高中数学必修五全套教案 61页

[探索研究]在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又,则bc从而在直角三角形ABC中，CaB(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则，C同理可得，ba从而AcB(图1．1-3)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；（2）等价于，，从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。[例题分析]例1．在中，已知，，cm，解三角形。解：根据三角形内角和定理，；根据正弦定理，\n；根据正弦定理，评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。解：根据正弦定理，因为＜＜，所以，或⑴当时，，⑵当时，，[补充练习]已知ABC中，，求（答案：1：2：3）（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。A如图1．1-5，设，，，那么，则CB从而(图1．1-5)同理可证于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即\n思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若ABC中，C=，则，这时由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。[例题分析]例1．在ABC中，已知，，，求b及A⑴解：∵=cos==∴求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：⑵解法一：∵cos∴例2．在ABC中，已知，，，解三角形解：由余弦定理的推论得：cos；\ncos；[补充练习]在ABC中，若，求角A（答案：A=120）Ⅳ.课时小结（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。[随堂练习1]（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。（2）在ABC中，若，，，则符合题意的b的值有_____个。（3）在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。（答案：（1）有两解；（2）0；（3））2．在ABC中，已知，，，判断ABC的类型。分析：由余弦定理可知（注意：）解：，即，∴。[随堂练习2]（1）在ABC中，已知，判断ABC的类型。（2）已知ABC满足条件，判断ABC的类型。（答案：（1）；（2）ABC是等腰或直角三角形）2.在ABC中，，，面积为，求的值分析：可利用三角形面积定理以及正弦定理\n解：由得，则=3，即，从而Ⅲ.课堂练习（1）在ABC中，若，，且此三角形的面积，求角C（2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积，求角C（答案：（1）或；（2））Ⅳ.课时小结（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。Ⅴ.课后作业（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。（3）在ABC中，，，，判断ABC的形状。（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程的根，求这个三角形的面积。例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5nmile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0nmile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01nmile)解：在ABC中，ABC=180-75+32=137，根据余弦定理，\nAC==≈113.15根据正弦定理,=sinCAB==≈0.3255,所以CAB=19.0,75-CAB=56.0答:此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15nmile补充例2、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x,AB=14x,AC=9,ACB=+=(14x)=9+(10x)-2910xcos化简得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)所以BC=10x=15,AB=14x=21,又因为sinBAC===BAC=38,或BAC=141（钝角不合题意，舍去），\n38+=83答：巡逻艇应该沿北偏东83方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解Ⅳ.课时小结解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。例7、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm解：（1）应用S=acsinB，得S=14.823.5sin148.5≈90.9(cm)(2)根据正弦定理，=c=S=bcsinA=bA=180-(B+C)=180-(62.7+65.8)=51.5S=3.16≈4.0(cm)(3)根据余弦定理的推论，得cosB==≈0.7697sinB=≈≈0.6384应用S=acsinB，得\nS≈41.438.70.6384≈511.4(cm)例3、在ABC中，求证：（1）（2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）证明：（1）根据正弦定理，可设===k显然k0，所以左边===右边（2）根据余弦定理的推论，右边=2(bc+ca+ab)=(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c=左边变式练习1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。答案：a=6,S=9;a=12,S=18Ⅳ.课时小结利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。\n⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.⒊数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第n项结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义.②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项↓↓↓↓↓序号12345这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：来表示其对应关系即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系⒋数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是，也可以是.⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、f(2)、f(3)、f(4)…，f(n)，…\n6．数列的分类：1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列2）根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列[补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3,5,9,17,33,……；(2),,,,,……；(3)0,1,0,1,0,1,……；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,……；解：(1)＝2n＋1；(2)＝；(3)＝；(4)将数列变形为1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1,7＋0,8＋1,……,∴＝n＋；1、通项公式法如果数列的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。如数列的通项公式为；　　 的通项公式为；　　的通项公式为；2、图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．3、递推公式法知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．\n观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．模型一：自上而下：第1层钢管数为4；即：14＝1+3第2层钢管数为5；即：25＝2+3第3层钢管数为6；即：36＝3+3第4层钢管数为7；即：47＝4+3第5层钢管数为8；即：58＝5+3第6层钢管数为9；即：69＝6+3第7层钢管数为10；即：710＝7+3若用表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且≤n≤7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。即；；依此类推：（2≤n≤7）对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是给出数列的一种方法。如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89递推公式为：数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第一项，……，用表示第项，依次写出成为4、列表法．简记为．[范例讲解]例3设数列满足写出这个数列的前五项。解：分析：题中已给出的第1项即，递推公式：\n解：据题意可知：，[补充例题]例4已知，写出前5项，并猜想．法一：，观察可得法二：由∴即∴∴[补充练习]1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式(1)＝0,＝＋(2n－1)(n∈N)；(2)＝1,＝(n∈N)；(3)＝3,＝3－2(n∈N).解：(1)＝0,＝1,＝4,＝9,＝16,∴＝(n－1);(2)＝1,＝,＝,＝,＝,∴＝;(3)＝3＝1+2,＝7＝1+2,＝19＝1+2,＝55＝1+2,＝163＝1+2,∴＝1＋2·3;1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵．对于数列{},若－=d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d为公差。2．等差数列的通项公式：【或】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：\n即：即：即：……由此归纳等差数列的通项公式可得：∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。由上述关系还可得：即：则：=即等差数列的第二通项公式∴d=[范例讲解]例1⑴求等差数列8，5，2…的第20项⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？解：⑴由n=20，得⑵由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项例3已知数列{}的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看（n≥2）是不是一个与n无关的常数。解：当n≥2时,（取数列中的任意相邻两项与（n≥2））为常数∴{}是等差数列，首项，公差为p。注：①若p=0，则{}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…\n②若p≠0,则{}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.③数列{}为等差数列的充要条件是其通项=pn+q(p、q是常数)，称其为第3通项公式。④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。[补充练习]1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：根据题意可知：=3,d=7－3=4.∴该数列的通项公式为：=3+（n－1）×4,即=4n－1（n≥1,n∈N*）∴=4×4－1=15,=4×10－1=39.评述：关键是求出通项公式.（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.解：根据题意可知：=10,d=8－10=－2.∴该数列的通项公式为：=10+（n－1）×（－2）,即：=－2n+12,∴=－2×20+12=－28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得等于这一数.解：根据题意可得：=2,d=9－2=7.∴此数列通项公式为：=2+（n－1）×7=7n－5.令7n－5=100,解得：n=15,∴100是这个数列的第15项.（4）－20是不是等差数列0，－3，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.解：由题意可知：=0,d=－3∴此数列的通项公式为：=－n+,令－n+=－20,解得n=因为－n+=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.\n3．有几种方法可以计算公差d①d=－②d=③d=问题：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？由定义得A-=-A，即：反之，若，则A-=-A由此可可得：成等差数列[补充例题]例在等差数列{}中，若+=9,=7,求,.分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……解：∵{an}是等差数列∴+=+=9=9－=9－7=2∴d=－=7－2=5∴=+(9－4)d=7+5*5=32∴ =2,=32已知数列{}是等差数列（1）是否成立？呢？为什么？（2）是否成立？据此你能得到什么结论？（3）是否成立？？你又能得到什么结论？结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q，则，即m+n=p+q(m,n,p,q∈N)但通常①由推不出m+n=p+q，②Ⅲ.课堂练习1.在等差数列中，已知，，求首项与公差\n2.在等差数列中,若求1．等差数列的前项和公式1：证明：①②①+②：∵∴由此得：从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性2．等差数列的前项和公式2：用上述公式要求必须具备三个条件：但代入公式1即得：此公式要求必须已知三个条件：（有时比较有用）由例3得与之间的关系：由的定义可知，当n=1时，=；当n≥2时，=-，即=.1.等差数列的前项和公式1：2.等差数列的前项和公式2：结论：一般地，如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？由，得当时==\n=2p对等差数列的前项和公式2：可化成式子：，当d≠0，是一个常数项为零的二次式对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1）利用:当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值（2）利用：由利用二次函数配方法求得最值时n的值Ⅲ.课堂练习1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。2．差数列{}中,＝－15,公差d＝3,求数列{}的前n项和的最小值。Ⅳ.课时小结1．前n项和为，其中p、q、r为常数，且，一定是等差数列，该数列的首项是公差是d=2p通项公式是2．差数列前项和的最值问题有两种方法:（1）当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值。当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值。（2）由利用二次函数配方法求得最值时n的值\n1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）1°“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)｛｝成等比数列=q（,q≠0）2°隐含：任一项“≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件．3°q=1时，{an}为常数。2.等比数列的通项公式1:由等比数列的定义，有：；；；…………………3.等比数列的通项公式2:4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系等比数列与指数函数的关系：等比数列｛｝的通项公式,它的图象是分布在曲线（q>0）上的一些孤立的点。当，q>1时，等比数列｛｝是递增数列；当，，等比数列｛｝是递增数列；当，时，等比数列｛｝是递减数列；当，q>1时，等比数列｛｝是递减数列；\n当时，等比数列｛｝是摆动数列；当时，等比数列｛｝是常数列。[补充练习]2.（1）一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项（答案：=2916）（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项（答案：==5,=q=40）1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G=±（a,b同号）如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则，反之，若G=ab,则，即a,G,b成等比数列。∴a,G,b成等比数列G=ab（a·b≠0）例题证明：设数列的首项是，公比为;的首项为，公比为，那么数列的第n项与第n+1项分别为：它是一个与n无关的常数，所以是一个以q1q2为公比的等比数列拓展探究：对于例题中的等比数列{}与{}，数列{}也一定是等比数列吗？探究：设数列{}与{}的公比分别为，令，则，所以，数列{}也一定是等比数列。已知数列{}是等比数列，（1）是否成立？成立吗？为什么？\n（2）是否成立？你据此能得到什么结论？是否成立？你又能得到什么结论？结论：2．等比数列的性质：若m+n=p+k，则在等比数列中，m+n=p+q，有什么关系呢？由定义得：，则1、等比数列的前n项和公式：当时，①或②当q=1时，当已知,q,n时用公式①；当已知,q,时，用公式②.公式的推导方法一：一般地，设等比数列它的前n项和是由得∴当时，①或②当q=1时，公式的推导方法二：有等比数列的定义，根据等比的性质，有\n即（结论同上）围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．公式的推导方法三：＝＝＝（结论同上）Ⅱ.讲授新课1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n，求证：2、设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和；（1）a=0时，Sn=0（2）a≠0时，若a=1，则Sn=1+2+3+…+n=若a≠1，Sn-aSn=a（1+a+…+an-1-nan），Sn=1、数列[数列的通项公式][数列的前n项和]2、等差数列[等差数列的概念][定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。[等差数列的判定方法]1．定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列。2．等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列。[等差数列的通项公式]如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为。[说明]该公式整理后是关于n的一次函数。[等差数列的前n项和]1．2.[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。[等差中项]如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。[等差数列的性质]\n1．等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有1．对于等差数列，若，则。也就是：，如图所示：3．若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列。如下图所示：3、等比数列[等比数列的概念][定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（）。[等比中项]如果在与之间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。也就是，如果是的等比中项，那么，即。[等比数列的判定方法]1．定义法：对于数列，若，则数列是等比数列。2．等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。[等比数列的通项公式]如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为。[等比数列的前n项和]当时，[等比数列的性质]1．等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有2．对于等比数列，若，则也就是：。如图所示：4．若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。如下图所示：\n4、数列前n项和（1）重要公式：；；（2）等差数列中，（3）等比数列中，（4）裂项求和：；（）\n(第1课时)课题§3.1不等式与不等关系【教学目标】1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。【教学重点】用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。【教学难点】用不等式（组）正确表示出不等关系。【教学过程】1.课题导入在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。2.讲授新课1）用不等式表示不等关系引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示问题1：设点A与平面的距离为d,B为平面上的任意一点，则。问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式\n问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？解：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应有如下的不等关系：（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm;（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；（3）截得两种钢管的数量都不能为负。要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：3.随堂练习1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。2、课本P74的练习1、24.课时小结用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。5.作业课本P75习题3.1[A组]第4、5题\n(第2课时)课题:§3.1不等式与不等关系【教学目标】1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.【教学重点】掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；【教学难点】利用不等式的性质证明简单的不等式。【教学过程】1.课题导入在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。请同学们回忆初中不等式的的基本性质。（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；即若（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；即若（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。即若2.讲授新课1、不等式的基本性质：师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？证明：1）∵(a＋c)－(b＋c)＝a－b＞0，∴a＋c＞b＋c2），∴．\n实际上，我们还有，（证明：∵a＞b，b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0．根据两个正数的和仍是正数，得(a－b)＋(b－c)＞0，即a－c＞0，∴a＞c．于是，我们就得到了不等式的基本性质：（1）（2）（3）（4）2、探索研究思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：（1）；（2）；（3）。证明：1）∵a＞b，∴a＋c＞b＋c．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①∵c＞d，∴b＋c＞b＋d．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②由①、②得　a＋c＞b＋d．2）\n3）反证法）假设，则：若这都与矛盾，∴．[范例讲解]：例1、已知求证。证明：以为，所以ab>0,。于是，即由c<0，得3.随堂练习11、课本P74的练习32、在以下各题的横线处适当的不等号：(1)（＋）2６＋2；（2）（－）2（－1）2；（3）；(4)当a＞b＞0时，logalogb答案：(1)＜（2）＜（3）＜（4）＜[补充例题]例2、比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小。分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。解：由题意可知：（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８）＝－７＜0∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）随堂练习2\n1、比较大小：（1）（x＋５）（x＋７）与（x＋６）2（2）4.课时小结本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论5.作业课本P75习题3.1[A组]第2、3题；[B组]第1题(第3课时)课题:§3.2一元二次不等式及其解法【教学目标】1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。【教学重点】从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。【教学难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。【教学过程】1.课题导入从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：教材P76互联网的收费问题教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：…………………………(1)2.讲授新课1）一元二次不等式的定义象这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式2）探究一元二次不等式的解集怎样求不等式（1）的解集呢？探究：\n（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系容易知道：二次方程的有两个实数根：二次函数有两个零点：于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。（2）观察图象，获得解集画出二次函数的图象，如图，观察函数图象，可知：当x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即；当00与<0的解集呢？组织讨论：从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：(1)抛物线与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程=0的根的情况(2)抛物线的开口方向，也就是a的符号总结讨论结果：（l）抛物线 （a>0）与x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程=0的判别式三种取值情况(Δ>0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分二种情况讨论（2）a<0可以转化为a>0分Δ>O，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式>0与<0的解集一元二次不等式的解集：设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第77页的表格)\n二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R[范例讲解]例2(课本第78页)求不等式的解集.解：因为.所以，原不等式的解集是例3(课本第78页)解不等式.解：整理，得.因为无实数解，所以不等式的解集是.从而，原不等式的解集是.3.随堂练习课本第80的练习1（1）、（3）、（5）、（7）4.课时小结解一元二次不等式的步骤：①将二次项系数化为“+”：A=>0(或<0)(a>0)②计算判别式，分析不等式的解的情况：\nⅰ.>0时，求根<，ⅱ.=0时，求根＝＝，ⅲ.<0时，方程无解，③写出解集.5.评价设计课本第80页习题3.2[A]组第1题(第4课时)课题:§3.2一元二次不等式及其解法【教学目标】1．知识与技能：巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想【教学重点】熟练掌握一元二次不等式的解法【教学难点】理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系【教学过程】1.课题导入1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2．一元二次不等式的解法步骤——课本第86页的表格2.讲授新课[范例讲解]例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离sm和汽车的速度xkm/h有如下的关系：在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h）\n解：设这辆汽车刹车前的速度至少为xkm/h，根据题意，我们得到移项整理得：显然，方程有两个实数根，即。所以不等式的解集为在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.例4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到移项整理，得因为，所以方程有两个实数根由二次函数的图象，得不等式的解为：506表示直线x-y=6右下方的区域；如图。直线叫做这两个区域的边界由特殊例子推广到一般情况：（3）结论：二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）4．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）【应用举例】例1画出不等式表示的平面区域。解：先画直线（画成虚线）.取原点（0，0），代入+4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0,∴原点在表示的平面区域内，不等式表示的区域如图：归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地，当时，常把原点作为此特殊点。变式1、画出不等式所表示的平面区域。变式2、画出不等式所表示的平面区域。例2用平面区域表示.不等式组的解集。分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。\n解：不等式表示直线右下方的区域，表示直线右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。变式1、画出不等式表示的平面区域。变式2、由直线，和围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为。3.随堂练习1、课本第86页的练习1、2、34.课时小结1．二元一次不等式表示的平面区域．2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．3．二元一次不等式组表示的平面区域．5.作业课本第93页习题3.3[A]组的第1题(第6课时)课题:§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域【教学目标】1．知识与技能：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件；2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；3．情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。【教学重点】理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来；【教学难点】把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。【教学过程】1.课题导入\n[复习引入]二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）判断方法：由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）。随堂练习11、画出不等式2+y-6＜0表示的平面区域.2、画出不等式组表示的平面区域。2.讲授新课【应用举例】例3某人准备投资1200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：学段班级学生人数配备教师数硬件建设/万元教师年薪/万元初中45226/班2/人高中40354/班2/人分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。解：设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应限制在20-30之间，所以有考虑到所投资金的限制，得到即另外，开设的班数不能为负，则把上面的四个不等式合在一起，得到：用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域（阴影部分）例4一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。解：设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：\n在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）。[补充例题]例1、画出下列不等式表示的区域(1)；(2)分析：(1)转化为等价的不等式组；(2)注意到不等式的传递性，由，得，又用代，不等式仍成立，区域关于轴对称。解：(1)或矛盾无解，故点在一带形区域内（含边界）。(2)由，得；当时，有点在一条形区域内(边界)；当，由对称性得出。指出：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解例2、利用区域求不等式组的整数解分析：不等式组的实数解集为三条直线，，所围成的三角形区域内部(不含边界)。设，，，求得区域内点横坐标范围，取出的所有整数值，再代回原不等式组转化为的一元不等式组得出相应的的整数值。\n解：设，，，，，，∴，，。于是看出区域内点的横坐标在内，取＝1，2，3，当＝1时，代入原不等式组有⇒，得＝－2，∴区域内有整点(1,-2)。同理可求得另外三个整点(2,0)，(2,-1)，(3,-1)。指出：求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫。常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是本题解答中所采用的，先确定区域内点的横坐标的范围，确定的所有整数值，再代回原不等式组，得出的一元一次不等式组，再确定的所有整数值，即先固定，再用制约。3.随堂练习21．（1）；（2）．；（3）．2．画出不等式组表示的平面区域3．课本第86页的练习44.课时小结进一步熟悉用不等式（组）的解集表示的平面区域。5.作业1、课本第93页习题3.3[B]组的第1、2题(第7课时)课题:§3.3.2简单的线性规划【教学目标】\n1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。【教学重点】用图解法解决简单的线性规划问题【教学难点】准确求得线性规划问题的最优解【教学过程】1.课题导入[复习提问]1、二元一次不等式在平面直角坐标系中表示什么图形？2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。2.讲授新课在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组：……………………………………………………………….（1）（2）画出不等式组所表示的平面区域：如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：当x,y满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？把z=2x+3y变形为，这是斜率为，在y轴上的截距为\n的直线。当z变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（），这说明，截距可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），而且当截距最大时，z取得最大值。因此，问题可以转化为当直线与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P，使直线经过点P时截距最大。（5）获得结果：由上图可以看出，当实现金国直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，截距的值最大，最大值为，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。2、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．1、变换条件，加深理解探究：课本第88页的探究活动（1）在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，有应当如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试。（2）有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？3.随堂练习1．请同学们结合课本P91练习1来掌握图解法解决简单的线性规划问题.（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件解：不等式组表示的平面区域如图所示：当x=0,y=0时，z=2x+y=0\n点（0，0）在直线:2x+y=0上.作一组与直线平行的直线:2x+y=t,t∈R.可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的t最大.所以zmax=2×2-1=3.（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件解：不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（）的直线所对应的t最大.所以zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11.zmax=3×+5×=144.课时小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解5.作业课本第93页习题[A]组的第2题.\n(第8课时)课题:§3.3.2简单的线性规划【教学目标】1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。【教学重点】利用图解法求得线性规划问题的最优解；【教学难点】把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。【教学过程】1.课题导入[复习引入]：1、二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）2、目标函数,线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域,最优解:2.讲授新课线性规划在实际中的应用：　　线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：[范例讲解]a)营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.b)在上一节例3中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1600元，高中每人每年可收取学费2700元。那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最高多？\n指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解3.随堂练习课本第91页练习24.课时小结线性规划的两类重要实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数。然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解，最后，要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解。5.作业课本第93页习题3.3[A]组的第3题\n(第9课时)课题:§3.3.2简单的线性规划【教学目标】1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。【教学重点】利用图解法求得线性规划问题的最优解；【教学难点】把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。【教学过程】1.课题导入[复习引入]：1、二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）2、目标函数,线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域,最优解:3、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：2.讲授新课1．线性规划在实际中的应用：a)在上一节例4中，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？2．课本第91页的“阅读与思考”——错在哪里？若实数，满足求4+2的取值范围．错解：由①、②同向相加可求得：0≤2≤4即0≤4≤8③由②得—1≤—≤1将上式与①同向相加得0≤2≤4④③十④得0≤4十2≤12\n以上解法正确吗?为什么?(1)[质疑]引导学生阅读、讨论、分析．(2)[辨析]通过讨论，上述解法中，确定的0≤4≤8及0≤2≤4是对的，但用的最大(小)值及的最大(小)值来确定4十2的最大(小)值却是不合理的．X取得最大（小）值时，y并不能同时取得最大（小）值。由于忽略了x和y的相互制约关系，故这种解法不正确．(3)[激励]产生上述解法错误的原因是什么?此例有没有更好的解法?怎样求解?正解：因为4x+2y=3(x+y)+(x-y)且由已有条件有：（5）（6）将（5）（6）两式相加得所以3.随堂练习11、求的最大值、最小值，使、满足条件2、设，式中变量、满足4.课时小结[结论一]线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.[结论二]线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个．5.作业课本第93页习题3.3[A]组的第4题\n(第10课时)课题:§3.4基本不等式【教学目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；【教学难点】基本不等式等号成立条件【教学过程】1.课题导入基本不等式的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。2．得到结论：一般的，如果3．思考证明：你能给出它的证明吗？\n证明：因为当所以，，即4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b，可得，通常我们把上式写作：2）从不等式的性质推导基本不等式用分析法证明：要证(1)只要证a+b(2)要证（2），只要证a+b-0（3）要证（3），只要证（-）（4）显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。3）理解基本不等式的几何意义探究：课本第98页的“探究”在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝.这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.\n[补充例题]例1已知x、y都是正数，求证：(1)≥2；(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.分析：在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.解：∵x，y都是正数∴＞0，＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0(1)＝2即≥2.(2)x＋y≥2＞0x2＋y2≥2＞0x3＋y3≥2＞0∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2·2·2＝８x3y3即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.3.随堂练习1.已知a、b、c都是正数，求证（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc分析：对于此类题目，选择定理：（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.解：∵a，b，c都是正数∴a＋b≥2＞0b＋c≥2＞0c＋a≥2＞0∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2·2·2＝８abc即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.4.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（≥）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b\n都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤，ab≤（）2.5.作业课本第100页习题[A]组的第1题(第11课时)课题:§3.4基本不等式【教学目标】1．知识与技能：进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题2．过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。【教学重点】基本不等式的应用【教学难点】利用基本不等式求最大值、最小值。【教学过程】1.课题导入1．重要不等式：如果2．基本不等式：如果a,b是正数，那么3.我们称的算术平均数，称的几何平均数.成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数。2.讲授新课\n例1（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？（2）段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?解：（1）设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m。由，可得，。等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.（2）解法一：设矩形菜园的宽为x　m，则长为（36－2x）m，其中0＜x＜，其面积S＝x（36－2x）＝·2x（36－2x）≤当且仅当2x＝36－2x，即x＝9时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为9m时菜园面积最大为81m2解法二：设矩形菜园的长为xm.,宽为ym,则2(x+y)=36,x+y=18,矩形菜园的面积为xym。由，可得当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立。因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，等号当且仅当a＝b时成立.2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2，等号当且仅当a＝b时成立.例2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得\n当因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.3.随堂练习1.已知x≠0，当x取什么值时，x2＋的值最小?最小值是多少?2．课本第100页的练习1、2、3、44.课时小结本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。5.作业课本第100页习题[A]组的第2、4题\n(第12课时)课题:§3.4基本不等式【教学目标】1．知识与技能：进一步掌握基本不等式；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：通过例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。【教学重点】掌握基本不等式，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值【教学难点】利用此不等式求函数的最大、最小值。【教学过程】1.课题导入1．基本不等式：如果a,b是正数，那么2．用基本不等式求最大（小）值的步骤。2.讲授新课1）利用基本不等式证明不等式例1已知m>0,求证。\n[思维切入]因为m>0,所以可把和分别看作基本不等式中的a和b,直接利用基本不等式。[证明]因为m>0,，由基本不等式得当且仅当=，即m=2时，取等号。规律技巧总结注意：m>0这一前提条件和=144为定值的前提条件。3.随堂练习1[思维拓展1]已知a,b,c,d都是正数，求证.[思维拓展2]求证.例2求证:.[思维切入]由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边.这样变形后,在用基本不等式即可得证.[证明]当且仅当=a-3即a=5时,等号成立.规律技巧总结通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.2)利用不等式求最值例3(1)若x>0,求的最小值;(2)若x<0,求的最大值.[思维切入]本题(1)x>0和=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化.解(1)因为x>0由基本不等式得,当且仅当即x=时,取最小值12.(2)因为x<0,所以-x>0,由基本不等式得:,所以.\n当且仅当即x=-时,取得最大-12.规律技巧总结利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.随堂练习2[思维拓展1]求(x>5)的最小值.[思维拓展2]若x>0,y>0,且,求xy的最小值.4.课时小结用基本不等式证明不等式和求函数的最大、最小值。5.作业１．证明：２．若，则为何值时有最小值，最小值为几？(第13课时)课题:《不等式》复习小结【教学目标】1．会用不等式（组）表示不等关系；2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。【教学重点】不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不等式的应用。【教学难点】利用不等式加法法则及乘法法则解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。【教学过程】1.本章知识结构2.知识梳理（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：(2)传递性：\n(3)加法法则：；(4)乘法法则：；(5)倒数法则：(6)乘方法则：(7)开方法则：2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；作差法3、应用不等式性质证明（二）一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域\n二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解（四）基本不等式1、如果a,b是正数，那么2、基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”3.典型例题1、用不等式表示不等关系例1、某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装软件，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，写出满足上述不等关系的不等式。例2、咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为9g、4g、3g；乙种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为4g、5g、5g.已知买天使用原料为奶粉3600g,咖啡2000g,糖3000g。写出配制两种饮料杯数说所满足的所有不等关系的不等式。\n1、比较大小例3(1)（＋）2６＋2；（2）（－）2（－1）2；（3）；(4)当a＞b＞0时，logalogb(5)(a+3)(a-5)(a+2)(a-4)(6)2、利用不等式的性质求取值范围例4如果,,则(1)的取值范围是,(2)的取值范围是,(3)的取值范围是,(4)的取值范围是例5已知函数,满足,,那么的取值范围是.[思维拓展]已知，，求的取值范围。（[-2，0]）3、解一元二次不等式例6解不等式：（1）；（2）例7已知关于x的方程(k-1)x2+(k+1)x+k+1=0有两个相异实根，求实数k的取值范围\n1、二元一次方程（组）与平面区域例8画出不等式组表示的平面区域。2、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解例9已知x、y满足不等式,求z=3x+y的最小值。[思维拓展]已知x、y满足不等式组，试求z=300x+900y的最大值时的整点的坐标，及相应的z的最大值3、利用基本不等式证明不等式例8求证4、利用基本不等式求最值例9若x>0,y>0,且,求xy的最小值\n[思维拓展]求(x>5)的最小值.4.评价设计课本第103页复习参考题[A]组的第1、2、3、4、5、6、7、8题。