【教案】高中数学函数值域求法教案新人教A版 10页

学习必备欢迎下载函数值域求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。1例1求函数y=的值域x1解：x≠0，≠0显然函数的值域是：（-∞，0）∪（0，+∞）。x例2求函数y=3-x的值域。解：x≥0-x≤03-x≤3故函数的值域是：[-∞，3]2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。2例1、求函数y=x-2x+5，x[-1，2]的值域。2解：将函数配方得：y=（x-1）+4，x[-1，2]，由二次函数的性质可知：当x=1时，ymin=4当x=-1，时ymax=8故函数的值域是：[4，8]例2、求函数y2x34x13的值域。11解：y4x624x134x1324x137221277=4x1313，所以y，故所求函数值域为[，+∞]。22222例3、求y2log22x6log2x62log2x22。1解：⋯⋯⋯所以当x时，y有最小值-2。故所求函数值域为[-2，+∞）。43、判别式法221xx例1求函数y=的值域。21x2解：原函数化为关x的一元二次方程（y-1)x+（y-1）x=02（1）当y≠1时，xR,△=(-1)-4(y-1)(y-1)≥013解得：≤y≤221313（2）当y=1，时，x=0,而1[,]故函数的值域为[，]2222例2求函数y=x+x2(x)的值域。精品学习资料可选择pdf第1页，共10页-----------------------\n学习必备欢迎下载22解：两边平方整理得：2x-2（y+1）x+y=0（1）2xR，△=4（y+1）-8y≥0解得：1-2≤y≤1+2但此时的函数的定义域由x（2-x）≥0，得：0≤x≤2。22由△≥0，仅保证关于x的方程：2x-2（y+1）x+y=0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为13[，]。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。220≤x≤2，y=x+x2(x)≥0，4422222222ymin=0，y=1+2代入方程（1），解得：x1=[0，2]，即当x1=时，原函数22的值域为：[0，1+2]。注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。3x4例1求函数y=值域。5x646y46y解：由原函数式可得：x=则其反函数为：y=5y35x333其定义域为：x≠故所求函数的值域为：（-∞，）555、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。xe1例1求函数y=的值域。xe1xy1解：由原函数式可得：e=y1xy1e＞0，＞0解得：-1＜y＜1。y1故所求函数的值域为(-1,1).cosx例2求函数y=的值域。sinx3解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y精品学习资料可选择pdf第2页，共10页-----------------------\n学习必备欢迎下载2可化为：y1sinx（x+β）=3y3y即sinx（x+β）=2y13y∵x∈R，∴sinx（x+β）∈[-1，1]。即-1≤≤12y12222解得：-≤y≤故函数的值域为[-，]。44446、函数单调性法x5例1求函数y=logx1（2≤x≤10）的值域23x5解：令y1=，y2=logx1，则y1，y2在[2，10]上都是增函数。23所以y=y1+y2在[2，10]上是增函数。315当x=2时，ymin=2+log321=当x=10时，ymax=2+log39=33。81故所求函数的值域为：[，33]。8例2求函数y=x1-x1的值域。2解：原函数可化为：y=x1x1令y1=x1，y2=x1，显然y1，y2在[1，+∞）上为无上界的增函数，所以y=y1+y2在[1，+∞）上也为无上界的增函数。所以当x=1时，y=y1+y2有最小值2，原函数有2最大值=2。2显然y＞0，故原函数的值域为(0,2]。7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例1、求函数yx12x的值域。1解：由12x0，得x。令12xtt02精品学习资料可选择pdf第3页，共10页-----------------------\n学习必备欢迎下载221t1t121得x，于是ytt11，因为t0，所以y。故所22221求函数值域为[-∞，]。222例2、求函数yx1xx的值域。解：设xsin，则221112ysincossinsin21cos2sin2。2222412121212所以y，故所求函数值域为，。2222例3求函数y=x+x1的值域。2解：令x-1=t，（t≥0）则x=t+12123∵y=t+t+1=(t)+，又t≥0，由二次函数的性质可知24当t=0时，y=1，当t→0时，y→+∞。min故函数的值域为[1，+∞）。2例4求函数y=x+2+1(x)1的值域22解：因1-(x)1≥0，即(x)1≤1故可令x+1=cosβ，β∈[0，∏]。2∴y=cosβ+1+1cosB=sinβ+cosβ+1=2sin（β+∏/4）+1∵0≤β≤∏，0≤β+∏/4≤5∏/42∴-≤sin（β+∏/4）≤12∴0≤2sin（β+∏/4）+1≤1+2。故所求函数的值域为[0，1+2]。3xx例5求函数y=的值域42x2x1精品学习资料可选择pdf第4页，共10页-----------------------\n学习必备欢迎下载212x1x解：原函数可变形为：y=-2221x1x22x1x可令x=tgβ，则有=sin2β，=cos2β221x1x11∴y=-sin2βcos2β=-sin4β241当β=k∏/2-∏/8时，ymax=。41当β=k∏/2+∏/8时，y=-min4而此时tgβ有意义。11故所求函数的值域为[-，]。44例6求函数y=（sinx+1）（cosx+1），x∈[-∏/12∏/2]的值域。解：y=（sinx+1）（cosx+1）=sinxcosx+sinx+cosx+112令sinx+cosx=t，则sinxcosx=（t-1）21212y=（t-1）+t+1=(t)122由t=sinx+cosx=2sin（x+∏/4）且x∈[-∏/12，∏/2]2可得：≤t≤223232∴当t=2时，ymax=+2，当t=时，y=+2242323故所求函数的值域为[+，+2]。4222例7求函数y=x+4+5x的值域解：由5-x≥0，可得∣x∣≤5故可令x=5cosβ，β∈[0，∏]y=5cosβ+4+5sinβ=10sin（β+∏/4）+4∵0≤β≤∏，∴∏/4≤β+∏/4≤5∏/4当β=∏/4时，ymax=4+10，当β=∏时，ymin=4-5。故所求函数的值域为：[4-5，4+10]。精品学习资料可选择pdf第5页，共10页-----------------------\n学习必备欢迎下载8数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。22例1求函数y=(x)2+(x)8的值域。解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。由上图可知：当点P在线段AB上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10故所求函数的值域为：[10，+∞）22例2求函数y=x6x13+x4x5的值域2222解：原函数可变形为：y=(x)30()2+(x)20()1上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，22ymin=∣AB∣=3()22()1=43，故所求函数的值域为[43，+∞）。22例3求函数y=x6x13-x4x5的值域2222解：将函数变形为：y=(x)30()2-(x)20()1精品学习资料可选择pdf第6页，共10页-----------------------\n学习必备欢迎下载上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B（-2，1）到点P（x，0）的距离之差。即：y=∣AP∣-∣BP∣由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P1，则构成△ABP1，根据三角形两边之差小于第三边，22有∣∣AP1∣-∣BP1∣∣＜∣AB∣=3()22()1=26即：-26＜y＜26（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣=26。综上所述，可知函数的值域为：（-26，-26]。注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A，B在x轴的同侧。如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），（-2，-1），在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为：（3，2），（2，-1），在x轴的同侧。9、不等式法利用基本不等式a+b≥2ab，a+b+c≥33abc（a，b，c∈），求函数的最值，其题型特征解析式R是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例1求函y=（sinx+1/sinx）+（cosx+1/cosx）的值域解：原函数变形为：2222y=（x+x）+1/x+1/xsincossincos22=1+x+xcscsec223=3+tgx+ctgx22≥3tgxctgx+2精品学习资料可选择pdf第7页，共10页-----------------------\n学习必备欢迎下载=5当且仅当tgx=ctgx，即当x=k∏±∏/4时（k∈z），等号成立。故原函数的值域为：[5，+∞）。例2求函数y=2sinxsin2x的值域解：y=2sinxsinxcosx2=4xcosxsin242y=16xxsincos222=8xx（2-2x）sinsinsin222≤8（x+x+2-x）sinsinsin3222=8[（x+x+2-x）/3]sinsinsin64=27222当且当x=2-2x，即当x=时，等号成立。sinsinsin2648383由y≤，可得：-≤y≤27998383故原函数的值域为：[-，）。9910、利用直线斜率法sinx例1、求函数y的值域。2cosx3解：令u2cosxvsinx2u2则v1⋯⋯⋯⋯（1），原函数成为vyu3⋯⋯⋯⋯（2）。4在平面直角坐标系OUV中，（1）表示一椭圆，（2）表示过点P（-3，0）、斜率为y的直线，过P作椭圆（1）的两条切线PM、PN则y的取值范围即（2）的斜率的取值范围在PM、PN两斜率之间。为此，以（2）代入（1），消去v，得222214yu24yu36y4022222∴△=24y414y36y40，化简得5y1，故解得精品学习资料可选择pdf第8页，共10页-----------------------\n学习必备欢迎下载5555y，所以所求函数的值域为,5555cosx2例2、求函数y的值域。sinx3解：令usinx3vcosx222则u3v21⋯⋯⋯⋯（1），原函数成为vyu⋯⋯⋯⋯（2）。在平面直角坐标系OUV中，（1）表示一个圆，（2）表示过原点O，斜率为y的直线，过点O作圆（1）的两条切线，则y的取值范围即（2）的斜率的取值范围在两切线斜率之间。为此，以（2）代入（1），消去v，得22y1u22y3u120223333∴△=42y3412y10，解得y，故所求函数的值域443333为，。4411、多种方法综合运用x2例1求函数y=的值域x32解：令t=x2（t≥0），则x+3=t+1t11（1）当t＞0时，y==≤，当且仅当t=1，即x=-1时取等号2t1t/1t21所以0＜y≤。21（2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：[0，]。2注：先换元，后用不等式法。2341x2xxx例2求函数y=的值域。2412xx22432解：y=12xx+xx=1x+x2424()212xx12xx121xx精品学习资料可选择pdf第9页，共10页-----------------------\n学习必备欢迎下载221x2x1令x=tg，则=，=sin，2()cos221x21x2121∴y=+sin=-+sin+1cos2sin22117=-(sin)+164117∴当sin=时，ymax=。当sin=-1时，ymin=-2。41617此时tg都存在，故函数的值域为：［－２，］。216注：此题先用换元法。后用配方法，然后再运用sin的有界性。例3（用导数求函数的极值及最值）、42求函数yx2x5在区间2,2上的最大值与最小值。/3解：先求导数，得y4x4x/3令y＝0即4x4x0解得x1,1x2,0x31/导数y的正负以及(f)2，)2(f如下表（－2，（－1，（0，（1，X－2－1012－1）0）1）2）/y0＋0－0＋y1345413从上表知，当x2时，函数有最大值13，当x1时，函数有最小值4总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。精品学习资料可选择pdf第10页，共10页-----------------------