高中数学 函数的单调性教案 苏教版必修1 教案 7页

函数的单调性（一）教学目标：使学生理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法，培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合，辩证思维的能力；通过本节课的教学，启示学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯.教学重点：函数单调性的概念教学难点：函数单调性的判断和证明.教学过程：Ⅰ.复习回顾［师］前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，讨论了函数的定义域、值域的求法.今天我们再进一步来研究一下函数的性质(板书课题).Ⅱ.讲授新课［师］在初中我们已经学习了函数图象的画法，为了研究函数的性质，按照取值、列表、描点、作图等步骤分别画出y＝x2和y＝x3的图象如图.我们先着重来观察一下y＝x2的图象，图象在y轴右侧的部分是上升的，也就是说在y轴右侧越往右，图象上的点越高，这说明什么问题呢?［生］随着x的增加，y的值在增加［师］怎样用数学语言来表示呢?［生］设x1、x2∈[0，＋∞)得y1＝f（x1），y2＝f（x2）当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2）(学生经过预习可能答得很准确，但为什么也许还囫囵吞枣；或许答得不一定完整，或许怎样用数学语言来表示还感到困惑，教师应抓住时机予以启发)［师］好，××同学的回答很好，设x1、x2∈[0，＋∞)，体现了在y轴右侧，按照函数关系式得到了y1＝f（x1），y2＝f（x2），即有了两个点(x1，y1)、（x2，y2）而当x1＜x2时，\nf（x1）＜f（x2），则体现了越往右图象上的点越高，即体现了图象是上升的，这时我们说y＝x2在[0，＋∞)上是增函数.下面大家来看图象在y轴左侧的部分情形是怎样的?[生甲]图象在y轴的左侧也是上升的(或许生甲是别出心裁).［师］何以见得?[生甲]越往左，图象上的点越高.［师］生甲所谈对不对呢?［生］对(部分同学这样说，还有部分同学不吭气，感到和预习时的情况不一样，但又不清楚究竟该怎样，有无所适从之感).［师］生甲同学所述是完全有道理的!不过请同学们注意：他观察的视线是从右向左看的，为了与在y轴右侧部分观察的视线方向一致.我们对y轴的左侧部分也从左向右看，图象的情形是怎样的呢?[生甲]从左向右看，图象是下降的，也就是在y轴的左侧，越往右，图象上的点越低.［师］我们研究任何问题都要遵循一定的程序，都要在一定的条件下，否则将一塌糊涂，搞不出任何名堂.(或者在研究y轴右侧部分、研究y轴左侧部分图象的变化趋势时，就直载了当地指出随着x的增加，图象的变化趋势是怎样的，这样给学生指定观察方向，会减少不应有的麻烦)那么同学们考虑一下，在y轴的左侧，越往右，图象上的点越低，说明什么问题呢?怎样用数学语言表示呢?［生］在y轴右侧，越往右图象上的点越低，说明随着x的增加，y的值在减小，用数学语言表示是：设x1、x2∈（－∞，0）得y1＝f（x1），y2＝f（x2）当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2）［师］好，这时我们说y＝x2在（－∞，0）上是减函数.一般地，设函数f（x）的定义域为Ⅰ：如果对于属于Ⅰ内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是增函数.(打出幻灯片§2.3.1　C)\n如果对于属于Ⅰ内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是减函数.如果函数y＝f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做y＝f（x）的单调区间，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.注意：①函数的单调性也叫函数的增减性.②函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.③判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：a.设x1、x2∈给定区间，且x1＜x2b.计算f（x1）－f（x2）至最简b.判断上述差的符号d.下结论(若差＜0，则为增函数；若差＞0，则为减函数)Ⅲ.例题分析［例1］(课本P34例1，与学生一块看，一起分析作答)［师］要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又粗略的方法，严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明.下面举例说明［例2］证明函数f（x）＝3x＋2在R上是增函数.证明：设任意x1、x2∈R，且x1＜x2则f（x1）－f（x2）＝（3x1＋2）－（3x2＋2）＝3（x1－x2）由x1＜x2得x1－x2＜0∴f（x1）－f（x2)＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）＝3x＋2在R上是增函数［例3］证明函数f（x）＝在（0，＋∞）上是减函数.证明：设任意x1、x2∈（0，＋∞）且x1＜x2则f（x1）－f（x2）＝－＝由x1，x2∈（0，＋∞）得x1x2＞0\n又x1＜x2得x2－x1＞0∴f（x1）－f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2）∴f（x）＝在（0，＋∞）上是减函数注意：通过观察图象、对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法.证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.Ⅳ.课堂练习课本P37练习1，2，5，6，7Ⅴ.课时小结本节课我们学习了函数单调性的知识，同学们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明.Ⅵ.课后作业课本P43习题1~4函数的单调性（二）教学目标：使学生理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法，培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合，辩证思维的能力；通过本节课的教学，启示学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯.教学重点：函数单调性的判断和证明.教学难点：函数单调性的判断和证明.教学过程：［例1］已知函数f（x）在其定义域M内为减函数，且f（x）＞0，则g（x）＝1＋在M内为增函数。\n证明：在定义域M内任取x1、x2，且x1＜x2，则：g（x1）－g（x2）＝1＋－1－＝－＝∵对于任意x∈M，有f（x）＞0∴f（x1）f（x2）＞0∵f（x）在其定义域M内为减函数，∴f（x1）＞f（x2）∴g（x1）－g（x2）＜0即g（x1）＜g（x2）∴g（x）在M内为增函数［例2］函数f（x）在（0，＋∞）上是减函数,求f（a2－a＋1）与f（）的大小关系?解：∵f（x）在（0，＋∞）上是减函数∵a2－a＋1＝（a－）2＋≥＞0∴f（a2－a＋1）≤f（）评述：体会“等价转化”思想的运用，注意解题时的层次分明和思路清晰.［例3］已知函数f（x）＝在区间（－2，+∞）上单调递增，求a的取值范围。解：在区间（－2，+∞）内任取x1、x2，使－2＜x1＜x2，则：f（x1）－f（x2）＝－＝∵f（x1）＜f（x2）∴（2a－1）（x1－x2）＜0而x1＜x2∴必须2a－1＞0即a＞［例4］已知函数f（x）＝x2－2ax＋a2＋1在区间（－∞，1）上是减函数，求a的取值范围。解：∵顶点横坐标为a，且开口向上∴a≥1［例5］写出函数f（x）＝的单调区间。解：∵t＝x2－2x－3≥0∴x≤－1或x≥3当x∈（－∞，－1]时：x递增，t递减，f（x）递减当x∈[3，+∞）时：x递增，t递增，f（x）递增∴当x∈（－∞，－1]时，f（x）是减函数；\n当x∈[3，+∞）时，f（x）是增函数.［例6］判断函数f（x）＝的增减情况。解：设t＝x2－4x，则t≥－4且t≠0y＝当t∈[－4，0]时，y＝递减；当t∈[0，+∞）时，y＝递减.又当x∈[0，4]时，t∈[－4，0]当x∈（－∞，0）或x∈（4，+∞）时，t∈[0，+∞）∴当x∈（－∞，0）时，x递增，t递减，y递增当x∈[0，2]时，x递增，t递减，y递增当x∈（2，4]时，x递增，t递增，y递减当x∈（4，+∞）时，x递增，t递增，y递减∴当x∈（－∞，0）∪[0，2]时，f（x）是增函数当x∈（2，4]∪（4，+∞）时，f（x）是减函数［例7］已知f(x)的定义域为（0，＋∞），且在其定义域内为增函数，满足f（xy）＝f（x）＋f（y），f（2）＝1，试解不等式f（x）－f（x－2）＞3.解：由f（2）＝1及f（xy）＝f（x）＋f（y）可得3f（2）＝3＝f（2）＋f（2）＋f（2）＝f（4）＋f（2）＝f（8）∴f（x）－f（x－2）＞3∴f（x）＞f（x－2）＋3＝f（x－2）＋f（8）＝f[8（x－2）]又函数f（x）在定义域（0，＋∞）上是增函数∴即2＜x＜评述：（1）例7是利用函数的单调性解不等式的重要应用，这类问题解决时要特别注意必须首先考虑定义域，进而结合函数单调性去求不等式的解集.（2）建议在教学中指导学生树立“定义域优先”的原则,即：在解题时必须时时考虑到.［例8］设f（x）定义在R+上，对于任意a、b∈R+，有f（ab）＝f（a）＋f（b）\n求证：（1）f（1）＝0；（2）f（）＝－f（x）；（3）若x∈（1，+∞）时，f（x）＜0，则f（x）在（1，+∞）上是减函数.证明：（1）令a＝b＝1，则：f（1）＝f（1）＋f（1）∴f（1）＝0（2）令a＝x，b＝，则：f（1）＝f（x）＋f（）∴f（）＝－f（x）（3）令1＜x1＜x2，则：－f（x1）＋f（x2）＝f（x2）＋f（）＝f（）∵1＜x1＜x2∴＞1∴f（）＜0即f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（1，+∞）上是减函数.