高中数学直线与方程教案 12页

平面解析几何第一讲直线方程知识归纳：一、直线的倾斜角与斜率1、确定直线的几何要素是：直线上两不同的点或直线上一点和直线的方向两个相对独立的条件注意：表示直线方向的有：直线的倾斜角（斜率）、直线的方向向量、直线的法向量2、直线的倾斜角：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。注意：①从用运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴绕交点按逆时针方向转到与直线重合时所成的角；②规定：直线与轴平行或重合时，直线的倾斜角为③直线倾斜角α的取值范围是：④\n在同一直角坐标系下，任何一条直线都有倾斜角且唯一，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。3、直线的斜率：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，即。它从另一个方面反映了直线的倾斜程度。注意：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率，当时，；当时，；当时，不存在，当时，。即：斜率的取值范围为例1、给出下列命题：①若直线倾斜角为，则直线斜率为；②若直线倾斜角为，则直线的倾斜角为；③直线的倾斜角越大，它的斜率越大；④直线的斜率越大，其倾斜角越大；⑤直线的倾斜角的正切值叫做直线的斜率。其中正确命题的序号为例2、已知直线的倾斜角为，且，求直线的斜率4、直线斜率的坐标公式经过两点的直线的斜率公式：注意：①斜率公式与两点的顺序无关，即②特别地：当时，；此时直线平行于轴或与轴重合；当时，不存在，此时直线的倾斜角为，直线与轴平行或重合。例3、已知点，求直线的斜率并判断倾斜角的范围。例4、（三点共线问题）已知三点，证明这三点在同一条直线上例5、（最值问题）已知实数，满足，当时，求的最大值和最小值5、直线的方向向量：已知是直线上的两点，直线上的向量及与它平行的向量都称为直线的方向向量。直线与轴不垂直时，，此时，向量也是直线的方向向量，且它的坐标是，即（1，k），其中k为直线的斜率6、直线的法向量：如果向量与直线垂直，则称向量为直线的法向量。二、直线的方程1、定义：一般地，以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上点的坐标都是这个方程的解，这是，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。\n2、直线方程的几种形式（1）点斜式：问题：若直线经过点，且斜率为k，求直线的方程。解析：设点是直线上不同于点的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式，得，可化为，即为过点、斜率为k的直线的方程。方程是由直线上一点及其斜率确定的，把这个方程叫做直线的点斜式的方程，简称点斜式。注意：①与是不同的，前者表示直线上缺少一个点，后者才是整条直线；②当直线的倾斜角为时，，即，这时直线的方程为③当直线的倾斜角为时，直线斜率不存在，这时直线与轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示，它的方程是。即：局限性是不能表示垂直于轴的直线。④经过点的直线有无数条，可分为两类情况：ⅰ、斜率为k的直线，方程为ⅱ、斜率不存在的直线，方程为或写为例6、根据条件写出下列各题中的直线的方程①经过点，倾斜角，②经过点，斜率为2③经过点，且与轴平行④经过点，且与轴垂直（2）斜截式：问题：已知直线的斜率是k，与轴的交点是，代入直线方程的点斜式，得直线的方程，也就是，我们称是直线在轴上的截距。这个方程是由直线的斜率k和它在轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。注意：①②局限性：不表示垂直于轴的直线③斜截式方程和一次函数的解析式相同，都是，但有区别：当斜率不为0时，是一次函数，当时，不是一次函数；一次函数（）必是一条直线的斜截式方程。例7、求倾斜角是直线的倾斜角的，且在轴上的截距为的直线的方程。（3）两点式：问题：已知直线经过两点，求直线的方程解析：因为直线经过两点，所以它的斜率，代入点斜式，得\n，当时，方程可以写成这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线的两点式方程，简称两点式。注意：①方程与方程比较，后者比前者表示直线的范围更小了，前者不能表示斜率不存在的直线，后者除此外，还不能表示斜率为0的直线；局限性：不能表示垂直于坐标轴的直线。②两点式方程与这两个点的顺序无关。例8、已知点，，求直线的方程例9、一条光线从点出发，经轴反射，通过点，求入射光线和反射光线所在直线的方程（4）截距式：问题：已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，其中，求直线的方程。解析：因为直线经过和两点，将这两点的坐标代入两点式，得，即为如果直线与轴的交点为，则称为直线在轴上的截距。以上直线方程是由直线在轴和轴上的截距确定的，所以叫做直线的截距式方程，简称截距式注意：方程中，所以它不能表示与坐标轴平行（重合）的直线，还不能表示过原点的直线。例10、过两点，的直线在轴上的截距为（5）一般式方程：以上几种形式的直线方程都是二元一次方程，即平面上任何一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示；而关于的二元一次方程，它都表示一条直线。因此我们把的二元一次方程(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式。注意：①直线的一般式方程能表示所有直线的方程，这是其他形式的方程所不具备的。②直线的一般式方程成立的条件是A,B不同时为0。③虽然直线的一般式有三个系数，但是只需两个独立的条件即可求直线的方程，若,则方程可化为;若，则方程可化为，即;若，时，方程化为,它表示与轴平行或重合的直线；若，时，方程化为，它表示一条与轴平行或重合的直线；\n若时，则方程可化为因此只需要两个条件即可。④直线方程的其他形式都可以转化为一般式，因此在解题时若没有特殊说明，应把最后结果互为直线的一般式例11、设直线的方程为，根据下列条件分别确定m的值（1）在轴上的截距为-3（2）的斜率是-1（6）点向式：问题：设直线经过点，是它的一个方向向量，求直线的方程解析:设是直线上的任意一点，则向量与共线，根据向量共线的充要条件，存在唯一实数，使，即，所以①，方程组①称为直线的参数式方程。如果直线与坐标轴不平行，则，于是可得，消去参数，得到直线的普通方程这个方程称为直线的点向式方程，叫做直线的方向数。思考：若给出直线的一般式方程，如何确定直线的方向向量？（7）点法式：问题：设直线有法向量，且经过点，求直线的方程解析：设是直线上的任意一点，则有，即因为，，所以有这个方向是由直线上一点及直线的法向量确定的，称为直线的点法式。思考：若给出直线的一般式方程，如何确定直线的法向量？三、直线的位置关系（同一平面上的直线）1、平行与垂直（1）两条直线平行的判定①当两条直线的斜率存在时，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式为例来研究直线平行的判定设两条直线分别为，：：若，则的倾斜角相等，即由，可得，也即，此时；反之也成立。所以有且②当两条直线的斜率都不存在时，二者的倾斜角均为，若不重合，则它们也是平行直线注意：当不考虑斜率，即给出直线的一般式时，有如下结论：\n设两条直线分别为：，：可得（其中分母不为0）或（可用直线的方向向量或法向量解释）例12、已知点和直线：，求过点A和直线平行的直线。（引出平行直线系方程）（2）两条直线垂直的判定①当两条直线的斜率存在且不为0时，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式为例来研究直线平行的判定设两条直线分别为，：：则得直线的方向向量为：的方向向量为：，所以有即注意：或用两条直线的倾斜角推倒：即，得到②两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两条直线垂直。由①②得，两条直线垂直的判定就可叙述为：一般地，或一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零。注意：当不考虑斜率，即给出直线的一般式时，有如下结论：设两条直线分别为：，：可得例13、求与直线垂直且过点（1，2）的直线方程（引出垂直直线系方程）例14、已知两直线：，：，当为何值时，直线与：①平行②重合③垂直例15、已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D的坐标例16、求证：不论为取什么实数，直线总通过某一定点例17、已知直线，（1）若时，恒成立，求的取值范围；（2）若\n时，恒有，求的取值范围四、到角、夹角（1）到角公式定义：两条直线和相交构成四个角，他们是两对对顶角，为了区别这些角，我们把直线绕交点按逆时针方向旋转到与重合时所转的角，叫做到的角，如图，直线到的角是，到的角是推倒：设已知直线方程分别是：：.到的角是①若，即，那么②若，设、的倾斜角分别为，则由图1）的，所以由图2）的，所以于是即就是到的角的正切值，简称为到角公式（2）夹角公式定义：由（1）得，到的角是，所以当与相交但不垂直时，在和中有且只有一个角是锐角，我们把其中的锐角叫做两条直线的夹角，记夹角为，则，即为夹角公式当直线时，直线与的夹角为例18、等腰三角形一腰所在直线的方程是，底边所在直线的方程是，点在另一腰上，求这条腰所在直线的方程五、两条直线的交点坐标：1、设两条直线分别为：，：则与是否有交点，只需看方程组\n是否有唯一解若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两直线重合例19、求经过两直线和的交点且与直线平行的直线方程。经过两直线与交点的直线系方程为，其中是待定系数，在这个方程中，无论取什么实数，都得到，因此，它不能表示直线。2、对称问题（1）点关于点的对称，点A(a，b)关于的对称点B（m，n），则由中点坐标公式，即B（）。（2）点关于直线的对称，点关于直线（A、B不同时为0）的对称点，则有AA’的中点在上且直线AA’与已知直线垂直。（3）直线关于直线的对称，一般转化为点关于直线的对称解决，若已知直线与对称轴相交，则交点必在与对称的直线上，然后再求出上任意不同于交点的已知点关于对称轴对称的点，那么经过交点及点的直线就是；若直线与对称轴平行，则在上任取两不同点、，求其关于对称轴的对称点、，过、的直线就是。例题20、已知直线，试求①点P(4,5)关于的对称坐标；②直线关于直线的对称的直线方程。例题21、求函数的最小值。六、两点间的距离，点到直线间的距离（1）两点间的距离：已知则\n（2）点到直线的距离:已知点，直线（A、B不同时为0），求点到直线的距离。解法一：如图，作于点，设，若A,BO,则由,得，从而直线的方程为，解方程组得容易验证当A=0或B=0时，上式仍然成立。解法二：如图，设A0,B0，则直线与x轴和y轴都相交，过点分别作x轴和y轴的平行线，交直线于R和S，则直线的方程为，R的坐标为（-）；直线的方程为，S的坐标为（-），于是有,,。设，由三角形面积公式可得.于是得因此，点到直线的距离容易验证，当A=0或B=0时，上式仍成立。注意:①若给出的方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离；\n②点到直线的距离是点到直线上的点的最短距离；③若点在直线上，则点到直线的距离为0，但距离公式仍然成立，因为此时。（3）两平行线间的距离。定义；两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长，即一条直线上的点到另一条直线的距离。两条平行直线与的距离公式推导过程：设为直线上任意一点，则到的距离为，又因为在上，所以，即,所以。注意：应用此公式时，要把两直线化为一般式，且x、y的系数分别相等。例题22、求经过点A(-1,2)与B()的直线上一点C（5，n）到直线的距离。例题23、求经过点A（1，2）且到原点的距离等于1的直线方程。例题24、已知三角形ABC中，点A（1，1），B（m，）（1