【教案】高中数学教案函数的单调性与极值 16页

专题六函数导数专题【命题趋向】函数是高考考查能力的重要素材，以函数为基础编制的考查能力的试题在历年的高考试卷中占有较大的比重．这部分内容既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．一般说来，选择题、填空题主要考查函数的概念、单调性与奇偶性、函数图象、导数的几何意义等重要知识，关注函数知识的应用以及函数思想方法的渗透，着力体现概念性、思辨性和应用意识．解答题大多以基本初等函数为载体，综合应用函数、导数、方程、不等式等知识，并与数学思想方法紧密结合，对函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、有限与无限思想等进行较为深入的考查，体现了能力立意的命题原则．这些综合地统揽各种知识、应用各种方法和能力的试题充分显示了函数与导数的主干知识地位．在中学引入导数知识，为研究函数的性质提供了简单有效的方法．解决函数与导数结合的问题，一般有规范的方法，利用导数判断函数的单调性也有规定的步骤，具有较强的可操作性．高考中，函数与导数的结合，往往不是简单地考查公式的应用，而是与数学思想方法相结合，突出考查函数与方程思想、有限与无限思想等，所考查的问题具有一定的综合性．在一套高考试卷中一般有2-3个小题有针对性地考查函数与导数的重要知识和方法，有一道解答题综合考查函数与导数，特别是导数在研究函数问题中的应用，这道解答题是试卷的把关题之一．【考点透析】函数和导数的主要考点包括函数的概念、图象与性质，函数与方程，函数模型及其应用，导数及其应用、微积分及微积分基本定理等．【例题解析】题型1函数的概念及其表示21x，x≤1，1例1（2008高考山东文5）设函数fx()则f的值为（）2xx2，x1，f(2)15278A．B．C．D．1816169分析：由内向外逐步计算．21111115解析：f24,，故ff1．答案A．f24f24416点评：本题考查分段函数的概念和运算能力．解决的关键是由内到外“逐步有选择”的代入函数解析式，求出函数值．例2（绍兴市2008学年第一学期统考数学试题第14题）如图，函数fx的图象是曲线OAB，其中点1OAB,,的坐标分别为0,0,(1,2),(3,1)，则f的值等于．f3分析：从图象上理解自变量与函数值的对应关系．解析：对于f(3)1,f(1)2．点评：图象是表示函数的一种方法，图象上反应了这个函数的一切性质．题型2函数的图象与性质m例3（浙江省高考省教研室第一次抽样测试理科第14题）已知m为非零实数，若函数yln(1)的x1图象关于原点中心对称，则m．精品学习资料可选择pdf第1页，共16页-----------------------\n分析：图象的对称性反应在函数性质上就是这个函数是奇函数，根据奇函数对定义域内任意x都有fxfx点特点可得一个关于x的恒等式，根据这个恒等式就可以确定m的值，特别地f0f0f00也可以解决问题．m解析：对于函数yln(1)的图象关于原点中心对称,则对于f00，因此有x1ln(m1)0,m11,m2．答案2．点评：函数的奇偶性是函数的重要性质之一，这两个性质反应了函数图象的某种对称性，这二者之间是可以相互转换的．0.2113例4（绍兴市2008学年第一学期统考数学试题第5题）设alog3,b,c2，则（）123A．abcB．cbaC．cabD．bac分析：以0和1为分界线，根据指数函数与对数和的性质解决．0.2113解析：对于alog30,1boc,21，因此abc．答案A．132点评：大小比较问题，可以归结为某个函数就归结为一个函数、利用函数的单调性比较，不能归结为某个函数一般就是找分界线．题型3函数与方程23xx例5．（浙江省高考省教研室第一次抽样测试理科第3题）函数fx1x的零点的个数是23A．0B．1C．2D．3分析：这是一个三次函数，可以通过研究这个函数的单调性与极值，结合函数图象的基本特征解决．2123解析：对于fx1xx(x)0，因此函数fx在R上单调递增，而对于24523f(2)0,(2)f0，因此其零点的个数为1个．答案B．33点评：本例和例9在本质方法上是一致的，其基本道理就是“单调函数至多有一个零点”，再结合连续函数的零点定理，探究问题的答案．2例6．（浙江省五校高三第一次联考理科第题）函数fxmx2x1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是A．,1B．,01C．,00,1D．,1分析：函数中的二次项系数是个参数，先要确定对其分类讨论，再结合一次函数、二次函数的图象布列不等式解决．1解析：当m0时，x为函数的零点；当m0是，若0，即m1时，x1是函数唯一的零点，2若0，显然函数x0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价与方程2fxmx2x10有一个正根一个负根，即mf00，即m0．综合知答案B．点评：分类讨论思想、函数与方程思想是高考所着重考查的两种数学思想，在本题体现的淋漓尽致．还要注意函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，如本题中的x1就是函数的“不变号零点”，对于“不变号零点”，函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点时要注意这个问题．题型4简单的函数模型及其应用例7．（苏州市高三教学调研测试第18题）经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的精品学习资料可选择pdf第2页，共16页-----------------------\n销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且销售量近似满足gt802t（件），价格近1似满足ft()20|t10|（元）．2（1）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0t20）的函数表达式；（2）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．分析：函数模型就是销售量乘以价格，价格函数带有绝对值，去掉绝对值后本质上是一个分段函数，建立起这个分段函数模型后，求其最值即可．1解析：（1）ygt()ft()(802)(20t|t10|)(40t)(40|t10|)2(30t)(40t),(0≤t10),＝(40t)(50t),(10≤≤t20).（2）当0t10时，y的取值范围是1200,1225，在t5时，y取得最大值为1225；当10t201时，y的取值范围是600,1200，在t20时，y取得最小值为600．答案：总之，第5天，日销售额y取得最大为1225元；第20天，日销售额y取得最小为600元．点评：分段函数模型是课标的考试大纲所明确提出要求的一个，分段函数在一些情况下可以用一个带有绝对值的解析式统一表达，要知道带有绝对值的函数本质上是分段函数，可以通过“零点分区”的方法去掉绝对值号再把它化为分段函数．题型5导数的意义、运算以及简单应用1例8．（2008高考江苏8）直线yxb是曲线ylnx(x)0的一条切线，则实数b．21分析：切线的斜率是，就可以确定切点的坐标，切点在切线上，就求出来b的值．2解析：'1'1方法一y，令y得x2，即切点的横坐标是2，则纵坐标是ln2，切线过点2,ln2，所以x2bln21．'11方法二：设曲线上一点点坐标是x0,lnx0，由y知道过该点的曲线的切线的斜率是，故过该点xx0111的曲线的切线方程是ylnx0xx0，即ylnx01，根据已知这条直线和直线yxbx0x02重合，故x02,blnx01ln21．答案：ln21．点评：本题考查导数几何意义的应用，即曲线上一点处的导数值是曲线在该点的切线的斜率，解题的突破口是切点坐标，这也是解决曲线的切线问题时的一个重要思维策略．在解题中不少考生往往忽视“切点在切线上”这个简单的事实，要引以为戒．例9．（中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试理科第2题）已知物体的运动方程为精品学习资料可选择pdf第3页，共16页-----------------------\n23st（t是时间，s是位移），则物体在时刻t2时的速度为t19171513A．B．C．D．4444分析：对运动方程求导就是速度非常．3解析：s'2t2，将t2代入即得．答案D．t点评：本题考查导数概念的实际背景，考试大纲明确提出“了解导数概念的实际背景”，要注意这样的考点．132例10．（江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试第14题）若函数fxxax满足：3对于任意的xx1,20,1都有|fx1fx2|1恒成立，则a的取值范围是．分析：问题等价于函数fx在区间0,1的最大值与最小值的差不大于1，可以通过求函数fx在0,1上的最值解决．22132解析：问题等价于函数在0,1的fxfx1．'fxxa，函数fxxax的maxmin324极小值点是xa，若a1，则函数fx在0,1上单调递减，故只要f0f11，即只要a，32313222即1a；若a1，此时fxfaaaaaa，由于min3331231222f00,f1，故当aa时，fxf1，此时只要aaa1即可，即max333322232233aa1，由于a，故a110，故此时成立；当a1时，此时333333322422fxf0，故只要aa1即可，此显然．故a，即a的取值范围是3,3．max3333点评：三次函数一直以来都是大纲区高考的一个主要考点，主要用这个函数考查考生对用导数研究函数性质、研究不等式等问题的理解和掌握程度，随着课标的考试大纲对导数公式的强化，课标区高考的函数导数解答题已经把函数的范围拓宽到了指数函数、对数函数、三角函数等（包括文科），但三次函数是高中阶段可以用导数研究的最为透彻的函数之一，高考也不会忽视了这个函数!题型6导数在研究函数、方程、不等式等问题中的综合运用例11（安徽省\*MERGEFORMAT皖南八校高三第二次联考理科数学第22题）已知函数afx()lnx，x（1）当a0时，判断fx()在定义域上的单调性；3（2）若fx()在[1,]e上的最小值为，求a的值；22（3）若fx()x在(1,)上恒成立，求a的取值范围．分析：（1）通过判断导数的符号解决；（2）确立函数的极值点，根据极值点是不是在区间[1,]e上确立精品学习资料可选择pdf第4页，共16页-----------------------\n是不是要进行分类讨论和分类讨论的标准；（3）由于参数a是“孤立”的，可以分离参数后转化为一个函数的单调性或最值等解决．1axa解析：（1）由题意：fx()的定义域为(0,)，且f()x．22xxxa0,f()x0，故fx()在(0,)上是单调递增函数．xa（2）由（1）可知：f()x2x①若a1，则xa0，即f()x0在[1,]e上恒成立，此时fx()在[1,]e上为增函数，33[fx()]minf(1)a,a（舍去）．22②若ae，则xa0，即f()x0在[1,]e上恒成立，此时fx()在[1,]e上为减函数，a3e[fx()]minfe()1a（舍去）．e22③若ea1，令f()x0得xa，当1xa时，f()x0,fx()在(1,)a上为减函数，当axe时，f()x0,fx()在(ae,)上为增函数，3[fx()]minf(a)ln(a)1ae，2综上可知：ae．2a2（3）fx()x,lnxx．x3又x0,axlnxx232116x令gx()xlnxxhx,()gx()1lnx3xhx,()6x，xxhx()在[1,)上是减函数，hx()h(1)2，即gx()0，gx()在[1,)上也是减函数，gx()g(1)1．2令a1得agx()，∴当fx()x在(1,)恒成立时，a1．点评：本题前两问是借助于导数和不等式这两个工具研究函数的性质，地三问是借助于导数研究不等式，这是目前课标区高考中函数导数解答题的主要命题模式．求一个函数在一个指定的闭区间上的最值的主要思考方向就是考虑这个函数的极值点是不是在这个区间内，结合函数的单调性确立分类讨论的标准．本题第三问实际上是对函数gx两次求导，也要注意这个方法．t例12．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第22题）已知函数f(x)x(t)0和点P,1()0，x过点P作曲线yf(x)的两条切线PM、PN，切点分别为M(x1,y1)、N(x2,y2)．精品学习资料可选择pdf第5页，共16页-----------------------\n2（1）求证：x1,x2为关于x的方程x2txt0的两根；（2）设MNg(t)，求函数g(t)的表达式；（3）在（2）的条件下，若在区间2[,16]内总存在m1个实数aa1,2,,am1（可以相同），使得不等式g(a1)g(a2)g(am)g(am1)成立，求m的最大值．分析：（1）写出曲线上任意一点处的切线方程后，把点P点坐标代入，就会得到一个仅仅含有参数t的方程，而两个切点的横坐标都适合这个方程，则两个切点的横坐标必是一个以参数t为系数的一个方程的两个解；（2）根据第一的结果和两点间距离公式解决；（3）根据第二问的结果探究解题方案．tt解析：（1）由题意可知：y1x1,y2x2，x1x2ttt∵f(x)12，∴切线PM的方程为：y(x1)1(2)(xx1)，xxx11tt又切线PM过点P)0,1(，有0(x1)1(2)(1x1)，xx112即x12tx1t0，①2同理，由切线PN也过点P)0,1(，得x22tx2t0．②2由①、②，可得x,x是方程x2txt0（*）的两根．12xx2t,12（2）由（*）知．x1x2t.2tt2MN(xx)(xx)1212x1x22t22[(x1x2)4x1x2][11()]20t20t，x1x22∴g(t)20t20t(t)0．（3）易知g(t)在区间2[,16]上为增函数，g)2(g(ai)g(16)(i,2,1,m)1，则mg)2(g(a1)g(a2)g(am)g(am1)g(16)．22即mg)2(g(16)，即m20220220162016，136所以m，由于m为正整数，所以m6．3精品学习资料可选择pdf第6页，共16页-----------------------\n又当m6时，存在a1a2a62，a716满足条件，所以m的最大值为6．点评：本题第一问的解决方法具有一般的意义，许多过一点作曲线的两条切线、两个切点的横坐标之间的关系都可以得到这个结论，这对进一步解决问题往往是关键的一步．本题第三问的解决方法用的是先估计、再确定的方法，也只得仔细体会．ln(x)例13．(2009江苏泰州期末20)已知fxaxlnx,xe,0,()gx，其中e是自然常x数，aR.（1）讨论a1时,fx()的单调性、极值；1（2）求证：在（1）的条件下，|fx()|gx()；2（3）是否存在实数a，使fx()的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．分析：（1）求导后解决；（2）去绝对值后构造函数、利用函数的单调性解决，或是证明函数1fxgx；（3）根据极值点是不是在区间e,0确立分类讨论的标准，分类解决．min2max1x1解析：（1）fxxlnxf'x1xx当ex1时，f'x0，此时fx为单调递减，当1x0时，f'x0，此时fx为单调递增，fx的极小值为f11．（2）fx的极小值，即fx在0,e的最小值为1，1lnx1fx1令hxgxmin2x2ln(x)1又hx'2，当ex0时h'x0xhx在0,e上单调递减1111hxhe1fxmaxmine2221当x0,e时，fxgx21（3）假设存在实数a，使fxaxlnx有最小值3，x0,e，f'xax11①当a时，由于x0,e，则f'xa0ex函数fxaxlnx是0,e上的增函数fxminfeae1341解得a（舍去）ee111②当a时，则当ex时，f'xa0eax此时fxaxlnx是减函数11当x0时，f'xa0，此时fxaxlnx是增函数ax11fxminf1ln3aa精品学习资料可选择pdf第7页，共16页-----------------------\n2解得ae1点评：本题的第二问实际上可以加强为证明对任意的xx1,2e,0证明fx1gx2；第三问的2解答方法具有一般的意义，即求函数在指定闭区间上的最值分类就是按照极值点是不是在这个区间上进行的．题型7函数的应用、生活中的优化问题例14．（2008高考江苏卷17）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD的中点P处，已知AB20kmBC,10km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形ABCD的区域上（含边界），且与A,B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长为ykm（1）按下列要求建立函数关系式：①设BAO(rad)，将y表示为的函数；②设OPxkm()，将y表示为x的函数关．（2）请你选用（1）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短．分析：（1）已经指明了变量，只需按照有关知识解决即可；（2）根据建立的函数模型，选择合理的模型和方法解决．解析：（1）①如图，延长PO交AB于点Q，由条件知PQ垂直平分AB，若BAOrad，则AQ1010OA，故OBcosBAOcoscos1010又OP1010tan，所以yOAOBOP1010tancoscos2010sin所求函数关系式为y10(0)cos4222②若OPxkm()，则OQ10x，所以OAOB(10x)10x20x2002所求函数关系式为yx2x20x200(0x10)．（2）选择函数模型①．方法一：（使用导数的方法）10coscos(2010sin)(sin)10(2sin1)y'22coscos精品学习资料可选择pdf第8页，共16页-----------------------\n1令y'0得sin，0，当(0,)时y'0，y是的减函数；当(,)246664时y'0，y是的增函数．所以函数在处取得极小值，这个极小值就是函数y在0,的最小64120102值，ymin1010310．3210203当时，AOBOkm．因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到,AB两点的63cos6203距离均为km时，铺设的排污管道的总长度最短．32010sin2sin2sin方法二：（传统的方法）y101010，记t，则coscoscos2sintcos2，化为sin，21t1t2其中cos,sin，由正弦函数的有界性知1，2221t1t1t2sin解得t3或t3，又当0时t0，故t3，4cos13即t的最小值为3，当t3时，sin1,cos,sin，22由此知可以取，此时，即当时，函数y有最小值（下同方法一）．3662sin方法三：（从几何意义上考虑）同方法二，t，cos则t可以看作是平面上的定点M0,2，与动点Ncos,sin上连点的斜率，22而动点N是单位圆xy1在第二象限的后半区的一段弧，设过点M0,2的直线方程为ytx2，由于圆心到直线的距离不大于圆的半径，2则1(下面的分析类似解法一)．21t选用函数模型②：方法一：（导数的方法）'2x20'2y1，令y0则x20x200202x，2x20x200精品学习资料可选择pdf第9页，共16页-----------------------\n2103平方得3x60x2000，解得x10，由于0x10，3103故x10，并且可以判断这个是函数的最小值点，3103此时OQ，下面对实际问题的解释类似上面的解法．3方法二：（判别式的方法）将函数y看作常数，移项，平方，22整理得3x2y40x800-y0，由于x是实数，222故4y4012800y0，即y20y8000，解得y10103，或y10103，由于y0，舍掉这个解，故函数y的最小值是10103，当y10103时，22方程3x2y40x800-y0有两个相等的实数根2y4021010340103x10（下面对实际问题的解释类似于上面的解法）．2363点评：本题考查函数的概念、解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力．命题者匠心独具地把对同一个问题让考生用不同的变量建立数学模型，而在接下来的第二问中又要求考生选用所建立的两个函数模型中的一个来解决优化问题，这就要求考生有对数学模型较高的鉴赏能力，选用的模型不同，其简繁程度就不同，使考生在比较鉴别中体会数学的美学价值，是一道值得称道的优秀试题．题型8定积分（理科）例15．（安徽省\*MERGEFORMAT皖南八校高三第二次联考理科数学第5题）若2(sinxacos)xdx2，则实数a等于0A．1B．1C．3D．3分析：根据微积分基本定理计算定积分，利用方程解决．2解析：(sinxacos)xdx(cosxasin)x2a12,a1．答案A．00点评：根据微积分基本定理计算定积分的关键是找到一个函数，使这个函数的导数等于被积函数，同时要合理地利用定积分的性质和函数的性质简化计算．例16．（广东潮州市2008~2009学年度第一学期高三级期末质量检测理科第13题）两曲线2xy0,yx2x所围成的图形的面积是_________．分析：根据函数图象把所求的面积表示为函数的定积分，根据微积分基本定理求出这个定积分即可．xy0x0x3解析：由，解得，或，即两曲线的交点O(0,0)和A(3,)3，所求图形的2yx2xy0y3精品学习资料可选择pdf第10页，共16页-----------------------\n323213399面积为S0(xx2x)dx(xx|)0．答案．2322点评：定积分的简单应用主要就是求曲边形的面积，注意根据函数图象准确地地用定积分表示这个面积．【专题训练与高考预测】一、选择题xa(x0),fx(1)fx(2)1．已知函数f(x)满足对任意x1x2，都有0成立，则a的取值范(a)3x4a(x)0x1x2围是（）11A．,0B．0,1C．1,D．0,344332．定义在R上的函数fx()的图象关于点(,0)成中心对称，对任意的实数x都有fx()=-fx(+)，且42f-(1)=1,f(0)=-2，则f(1)+f(2)+f(3)+鬃?f(2008)的值为（）A．-2B．-1C．0D．1cosxx3．已知函数①f(x)3lnx；②f(x)3e；③f(x)3e；④f(x)3cosx．其中对于f(x)定义域内的任意一个自变量x1都存在唯一个自变量x2，使fxfx()()123成立的函数是（）A．③B．②③C．①②④D．④xx4．设aR，函数fx()eae的导函数是f()x，且f()x是奇函数．若曲线yfx()的一条切线3的斜率是，则切点的横坐标为（）2ln2A．B．ln22ln2C．D．ln22lnalnx5．已知函数fx在1,上为减函数，则实数a的取值范围是（）x1A．0aB．0aeC．aeD．aee13326．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t称后的位移为stt2t，那么速度为零的时刻是32（）A．0秒B．1秒末C．2秒末D．1秒末和2秒末二、填空题1x27．已知函数fx()lnsinx，则关于a的不等式fa(2)fa(4)0的解集是．1x28．已知函数fxmxlnx2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为_________．精品学习资料可选择pdf第11页，共16页-----------------------\n9．（文科）有下列命题：①函数ycosxcosx的图象中，相邻两个对称中心的距离为；②44x32函数y的图象关于点1,1对称；③关于x的方程ax2ax10有且仅有一个实数根，则实x1数a1；④已知命题p：对任意的xR，都有sinx1，则p：存在xR，使得sinx1．其中所有真命题的序号是．29．（理科）（1）sinxdx．23323x532223【解析】这个面积是2xx3dxx3x19．31333三解答题2xx10．已知函数fxeax1，其中a为实数．21（1）若a时，求曲线yfx()在点1,(1)f处的切线方程；21（2）当x时，若关于x的不等式fx0恒成立，试求a的取值范围．2232x2x11．已知f(x)x2xcx4，g(x)eef(x)，3（1）若fx在x12处取得极值，试求c的值和fx的单调增区间；（2）如右图所示，若函数yf(x)的图象在[a,b]连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在'c(a,b),使得f(c)？（用含有abfa,,,fb的表达式直接回答）（3）利用（2）证明：函数ygx()图象上任意两点的连线斜率不小于2e4．212．已知函数fxln,xgxaxxa0．（1）若函数yfx与ygx的图象在公共点P处有相同的切线，求实数a的值并求点P的坐标；（2）若函数yfx与ygx的图象有两个不同的交点M、N，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，过线段MN的中点作x轴的垂线分别与fx的图像和gx的图像交,ST点，以S为切点作fx的切线l1，以T为切点作gx的切线l2．是否存在实数a使得l1//l2，如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．【参考答案】1．解析：A条件等价于函数fx单调递减．精品学习资料可选择pdf第12页，共16页-----------------------\n32．解析：D由fx()=-fx(+)，得fx(+3)=fx()，因此，fx()是周期函数，并且周期是3函数fx()的图233象关于点(,0)成中心对称,因此，fx()=-f(--x)，所以，f(1)=142f(1)+f(2)+f(3)=0，f(1)+f(2)+f(3)+鬃?f(2008)＝f(1)3．解析：A②④是周期函数不唯一，排除；①式当x1=1时，ln10不存在x2使得成立，排除；答案：A．xx4．解析：Df'xeae，由于'fx是奇函数，故f'xf'x对任意x恒成立，由此得a1，xx32xxxxx由f'xee得2e3e20，即e22e10，解得e2，故xln2，故切2点的横坐标是ln2．1x(lnaln)xx1(lnaln)x5．解析：Df'x，因为fx在1,上为减函数，故f'x022xx在1,上恒成立，即lna1lnx在1,上恒成立，等价于lna1lnx在1,上的最大值．设x1lnx，x1，故lna1，ae，选答案D．max226．解析：Ds't3t2，即vt3t2，令v0，解得t1或2，选答案D．1x7．解析：(3,2)fx()lnsinx是奇函数，1x1x2(1x)2又fx()lnsinxlnsinxln1sinx，fx在1,1单调递增，故1x1xx12fx定义在1,1上的且是增函数．由已知得fa(2)fa(4)2即fa(2)f(4a)．2a24a3a2故1a211a33a2．21a415a3或3a5即不等式的解集是(3,2)．221112128．解析：,f'x2mx20对一切x0恒成立，2m，令gx，2xxxxx11则当1时，函数gx取最大值1，故2m1，即m≥．x219．（文科）解析：③④①函数ycosxcosxcos2x，相邻两个对称中心的距离为442Tx3d，错误；②函数y图象的对称中心应为1,1，错误；③正确；④正确．22x12229．（理科）解析：2sinxdx2sinxdx2(cos)x02．022（2）直线y2x与抛物线yx3所围成图形的面积为．精品学习资料可选择pdf第13页，共16页-----------------------\n21xx1x110．解析：（1）．当a时，fxex1,fxex，从而得222211f1e1,f1e，故曲线yfx()在点1,f1处的切线方程为ye1(e)(x1)，2211即exy0．22x12x12ex1ex1（2）．由fx()0，得x12122axex1,x,a，令gx,则22xxx12ex1x12x12x1gx,令()xe(x1)x1,则xxe(1),x,x0，2x22117e1即()x在,上单调递增．所以()x0，因此x0，故gx在,22822112e1129单调递增．则gxg，因此a的取值范围是a2e．2142'211．解析：（1）f(x)2x4xc，'2依题意，有f1()20，即c1(2)21(4)22．232'2f(x)x2x2x4，f(x)2x4x2．3'令f(x),0得x12或x12，从而fx的单调增区间为(,12]和[12,)．'fb()fa()（2）f()c．bax2xx2x232（3）g(x)eef(x)eex2x2x4，3'x2x2g(x)ee2x4x222xe2xeex2(x1)42ex2042e4.ee'由（2）知，对于函数ygx()图象上任意两点,AB，在,AB之间一定存在一点C(c,g(c)),使得'''g(c)KAB，又g(x)2e4，故有KABg(c)2e4，证毕．12．解析：（1）设函数yfx与ygx的图象的公共点Pxy0,0，则有2lnx0ax0x0①又在点P有共同的切线精品学习资料可选择pdf第14页，共16页-----------------------\n11x0∴f'x0g'x02ax01a2代入①得x02x011lnx0x0221111设hxlnxxh'x0x022x2所以函数hx最多只有1个零点，观察得x01是零点，∴a1，此时P1,02lnxx（2）方法1由fxgxlnxaxxa2x121x2xlnxxlnxxx1x2lnx令rxr'x243xxx当0x1时，r'x0，则rx单调递增lnxx当x1时，r'x0，则rx单调递减，且20x所以rx在x1处取到最大值r11，lnxx所以要使y与ya有两个不同的交点，则有0a1．2x1方法2根据（1）知当a1时，两曲线切于点1,0，此时变化的ygx的对称轴是x，而yfx211是固定不动的，如果继续让对称轴向右移动即xa1，两曲线有两个不同的交点，当a02a2时，开口向下，只有一个交点，显然不合，所以0a1．x1x2y1y2（3）不妨设Mxy1,1,Nxy2,2，且x1x2，则MN中点的坐标为,22x1x22以S为切点的切线l1的斜率kSf'2x1x2x1x2以T为切点的切线l2的斜率kTg'ax1x2122如果存在a使得kSkT，即ax1x21①x1x222而且有lnx1ax1x1和lnx2ax2x2，如果将①的两边同乘x1x2得精品学习资料可选择pdf第15页，共16页-----------------------\n2(x1x2)22ax1x2x1x2，x1x2x12(1)2(x1x2)22x1x1x2ax1x1(ax2x2)lnx1lnx2ln，即ln．x1x2x2x2x11x2x21211设1，则有ln1，令hln1，x2112141h'，∵1，∴h'022(1)(1)因此h在1,上单调递增，故hh10，所以不存在实数a使得l1//l2．精品学习资料可选择pdf第16页，共16页-----------------------