常数列3．寻求等差数列的通项公式：由此归纳为当时（成立）注意:1°等差数列的通项公式是关于的一次函数2°如果通项公式是关于的一次函数，则该数列成AP证明：若它是以为首项，为公差的AP。3°公式中若则数列递增，则数列递减4°图象：一条直线上的一群孤立点三、例题：注意在中，，，四数中已知三个可以求出另一个。例一（P115例一）例二（P116例二）注意：该题用方程组求参数例三（P116例三）此题可以看成应用题四、关于等差中项：如果成AP则证明：设公差为，则∴例四《教学与测试》P77例一：在-1与7之间顺次插入三个数使这五个数成AP，求此数列。解一：∵∴是-1与7的等差中项∴又是-1与3的等差中项∴\n又是1与7的等差中项∴解二：设∴∴所求的数列为-1，1，3，5，7五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项六、作业：P118习题3．21-9第四教时教材：等差数列（二）目的：通过例题的讲解，要求学生进一步认清等差数列的有关性质意义，并且能够用定义与通项公式来判断一个数列是否成等差数列。过程：一、复习：等差数列的定义，通项公式二、例一在等差数列中，为公差，若且求证：1°2°证明：1°设首项为，则∵∴2°∵∴注意：由此可以证明一个定理：设成AP，则与首末两项距离相等的两项和等于首末两项的和，即：同样：若则例二在等差数列中，1°若求\n解：即∴2°若求解：=3°若求解：即∴从而4°若求解：∵6+6=11+17+7=12+2……∴……从而+2∴=2-=2×80-30=130三、判断一个数列是否成等差数列的常用方法1．定义法：即证明例三《课课练》第3课例三已知数列的前项和，求证数列成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。解：当时时亦满足∴首项∴成AP且公差为62．中项法：即利用中项公式，若则成AP。例四《课课练》第4课例一\n已知，，成AP，求证，，也成AP。证明：∵，，成AP∴化简得：=∴，，也成AP3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于的一次函数这一性质。例五设数列其前项和，问这个数列成AP吗？解：时时∵∴∴数列不成AP但从第2项起成AP。四、小结：略五、作业：《教学与测试》第37课练习题《课课练》第3、4课中选第五教时教材：等差数列前项和（一）目的：要求学生掌握等差数列的求和公式，并且能够较熟练地运用解决问题。过程：一、引言：P119著名的数学家高斯（德国1777-1855）十岁时计算1+2+3+…+100的故事故事结束：归结为1．这是求等差数列1，2，3，…，100前100项和\n2．高斯的解法是：前100项和即二、提出课题：等差数列的前项和1．证明公式1：证明：①②①+②：∵∴由此得：从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性。2．推导公式2用上述公式要求必须具备三个条件：但代入公式1即得：此公式要求必须具备三个条件：（有时比较有用）总之：两个公式都表明要求必须已知中三个3．例一（P120例一）：用公式1求例二（P120例一）：用公式2求学生练习：P122练习1、2、3三、例三（P121例三）求集合的元素个数，并求这些元素的和。解：由得∴正整数共有14个即中共有14个元素即：7，14，21，…，98是\n∴答：略例四已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前项和的公式吗？解：由题设：得：∴四、小结：等差数列求和公式五、作业（习题3．1）P122-123第六教时教材：等差数列前项和（二）目的：使学生会运用等差数列前项和的公式解决有关问题，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。过程：一、复习：等差数列前项和的公式二、例一在等差数列中1°已知求和；解：2°已知，求．解：∵∴例二已知，都成AP，且，，试求数列的前100项之和．解：例三一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。\n解一：设首项为，公差为则解二：由例四已知：（）问多少项之和为最大？前多少项之和的绝对值最小？解：1°∴2°当近于0时其和绝对值最小令：即1024+得：∵∴例五项数是的等差数列，中央两项为是方程的两根，求证此数列的和是方程的根。（）解：依题意：∵∴∵\n∴∴（获证）例六（机动，作了解）求和1°解：∴2°解：原式=三、作业《精编》P167-1686、7、8、9、10第七教时教材：等差数列的综合练习目的：通过练习，要求学生对等差数列的定义，通项公式，求和公式及其性质有深刻的理解。过程：一、复习：1．等差数列的定义，通项公式—关于的一次函数2．判断一个数列是否成等差数列的常用方法3．求等差数列前项和的公式二、处理《教学与测试》P79第38课例题1、2、3三、补充例题《教学与测试》备用题1．成等差数列的四个数之和为26，第二数和第三数之积为40，求这四个数．解：设四个数为则：由①：代入②得：∴四个数为2,5,8,11或11,8,5,2．\n2．在等差数列中，若求．解：∵∴而3．已知等差数列的前项和为，前项和为，求前项和．解：由题设∴而从而：四、补充例题：（供参考，选用）4．已知，求及．解：从而有∵∴∴∴5．已知求的关系式及通项公式解：②-①：即：将上式两边同乘以得：即：显然：是以1为首项，1为公差的AP∴\n∴6．已知，求及．解：∵∴∴设则是公差为1的等差数列∴又：∵∴∴当时∴7．设求证：证：∵∴∴∴五、作业：《教学与测试》第38课练习题P80第八教时教材：等比数列（一）目的：要求学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式并会根据它进行有关计算。过程：一、1.印度国王奖赏国际象棋发明者的实例：得一个数列：(1)2.数列：(2)\n(3)观察、归纳其共同特点：1°“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)2°隐含：任一项3°q=1时，{an}为常数二、通项公式：三、例一：（P127例一）实际是等比数列，求a5∵a1=120,q=120∴a5=120×1205-1=12052.5×1010例二、（P127例二）强调通项公式的应用例三、求下列各等比数列的通项公式：1．a1=-2,a3=-8解：2．a1=5,且2an+1=-3an解：3．a1=5,且解：以上各式相乘得：四、关于等比中项：\n如果在a、b中插入一个数G，使a、G、b成GP，则G是a、b的等比中项。（注意两解且同号两项才有等比中项）例：2与8的等比中项为G，则G2=16G=±4例四、已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号，求证：也成GP。证：由题设：b2=ac得：∴也成GP五、小结：等比数列定义、通项公式、中项定理六、作业：P129习题3．41—8第九教时教材：等比数列（二）目的：在熟悉等比数列有关概念的基础上，要求学生进一步熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断一个数列是否成等比数列的方法。过程：一、复习：1、等比数列的定义，通项公式，中项。2、处理课本P128练习，重点是第三题。二、等比数列的有关性质：1、与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方。2、若，则。例一：1、在等比数列，已知，，求。解：∵，∴2、在等比数列中，，求该数列前七项之积。解：∵，∴前七项之积3、在等比数列中，，，求，\n解：另解：∵是与的等比中项，∴∴三、判断一个数列是否成GP的方法：1、定义法，2、中项法，3、通项公式法例二：已知无穷数列，求证：（1）这个数列成GP（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的，（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。证：（1）（常数）∴该数列成GP。（2），即：。（3），∵，∴。∴且，∴，（第项）。例三：设均为非零实数，，求证：成GP且公比为。证一：关于的二次方程有实根，∴，∴则必有：，即，∴成GP设公比为，则，代入∵，即，即。证二：∵\n∴∴，∴，且∵非零，∴。四、作业：《课课练》P127-128课时7中练习4~8。P128-129课时8中例一，例二，例三，练习5，6，7，8。第十教时教材：等比数列的前项和目的：要求学生掌握求等比数列前项的和的（公式），并了解推导公式所用的方法。过程：一、复习等比数列的通项公式，有关性质，及等比中项等概念。二、引进课题，采用印度国际象棋发明者的故事，即求①用错项相消法推导结果，两边同乘以公比：②②－①：这是一个庞大的数字>1．84×，以小麦千粒重为40计算，则麦粒总质量达7000亿吨——国王是拿不出来的。三、一般公式推导：设①乘以公比，②①-②：，时：时：注意：（1）和各已知三个可求第四个，（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆，（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况。四、例1、（P131，例一略）——直接应用公式。例2、（P131，例二略）——应用题，且是公式逆用（求），要用对数算。例3、（P131-132，例三略）——简单的“分项法”。例4、设数列为求此数列前项的和。\n解：（用错项相消法）①②①-②，当时，当时，五、小结：（1）等比数列前项和的公式，及其注意点，（2）错项相消法。再介绍两种推导等比数列求和公式的方法，（作机动）法1：设∵成GP，∴由等比定理：即：当时，当时，法2：从而：当时（下略）当时六、作业：P132-133练习①，②，③习题3．5①，②，③，④，⑤\n第十一教时教材：等比数列《教学与测试》第40、41课目的：通过处理有关习题以达到复习、巩固等比数列的有关知识与概念的目的。过程：一、复习：等比数列的有关概念，等比数列前n项和的公式二、处理《教学与测试》第40课：例一、（P83）先要求x，还要检验（等比数列中任一项an¹0,q¹0）例二、（P83）注意讲：1°“设”的技巧2°区别“计划增产台数”与“实际生产台数”例三、（P83）涉及字母比较多（5个），要注意消去a2,a4例四、（备用题）已知等比数列{an}的通项公式且：，求证：{bn}成GP证：∵∴∴∴{bn}成GP三、处理《教学与测试》第41课：例一、（P85）可利用等比数列性质a1an=a2an-1,再结合韦达定理求出a1与an（两解），再求解。例二、（P85）考虑由前项求通项，得出数列{an}，再得出数列{}，再求和——注意：从第二项起是公比为的GP例三、（P85）应用题：先弄清：资金数=上年资金×（1+50%）-消费基金。然后逐一推算，用数列观点写出a5，再用求和公式代入求解。例四、（备用题）已知数列{an}中，a1=-2且an+1=Sn，求an,Sn解：∵an+1=Sn又∵an+1=Sn+1-Sn∴Sn+1=2Sn∴{Sn}是公比为2的等比数列，其首项为S1=a1=-2,∴S1=a1×2n-1=-2n∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n-1∴例五、（备用题）是否存在数列{an}，其前项和Sn组成的数列{Sn}也是等比数列，且公比相同？\n解：设等比数列{an}的公比为q，如果{Sn}是公比为q的等比数列，则：∴所以，这样的等比数列不存在。四、作业：《教学与测试》P84、P86练习题第十二教时教材：等比数列综合练习目的：系统复习等比数列的概念及有关知识，要求学生能熟练的处理有关问题。过程：一、处理《教学与测试》P87第42课习题课（2）BAP2P1P3P4Pn1、“练习题”1选择题。2、（例一）略：注意需用性质。3、（例三）略：作图解决：解：二、补充例题：1、在等比数列中，，求的范围。解：∵，∴又∵，且，∴，∴解之：当时，，∴（∵）\n当时，，∵且必须为偶数∴，（∵）2、等比数列前项和与积分别为S和T，数列的前项和为，求证：证：当时，，，，∴，（成立）当时，，，（成立）综上所述：命题成立。3、设首项为正数的等比数列，它的前项之和为80，前项之和为6560，且前项中数值最大的项为54，求此数列。解：代入（1），，得：，从而，∴递增，∴前项中数值最大的项应为第项。∴，∴，\n∴，∴此数列为4、设数列前项之和为，若且，问：数列成GP吗？解：∵，∴，即即：，∴成GP又：，∴不成GP，但时成GP，即：。三、作业：《教学与测试》P87-88练习题3，4，5，6，7补充：1、三数成GP，若将第三数减去32，则成AP，若将该等差数列中项减去4，以成GP，求原三数。（2，10，50或）2、一个等比数列前项的和为前项之和，求。（63）3、在等比数列中，已知：，求。《精编》P176-177第2，4题。第十三教时教材：数列求和目的：小结数列求和的常用方法，尤其是要求学生初步掌握用拆项法、裂项法和错位法求一些特殊的数列。过程：一、提出课题：数列求和——特殊数列求和常用数列的前n项和：\n一、拆项法：例一、（《教学与测试》P91例二）求数列的前n项和。解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，则当时，当时，二、裂项法：例二、求数列前n项和解：设数列的通项为bn，则例三、求数列前n项和解：三、错位法：例四、求数列前n项和解：①\n②两式相减：例五、设等差数列{an}的前n项和为Sn，且，求数列{an}的前n项和解：取n=1，则又：可得：五、作业：《教学与测试》P91—92第44课练习3，4，5，6，7补充：1.求数列前n项和2.求数列前n项和3.求和：(5050)4.求和：1×4+2×5+3×6+……+n×(n+1)5.求数列1，(1+a)，(1+a+a2)，……，(1+a+a2+……+an-1)，……前n项和\n第十四教时教材：数列的应用目的：引导学生接触生活中的实例，用数列的有关知识解决具体问题，同时了解处理“共项”问题。过程：一、例题：1．《教学与测试》P93例一）大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设在第k层的临时会议室开会，问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）解：设相邻两层楼梯长为a，则当n为奇数时，取S达到最小值当n为偶数时，取S达到最大值2．在［1000，2000］内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？解：不妨设，则{cp}为{an}与{bn}的公共项构成的等差数列(1000≤cp≤2000)∵an=bm,即：3n=4m+1令n=3,则m=2∴c1=9且有上式可知：d=12∴cp=9+12(p-1)(pÎN*)由1000≤cn≤2000解得：∴p取84、85、……、166共83项。3．某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6m2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m2？(精确到0.01)解：1991年、1992年、……2000年住房面积总数成APa1=6×500=3000万m2，d=30万m2，a10=3000+9×30=32701990年、1991年、……2000年人口数成GPb1=500,q=1%,\n∴2000年底该城市人均住房面积为：4．（精编P175例3）从盛有盐的质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg盐水，然后再加入1kg水，问：1.第5次倒出的的1kg盐水中含盐多少g？2.经6次倒出后，一共倒出多少k盐？此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为{an}，则：a1=0.2kg,a2=×0.2kg,a3=()2×0.2kg由此可见：an=()n-1×0.2kg,a5=()5-1×0.2=()4×0.2=0.0125kg2.由1.得{an}是等比数列a1=0.2,q=一、作业：《教学与测试》P94练习3、4、5、6、7《精编》P1775、6第十五教时教材：等差、等比数列的综合练习目的：通过复习要求学生对等差、等比数列有更深刻的理解，逐渐形成熟练技巧。过程：二、小结：等差、等比数列的定义、通项公式、中项公式、性质、求和公式。三、处理《教学与测试》P81第39课习题课（1）1．基础训练题2．例一由求用定义法判定成AP例二关键是首先要判定或四、处理《教学与测试》P89第43课等差数列与等比数列1．例一“设”—利用中项公式—求解\n2．例二“设”的技巧，然后依题意列式，再求解3．例三已知数列中，是它的前项和，并且，1°设，求证数列是等比数列；2°设，求证数列是等差数列。证：1°∵∴，∵两式相减得：即：∵∴即是公比为2的等比数列2°∵∴将代入：∴成AP一、1、P90“思考题”在△ABC中，三边成等差数列，也成等差数列，求证△ABC为正三角形。证：由题设，且∴∴即从而∴（获证）2、“备用题”三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数。解：设原来三个数为则必有①②由①：代入②得：或从而或13∴原来三个数为2,10,50或二、作业：《教学与测试》P81-82练习题3、4、5、6、7P905、6、7、8第十六教时教材：数列极限的定义\n目的：要求学生首先从实例（感性）去认识数列极限的含义，体验什么叫无限地“趋近”，然后初步学会用语言来说明数列的极限，从而使学生在学习数学中的“有限”到“无限”来一个飞跃。过程：一、实例：1°当无限增大时，圆的内接正边形周长无限趋近于圆周长2°在双曲线中，当时曲线与轴的距离无限趋近于0二、提出课题：数列的极限考察下面的极限1°数列1：①“项”随的增大而减少②但都大于0③当无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数02°数列2：①“项”随的增大而增大②但都小于1③当无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数13°数列3：①“项”的正负交错地排列，并且随的增大其绝对值减小②当无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数引导观察并小结，最后抽象出定义：一般地，当项数无限增大时，无穷数列的项无限地趋近于某个数（即无限地接近于0），那么就说数列以为极限，或者说是数列的极限。（由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限）数列1的极限为0，数列2的极限为1，数列3的极限为0三、例一（课本上例一）略注意：首先考察数列是递增、递减还是摆动数列；再看这个数列当无限增大时是否可以“无限趋近于”某一个数。练习：（共四个小题，见课本）四、有些数列为必存在极限，例如：都没有极限。\n例二下列数列中哪些有极限？哪些没有？如果有，极限是几？1．2．3．4．5．解：1．：0,1,0,1,0,1,……不存在极限2．：极限为03．：不存在极限4．：极限为05．：先考察：无限趋近于0∴数列的极限为一、关于“极限”的感性认识，只有无穷数列才有极限二、作业：习题1补充：写出下列数列的极限：1°0.9,0.99,0.999,……2°3°4°5°第十七教时教材：数列极限的定义（）目的：要求学生掌握数列极限的定义，并能用它来说明（证明）数列的极限。过程：三、复习：数列极限的感性概念四、数列极限的定义1．以数列为例观察：随的增大，点越来越接近\n即：只要充分大，表示点与原点的距离可以充分小进而：就是可以小于预先给定的任意小的正数2．具体分析：(1)如果预先给定的正数是，要使<只要即可即：数列的第10项之后的所有项都满足(2)同理：如果预先给定的正数是，同理可得只要即可(3)如果预先给定的正数是，同理可得：只要即可3．小结：对于预先给定的任意小正数，都存在一个正整数，使得只要就有<4．抽象出定义：设是一个无穷数列，是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数，总存在正整数，使得只要正整数，就有<，那么就说数列以为极限（或是数列的极限）记为：读法：“”趋向于“”无限增大时注意：①关于：不是常量，是任意给定的小正数②由于的任意性，才体现了极限的本质③关于：是相对的，是相对于确定的，我们只要证明其存在④：形象地说是“距离”，可以比大趋近于，也可以比小趋近于，也可以摆动趋近于一、处理课本例二、例三、例四例三：结论：常数数列的极限是这个常数本身例四这是一个很重要的结论二、用定义证明下列数列的极限：1．2．证明1：设是任意给定的小正数\n要使即：两边取对数取…………介绍取整函数当时，恒成立∴证明2：设是任意给定的小正数要使只要取当时，恒成立∴第十八教时教材：数列极限的四则运算目的：要求学生掌握数列极限的四则运算法则，并能运用法则求数列的极限。过程：一、复习：数列极限的定义二、提出课题：数列极限的四则运算法则1．几个需要记忆的常用数列的极限2．运算法则：如果则：3．语言表达（见教材，略）此法则可以推广到有限多个数列的情形解释：如数列它的极限为1它的极限为2\n则它的极限为3即：一、处理课本例一、例二略例三（机动，作巩固用）求下列数列的极限：1．解：原式=2．解：原式=3．解：原式=小结：例四、首项为1，公比为的等比数列的前项的和为，又设，求解：当时，当时，当时，当时，不存在\n一、小结：运算法则、常用极限及手段二、作业：练习1、2习题1补充：（附纸）第十九教时教材：数列极限的运算目的：继续学习数列极限的运算，要求学生能熟练地解决具体问题。过程：一、复习数列极限的运算法则例一、先求极限，再用ε—N定义证明。解：任给则令二、先求和，后求极限：例二、求极限1．解：原式=（指出：原式=0+0+0+……+0=0是错误的）2．解：原式=\n3．解：4．已知数列{an}中，求解：一、先共扼变形，再求极限：例三、求极限1．解：原式=2．解：原式=\n3．一、作业：1．求数列的极限为12．13．24．5．96．=7．用数列极限的定义证明：8．已知数列和(1)求证：这两个数列的极限分别是5和1；(2)作一个无穷数列，使它的各项为这两个数列的对应项的和，验证所得数列的极限等于这两个数列的极限的和。第二十教时教材：求无穷递缩等比数列的和目的：要求学生掌握无穷递缩等比数列的概念及其求和公式，并能解决具体问题。过程：\n一、例题：例一、已知等比数列，求这个数列的前n项和；并求当时，这个和的极限。解：公比,解释：“无穷递缩等比数列”1°当时，数列为无穷递缩等比数列相对于以前求和是求有限项（n项）2°当|q|<1时，数列单调递减，故称“递缩”3°数列{an}本身成GP小结：无穷递缩等比数列前n项和是当时，其意义与有限和是不一样的例二、求无穷数列各项和。解：例三、化下列循环小数为分数：1．2．解：1．2．\n小结法则：1．纯循环小数化分数：将一个循环节的数作分子，分母是99……9，其中9的个数是循环节数字的个数。2．混循环小数化分数：将一个循环节连同不循环部分的数减去不循环部分所得的差作分子，分母是99…900…0，其中9的个数与一个循环节的个数相同，0的个数和不循环部分的数字个数相同。例一、某无穷递缩等比数列各项和是4，各项的平方和是6，求各项的立方和。解：设首项为a，公比为q，(|q|<1)则∴各项的立方和：例二、无穷递缩等比数列{an}中，，求a1的范围。解：二、小结：三、作业：1．2．，则a的取范围是a>3或a<13．24．正项等比数列的首项为1，前n项和为Sn，则1或q\n5．6．已知，则27．若，则r的取范围是(-2，0)8．无穷等比数列{}中，(1)若它的各项和存在，求的范围；若它的各项和为，求。()9．以正方形ABCD的四个顶点为圆心，以边长a为半径，在正方形内画弧，得四个交点A1，B1，C1，D1，再在正方形A1B1C1D1内用同样的方法得到又一个正方形A2B2C2D2，这样无限地继续下去，求所有这些正方形面积之和。第十一课时课题§3.6.1分期付款中的有关计算教学目标1．通过分期付款中的有关计算巩固等比数列的通项公式和前n项和公式的掌握；2．培养数学的应用意识.教学重点等差数列通项公式和前n项和公式的应用教学难点利用等比数列有关知识解决实际问题.教学方法启发诱导教学过程(I)复习回顾师：近几天来，我们又学习了有关等比数列的下列知识：生：通项公式：前n项和公式：(Ⅱ)讲授新课\n师：这节课我们共同来探究一下它在实际生活中的应用，如今，在社会主义市场经济的调节之下，促销方式越来越灵活，一些商店为了促进商品的销售，便于顾客购买一些售价较高的商品，在付款方式上也很灵活，可以一次性付款，也可以分期付款首先我们来了解一下何为分期付款?也就是说，购买商品可以不一次性将款付清，而可以分期将款逐步还清，具体分期付款时，有如下规定：1．分期付款中规定每期所付款额相同。2．每月利息按复利计算，是指上月利息要计入下月本金．例如：若月利率为0.8%，款额a元，过1个月增值为a(1+0.8%)＝1.008a(元)，再过1个月则又要增值为1.008a(1+O.O08)＝1.0082a(元)3．各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和师：另外，多长时间将款付清，分几次还清，也很灵活，它有多种方案可供选择，下面我们以一种方案为例来了解一下这一种付款方式．例如，顾客购买一件售价为5000元的商品时，如果采取分期付款，总共分六次，在一年内将款全部付清，第月应付款多少元?首先，我们来看一看，在商品购买后1年货款全部付清时，其商品售价增值到了多少．生：由于月利率为O.008，在购买商品后1个月时，该商品售价增值为：5000(1+O.008)＝5000x1.O08(元)，出于利息按复利计算，在商品购买后2个月，商品售价增值为：5000x1.O08x(1+0.008)＝5000x1.0082(元)，……在商品购买12个月(即货款全部付清时)，其售价增值为：5000x1.00811x(1+O.008)＝5000x1.00812(元)师：我们再来看一看，在货款全部付清时，各期所付款额的增值情况如何.假定每期付款x元.第1期付款(即购买商品后2个月)x元时，过10个月即到款全部付清之时，则付款连同利息之和为：1.00810(元)，第2期付款(即购买商品后4个月)x元后，过8个月即到款全部付清之时，所付款连同利息之和为：1.O088x(元)师：依此类推，可得第3，4，5，6，期所付的款额到货款全部付清时连同利息的和．生：可推得第3，4，5，6期所付的款额到货款全部付清时，连同利息的和依次为：1.O086(元)，1.0084(元)，1.0082x(元)，x(元)师：如何根据上述结果来求每期所付的款额呢?根据规定3，可得如下关系式：x+1.0082x+1.O084x+…1.O0810x＝5000×1.O0812即：x(1+1.0082+1.0084+…+1.00810)＝5000×1.O0812生：观其特点，可发现上述等式是一个关于x的一次方程，且等号左边括弧是一个首项为1，公比为1.0082的等比数列的前6项的和．由此可得解之得x≈880.8(元)\n即每次所付款额为880.8元,因此6次所付款额共为880.8×6＝5285(元)，它比一次性付款多付285元．(Ⅲ)课堂练习生：选另一种方案作为练习，方案A：分12次付清，即购买后1个月第一次付款，再过1个月第2次付款…购买后12个月第12次付款．方案B：分3次付清，即购买后4个月第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4个月第3次付清款．（Ⅳ）课时小结师：首先，将实际问题转化为数学问题，即数学建模，然后根据所学有关数学知识将问题解决，这是解决实际问题的基本步骤．(V）课后作业一、熟练掌握解决分期付款问题的基本方法．二、1．预习内容：课本P135-P136。2．预习提纲：采取不同方案实现分期付款中的x的表达式是否有共同特点?可否概括出一个一般公式？板书设计课题分期付款规定：①②③例：①建模②解决问题总结教学后记