高中数学新课数列教案 7页

课题：3.5等比数列的前n项和（一）教学目的：1．掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路．2．会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题教学重点：等比数列的前n项和公式推导教学难点：灵活应用公式解决有关问题授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教材分析：本节是对公式的教学，要充分揭示公式之间的内在联系，掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的导出方法，理解公式的成立条件．也就是让学生对本课要学习的新知识有一个清晰的、完整的认识、忽视公式的推导和条件，直接记忆公式的结论是降低教学要求，违背教学规律的做法教学过程：一、复习引入：首先回忆一下前两节课所学主要内容：1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）2.等比数列的通项公式:，3．｛｝成等比数列=q（,q≠0）“≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．5．等比中项：G为a与b的等比中项.即G=±（a,b同号）.6．性质：若m+n=p+q，\n7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法8．等比数列的增减性：当q>1,>0或01,<0,或00时,{}是递减数列;当q=1时,{}是常数列;当q<0时,{}是摆动数列;二、讲解新课：例如求数列1，2，4，…262，263的各项和即求以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的和，可表示为：①2②由②—①可得：这种求和方法称为“错位相减法”“错位相减法”，是研究数列求和的一个重要方法等比数列的前n项和公式：∴当时，①或②当q=1时，当已知,q,n时用公式①；当已知,q,时，用公式②.公式的推导方法一：一般地，设等比数列它的前n项和是由得\n∴当时，①或②当q=1时，公式的推导方法二：有等比数列的定义，根据等比的性质，有即（结论同上）围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．公式的推导方法三：＝＝＝（结论同上）“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决三、例题讲解例1求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.解：由，从第5项到第10项的和为-=1008例2一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？\n解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项的等比数列则：一天内获知此信息的人数为：例3 已知{}为等比数列，且=a，=b，（ab≠0），求．分析：要求，需知，q，而已知条件为和．能否进一步挖掘题目的条件，使已知和未知沟通起来？当时＝a①＝＝＝b②②/①得③将③代入①，得∴＝＝＝以下再化简即可．这样处理问题很巧妙．没有分别求得与q的值，而改为求与的值，这样使问题变得简单但在分析的过程中是否完备？第①式就有问题，附加了条件q≠1．而对q=1情况没有考虑．使用等比数列前n项和公式时，要特别注意适用条件，即q=1时，=n；当时，或（含字母已知数的等比数列求和题目，学生常忽略q=1情况，要引起足够重视，以培养学生思维的严密性）\n解法1：设等比数列{}的公比为q．若q=1（此时数列为常数列），则=n=a，=b，从而有2a=b∴（或）若q≠1（即2a≠b），由已知＝a①＝b②   又ab0, ②/①得,③将③代入①，得∴＝＝＝＝解法2：由，－，－成等比数列（练习中证此结论），即a,b-a,－b成等比，所以a(－b)=(b-a)从而有＝（包含了q=1的情况）四、练习：是等比数列，是其前n项和，数列（）是否仍成等比数列？解：设首项是，公比为q,①当q=－1且k为偶数时，不是等比数列.∵此时，=0.\n例如：数列1,－1,1,－1,…是公比为－1的等比数列，S2=0,②当q≠－1或k为奇数时，＝＝＝（）成等比数列评述：应注意等比数列中的公比q的各种取值情况的讨论，还易忽视等比数列的各项应全不为0的前提条件.五、小结1.等比数列求和公式：当q=1时，当时，或；2．是等比数列的前n项和，①当q=－1且k为偶数时，不是等比数列.②当q≠－1或k为奇数时，仍成等比数列3．这节课我们从已有的知识出发，用多种方法（迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法）推导出了等比数列的前n项和公式，并在应用中加深了对公式的认识．六、课后作业：已知数列是等比数列，是其前n项的和，求证,－,－成等比数列.解：（1）①当q=1时，=7,=14,－=14－7=7,－=21－14a1=7\n∴,－,－为以7为首项，1为公比的等比数列.②当q≠1时，=∴=∴,－,－成等比数列.［这一过程也可如下证明：－=－===同理，－==∴,－,－为等比数列.七、板书设计（略）八、课后记：