高中数学教案必修全套（人教A版）教案全套 289页

高中数学教案必修全套（人教A版）【教案全套】2\n目录第一章函数与集合的概念11.1集合21.1.1集合的含义与表示21.1.2集合间的基本关系131.1.3集合的基本运算211.2函数及其表示371.2.1函数的概念371.2.2函数的表示法501.3函数的基本性质751.3.1单调性与最大（小）值751.3.2奇偶性96本章复习104第二章基本初等函数（Ⅰ）1162.1指数函数1172.1.1指数与指数幂的运算117第1课时指数与指数幂的运算(1)117第2课时指数与指数幂的运算(2)125第3课时指数与指数幂的运算(3)1342.1.2指数函数及其性质143第1课时指数函数及其性质(1)143第2课时指数函数及其性质(2)152第3课时指数函数及其性质（3）1582.2对数函数1692.2.1对数与对数运算169第1课时对数与对数运算(1)169第2课时指数与指数幂的运算(2)177第3课时指数与指数幂的运算(3)1852.3幂函数203第三章函数的应用2103.1函数与方程2103.1.1方程的根与函数的零点210第2课时方程的根与函数的零点2183.1.2用二分法求方程的近似解2243.2函数模型及其应用2353.2.1几类不同增长的函数模型235第2课时几类不同增长的函数模型2433.2.2函数模型的应用举例251第1课时函数模型的应用实例251第2课时函数模型的应用举例2562\n第一章函数与集合的概念本章教材分析通过本章的学习,使学生会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象,并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进行转换,体会用集合语言表达数学内容的简洁性、准确性,帮助学生学会用集合语言描述数学对象,发展学生运用数学语言进行交流的能力.通过本章的学习,使学生不仅把函数看成变量之间的依赖关系,同时还会用集合与对应的语言刻画函数,为后续学习奠定基础.函数是高中数学的核心概念,本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习,强调结合实际问题,使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法,从而发展学生对变量数学的认识,培养学生的抽象概括能力,增强学生应用数学的意识.课本力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识,通过列举丰富的实例,强调从实例出发,让学生对集合和函数概念有充分的感性认知基础,再用集合与对应语言抽象出函数概念.课本突出了集合和函数概念的背景教学,这样比较符合学生的认识规律.教学中要高度重视数学概念的背景教学.课本尽量创设使学生运用集合语言和数学符号进行表达和交流的情境和机会,并注意运用Venn图表达集合的关系及运算,用图象表示函数,帮助学生借助直观图示认识抽象概念.课本在例题、习题的教学中注重运用集合和函数的观点研究、处理数学问题,这一观点,一直贯穿到以后的数学学习中.在例题和习题的编排中,渗透了分类讨论思想,让学生体会到分类讨论思想在生活中和数学中的广泛运用,这是学生在初中阶段所缺少的.函数的表示是本章的主要内容之一,课本重视采用不同的表示法(列表法、图象法、分析法),目的是丰富学生对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念.在教学中,既要充分发挥图象的直观作用,又要适当地引导学生从代数的角度研究图象,使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.课本将函数推广到了映射,体现了由特殊到一般的思维规律,有利于学生对函数概念学习的连续性.在教学中,要坚持循序渐进,逐步渗透数形结合、分类讨论这方面的训练.对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解,而对定义域、值域的繁难计算,特别是人为的过于技巧化的训练不作提倡,要准确把握这方面的要求,防止拔高教学.重视函数与信息技术整合的要求,通过电脑绘制简单函数动态图象,使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用.为了体现课本的选择性,在练习题安排上加大了弹性,教师应根据学生实际情况,合理地取舍.225\n本章教学时间约需13课时,具体分配如下(仅供参考):1.1.1集合的含义与表示约1课时1.1.2集合间的基本关系约1课时1.1.3集合的基本运算约2课时1.2.1函数的概念约2课时1.2.1函数的表示法约3课时1.3.1单调性与最大约2课时1.3.2奇偶性约1课时本章复习约1课时225\n1.1集合1.1.1集合的含义与表示整体设计教学分析集合论是现代数学的一个重要的基础.在高中数学中,集合的初步知识与其他内容有着密切的联系,是学习、掌握和使用数学语言的基础.课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发,结合实例给出元素、集合的含义,课本注重体现逻辑思考的方法,如抽象、概括等.值得注意的问题:由于本小节的新概念、新符号较多,建议教学时先引导学生阅读课本,然后进行交流,让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用.在信息技术条件较好的学校,可以利用网络平台让学生交流学习概念后的认识;也可以由教师给出问题,让学生读后回答问题,再由教师给出评价.这样做的目的是培养学生主动学习的习惯,提高阅读与理解、合作与交流的能力.在处理集合问题时,根据需要,及时提示学生运用集合语言进行表述.三维目标1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识.2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识.重点难点教学重点:集合的基本概念与表示方法.教学难点:选择恰当的方法表示一些简单的集合.课时安排1课时设计方案（一）教学过程导入新课思路1.军训前学校通知:8月15日8点,高一年级学生到操场集合进行军训.试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合.思路2.首先教师提出问题:在初中,我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合的例子吗?引导学生回忆、举例和互相交流自己举的例子.与此同时,教师对学生的活动给予评价.接着教师指出:那么,集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.推进新课新知探究提出问题①请我们班的全体女生起立！接下来问:“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？”②下面请班上身高在1.75以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？③其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢?请你给出集合的含义.④如果用A表示高一(3)班全体学生组成的集合,用a表示高一(3)班的一位同学,b是高一(4)班的一位同学,那么a、b与集合A分别有什么关系?由此看见元素与集合之间有什么关系？⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？225\n⑥世界上的高山能不能构成一个集合？⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？⑧由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？⑩由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等,你发现集合有什么结论？讨论结果：①能.②能.③我们把研究的对象统称为“元素”,那么把一些元素组成的总体叫“集合”.④a是集合A的元素,b不是集合A的元素.学生得出元素与集合的关系有两种:属于和不属于.⑤能,是珠穆朗玛峰.⑥不能.⑦确定性.给定的集合,它的元素必须是明确的,即任何一个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中,这就是集合的确定性.⑧3个.⑨互异性.一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的,这就是集合的互异性.⑩集合M和N相同.这说明集合中的元素具有无序性,即集合中的元素是没有顺序的.可以发现:如果两个集合中的元素完全相同,那么这两个集合是相等的.提出问题阅读课本P3中:数学中一些常用的数集及其记法.快速写出常见数集的记号.活动：先让学生阅读课本,教师指定学生展示结果.学生写出常用数集的记号后,教师强调:通常情况下,大写的英文字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合,这是专用集合表示符号,类似于110、119等专用电话号码一样.以后,我们会经常用到这些常见的数集,要求熟练掌握.讨论结果：常见数集的专用符号.N:非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的集合);N*或N+:正整数集(非负整数集N内排除0的集合);Z:整数集(全体整数的集合);Q:有理数集(全体有理数的集合);R:实数集(全体实数的集合).提出问题①前面所说的集合是如何表示的？②阅读课本中的相关内容,并思考:除字母表示法和自然语言之外,还能用什么方法表示集合？③集合共有几种表示法?活动：①学生回顾所学的集合并作出总结.教师提示可以用字母或自然语言来表示.②教师可以举例帮助引导:例如,24的所有正约数构成的集合,把24的所有正约数写在大括号“{}”内,即写出为{1,2,3,4,6,8,12,24}的形式,这种表示集合的方法是列举法.注意：大括号不能缺失;有些集合所含元素个数较多,元素又呈现出一定的规律,在不至于发生误解的情况下,亦可用列举法表示,如:从1到100的所有整数组成的集合:{1,2,3,…,100},自然数集N:{0,1,2,3,4,…,n,…};区分a225\n与{a}:{a}表示一个集合,该集合只有一个元素,a表示这个集合的一个元素;用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序;相同的元素不能出现两次.又例如,不等式x-3>2的解集,这个集合中的元素有无数个,不适合用列举法表示.可以表示为{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2},这种表示集合的方法是描述法.③让学生思考总结已经学习了的集合表示法.讨论结果：①方法一(字母表示法):大写的英文字母表示集合,例如常见的数集N、Q,所有的正方形组成的集合记为A等等;方法二(自然语言):用文字语言来描述出的集合,例如“所有的正方形”组成的集合等等.②列举法:把集合中的全部元素一一列举出来,并用大括号“{}”括起来表示集合,这种表示集合的方法叫做列举法;描述法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.注:在不致混淆的情况下,也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形},也可以写成{直角三角形}.③表示一个集合共有四种方法:字母表示法、自然语言、列举法、描述法.应用示例思路11.下列各组对象不能组成集合的是()A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=图象上所有的点活动：学生先思考、讨论集合元素的性质,教师指导学生此类选择题要逐项判断.判断一组对象能否构成集合,关键是看是否满足集合元素的确定性.在选项A、C、D中的元素符合集合的确定性;而选项B中,难题没有标准,不符合集合元素的确定性,不能构成集合.答案：B变式训练1.下列条件能形成集合的是()A.充分小的负数全体B.爱好足球的人C.中国的富翁D.某公司的全体员工答案：D2.2007浙江宁波高三第一次“十校联考”,理1在数集{2x,x2-x}中,实数x的取值范围是.分析:实数x的取值满足集合元素的互异性,则2x≠x2-x,解得x≠0且x≠3,∴实数x的取值范围是{x|x<0或03}.答案：{x|x<0或03}点评：本题主要考查集合的含义和元素的性质.当所指的对象非常明确时就能构成集合,若元素不明确,没有判断的标准就不能构成集合.2.用列举法表示下列集合:(1)小于10的所有自然数组成的集合;(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合;(3)由1~20以内的所有质数组成的集合.225\n活动：学生先思考或讨论列举法的形式,展示解答过程.当学生出现错误时,教师及时加以纠正.利用相关的知识先明确集合中的元素,再把元素写入大括号“{}”内,并用逗号隔开.所给的集合均是用自然语言给出的.提示学生注意以下方面:(1)自然数中包含零;(2)解一元二次方程有公式法和分解因式法,方程x2=x的根是x=0,x=1;(3)除去1和本身外没有其他约数的正整数是质数,1~20以内的所有质数是2、3、5、7、11、13、17、19.解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.(2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么A={0,1}.(3)设由1~20以内的所有质数组成的集合为C,那么C={2,3,5,7,11,13,17,19}.点评：本题主要考查集合表示法中的列举法.通过本题可以体会利用集合表示数学内容的简洁性和严谨性,以后我们尽量用集合来表示数学内容.如果一个集合是有限集,并且元素的个数较少时,通常选择列举法表示,其特点是非常显明地表示出了集合中的元素,是常用的表示法;列举法表示集合的步骤:(1)用字母表示集合;(2)明确集合中的元素;(3)把集合中所有元素写在大括号“{}”内,并写成A={……}的形式.变式训练用列举法表示下列集合:(1)所有绝对值等于8的数的集合A;(2)所有绝对值小于8的整数的集合B.答案：(1)A={-8,8};(2)B={-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7}.3.试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合;(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.活动：先让学生回顾列举法表示集合的步骤,思考描述法的形式,再找学生到黑板上书写.当学生出现错误时,教师指导学生书写过程.用描述法表示集合时,要用数学符号表示集合元素的特征.大于10小于20的所有整数用数学符号可以表示为106};225\n(3)不等式x-7<3的解是x<10,则不等式x-7<3的解集表示为{x|x<10}.点评：本题主要考查集合的描述法表示.描述法适用于元素个数是有限个并且较多或无限个的集合.用描述法表示集合时,集合元素的代表符号不能随便设,点集的元素代表符号是(x,y),数集的元素代表符号常用x.集合中元素的公共特征属性可以用文字直接表述,最好用数学符号表示,必须抓住其实质.变式训练用描述法表示下列集合:(1)方程2x+y=5的解集;(2)小于10的所有非负整数的集合;(3)方程ax+by=0(ab≠0)的解;(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合;(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合;(6)方程组的解的集合;(7){1,3,5,7,…};(8)x轴上所有点的集合;(9)非负偶数;(10)能被3整除的整数.解：(1){(x,y)|2x+y=5};(2){x|0≤x<10,x∈Z};(3){(x,y)|ax+by=0(ab≠0)};(4){x||x|>3};(5){(x,y)|xy<0};(6){(x,y)|};(7){x|x=2k-1,k∈N*};(8){(x,y)|x∈R,y=0};(9){x|x=2k,k∈N};(10){x|x=3k,k∈Z}.知能训练课本P5练习1、2.【补充练习】1.下列对象能否组成集合:(1)数组1、3、5、7;(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点;(3)满足3x-2>x+3的全体实数;(4)所有直角三角形;(5)美国NBA的著名篮球明星;(6)所有绝对值等于6的数;(7)所有绝对值小于3的整数;225\n(8)中国男子足球队中技术很差的队员;(9)参加2008年奥运会的中国代表团成员.答案：(1)(2)(3)(4)(6)(7)(9)能组成集合,(5)(8)不能组成集合.2.(口答)说出下面集合中的元素:(1){大于3小于11的偶数};(2){平方等于1的数};(3){15的正约数}.答案：(1)其元素为4,6,8,10;(2)其元素为-1,1;(3)其元素为1,3,5,15.3.用符号∈或填空:(1)1______N,0______N,-3______N,0.5______N,______N;(2)1______Z,0______Z,-3______Z,0.5______Z,______Z;(3)1______Q,0______Q,-3______Q,0.5______Q,______Q;(4)1______R,0______R,-3______R,0.5______R,______R.答案：(1)∈∈(2)∈∈∈(3)∈∈∈∈(4)∈∈∈∈∈4.判断正误:(1)所有属于N的元素都属于N*.()(2)所有属于N的元素都属于Z.()(3)所有不属于N*的数都不属于Z.()(4)所有不属于Q的实数都属于R.()(5)不属于N的数不能使方程4x=8成立.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√5.分别用列举法、描述法表示方程组的解集.解：因的解为用描述法表示该集合为{(x,y)|};用列举法表示该集合为{(3,-7)}.拓展提升问题:集合A={x|x=a+b,a∈Z,b∈Z},判断下列元素x=0、、与集合A225\n之间的关系.活动：学生先思考元素与集合之间有什么关系,书写过程,将元素x化为a+2b的形式,再判断a、b是否为整数.描述法表示集合的优点是突出显示了集合元素的特征,那么判断一个元素是否属于集合时,转化为判断这个元素是否满足集合元素的特征即可.解：由于x=a+b,a∈Z,b∈Z,∴当a=b=0时,x=0.∴0∈A.又=+1=1+,当a=b=1时,a+b=1+,∴∈A.又=+,当a=3,b=1时,a+b=+,而3Z,∴A.∴0∈A,∈A,A.点评：本题考查集合的描述法表示以及元素与集合间的关系.课堂小结本节学习了:(1)集合的概念;(2)集合的表示法;(3)利用列举法和描述法表示集合的步骤.作业课本P11习题1.1A组2、3、4.设计感想集合语言是现代数学的基本语言,在高中数学课程中,它也是学习、掌握和使用数学语言的基础.由于集合的概念较难理解,因此设计时采用渐进式学习,而集合的列举法和描述法的形式比较容易接受,在设计时注重让学生自己学习,重点引导学生学习这两种方法的应用.同时通过解决一系列具体问题,使学生自己体会到集合各种表示法的优缺点;针对不同问题,能选用合适集合表示法.在练习过程中熟练掌握集合语言与自然语言的转换.教师在教学过程中时时监控,对学生不可能解决的问题,如集合常见表示法的写法,常见数集及其记法应直接给出,以避免出现不必要的混乱.对学生解题过程中遇到的困难给予适当点拨.引导学生养成良好学习习惯,最大限度地挖掘学生的学习潜力是我们教师的奋斗目标.备课资料［备选例题］【例1】下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系,问集合A、B、C、D、E分别是哪种图形的集合？225\n图1-1-2-6思路分析：结合Venn图,利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来确定.解：梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形,故A={四边形};梯形不是平行四边形、菱形、正方形,而菱形、正方形是平行四边形,故B={梯形},C={平行四边形};正方形是菱形,故E={正方形},即A={四边形},B={梯形},C={平行四边形},D={菱形},E={正方形}.【例2】2006全国高中数学联赛山东赛区预赛,3设集合A={x||x|2-3|x|+2=0},B={x|(a-2)x=2},则满足BA的a的值共有()A.2个B.3个C.4个D.5个分析:由已知得A={x||x|=1或|x|=2}={-2,-1,1,2},集合B是关于x的方程(a-2)x=2的解集,∵BA,∴B=或B≠.当B=时,关于x的方程(a-2)x=2无解,∴a-2=0.∴a=2.当B≠时,关于x的方程(a-2)x=2的解x=∈A,∴=-2或=-1或=1或=2.解得a=1或0或4或3,综上所得,a的值共有5个.答案：D【例3】2005天津高考,文1集合A={x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数是()A.16B.8C.7D.4分析:A={x|0≤x<3且x∈N}={0,1,2},则A的真子集有23-1=7个.答案：C【例4】已知集合A={x|1≤x≤3},B={x|(x-1)(x-a)=0},试判断集合B是不是集合A的子集？是否存在实数a使A=B成立？解析:先在数轴上表示集合A,然后化简集合B,由集合元素的互异性,可知此时应考虑a的取值是否为1,要使集合B成为集合A的子集,集合B的元素在数轴上的对应点必须在集合A对应的线段上,从而确定字母a的分类标准.当a=1时,B={1},所以B是A的子集;当13时,B不是A的子集.综上可知,当1≤a≤3时,B是A的子集.由于集合B最多只有两个元素,而集合A有无数个元素,故不存在实数a,使B=A.点评：分类讨论思想,就是科学合理地划分类别,通过“各个击破”,再求整体解决(即先化整为零,再聚零为整)的策略思想.类别的划分必须满足互斥、无漏、最简的要求,探索划分的数量界限是分类讨论的关键.［思考］(1)空集中没有元素,怎么还是集合?(2)符号“∈”和“”有什么区别?剖析:(1)疑点是总是对空集这个概念迷惑不解,并产生怀疑的想法.产生这种想法的原因是没有了解建立空集这个概念的背景,其突破方法是通过实例来体会.例如,根据集合元素的性质,225\n方程的解能够组成集合,这个集合叫做方程的解集.对于=0,x2+4=0等方程来说,它们的解集中没有元素.也就是说确实存在没有任何元素的集合,那么如何用数学符号来刻画没有元素的集合呢？为此引进了空集的概念,把不含任何元素的集合叫做空集.这就是建立空集这个概念的背景.由此看出,空集的概念是一个规定.又例如,不等式|x|<0的解集也是不含任何元素,就称不等式|x|<0的解集是空集.(2)难点是经常把这两个符号混淆,其突破方法是准确把握这两个符号的含义及其应用范围,并加以对比.符号∈只能适用于元素与集合之间,其左边只能写元素,其右边只能写集合,说明左边的元素属于右边的集合,表示元素与集合之间的关系,如-1∈Z,Z;符号只能适用于集合与集合之间,其左右两边都必须写集合,说明左边的集合是右边集合的子集,表示集合与集合之间的关系,如{1}{1,0},{x|x<0}.(设计者：王立青)225\n1.1.2集合间的基本关系整体设计教学分析课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发,通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系,同时,结合相关内容介绍子集等概念.在安排这部分内容时,课本注重体现逻辑思考的方法,如类比等.值得注意的问题:在集合间的关系教学中,建议重视使用Venn图,这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念;随着学习的深入,集合符号越来越多,建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号,例如∈与的区别.三维目标1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的关系,提高利用类比发现新结论的能力.2.在具体情境中,了解空集的含义,掌握并能使用Venn图表达集合的关系,加强学生从具体到抽象的思维能力,树立数形结合的思想.重点难点教学重点:理解集合间包含与相等的含义.教学难点:理解空集的含义.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.实数有相等、大小关系,如5=5,5<7,5>3等等,类比实数之间的关系,你会想到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言,教师不要急于作出判断,而是继续引导学生)欲知谁正确,让我们一起来观察、研探.思路2.复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系,填空:(1)0N;(2)2Q;(3)-1.5R.类比实数的大小关系,如5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？(答案：(1)∈;(2);(3)∈)推进新课新知探究提出问题(1)观察下面几个例子:①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};②设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B为这个班学生的全体组成的集合;③设C={x|x是两条边相等的三角形},D={x|x是等腰三角形};④E={2,4,6},F={6,4,2}.你能发现两个集合间有什么关系吗？(2)例子①中集合A是集合B的子集,例子④中集合E是集合F的子集,同样是子集,有什么区别？(3)结合例子④,类比实数中的结论:“若a≤b,且b≤a,则a=b”,在集合中,你发现了什么结论?(4)按升国旗时,每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内,从楼顶向下看,每位同学是哪个班的,一目了然.试想一下,根据从楼顶向下看的,要想直观表示集合,联想集合还能用什么表示？(5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B.225\n(6)已知AB,试用Venn图表示集合A和B的关系.(7)任何方程的解都能组成集合,那么x2+1=0的实数根也能组成集合,你能用Venn图表示这个集合吗？(8)一座房子内没有任何东西,我们称为这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应该如何命名呢？(9)与实数中的结论“若a≥b,且b≥c,则a≥c”相类比,在集合中,你能得出什么结论?活动：教师从以下方面引导学生:(1)观察两个集合间元素的特点.(2)从它们含有的元素间的关系来考虑.规定:如果AB,但存在x∈B,且xA,我们称集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA).(3)实数中的“≤”类比集合中的.(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的,学生看成集合中的元素,从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内.教师指出:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等,没有限制.(6)分类讨论:当AB时,AB或A=B.(7)方程x2+1=0没有实数解.(8)空集记为,并规定:空集是任何集合的子集,即A;空集是任何非空集合的真子集,即A(A≠).(9)类比子集.讨论结果：(1)①集合A中的元素都在集合B中;②集合A中的元素都在集合B中;③集合C中的元素都在集合D中;④集合E中的元素都在集合F中.可以发现:对于任意两个集合A,B有下列关系:集合A中的元素都在集合B中;或集合B中的元素都在集合A中.(2)例子①中AB,但有一个元素4∈B,且4A;而例子②中集合E和集合F中的元素完全相同.(3)若AB,且BA,则A=B.(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合.(5)如图1121所示表示集合A,如图1122所示表示集合B.图1-1-2-1图1-1-2-2(6)如图1-1-2-3和图1-1-2-4所示.图1-1-2-3图1-1-2-4(7)不能.因为方程x2+1=0没有实数解.(8)空集.225\n(9)若AB,BC,则AC;若AB,BC,则AC.应用示例思路11.某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时,该产品才合格.若用A表示合格产品的集合,B表示重量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合.已知集合A、B、C均不是空集.(1)则下列包含关系哪些成立？AB,BA,AC,CA.(2)试用Venn图表示集合A、B、C间的关系.活动：学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式.当集合A中的元素都属于集合B时,则AB成立,否则AB不成立.用相同的方法判断其他包含关系是否成立.教师提示学生以下两点:(1)重量合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定重量合格;长度合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定长度合格.(2)根据集合A、B、C间的关系来画出Venn图.解：(1)包含关系成立的有:BA,CA.(2)集合A、B、C间的关系用Venn图表示,如图1-1-2-5所示.图1-1-2-5变式训练课本P7练习3.点评：本题主要考查集合间的包含关系.其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么.判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是:先明确集合A、B中的元素,再分析集合A、B中的元素之间的关系,得:当集合A中的元素都属于集合B时,有AB;当集合A中的元素都属于集合B,当集合B中至少有一个元素不属于集合A时,有AB;当集合A中的元素都属于集合B,并且集合B中的元素也都属于集合A时,有A=B;当集合A中至少有一个元素不属于集合B,并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时,有AB,且BA,即集合A、B互不包含.2.写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集.活动：学生思考子集和真子集的定义,教师提示学生空集是任何集合的子集,一个集合不是其本身的真子集.按集合{a,b}的子集所含元素的个数分类讨论.解：集合{a,b}的所有子集为,{a},{b},{a,b}.真子集为,{a},{b}.变式训练2007山东济宁一模,1已知集合P={1,2},那么满足QP的集合Q的个数是()A.4B.3C.2D.1分析:集合P={1,2}含有2个元素,其子集有22=4个,又集合QP,所以集合Q有4个.答案：A点评：本题主要考查子集和真子集的概念,以及分类讨论的思想.通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集,这样可以避免重复和遗漏.225\n思考:集合A中含有n个元素,那么集合A有多少个子集？多少个真子集？解：当n=0时,即空集的子集为,即子集的个数是1=20;当n=1时,即含有一个元素的集合如{a}的子集为,{a},即子集的个数是2=21;当n=2时,即含有一个元素的集合如{a,b}的子集为,{a},{b},{a,b},即子集的个数是4=22.……集合A中含有n个元素,那么集合A有2n个子集,由于一个集合不是其本身的真子集,所以集合A有(2n-1)个真子集.思路21.2006上海高考,理1已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}.若BA,则实数m=_______.活动：先让学生思考BA的含义,根据BA,知集合B中的元素都属于集合A,集合元素的互异性,列出方程求实数m的值.因为BA,所以3∈A,m2∈A.对m2的值分类讨论.解：∵BA,∴3∈A,m2∈A.∴m2=-1(舍去)或m2=2m-1.解得m=1.∴m=1.答案：1点评：本题主要考查集合和子集的概念,以及集合元素的互异性.本题容易出现m2=3,其原因是忽视了集合元素的互异性.避免此类错误的方法是解得m的值后,再代入验证.讨论两集合之间关系时,通常依据相关的定义,观察这两个集合元素的关系,转化为解方程或解不等式.变式训练已知集合M={x|2-x<0},集合N={x|ax=1},若NM,求实数a的取值范围.分析:集合N是关于x的方程ax=1的解集,集合M={x|x>2}≠,由于NM,则N=或N≠,要对集合N是否为空集分类讨论.解：由题意得M={x|x>2}≠,则N=或N≠.当N=时,关于x的方程ax=1中无解,则有a=0;当N≠时,关于x的方程ax=1中有解,则a≠0,此时x=,又∵NM,∴∈M.∴>2.∴02m-1即m<2时,B=满足BA.当m+1≤2m-1即m≥2时,要使BA成立,需可得2≤m≤3.综上所得实数m的取值范围m≤3.(2)当x∈Z时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},所以,A的非空真子集个数为2上标8-2=254.(3)∵x∈R,且A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立.225\n则①若B≠即m+1>2m-1,得m<2时满足条件;②若B≠,则要满足条件有:或解之,得m>4.综上有m<2或m>4.点评：此问题解决要注意：不应忽略;找A中的元素;分类讨论思想的运用.拓展提升问题:已知AB,且AC,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},则满足上述条件的集合A共有多少个？活动：学生思考AB,且AC所表达的含义.AB说明集合A是集合B的子集,即集合A中元素属于集合B,同理有集合A中元素属于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素.思路1:写出由集合B和集合C的公共元素所组成的集合,得满足条件的集合A;思路2:分析题意,仅求满足条件的集合A的个数,转化为求集合B和集合C的公共元素所组成的集合的子集个数.解法一：因AB,AC,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},由此,满足AB,有:,{0},{1},{2},{3},{4},{0,1},{0,2},{2,3},{2,4},{0,3},{0,4},{1,2},{1,3},{1,4},{3,4},{0,2,4},{0,1,2},{0,1,3},{0,1,4},{1,2,3},{1,2,4},{2,3,4},{0,3,4},{0,1,2,3},{1,2,3,4},{0,1,3,4},{0,2,3},{1,3,4},{0,1,2,4},{0,2,3,4},{0,1,2,3,4},共25=32(个).又满足AC的集合A有:,{0},{2},{4},{8},{0,2},{0,4},{0,8},{2,4},{2,8},{4,8},{0,2,4},{0,2,8},{0,4,8},{2,4,8},{0,2,4,8},共24=16(个).其中同时满足AB,AC的有8个:,{0},{2},{4},{0,2},{0,4},{2,4},{0,2,4},实际上到此就可看出,上述解法太繁.解法二：题目只求集合A的个数,而未让说明A的具体元素,故可将问题等价转化为B、C的公共元素组成集合的子集数是多少.显然公共元素有0、2、4,组成集合的子集有23=8(个).点评：有关集合间关系的问题,常用分类讨论的思想来解决;关于集合的子集个数的结论要熟练掌握,其应用非常广泛.课堂小结本节课学习了:①子集、真子集、空集、Venn图等概念;②能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集,进一步确定其是否是真子集;③清楚两个集合包含关系的确定,主要靠其元素与集合关系来说明.作业课本P11习题1.1A组5.设计感想本节教学设计注重引导学生通过类比来获得新知,在实际教学中,要留给学生适当的思考时间,使学生自己通过类比得到正确结论.丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念,学生的数学学习活动不能仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受,独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式.备课资料［备选例题］【例1】已知A={y|y=x2-4x+6,x∈R,y∈N},B={y|y=-x2-2x+7,x∈R,y∈N},求A∩B,并分别用描述法、列举法表示它.解：y=x2-4x+6=(x-2)2+2≥2,A={y|y≥2,y∈N},225\n又∵y=-x2-2x+7=-(x+1)2+8≤8,∴B={y|y≤8,y∈N}.故A∩B={y|2≤y≤8}={2,3,4,5,6,7,8}.【例2】2006第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试,1设S={(x,y)|xy>0},T={(x,y)|x>0且y>0},则()A.S∪T=SB.S∪T=TC.S∩T=SD.S∩T=分析:S={(x,y)|xy>0}={(x,y)|x>0且y>0或x<0且y<0},则TS,所以S∪T=S.答案：A【例3】某城镇有1000户居民,其中有819户有彩电,有682户有空调,有535户彩电和空调都有,则彩电和空调至少有一种的有_______户.解析:设这1000户居民组成集合U,其中有彩电的组成集合A,有空调的组成集合B,如图11317所示.有彩电无空调的有819-535=284户;有空调无彩电的有682-535=147户,因此二者至少有一种的有284+147+535=966户.填966.图1-1-3-17差集与补集有两个集合A、B,如果集合C是由所有属于A但不属于B的元素组成的集合,那么C就叫做A与B的差集,记作A-B(或A\B).例如,A={a,b,c,d},B={c,d,e,f},C=A-B={a,b}.也可以用韦恩图表示,如图1-1-3-18所示(阴影部分表示差集).图1-1-3-18图1-1-3-19特殊情况,如果集合B是集合I的子集,我们把I看作全集,那么I与B的差集I-B,叫做B在I中的补集,记作.例如,I={1,2,3,4,5},B={1,2,3},=I-B={4,5}.也可以用韦恩图表示,如图11319所示(阴影部分表示补集).从集合的观点来看,非负整数的减法运算,就是已知两个不相交集合的并集的基数,以及其中一个集合的基数,求另一个集合的基数,也可以看作是求集合I与它的子集B的差集的基数.(设计者：赵冠明)225\n1.1.3集合的基本运算整体设计教学分析课本从学生熟悉的集合出发,结合实例,通过类比实数加法运算引入集合间的运算,同时,结合相关内容介绍子集和全集等概念.在安排这部分内容时,课本继续注重体现逻辑思考的方法,如类比等.值得注意的问题:在全集和补集的教学中,应注意利用图形的直观作用,帮助学生理解补集的概念,并能够用直观图进行求补集的运算.三维目标1.理解两个集合的并集与交集、全集的含义,掌握求两个简单集合的交集与并集的方法,会求给定子集的补集,感受集合作为一种语言,在表示数学内容时的简洁和准确,进一步提高类比的能力.2.通过观察和类比,借助Venn图理解集合的基本运算.体会直观图示对理解抽象概念的作用,培养数形结合的思想.重点难点教学重点:交集与并集,全集与补集的概念.教学难点:理解交集与并集的概念,以及符号之间的区别与联系.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.我们知道,实数有加法运算,两个实数可以相加,例如5+3=8.类比实数的加法运算,集合是否也可以“相加”呢?教师直接点出课题.思路2.请同学们考察下列各个集合,你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗?(1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6};(2)A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},C={x|x是实数}.引导学生通过观察、类比、思考和交流,得出结论.教师强调集合也有运算,这就是我们本节课所要学习的内容.思路3.(1)①如图1131甲和乙所示,观察两个图的阴影部分,它们分别同集合A、集合B有什么关系？图1-1-3-1②观察集合A与B与集合C={1,2,3,4}之间的关系.学生思考交流并回答,教师直接指出这就是本节课学习的课题:集合的运算.(2)①已知集合A={1,2,3},B={2,3,4},写出由集合A,B中的所有元素组成的集合C.②已知集合A={x|x>1},B={x|x<0},在数轴上表示出集合A与B,并写出由集合A与B225\n中的所有元素组成的集合C.推进新课新知探究提出问题①通过上述问题中集合A与B与集合C之间的关系,类比实数的加法运算,你发现了什么？②用文字语言来叙述上述问题中,集合A与B与集合C之间的关系.③用数学符号来叙述上述问题中,集合A与B与集合C之间的关系.④试用Venn图表示A∪B=C.⑤请给出集合的并集定义.⑥求集合的并集是集合间的一种运算,那么,集合间还有其他运算吗？请同学们考察下面的问题,集合A与B与集合C之间有什么关系？(ⅰ)A={2,4,6,8,10},B={3,5,8,12},C={8};(ⅱ)A={x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级女同学},B={x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级男同学},C={x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级同学}.⑦类比集合的并集,请给出集合的交集定义？并分别用三种不同的语言形式来表达.活动：先让学生思考或讨论问题,然后再回答,经教师提示、点拨,并对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路,主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画,用Venn图来显示.讨论结果：①集合之间也可以相加,也可以进行运算,但是为了不和实数的运算相混淆,规定这种运算不叫集合的加法,而是叫做求集合的并集.集合C叫集合A与B的并集.记为A∪B=C,读作A并B.②所有属于集合A或属于集合B的元素所组成了集合C.③C={x|x∈A,或x∈B}.④如图1131所示.⑤一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集.其含义用符号表示为A∪B={x|x∈A,或x∈B},用Venn图表示,如图1131所示.⑥集合之间还可以求它们的公共元素组成集合的运算,这种运算叫求集合的交集,记作A∩B,读作A交B.(ⅰ)A∩B=C,(ⅱ)A∪B=C.⑦一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集.其含义用符号表示为:A∩B={x|x∈A,且x∈B}.用Venn图表示,如图1132所示.图1-1-3-2应用示例思路11.设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B,A∩B.225\n图1-1-3-3活动：让学生回顾集合的表示法和交集、并集的含义,由于本例题难度较小,让学生自己解决,重点是总结集合运算的方法.根据集合并集、交集的含义,借助于Venn图写出.观察这两个集合中的元素,或用Venn图来表示,如图1133所示.解：A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}.A∩B={4,5,6,8}∩{3,5,7,8}={5,8}.点评：本题主要考查集合的并集和交集.用列举法表示的集合,运算时常利用Venn图或直接观察得到结果.本题易错解为A∪B={3,4,5,5,6,7,8,8}.其原因是忽视了集合元素的互异性.解决集合问题要遵守集合元素的三条性质.变式训练1.集合M={1,2,3},N={-1,5,6,7},则M∪N=________.M∩N=________.答案：{-1,1,2,3,5,6,7}2.集合P={1,2,3,m},M={m2,3},P∪M={1,2,3,m},则m=_________.分析:由题意得m2=1或2或m,解得m=-1,1,,,0.因m=1不合题意,故舍去.答案：-1,,,03.2007河南实验中学月考,理1满足A∪B={0,2}的集合A与B的组数为()A.2B.5C.7D.9分析:∵A∪B={0,2},∴A{0,2}.则A=或A={0}或A={2}或A={0,2}.当A=时,B={0,2};当A={0}时,则集合B={2}或{0,2};当A={2}时,则集合B={0}或{0,2};当A={0,2}时,则集合B=或{0}或{2}或{0,2},则满足条件的集合A与B的组数为1+2+2+4=9.答案：D4.2006辽宁高考,理2设集合A={1,2},则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是()A.1B.3C.4D.8分析:转化为求集合A子集的个数.很明显3A,又A∪B={1,2,3},必有3∈B,即集合B中至少有一个元素3,其他元素来自集合A中,则集合B的个数等于A={1,2}的子集个数,又集合A中含有22=4个元素,则集合A有22=4个子集,所以满足条件的集合B共有4个.答案：C2.设A={x|-10},求A∪B,A∩B.答案：A∪B=R,A∩B={x|20},C={x|x≥10},则A∩B,B∪C,A∩B∩C分别是什么?活动：学生先思考集合中元素特征,明确集合中的元素.将集合中元素利用数形结合在数轴上找到,那么运算结果寻求就易进行.这三个集合都是用描述法表示的数集,求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素.解：因A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x≥10},在数轴上表示,如图1136所示,所以A∩B={x|00},A∩B∩C=.图1-1-3-6点评：本题主要考查集合的交集和并集.求集合的并集和交集时,①明确集合中的元素;②依据并集和交集的含义,借助于直观(数轴或Venn图)写出结果.变式训练1.设A={x|x=2n,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N},求A∩B,A∪B.解：对任意m∈A,则有m=2n=2·2n-1,n∈N*,因n∈N*,故n-1∈N,有2n-1∈N,那么m∈B,即对任意m∈A有m∈B,所以AB.而10∈B但10A,即AB,那么A∩B=A,A∪B=B.2.求满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B的个数.解：满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B一定含有元素3,B={3};还可含1或2其中一个,有{1,3},{2,3};还可含1和2,即{1,2,3},那么共有4个满足条件的集合B.3.设A={-4,2,a-1,a2},B={9,a-5,1-a},已知A∩B={9},求a.解：因A∩B={9},则9∈A,a-1=9或a2=9,a=10或a=±3,当a=10时,a-5=5,1-a=-9;当a=3时,a-1=2不合题意.当a=-3时,a-1=-4不合题意.故a=10,此时A={-4,2,9,100},B={9,5,-9},满足A∩B={9}.4.2006北京高考,文1设集合A={x|2x+1<3},B={x|-3-3}D.{x|x<1}分析:集合A={x|2x+1<3}={x|x<1},观察或由数轴得A∩B={x|-32m-1,∴m<2.当B≠时,观察图1-1-3-7:图1-1-3-7由数轴可得解得-2≤m≤3.综上所述,实数m的取值范围是m<2或-2≤m≤3,即m≤3.点评：本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想,以及集合间关系的应用.已知两个集合的运算结果,求集合中参数的值时,由集合的运算结果确定它们的关系,通过深刻理解集合表示法的转换,把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题.这称为数学的化归思想,是数学中的常用方法,学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题.知能训练课本P11练习1、2、3.225\n【补充练习】1.设a={3,5,6,8},B={4,5,7,8},(1)求A∩B,A∪B.(2)用适当的符号(、)填空:A∩B________A,B________A∩B,A∪B________A,A∪B________B,A∩B________A∪B.解：(1)因A、B的公共元素为5、8,故两集合的公共部分为5、8,则A∩B={3,5,6,8}∩{4,5,7,8}={5,8}.又A、B两集合的元素3、4、5、6、7、8,故A∪B={3,4,5,6,7,8}.(2)由文氏图可知A∩BA,BA∩B,A∪BA,A∪BB,A∩BA∪B.2.设A={x|x<5},B={x|x≥0},求A∩B.解：因x<5及x≥0的公共部分为0≤x<5,故A∩B={x|x<5}∩{x|x≥0}={x|0≤x<5}.3.设A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形},求A∩B.解：因三角形按角分类时,锐角三角形和钝角三角形彼此孤立.故A、B两集合没有公共部分.所以A∩B={x|x是锐角三角形}∩{x|x是钝角三角形}=.4.设A={x|x>-2},B={x|x≥3},求A∪B.解：在数轴上将A、B分别表示出来,得A∪B={x|x>-2}.5.设A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},求A∪B.解：因矩形是平行四边形,故由A及B的元素组成的集合为A∪B,A∪B={x|x是平行四边形}.6.已知M={1},N={1,2},设A={(x,y)|x∈M,y∈N},B={(x,y)|x∈N,y∈M},求A∩B,A∪B.分析:M、N中元素是数.A、B中元素是平面内点集,关键是找其元素.解：∵M={1},N={1,2},则A={(1,1),(1,2)},B={(1,1),(2,1)},故A∩B={(1,1)},A∪B={(1,1),(1,2),(2,1)}.7.2006江苏高考,7若A、B、C为三个集合,A∪B=B∩C,则一定有()A.ACB.CAC.A≠CD.A=分析:思路一:∵(B∩C)B,(B∩C)C,A∪B=B∩C,∴A∪BB,A∪BC.∴ABC.∴AC.思路二:取满足条件的A={1},B={1,2},C={1,2,3},排除B、D,令A={1,2},B={1,2},C={1,2},则此时也满足条件A∪B=B∩C,而此时A=C,排除C.答案：A拓展提升观察：(1)集合A={1,2},B={1,2,3,4}时,A∩B,A∪B这两个运算结果与集合A,B的关系;(2)当A=时,A∩B,A∪B这两个运算结果与集合A,B的关系;(3)当A=B={1,2}时,A∩B,A∪B这两个运算结果与集合A,B的关系.由(1)(2)(3)你发现了什么结论？活动：依据集合的交集和并集的含义写出运算结果,并观察与集合A,B的关系.用Venn图来发现运算结果与集合A,B的关系.(1)(2)(3)中的集合A,B均满足AB,用Venn图表示,如图1138所示,就可以发现A∩B,A∪B与集合A,B的关系.225\n图1-1-3-8解：A∩B=AABA∪B=B.可用类似方法,可以得到集合的运算性质,归纳如下:A∪B=B∪A,A(A∪B),B(A∪B);A∪A=A,A∪=A,ABA∪B=B;A∩B=B∩A;(A∩B)A,(A∩B)B;A∩A=A;A∩=;ABA∩B=A.课堂小结本节主要学习了:1.集合的交集和并集.2.通常借助于数轴或Venn图来求交集和并集.作业1.课外思考:对于集合的基本运算,你能得出哪些运算规律？2.请你举出现实生活中的一个实例,并说明其并集、交集和补集的现实含义.3.书面作业:课本P12习题1.1A组6、7、8.设计感想由于本节课内容比较容易接受,也是历年高考的必考内容之一,所以在教学设计上注重加强练习和拓展课本内容.设计中通过借助于数轴或Venn图写出集合运算的结果,这是突破本节教学难点的有效方法.(设计者：尚大志)第2课时导入新课问题:①分别在整数范围和实数范围内解方程(x-3)(x)=0,其结果会相同吗?②若集合A={x|02+}.而4,5,6都大于2+,∴(A)∩B={4,5,6}.答案：B225\n思路21.已知全集U=R,A={x|-2≤x≤4},B={x|-3≤x≤3},求:(1)A,B;(2)(A)∪(B),(A∩B),由此你发现了什么结论？(3)(A)∩(B),(A∪B),由此你发现了什么结论？活动：学生回想补集的含义,教师指导学生利用数轴来解决.依据补集的含义,借助于数轴求得.在数轴上表示集合A,B.解：如图1-1-3-10所示,图1-1-3-10(1)由图得A={x|x<-2或x>4},B={x|x<-3或x>3}.(2)由图得(A)∪(B)={x|x<-2或x>4}∪{x|x<-3或x>3}={x|x<-2或x>3};∵A∩B={x|-2≤x≤4}∩{x|-3≤x≤3}={x|-2≤x≤3},∴(A∩B)={x|-2≤x≤3}={x|x<-2或x>3}.∴得出结论(A∩B)=(A)∪(B).(3)由图得(A)∩(B)={x|x<-2或x>4}∩{x|x<-3或x>3}={x|x<-3或x>4};∵A∪B={x|-2≤x≤4}∪{x|-3≤x≤3}={x|-3≤x≤4},∴(A∪B)={x|-3≤x≤4}={x|x<-3或x>4}.∴得出结论(A∪B)=(A)∩(B).变式训练1.2006重庆高考,理1已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(A)∪(B)等于()A.{1,6}B.{4,5}C.{1,2,3,4,5,7}D.{1,2,3,6,7}答案：D2.2005江西高考,理1设集合I={x||x|<3,x∈Z},A={1,2},B={-2,-1,2},则A∪(B)等于()A.{1}B.{1,2}C.{2}D.{0,1,2}答案：D2.设全集U={x|x≤20,x∈N,x是质数},A∩(B)={3,5},(A)∩B={7,19},(A)∩(B)={2,17},求集合A、B.活动：学生回顾集合的运算的含义,明确全集中的元素.利用列举法表示全集U,225\n根据题中所给的条件,把集合中的元素填入相应的Venn图中即可.求集合A、B的关键是确定它们的元素,由于全集是U,则集合A、B中的元素均属于全集U,由于本题中的集合均是有限集并且元素的个数不多,可借助于Venn图来解决.解：U={2,3,5,7,11,13,17,19},由题意借助于Venn图,如图1-1-3-11所示,图1-1-3-11∴A={3,5,11,13},B={7,11,13,19}.点评：本题主要考查集合的运算、Venn图以及推理能力.借助于Venn图分析集合的运算问题,使问题简捷地获得解决,将本来抽象的集合问题直观形象地表现出来,这正体现了数形结合思想的优越性.变式训练1.2007临沂高三期末统考,文1图1-1-3-12设I为全集,M、N、P都是它的子集,则图1-1-3-12中阴影部分表示的集合是()A.M∩[(N)∩P]B.M∩(N∪P)C.[(M)∩(N)]∩PD.M∩N∪(N∩P)分析:思路一:阴影部分在集合M内部,排除C;阴影部分不在集合N内,排除B、D.思路二:阴影部分在集合M内部,即是M的子集,又阴影部分在P内不在集合N内即在(N)∩P内,所以阴影部分表示的集合是M∩[(N)∩P].答案：A2.设U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},(A)∩B={3,7},(B)∩A={2,8},(A)∩(B)={1,5,6},则集合A=________,B=________.分析:借助Venn,如图1-1-3-13,把相关运算的结果表示出来,自然地就得出集合A、B了.图1-1-3-13答案：{2,4,8,9}{3,4,7,9}知能训练225\n课本P11练习4.【补充练习】1.设全集U=R,A={x|2x+1>0},试用文字语言表述A的意义.解：A={x|2x+1>0}即不等式2x+1>0的解集,A中元素均不能使2x+1>0成立,即A中元素应当满足2x+1≤0.∴A即不等式2x+1≤0的解集.2.如图1-1-3-14所示,U是全集,M,P,S是U的三个子集,则阴影部分表示的集合是_______.图1-1-3-14分析:观察图可以看出,阴影部分满足两个条件:一是不在集合S内;二是在集合M,P的公共部分内,因此阴影部分表示的集合是集合S的补集与集合M,P的交集的交集,即(S)∩(M∩P).答案：(S)∩(M∩P)3.2007安徽淮南一模,理1设集合A、B都是U={1,2,3,4}的子集,已知(A)∩(B)={2},(A)∩B={1},则A等于()A.{1,2}B.{2,3}C.{3,4}D.{1,4}分析:如图1-1-3-15所示.图1-1-3-15由于(A)∩(B)={2},(A)∩B={1},则有A={1,2}.∴A={3,4}.答案：C4.2006安徽高考,文1设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合S={1,3,5},T={3,6},则(S∪T)等于()A.B.{2,4,7,8}C.{1,3,5,6}D.{2,4,6,8}分析:直接观察(或画出Venn图),得S∪T={1,3,5,6},则(S∪T)={2,4,7,8}.答案：B5.2007河北石家庄一模,文1已知集合I={1,2,3,4},A={1},B={2,4},则A∪(B)等于()A.{1}B.{1,3}C.{3}D.{1,2,3}分析:∵B={1,3},∴A∪(B)={1}∪{1,3}={1,3}.225\n答案：B拓展提升问题:某班有学生50人,解甲、乙两道数学题,已知解对甲题者有34人,解对乙题者有28人,两题均解对者有20人,问:(1)至少解对其中一题者有多少人？(2)两题均未解对者有多少人？分析:先利用集合表示解对甲、乙两道数学题各种类型,然后根据题意写出它们的运算,问题便得到解决.解：设全集为U,A={只解对甲题的学生},B={只解对乙题的学生},C={甲、乙两题都解对的学生},则A∪C={解对甲题的学生},B∪C={解对乙题的学生},A∪B∪C={至少解对一题的学生},(A∪B∪C)={两题均未解对的学生}.由已知,A∪C有34个人,C有20个人,从而知A有14个人;B∪C有28个人,C有20个人,所以B有8个人.因此A∪B∪C有N1=14+8+20=42(人),(A∪B∪C)有N2=50-42=8(人).∴至少解对其中一题者有42个人,两题均未解对者有8个人.课堂小结本节课学习了:①全集和补集的概念和求法.②常借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算.作业课本P12习题1.1A组9、10,B组4.设计感想本节教学设计注重渗透数形结合的思想方法,因此在教学过程中要重点指导学生借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算.由于高考中集合常与以后学习的不等式等知识紧密结合,本节也对此也予以体现,可以利用课余时间学习有关解不等式的知识.习题详解(课本P5练习)1.(1)中国∈A,美国A,印度∈A,英国A.(2)∵A={x|x2=x}={0,1},∴-1A.(3)∵B={x|x2+x-6=0}={-3,2},∴3A.(4)∵C={x∈N|1≤x≤10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},∴8∈C,9.1C.2.(1){x|x2=9}或{-3,3};(2){2,3,5,7};(3){(x,y)|}或{(1,4)};(4){x∈R|4x-5<3}或{x|x<2}.225\n(课本P7练习)1.,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}.2.(1)a∈{a,b,c}.(2)∵x2=0,∴x=0.∴{x|x2=0}={0}.∴0∈{0}.(3)∵x2+1=0,∴x2=-1.又∵x∈R,∴方程x2=-1无解.∴{x∈R|x2+1=0}=.∴=.(4).(5)∵x2=x,∴x=0或x=1.∴{x|x2=x}={0,1}.∴{0}{0,1}.(6)∵x2-3x+2=0,∴x=1或x=2.∴{x|x2-3x+2=0}={1,2}.∴{2,1}={1,2}.3.(1)由于1是任何正整数的公约数,任何正整数都是自身的公约数,所以8的公约数是1,2,4,8,即B={1,2,4,8}.∴AB.(2)显然BA,又∵3∈A,且3B,∴BA.(3)4与10的最小公倍数是20,4与10的公倍数应是20的倍数,显然A=B.(课本P11练习)1.A∩B={5,8},A∪B={3,5,6,7,8}.2.∵x2-4x-5=0,∴x=-1或x=5.∵A={x|x2-4x-5=0}={-1,5},同理,B={-1,1}.∴A∪B={-1,5}∪{-1,1}={-1,1,5},A∩B={-1,5}∩{-1,1}={-1}.3.A∩B={x|x是等腰直角三角形},A∪B={x|x是等腰三角形或直角三角形}.4.∵B={2,4,6},A={1,3,6,7},∴A∩(B)={2,4,5}∩{2,4,6}={2,4},(A)∩(B)={1,3,6,7}∩{2,4,6}={6}.(课本P11习题1.1)A组1.(1)∈(2)∈(3)(4)∈(5)∈(6)∈2.(1)∈(2)(3)∈3.(1){2,3,4,5};(2){-2,1};(3){0,1,2}.(3)∵-3<2x-1≤3,∴-2<2x≤4.∴-1-3},B={x|x≥2},∴-4B,-3A,{2}B,BA.(2)∵A={x|x2-1=0}={-1,1},∴1∈A,{-1}A,A,{1,-1}=A.(3);.6.∵B={x|3x-7≥8-2x}={x|x≥3},∴A∪B={x|2≤x<4}∪{x|x≥3}={x|x≥2},A∩B={x|2≤x<4}∩{x|x≥3}={x|3≤x<4}.7.依题意,可知A={1,2,3,4,5,6,7,8},所以A∩B={1,2,3,4,5,6,7,8}∩{1,2,3}={1,2,3}=B,A∩C={1,2,3,4,5,6,7,8}∩{3,4,5,6}={3,4,5,6}=C.又∵B∪C={1,2,3}∪{3,4,5,6}={1,2,3,4,5,6}.∴A∩(B∪C)={1,2,3,4,5,6,7,8}∩{1,2,3,4,5,6}={1,2,3,4,5,6}.又∵B∩C={1,2,3}∩{3,4,5,6}={3},∴A∪(B∩C)={1,2,3,4,5,6,7,8}∪{3}={1,2,3,4,5,6,7,8}=A.8.(1)A∪B={x|x是参加一百米跑的同学或参加二百米跑的同学}.(2)A∩C={x|x是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学}.9.B∩C={x|x是正方形},B={x|x是邻边不相等的平行四边形},A={x|x是梯形}.10.∵A∪B={x|3≤x<7}∪{x|2a}(a,b］{x|x≤a}(-∞,a］{x|x0时,求f(a),f(a-1)的值.活动：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,故转化为求使和有意义的自变量的取值范围;有意义,则x+3≥0,有意义,则x+2≠0,转化解由x+3≥0和x+2≠0组成的不等式组.(2)让学生回想f(-3),f()表示什么含义？f(-3)表示自变量x=-3时对应的函数值,f()表示自变量x=时对应的函数值.分别将-3,代入函数的对应法则中得f(-3),f()的值.(3)f(a)表示自变量x=a时对应的函数值,f(a-1)表示自变量x=a-1时对应的函数值.分别将a,a-1代入函数的对应法则中得f(a),f(a-1)的值.解：(1)要使函数有意义,自变量x的取值需满足解得-3≤x<-2或x>-2,即函数的定义域是［-3,-2)∪(-2,+∞).(2)f(-3)=+=-1;f()==.(3)∵a>0,∴a∈［-3,-2)∪(-2,+∞),即f(a),f(a-1)有意义.则f(a)=+;f(a-1)==.点评：本题主要考查函数的定义域以及对符号f(x)的理解.求使函数有意义的自变量的取值范围,通常转化为解不等式组.f(x)是表示关于变量x的函数,又可以表示自变量x对应的函数值,是一个整体符号,分开符号225\nf(x)没有什么意义.符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算.例如f(x)=x2-x+5,当x=2时,看作“2”施加了这样的运算法则:先平方,再减去2,再加上5;当x为某一代数式(或某一个函数记号时),则左右两边的所有x都用同一个代数式(或某一个函数)来代替.如:f(2x+1)=(2x+1)2-(2x+1)+5,f［g(x)］=［g(x)］2-g(x)+5等等.符号y=f(x)表示变量y是变量x的函数,它仅仅是函数符号,并不表示y等于f与x的乘积;符号f(x)与f(m)既有区别又有联系,当m是变量时,函数f(x)与函数f(m)是同一个函数;当m是常数时,f(m)表示自变量x=m对应的函数值,是一个常量.已知函数的解析式,求函数的定义域,就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围,即:(1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R.(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.(3)如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集).(5)对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.变式训练1.求函数y=的定义域.答案：{x|x≤1,且x≠-1}.点评：本题容易错解：化简函数的解析式为y=x+1,得函数的定义域为{x|x≤1}.其原因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则.化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化,因此求函数的定义域之前时,不要化简解析式.2.2007山东滨州二模,理1若f(x)=的定义域为M,g(x)=|x|的定义域为N,令全集U=R,则M∩N等于()A.MB.NC.MD.N分析:由题意得M={x|x>0},N=R,则M∩N={x|x>0}=M.答案：A3.已知函数f(x)的定义域是［-1,1］,则函数f(2x-1)的定义域是________.分析:要使函数f(2x-1)有意义,自变量x的取值需满足-1≤2x-1≤1,∴0≤x≤1.答案：［0,1］思路21.2007湖北武昌第一次调研,文14已知函数f(x)=,那么f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+f(4)+f()=________.活动：观察所求式子的特点,引导学生探讨f(a)+f()的值.225\n解法一：原式==+=.解法二：由题意得f(x)+f()===1.则原式=+1+1+1=.点评：本题主要考查对函数符号f(x)的理解.对于符号f(x),当x是一个具体的数值时,相应地f(x)也是一个具体的函数值.本题没有求代数式中的各个函数值,而是看到代数式中含有f(x)+f(),故先探讨f(x)+f()的值,从而使问题简单地获解.求含有多个函数符号的代数式值时,通常不是求出每个函数值,而是观察这个代数式的特?找到规律再求解.受思维定势的影响,本题很容易想到求出每个函数值来求解,虽然可行,但是这样会浪费时间,得不偿失.其原因是解题前没有观察思考,没有注意经验的积累.变式训练1.已知a、b∈N*,f(a+b)=f(a)f(b),f(1)=2,则=_________.分析:令a=x,b=1(x∈N*),则有f(x+1)=f(x)f(1)=2f(x),即有=2(x∈N*).所以,原式==4012.答案：40122.2007山东蓬莱一模,理13设函数f(n)=k(k∈N*),k是π的小数点后的第n位数字,π=3.1415926535…,则等于________.分析:由题意得f(10)=5,f(5)=9,f(9)=3,f(3)=1,f(1)=1,…,则有=1.答案：12.2007山东济宁二模,理10已知A={a,b,c},B={-1,0,1},函数f:A→B满足f(a)+f(b)+f(c)=0,则这样的函数f(x)有()A.4个B.6个C.7个D.8个活动：学生思考函数的概念,什么是不同的函数.定义域和值域确定后,不同的对应法则就是不同的函数,因此对f(a),f(b),f(c)的值分类讨论,注意要满足f(a)+f(b)+f(c)=0.解：当f(a)=-1时,225\n则f(b)=0,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=0,即此时满足条件的函数有2个;当f(a)=0时,则f(b)=-1,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=-1或f(b)=0,f(c)=0,即此时满足条件的函数有3个;当f(a)=1时,则f(b)=0,f(c)=-1或f(b)=-1,f(c)=0,即此时满足条件的函数有2个.综上所得,满足条件的函数共有2+3+2=7(个).故选C.点评：本题主要考查对函数概念的理解,用集合的观点来看待函数.变式训练若一系列函数的解析式相同,值域相同,但是定义域不同,则称这些函数为“同族函数”.那么解析式为y=x2,值域是{1,4}的“同族函数”共有()A.9个B.8个C.5个D.4个分析:“同族函数”的个数由定义域的个数来确定,此题中每个“同族函数”的定义域中至少含有1个绝对值为1的实数和绝对值为2的实数.令x2=1,得x=±1;令x2=4,得x=±2.所有“同族函数”的定义域分别是{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},{1,-1,2},{1,-1,-2},{1,-2,2},{-1,-2,2},{1,-1,-2,2},则“同族函数”共有9个.答案：A知能训练1.2007学年度山东淄博高三第二次摸底考试,理16已知函数f(x)满足:f(p+q)=f(p)f(q),f(1)=3,则=______.解：∵f(p+q)=f(p)f(q),∴f(x+x)=f(x)f(x),即f2(x)=f(2x).令q=1,得f(p+1)=f(p)f(1),∴=f(1)=3.∴原式==2(3+3+3+3+3)=30.答案：302.2006第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试,2若f(x)=的定义域为A,g(x)=f(x+1)-f(x)的定义域为B,那么()A.A∪B=BB.ABC.ABD.A∩B=分析:由题意得A={x|x≠0},B={x|x≠0,且x≠-1}.则A∪B=A,则A错;A∩B=B,则D错;由于BA,则C错,B正确.答案：B225\n拓展提升问题:已知函数f(x)=x2+1,x∈R.(1)分别计算f(1)-f(-1),f(2)-f(-2),f(3)-f(-3)的值.(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明.活动：让学生探求f(x)-f(-x)的值.分析(1)中各值的规律,归纳猜想出结论,再用解析式证明.解：(1)f(1)-f(-1)=(12+1)-［(-1)2+1］=2-2=0;f(2)-f(-2)=(22+1)-［(-2)2+1］=5-5=0;f(3)-f(-3)=(32+1)-［(-3)2+1］=10-10=0.(2)由(1)可发现结论:对任意x∈R,有f(x)=f(-x).证明如下:由题意得f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x).∴对任意x∈R,总有f(x)=f(-x).课堂小结本节课学习了:函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号f(x)的理解.作业课本P24,习题1.2A组1、5.设计感想本节教学中,在归纳函数的概念时,本节设计运用了大量的实例,如果不借助于信息技术,那么会把时间浪费在实例的书写上,会造成课时不足即拖堂现象.本节重点设计了函数定义域的求法,而函数值域的求法将放在函数的表示法中学习.由于函数是高中数学的重点内容之一,也是高考的重点和热点,因此对函数的概念等知识进行了适当的拓展,以满足高考的需要.(设计者：高建勇)第2课时函数相等复习1.函数的概念.2.函数的定义域的求法.导入新课思路1.当实数a、b的符号相同,绝对值相等时,实数a=b;当集合A、B中元素完全相同时,集合A=B;那么两个函数满足什么条件才相等呢？引出课题:函数相等.思路2.我们学习了函数的概念,y=x与y=是同一个函数吗？这就是本节课学习的内容,引出课题:函数相等.推进新课新知探究提出问题①指出函数y=x+1的构成要素有几部分？②一个函数的构成要素有几部分？③分别写出函数y=x+1和函数y=t+1的定义域和对应关系,并比较异同.④函数y=x+1和函数y=t+1的值域相同吗？由此可见两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域相同吗？⑤由此你对函数的三要素有什么新的认识？讨论结果：①函数y=x+1的构成要素为:定义域R,对应关系x→x+1,值域是R.②一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,简称为函数的三要素.225\n其中定义域是函数的灵魂,对应关系是函数的核心.当且仅当两个函数的三要素都相同时,这两个函数才相同.③定义域和对应关系分别相同.④值域相同.⑤如果两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么它们的值域一定相等.因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等.应用示例思路11.下列函数中哪个与函数y=x相等？(1)y=()2;(2)y=;(3)y=;(4)y=.活动：让学生思考两个函数相等的条件后,引导学生求出各个函数的定义域,化简函数关系式为最简形式.只要它们定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等.解：函数y=x的定义域是R,对应关系是x→x.(1)∵函数y=()2的定义域是［0,+∞),∴函数y=()2与函数y=x的定义域R不相同.∴函数y=()2与函数y=x不相等.(2)∵函数y=的定义域是R,∴函数y=与函数y=x的定义域R相同.又∵y==x,∴函数y=与函数y=x的对应关系也相同.∴函数y=与函数y=x相等.(3)∵函数y=的定义域是R,∴函数y=与函数y=x的定义域R相同.又∵y==|x|,∴函数y=与函数y=x的对应关系不相同.∴函数y=与函数y=x不相等.(4)∵函数y=的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),225\n∴函数y=与函数y=x的定义域R不相同,∴函数y=()2与函数y=x不相等.点评：本题主要考查函数相等的含义.讨论函数问题时,要保持定义域优先的原则.对于判断两个函数是否是同一个函数,要先求定义域,若定义域不同,则不是同一个函数;若定义域相同,再化简函数的解析式,若解析式相同(即对应关系相同),则是同一个函数,否则不是同一个函数.变式训练判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由.①y=x-1,x∈R与y=x-1,x∈N;②y=与y=·;③y=1+与u=1+;④y=x2与y=x;⑤y=2|x|与y=⑥y=f(x)与y=f(u).是同一个函数的是________(把是同一个函数的序号填上即可).解：只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可.①前者的定义域是R,后者的定义域是N,由于它们的定义域不同,故不是同一个函数;②前者的定义域是{x|x≥2或x≤-2},后者的定义域是{x|x≥2},它们的定义域不同,故不是同一个函数;③定义域相同均为非零实数,对应法则相同都是自变量取倒数后加1,那么值域必相同,故是同一个函数;④定义域是相同的,但对应法则不同,故不是同一个函数;⑤函数y=2|x|=则定义域和对应法则均相同,那么值域必相同,故是同一个函数;⑥定义域相同,对应法则相同,那么值域必相同,故是同一个函数.故填③⑤⑥.思路21.判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数,说明理由.(1)f(x)=(x-1)0,g(x)=1.(2)f(x)=x-1,g(x)=.(3)f(x)=x2,g(x)=(x+1)2.(4)f(x)=x2-1,g(u)=u2-1.活动：学生思考函数的概念及其三要素,教师引导学生先判断定义域是否相同,当定义域相同时,再判断它们的对应关系是否相同.解：(1)∵f(x)=(x-1)0的定义域是{x|x≠1},函数g(x)=1的定义域是R,225\n∴函数f(x)=(x-1)0与函数g(x)=1的定义域不同.∴函数f(x)=(x-1)0与函数g(x)=1不表示同一个函数.(2)∵f(x)=x-1的定义域是R,g(x)==的定义域是R,∴函数f(x)=x-1与函数g(x)=的定义域相同.又∵g(x)===|x-1|,∴函数f(x)=x-1与函数g(x)=的对应关系不同.∴函数f(x)=x-1与函数g(x)=不表示同一个函数.(3)很明显f(x)=x2和g(x)=(x+1)2的定义域都是R,又∵f(x)=x2和g(x)=(x+1)2的对应关系不同,∴函数f(x)=x2和g(x)=(x+1)2不表示同一个函数.(4)很明显f(x)=x2-1与g(u)=u2-1的定义域都是R,又∵f(x)=x2-1与g(u)=u2-1的对应关系也相同,∴函数f(x)=x2-1与g(u)=u2-1表示同一个函数.变式训练1.2007湖北黄冈模拟,理13已知函数f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b)且f(2)=p,f(3)=q,则f(36)=_______.解：由题意得f(36)=f(6×6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(2×3)=2［f(2)+f(3)］=2p+2q.答案：2p+2q2.函数y=f(x)的图象与直线x=2的公共点共有()A.0个B.1个C.0个或1个D.不确定答案：C2.设y是u的函数y=f(u),而u又是x的函数u=g(x),设M表示u=g(x)的定义域,N是函数y=f(u)的值域,当M∩N≠时,则y成为x的函数,记为y=f[g(x)].这个函数叫做由y=f(u)及u=g(x)复合而成的复合函数,它的定义域为M∩N,u叫做中间变量,f称为外层函数,g称为内层函数.指出下列复合函数外层函数和内层函数,并且使外层函数和内层函数均为基本初等函数.(1)y=;(2)y=(x2-2x+3)2;(3)y=-1.活动：让学生思考有哪些基本初等函数,它们的解析式是什么.解：(1)设y=,u=x+1,即y=的外层函数是反比例函数y=,内层函数是一次函数u=x+1.(2)设y=u2,u=x2-2x+3,即y=(x2-2x+3)2的外层函数是二次函数y=u2,内层函数是二次函数u=x2-2x+3.(3)设y=u2+u-1,u=,即y=-1的外层函数是二次函数y=u2+u-1,内层函数是反比例函数u=.点评：到目前为止,我们所遇到的函数大部分是复合函数,225\n并且是由正、反比例函数和一、二次函数复合而成的,随着学习的深入,我们还会学习其他复合函数.复合函数是高考重点考查的内容之一,应引起我们的重视.变式训练1.2004重庆高考,文2设f(x)=,则=_______.答案：-12.2006安徽高考,理15函数f(x)对任意实数x满足条件f(x+2)=,若f(1)=-5,则f［f(5)］=.分析:∵函数f(x)对任意实数x满足条件f(x+2)=,∴f(x+4)=f［(x+2)+1］==f(x).∴f(1)=f(1+4)=f(5).又∵f(1)=-5,∴f(5)=-5.∴f［f(5)］=f(-5)=f(-5+4)=f(-1)=f(-1+4)=f(3)=f(1+2)==.答案：知能训练1.下列给出的四个图形中,是函数图象的是()A.①B.①③④C.①②③D.③④图1-2-1-2答案：B2.函数y=f(x)的定义域是R,值域是［1,2］,则函数y=f(2x-1)的值域是_______.答案：［1,2］3.下列各组函数是同一个函数的有________.①f(x)=,g(x)=x;②f(x)=x0,g(x)=;③f(x)=,g(u)=;④f(x)=-x2+2x,g(u)=-u2+2u.答案：②③④拓展提升225\n问题:函数y=f(x)的图象与直线x=m有几个交点？探究:设函数y=f(x)定义域是D,当m∈D时,根据函数的定义知f(m)唯一,则函数y=f(x)的图象上横坐标为m的点仅有一个(m,f(m)),即此时函数y=f(x)的图象与直线x=m仅有一个交点;当mD时,根据函数的定义知f(m)不存在,则函数y=f(x)的图象上横坐标为m的点不存在,即此时函数y=f(x)的图象与直线x=m没有交点.综上所得,函数y=f(x)的图象与直线x=m有交点时仅有一个,或没有交点.课堂小结(1)复习了函数的概念,总结了函数的三要素;(2)学习了复合函数的概念;(3)判断两个函数是否是同一个函数.作业1.设M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列4个图形,其中能表示以集合M为定义域,N为值域的函数关系是()图1-2-1-3分析:A中,当0,即水深为一半时,实际注水量大于水瓶总水量的一半.A中V′<,C、D中V′=,故排除A、C、D.答案：B思路21.2007宁夏银川一模,理14已知f()=,则f(x)=________.活动：学生思考函数的解析式表达的含义.设=t,利用换元法,转化为求f(t).利用整体思想把看成一个整体,即可得函数的解析式.要注意函数f(t)与f(x)是同一个函数.分析:可设=t,则有x=,所以f(t)==,所以f(x)=.答案：变式训练225\n课本P26练习1.点评：本题主要考查函数的解析式.已知f［g(x)］=φ(x),求f(x)的解析式时,通常用换元法,其步骤是:①设g(x)=t;②把t看成常数,解关于x的方程g(x)=t得x=h(t);③将x=h(t)代入φ(x),得函数f(t)的解析式;④再用x替换f(t)的解析式中的t得函数f(x)的解析式.其实求函数的解析式方法很多,例如方程法:对于已知等式中出现两个不同变量的函数关系式,依据这两个变量的关系,重新建立关于这两个变量的不同等式,利用整体思想,把f(x)和另一个函数看成未知数,解方程组得函数f(x)的解析式.类似于解二元一次方程组,故称为方程法.待定系数法:已知函数的模型求其解析式时,常用待定系数法.2.已知函数f(x)=.(1)画出函数f(x)的图象;(2)观察图象写出函数的定义域和值域.活动：学生思考函数图象的画法.利用变换法画函数f(x)的图象,利用图象法写出函数的定义域和值域.形如函数y=(c≠0,a2+b2≠0)的图象均可由反比例函数y=的图象经过平移得到,因此函数y=(c≠0,a2+b2≠0)的图象形状是双曲线.解：(1)y===.将y=的图象向左平移两个单位得y=的图象,再向上平移三个单位得y=+3的图象.图象如图1-2-2-7所示.图1-2-2-7(2)观察函数的图象图1-2-2-7,可知图象上所有点的横坐标的取值范围是(-∞,-2)∪(-2,+∞),图象上所有点的纵坐标的取值范围是(-∞,3)∪(3,+∞).则函数的定义域是(-∞,-2)∪(-2,+∞),值域是(-∞,3)∪(3,+∞).点评：本题主要考查函数的定义域、值域和图象.画不熟悉的函数的图象,可以变形成由基本函数,利用变换法画出图象,但要注意变形过程是否等价,注意x,y的变化范围.因此必须熟记基本初等函数的图象,如:正、反比例函数,一次、二次函数的图象,在变换函数的解析式中运用了转化和分类讨论的思想.求函数值域的方法:①图象法,借助于函数值域的几何意义,利用函数的图象求值域;②观察法,对于解析式比较简单的函数,利用常见的结论如x2≥0,|x|≥0,x≥0等观察出函数的值域;③换元法,利用换元法转化为求常见函数如二次函数的值域等.225\n注意：讨论函数的值域要先考虑函数的定义域,本例中(1)如果忽视函数的定义域,那么会错误地得函数值域为［-1,+∞).避免此类错误的方法是研究函数时要遵守定义域优先的原则.变式训练求下列函数的值域:(1)y=x2-2x(-1≤x≤2);(2)y=x4+1.分析:本题主要考查函数的值域及其求法.(1)借助于函数值域的几何意义,利用函数的图象求值域;(2)观察得x4≥0,得函数的值域,也可以利用换元法转化为求二次函数的值域.(1)解：(图象法)在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2-2x(-1≤x≤2)的图象,如图1-2-2-8所示:图1-2-2-8函数y=x2-2x(-1≤x≤2)的图象上所有点的纵坐标的取值范围就是函数的值域,观察图象知函数的值域是［-1,3］.(2)解法一：(观察法)函数的定义域是R,则x4≥0,有x4+1≥1,即函数y=x4+1的值域是［1,+∞).解法二：(换元法)函数的定义域是R,设x2=t,则t≥0,则有y=t2+1.利用图象可求得当t≥0时,二次函数y=t2+1的值域是［1,+∞),即函数y=x4+1的值域是［1,+∞).3.车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3500辆次,其中电动车保管费是每辆一次0.5元,自行车保管费是每次一辆0.3元.(1)若设自行车停放的辆次数为x,总的保管费收入为y元,试写出y关于x的函数关系式;(2)若估计前来停放的3500辆次自行车中,电动车的辆次不小于25%,但不大于40%,试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围.活动：让学生审清题意读懂题.求解析式时不要忘记函数的定义域,要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.然后再根据解析式列不等式求解.总的保管费=自行车保管费+电动车保管费.解：(1)由题意得y=0.3x+0.5(3500-x)=-0.2x+1750,x∈N*且0≤x≤3500.(2)若电动车的辆次不小于25%,但不大于40%,则3500×(1-40%)≤x≤3500×(1-25%),即2100≤x≤2625,画出函数y=-0.2x+1750(2100≤x≤2625)的图象,可得函数y=-0.2x+1750(2100≤x≤2625)的值域是［1225,1330］,即收入在1225元至1330元之间.点评：本题主要考查函数的解析式和值域,以及应用函数知识解决实际问题的能力.解函数应用题的步骤是①审清题意读懂题;②恰当设未知数;③列出函数解析式,并指明定义域;④转化为函数问题,并解决函数问题;⑤将数学问题的答案还原为实际答案.变式训练2007山东实验中学级第一次诊断性测试,文13水池有2个进水口,1个出水口,每个水口进出水的速度如图1-2-2-9甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图1-2-2-9丙所示(至少打开一个水口).225\n图1-2-2-9给出以下三个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水;其中一定正确的论断是()A.①B.①②C.①③D.①②③分析:由图1229甲可看出,如果进水口与出水口同时打开,每个进水口的速度为出水口速度的一半,即v进水=v出水;由图丙可看出在0点到3点之间蓄水量以速度2匀速增加,所以在此时间段内一定是两个进水口均打开,出水口关闭,故①正确.由图丙可看出在3点到4点之间蓄水量以速度1匀速减少,所以在此时间段内一定是一个进水口打开,出水口打开,故②不正确.由图丙可看出在4点到6点之间蓄水量不变,所以在此时间段内一定是两个进水口打开,出水口打开,或者两个进水口关闭,出水口关闭,故③不正确.综上所述论断仅有①正确.答案：A知能训练课本P23练习2、3.【补充练习】1.等腰三角形的周长是20,底边长y是一腰长x的函数,则()A.y=10-x(00.∴x<10.由构成三角形的条件(两边之和大于第三边)可知2x>20-2x,得x>5,所以函数的定义域为{x|50)个单位得函数y=f(x+a)的图象;(2)将函数y=f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位得函数y=f(x-a)的图象;(3)将函数y=f(x)的图象向上平移b(b>0)个单位得函数y=f(x)+b的图象;(4)将函数y=f(x)的图象向下平移b(b>0)个单位得函数y=f(x)-b的图象.简记为“左加(+)右减(-),上加(+)下减(-)”.2.对称变换:(1)函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于直线x=0即y轴对称;(2)函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于直线x=0即x轴对称;(3)函数y=f(x)与函数y=-f(-x)的图象关于原点对称.3.翻折变换:(1)函数y=|f(x)|的图象可以将函数y=f(x)的图象位于x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方,去掉原x轴下方部分,并保留y=f(x)的x轴上方部分即可得到.(2)函数y=f(|x|)的图象可以将函数y=f(x)的图象y轴右边部分翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留y=f(x)在y轴右边部分图象即可得到.函数的图象是对函数关系的一种直观、形象的表示,可以直观地显示出函数的变化状况及其特性,它是研究函数性质时的重要参考,也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的基础.另一方面,函数的一些特性又能指导作图,函数与图象是同一事物的两个方面,是函数的不同表现形式.函数的图象可以比喻成人的相片,观察函数的图象可以解决研究其性质,当然,也可以由函数的性质确定函数图象的特点.借助函数的图象来解决函数问题,函数的图象问题是高考的热点之一,应引起重视.课堂小结本节课学习了:函数的三种表示方法,在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数.作业课本P24习题1.2A组7、8、9.设计感想本节教学设计容量较大,尽量借助于信息技术来完成.本节的设计重点是函数的三种表示方法,提出了表示法的应用,特别是用图象法求函数的值域,并对求函数值域的方法进行了总结以满足高考的要求.(设计者：张新军)第2课时分段函数导入新课思路1.当x>1时,f(x)=x+1;当x≤1时,f(x)=-x,请写出函数f(x)的解析式.这个函数的解析式有什么特点？教师指出本节课题.思路2.化简函数y=|x|的解析式,说说此函数解析式的特点,教师指出本节课题.推进新课新知探究提出问题①函数h(x)=与f(x)=x-1,g(x)=x2在解析式上有什么区别?225\n②请举出几个分段函数的例子.活动：学生讨论交流函数解析式的区别.所谓“分段函数”,习惯上指在定义域的不同部分,有不同对应法则的函数.并让学生结合体会来实际举例.讨论结果：①函数h(x)是分段函数,在定义域的不同部分,其解析式不同.说明:分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集;生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.②例如:y=等.应用示例思路11.画出函数y=|x|的图象.活动：学生思考函数图象的画法:①化简函数的解析式为基本初等函数;②利用变换法画出图象,根据绝对值的概念来化简解析式.解法一：由绝对值的概念,我们有y=所以,函数y=|x|的图象如图1-2-2-10所示.图1-2-2-10解法二：画函数y=x的图象,将其位于x轴下方的部分对称到x轴上方,与函数y=x的图象位于x轴上方的部分合起来得函数y=|x|的图象如图1-2-2-10所示.变式训练1.已知函数y=(1)求f{f［f(5)］}的值;(2)画出函数的图象.分析:本题主要考查分段函数及其图象.f(x)是分段函数,要求f{f［f(5)］},需要确定f［f(5)］的取值范围,为此又需确定f(5)的取值范围,然后根据所在定义域代入相应的解析式,逐步求解.画出函数在各段上的图象,再合起来就是分段函数的图象.解：(1)∵5>4,∴f(5)=-5+2=-3.∵-3<0,∴f［f(5)］=f(-3)=-3+4=1.∵0<1<4,∴f{f［f(5)］}=f(1)=12-2×1=-1,即f{f［f(5)］}=-1.(2)图象如图1-2-2-11所示:225\n图1-2-2-112.课本P23练习3.3.画函数y=(x+1)2,-x,x≤0,x>0的图象.步骤:①画整个二次函数y=x2的图象,再取其在区间(-∞,0］上的图象,其他部分删去不要;②画一次函数y=-x的图象,再取其在区间(0,+∞)上的图象,其他部分删去不要;③这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象.如图1-2-2-12所示.图1-2-2-12函数y=f(x)的图象位于x轴上方的部分和y=|f(x)|的图象相同,函数y=f(x)的图象位于x轴下方的部分对称到上方就是函数y=|f(x)|的图象的一部分.利用函数y=f(x)的图象和函数y=|f(x)|的图象的这种关系,由函数y=f(x)的图象画出函数y=|f(x)|的图象.2.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:(1)乘坐汽车5千米以内(含5千米),票价2元;(2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米按5千米计算),如果某条线路的总里程为20千米,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.活动：学生讨论交流题目的条件,弄清题意.本例是一个实际问题,有具体的实际意义,根据实际情况公共汽车到站才能停车,所以行车里程只能取整数值.由于里程在不同的范围内,票价有不同的计算方法,故此函数是分段函数.解：设里程为x千米时,票价为y元,根据题意得x∈(0,20］.由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:图1-2-2-13225\ny=根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图1-2-2-13所示.点评：本题主要考查分段函数的实际应用,以及应用函数解决问题的能力.生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.在列出其解析式时,要充分考虑实际问题的规定,根据规定来求得解析式.注意：①本例具有实际背景,所以解题时应考虑其实际意义;②分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.变式训练2007上海中学高三测试,理7某客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过100千米,票价是每千米0.5元,如果超过100千米,超过部分按每千米0.4元定价,则客运票价y(元)与行程千米数x(千米)之间的函数关系式是________.分析:根据行程是否大于100千米来求出解析式.答案：y=思路21.已知函数f(x)=(1)求f(-1),f［f(-1)］,f{f［f(-1)］}的值;(2)画出函数的图象.活动：此函数是分段函数,应注意在不同的自变量取值范围内有不同的对应关系.解：(1)f(-1)=0;f[f(-1)]=f(0)=1;f{f[f(-1)]}=f(1)=-12+2×1=1.(2)函数图象如图1-2-2-14所示:图1-2-2-14变式训练2007福建厦门调研,文10若定义运算a⊙b=则函数f(x)=x⊙(2-x)的值域是________.225\n分析:由题意得f(x)=画函数f(x)的图象得值域是(-∞,1］.答案：(-∞,1］点评：本题主要考查分段函数的解析式和图象.求分段函数的函数值时,要注意自变量在其定义域的哪一段上,依次代入分段函数的解析式.画分段函数y=(D1,D2,…,两两交集是空集)的图象步骤是(1)画整个函数y=f1(x)的图象,再取其在区间D1上的图象,其他部分删去不要;(2)画整个函数y=f2(x)的图象,再取其在区间D2上的图象,其他部分删去不要;(3)依次画下去;(4)将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象.2.如图1-2-2-15所示,在梯形ABCD中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,动点P从B点开始沿着折线BC、CD、DA前进至A,若P点运动的路程为x,△PAB的面积为y.图1-2-2-15(1)写出y=f(x)的解析式,指出函数的定义域;(2)画出函数的图象并求出函数的值域.活动：学生之间相互讨论交流,教师帮助学生审题读懂题意.首先通过画草图可以发现,P点运动到不同的位置,y的求法是不同的(如图1-2-2-16的阴影部分所示).图1-2-2-16可以看出上述三个阴影三角形的底是相同的,它们的面积由其高来定,所以只要由运动里程x来求出各段的高即可.三角形的面积公式为底乘高除以2,则△PAB的面积的计算方式由点P所在的位置来确定.解：(1)分类讨论:①当P在BC上运动时,易知∠B=60°,则知y=×10×(xsin60°)=x,0≤x≤4.②当P点在CD上运动时,y=×10×2=10,40,x=0,x<0段上的图象,合在一起得函数的图象.(1)如图1-2-2-19所示,画法略.225\n图1-2-2-19(2)f(1)=12=1,f(-1)==1,f［f(-1)］=f(1)=1.3.某人驱车以52千米/时的速度从A地驶往260千米远处的B地,到达B地并停留1.5小时后,再以65千米/时的速度返回A地.试将此人驱车走过的路程s(千米)表示为时间t的函数.分析:本题中的函数是分段函数,要由时间t属于哪个时间段,得到相应的解析式.解：从A地到B地,路上的时间为=5(小时);从B地回到A地,路上的时间为=4(小时).所以走过的路程s(千米)与时间t的函数关系式为s=拓展提升问题:已知函数y=1,f(n+1)=f(n)+2,n=1,n∈N*.(1)求:f(2),f(3),f(4),f(5);(2)猜想f(n),n∈N*.探究:(1)由题意得f(1)=1,则有f(2)=f(1)+2=1+2=3,f(3)=f(2)+2=3+2=5,f(4)=f(3)+2=5+2=7,f(5)=f(4)+2=7+2=9.(2)由(1)得f(1)=1=2×1-1,f(2)=3=2×2-1,f(3)=5=2×3-1,f(4)=7=2×4-1,f(5)=9=2×5-1.因此猜想f(n)=2n-1,n∈N*.课堂小结本节课学习了:画分段函数的图象;求分段函数的解析式以及分段函数的实际应用.作业课本P25习题1.2B组3、4.设计感想本节教学设计容量较大,特别是例题条件有图,建议使用信息技术来完成.本节重点设计了分段函数,这是课标明确要求也是高考的重点,通过分段函数问题能够区分学生的思维层次,因此教学中应予以重视.(设计者：刘菲)225\n第3课时映射导入新课思路1.复习初中常见的对应关系1.对于任何一个实数a,数轴上都有唯一的点P和它对应.2.对于坐标平面内任何一个点A,都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应.3.对于任意一个三角形,都有唯一确定的面积和它对应.4.某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的坐位与它对应.5.函数的概念.我们已经知道,函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种对应就叫映射(板书课题).思路2.前面学习了函数的概念是:一般地,设A,B是两个非空数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的每个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应.(1)对于任意一个实数,在数轴上都有唯一的点与之对应.(2)班级里的每一位同学在教室都有唯一的坐位与之对应.(3)对于任意的三角形,都有唯一确定的面积与之对应.那么这些对应又有什么特点呢？这种对应称为映射.引出课题.推进新课新知探究提出问题①给出以下对应关系:图1-2-2-20这三个对应关系有什么共同特点？②像问题①中的对应我们称为映射,请给出映射的定义？③“都有唯一”是什么意思？④函数与映射有什么关系？讨论结果：①集合A、B均为非空集合,并且集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素与之对应.②一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.记作“f:A→B”.如果集合A中的元素x对应集合B中元素y,那么集合A中的元素x叫集合B中元素y的原象,集合B中元素y叫集合A中的元素x的象.③包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思,即是一对一或多对一.④函数是特殊的映射,映射是函数的推广.应用示例思路1225\n1.下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？(1)A={P|P是数轴上的点},B=R,对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应;(2)A={P|P是平面直角坐标系中的点},B={(x,y)|x∈R,y∈R},对应关系f:平面直角坐标系中的点与它的坐标对应;(3)A={三角形},B={x|x是圆},对应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆;(4)A={x|x是新华中学的班级},B={x|x是新华中学的学生},对应关系f:每一个班级都对应班里的学生.活动：学生思考映射的定义.判断一个对应是否是映射,要紧扣映射的定义.(1)中数轴上的点对应着唯一的实数;(2)中平面直角坐标系中的点对应着唯一的有序实数对;(3)中每一个三角形都有唯一的内切圆;(4)中新华中学的每个班级对应其班内的多个学生.解：(1)是映射;(2)是映射;(3)是映射;(4)不是映射.新华中学的每个班级对应其班内的多个学生,是一对多,不符合映射的定义.变式训练1.图1-2-2-21(1),(2),(3),(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则,是不是映射？图1-2-2-21答案：(1)不是;(2)是;(3)是;(4)是.2.在图1-2-2-22中的映射中,A中元素60°的对应的元素是什么？在A中的什么元素与B中元素对应？图1-2-2-22答案：A中元素60°的对应的元素是,在A中的元素45°与B中元素对应.思路21.下列对应是不是从集合A到集合B的映射,为什么？(1)A=R,B={x∈R|x≥0},对应法则是“求平方”;225\n(2)A=R,B={x∈R|x>0},对应法则是“求平方”;(3)A={x∈R|x>0},B=R,对应法则是“求平方根”;(4)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应法则是“作圆的内接矩形”.活动：学生回顾映射的对应,教师适时点拨或提示.判断一个对应是否是映射,关键是确定是否是“一对一”或“多对一”的对应,即集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.解：(1)是映射,因为A中的任何一个元素,在B中都能找到唯一的元素与之对应.(2)不是从集合A到集合B的映射,因为A中的元素0,在集合B中没有对应的元素.(3)不是从集合A到集合B的映射,因为任何正数的平方根都有两个值,即集合A中的任何元素,在集合B中都有两个元素与之对应.(4)不是从集合A到集合B的映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应.点评：本题主要考查映射的概念.给定两集合A、B及对应法则f,判断是否是从集合A到集合B的映射,主要利用映射的定义.用通俗的语言讲:A→B的对应有“多对一”,“一对一”,“一对多”,前两种对应是A到B的映射,而后一种不是A到B的映射.变式训练1.设集合A={a,b,c},集合B=R,以下对应关系中,一定能建立集合A到集合B的映射的是()A.对集合A中的数开平方B.对集合A中的数取倒数C.对集合A中的数取算术平方根D.对集合A中的数立方分析:当a<0时,对a开平方或取算术平方根均无意义,则A、C错;当a=0时,对a取倒数无意义,则B错;由于对任何实数都能立方,并且其立方仅有一个,所以对集合A中的数立方能建立映射,故选D.答案：D2.设f:A→B是A到B的一个映射,其中A=B={(x,y)|x,y∈R},f:(x,y)→(x-y,x+y),求:(1)A中元素(-1,2)在B中对应的元素;(2)在A中什么元素与B中元素(-1,2)对应？分析:这是一个映射的问题,由于A中元素(x,y)对应B中元素为(x-y,x+y),确定了对应法则,转化为解方程组.解：(1)A中元素(-1,2)在B中对应的元素为(-1-2,-1+2),即(-3,1).(2)设A中元素(x,y)与B中元素(-1,2)对应,则解得所以A中元素(,)与B中元素(-1,2)对应.2.2007山东德州二模,理5设映射f:x→-x2+2x是实数集R=M到实数集R=N的映射,225\n若对于实数p∈N,在M中不存在原象,则实数p的取值范围是()A.(1,+∞)B.［1,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,1］活动：让学生思考:若对于实数p∈N,在M中不存在原象,与函数f(x)=-x2+2x有什么关系?若对于实数p∈N,在M中不存在原象是指实数p表示函数f(x)=-x2+2x值域中的元素,转化为求函数f(x)=-x2+2x,x∈R的值域.集合M是函数f(x)=-x2+2x的定义域,集合N是函数f(x)=-x2+2x的值域.解：(方法一)由于集合M,N都是数集,则映射f:x→-x2+2x就是函数f(x)=-x2+2x,其定义域是M=R,则有值域Q={y|y≤1}N=R.对于实数p∈N,在M中不存在原象,则实数p的取值范围是Q=Q={y|y>1},即p的取值范围是(1,+∞);(方法二)当p=0时,方程-x2+2x=0有解x=0,2,即在M中存在原象0和2,则p=0不合题意,排除C,D;当p=1时,方程-x2+2x=1有解x=1,即在M中存在原象1,则p=1不合题意,排除B.答案：A点评：本题主要考查映射的概念和函数的值域,以及综合应用知识解决问题的能力.解决本题的关键是转化思想的应用.把映射问题转化为函数的值域问题,进一步转化为求函数的值域在实数集中的补集.其转化的依据是对映射概念的理解以及对函数与映射关系的把握程度.变式训练设f,g都是由A到A的映射,其对应法则如下表(从上到下):表1映射f的对应法则原象1234象3421表2映射g的对应法则原象1234象4312则与f［g(1)］相同的是()A.g［f(1)］B.g［f(2)］C.g［f(3)］D.g［f(4)］分析:f(a)表示在对应法则f下a对应的象,g(a)表示在对应法则g下a对应的象.由表1和表2,得f［g(1)］=f(4)=1,g［f(1)］=g(3)=1,g［f(2)］=g(4)=2,g［f(3)］=g(2)=3,g［f(4)］=g(1)=4,则有f［g(1)］=g［f(1)］=1,故选A.答案：A知能训练1.下列对应是从集合S到T的映射的是()A.S=N,T={-1,1},对应法则是(-1)n,n∈SB.S={0,1,4,9},T={-3,-2,-1,0,1,2,3},对应法则是开平方C.S={0,1,2,5},T={,},对应法则是取倒数225\nD.S={x|x∈R},T={y|y∈R},对应法则是x→y=分析:判断映射方法简单地说应考虑A中的元素是否都可以受f作用,作用的结果是否一定在B中,作用的结果是否唯一这三个方面.很明显A符合定义;B是一对多的对应;C命题中的元素0没有象;D命题集合S中的元素1也无象.答案：A2.已知集合M={x|0≤x≤6},P={y|0≤y≤3},则下列对应关系中不能看作从M到P的映射的是()A.f:x→y=xB.f:x→y=xC.f:x→y=xD.f:x→y=x分析:选项C中,集合M中元素6没有象,其他均是映射.答案：C3.已知集合A=N*,B={a|a=2n-1,n∈Z},映射f:A→B,使A中任一元素a与B中元素2a-1对应,则与B中元素17对应的A中元素是()A.3B.5C.17D.9分析:利用对应法则转化为解方程.由题意得2a-1=17,解得a=9.答案：D4.若映射f:A→B的象的集合是Y,原象的集合是X,则X与A的关系是;Y与B的关系是.分析:根据映射的定义,可知集合A中的元素必有象且唯一;集合B中的元素在集合A中不一定有原象.故象的集合是B的子集.所以X=A,YB.答案：X=AYB5.已知集合M={a,b,c,d},P={x,y,z},则从M到P能建立不同映射的个数是.分析:集合M中有4个元素,集合P中有3个元素,则从M到P能建立34=81个不同的映射.答案：816.下列对应哪个是集合M到集合N的映射？哪个不是映射？为什么？(1)设M={矩形},N={实数},对应法则f为矩形到它的面积的对应.(2)设M={实数},N={正实数},对应法则f为x→.(3)设M={x|0≤x≤100},N={x|0≤x≤100},对应法则f为开方再乘10.解：(1)是M到N的映射,因为它是一对一的对应.(2)不是映射,因为当x=0时,集合M中没有元素与之对应.(3)是映射,因为它是一对一的对应.7.设集合A和B都是自然数集,映射f:A→B把A中的元素n映射到B中的元素2n+n,则在映射f下,A中的元素_________对应B中的元素3.()A.1B.3C.9D.11分析:对应法则为f:n→2n+n,根据选项验证2n+n=3,可得n=1.答案：A8.已知集合A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},且a∈N,k∈N,x∈A,y∈B,映射f:A→B,使B中元素y=3x+1和A中元素x对应,求a及k的值.分析:先从集合A和对应法则f入手,同时考虑集合中元素的互异性.可以分析出此映射必为一一映射,再由3→10,求得a值,进而求得k值.解：∵B中元素y=3x+1和A中元素x对应,∴A中元素1的象是4;2的象是7;3的象是10,即a4=10或a2+3a=10.∵a∈N,225\n∴由a2+3a=10,得a=2.∵k的象是a4,∴3k+1=16,得k=5.∴a=2,k=5.9.A={(x,y)|x+y<3,x∈N,y∈N},B={0,1,2},f:(x,y)→x+y,这个对应是否为映射？是否为函数？说明理由.解：是映射,不是函数.由题意得A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)},显然对于A中的每一个有序实数对,它们的和是0或1或2,则在B中都有唯一一个数与它对应,所以是映射,因为集合A不是数集而是点集,所以不是函数.拓展提升问题:集合M中有m个元素,集合N中有n个元素,则从M到N能建立多少个不同的映射？探究:当m=1,n=1时,从M到N能建立1=11个不同的映射;当m=2,n=1时,从M到N能建立1=12个不同的映射;当m=3,n=1时,从M到N能建立1=13个不同的映射;当m=2,n=2时,从M到N能建立4=22个不同的映射;当m=2,n=3时,从M到N能建立9=32个不同的映射.集合M中有m个元素,集合N中有n个元素,则从M到N能建立nm个不同的映射.课堂小结本节课学习了:(1)映射的对应是一种特殊的对应,元素之间的对应必须满足“一对一或多对一”.(2)映射由三个部分组成:集合A,集合B及对应法则f,称为映射的三要素.(3)映射中集合A,B中的元素可以为任意的.作业课本P23练习4.补充作业:已知下列集合A到B的对应,请判断哪些是A到B的映射,并说明理由.(1)A=N,B=Z,对应法则f为“取相反数”;(2)A={-1,0,2},B={-1,0,},对应法则:“取倒数”;(3)A={1,2,3,4,5},B=R,对应法则:“求平方根”;(4)A={0,1,2,4},B={0,1,4,9,64},对应法则f:a→b=(a-1)2;(5)A=N+,B={0,1},对应法则:除以2所得的余数.答案：(1)、(2)不是映射,(3)、(4)、(5)是映射.设计感想本节教学设计的内容拓展较深,在实际教学中根据学生实际选取例题和练习.本节重点设计了映射的概念,对于映射来说,只需要掌握概念即可,不要求拓展其内容,以免加重学生的负担,也偏离了课标要求和高考的方向.习题详解(课本P19练习)1.(1)要使分式有意义,需4x+7≠0,即x≠.所以这个函数的定义域是(-∞,)∪(,+∞);(2)要使根式有意义,需1-x≥0,且x+3≥0,225\n即-3≤x≤1.所以这个函数的定义域是［-3,1］.2.(1)f(2)=28,f(-2)=-28,f(2)+f(-2)=0;(2)f(a)=3a3+2a,f(-a)=-3a3-2a,f(a)+f(-a)=0.3.(1)两个函数的对应法则相同,而表示导弹飞行高度与时间关系的函数y=500x-5x2是有实际背景的,这里x≥0;函数y=500x-5x2,x∈R,这两个函数的定义域不同,故这两个函数不相等.(2)函数g(x)=x0=1(x≠0)与函数f(x)=1,x∈R的对应法则相同,但定义域不同,所以不是相等的函数.已知函数解析式求函数值及不同变量的函数值的关系.(课本P23练习)1.设矩形一边长为xcm,则另一边长为=.由题意,得y=x,x∈(0,50).2.图(A)与事件(2)、图(B)与事件(3)、图(D)与事件(1)吻合得最好.图(C)可叙述为:我出发后,为了赶时间,加速行驶,走了一段后,发现时间还早,于是放慢了速度.3.解析:由绝对值的知识,有f(x)=所以,f(x)=|x-2|的图象如下图所示.图1-2-2-234.与A中元素60°对应的B中的元素是;与B中元素相对应的A中的元素是45°.(课本P24习题1.2)A组1.(1)(-∞,4)∪(4,+∞).(2)R.(3)要使分式有意义,只需x2-3x+2≠0,即x≠1,且x≠2,所以这个函数的定义域是(-∞,1)∪(1,2)∪(2,+∞).(4)要使函数有意义,只需即x≤4,且x≠1.所以这个函数的定义域是(-∞,1)∪(1,4］.2.(1)g(x)=-1=x-1,x≠0,该函数虽然与f(x)的对应关系相同,但是定义域不同,所以f(x)与g(x)不相等.(2)g(x)=()4=x2,x≥0,该函数虽然与f(x)的对应关系相同,但是定义域不同,所以f(x)与g(x)225\n不相等.(3)g(x)==x2,x∈R,该函数与f(x)的对应关系相同,定义域相同,所以f(x)与g(x)相等.3.(1)(2)x∈R,y∈R.x∈(-∞,0)∪(0,+∞),y∈(-∞,0)∪(0,+∞).图1-2-2-24图1-2-2-25(3)(4)x∈R,y∈R.x∈R,y∈［-2,+∞).图1-2-2-26图1-2-2-274.f()=8+5,f(-a)=3a2+5a+2,f(a+3)=3a2+13a+14;f(a)+f(3)=3a2-5a+16.5.(1)点(3,14)不在f(x)的图象上;(2)f(4)=-3;(3)x=14.6.解析:由韦达定理知1+3=-b,1×3=c,∴b=-4,c=3.∴f(x)=x2-4x+3.∴f(-1)=(-1)2-4×(-1)+3=8.答案：f(-1)=8.7.(1)(2)225\n图1-2-2-28图1-2-2-298.y=x∈(0,+∞),y=l-xx∈(0,l),y=x∈(0,d),l=2x+(x>0),l=2.9.由题意,可知容器内溶液高度为x的体积等于注入的溶液的体积,即π()2·x=vt,整理得x=·t.当容器注满时有π()2h=vt,得t=.所以该函数的定义域是t∈［0,］,值域是x∈［0,h］.10.共8个映射.图1-2-2-30B组1.(1)［-5,0］∪［2,6);(2)［0,+∞);(3)［0,2)∪(5,+∞).2.图1-2-2-31(1)点(x,0)和(5,y),即纵坐标为0或横坐标为5的点不能在图象上.(2)略.3.略.4.(1)t=,x∈［0,12］;(2)t=≈3小时.备课资料225\n知识点总结——函数概念及性质1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：分式的分母不等于零；偶次方根的被开方数不小于零；对数式的真数必须大于零；如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合；实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.求出不等式组的解集即为函数的定义域.2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域.构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备).函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域；应熟悉掌握一次函数、二次函数，它是求解复杂函数值域的基础；求函数值域的常用方法有：直接法、换元法、配方法、判别式法、单调性法等.3.函数图象知识归纳定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x)(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x)(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上,即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}.图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.画法：①描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连结起来.②图象变换法：常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换.作用：直观地看出函数的性质；利用数形结合的方法分析解题的思路；提高解题的速度；发现解题中的错误.4.区间的概念区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；无穷区间；区间的数轴表示.5.映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射，记作“f：A→B”.给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B,且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B225\n中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.6.函数的表示法函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；解析法：必须注明函数的定义域；图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.解析法便于算出函数值；列表法便于查出函数值；图象法便于量出函数值.分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数，在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式.分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.复合函数：如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f\[g(x)\]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数.7.函数的单调性增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)>f(x2)”,这样行吗?⑦增函数的定义中，“当x1x2时，都有f(x1)>f(x2)”都是相同的不等号“>”，也就是说前面是“>”，后面也是“>”,步调一致.因此我们可以简称为：步调一致增函数.⑦函数值随着自变量的增大而增大;从左向右看,图象是上升的.⑧从左向右看,图象是上升的.⑨一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.简称为：步调不一致减函数.减函数的几何意义：从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势：函数值随着自变量的增大而减小.总结：如果函数y=f（x）在区间D上是增函数(或减函数)，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调递增(或减)区间.⑩函数y=f（x）在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大（减小），几何意义：从左向右看,图象是上升（下降）的.应用示例思路1例1如图1-3-1-3是定义在区间［－5，5］上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？图1-3-1-3活动：教师提示利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则在此区间上是减函数.解：函数y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函数y=f(x)在区间［-5,2),［1,3)上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上是增函数.点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象，通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性.225\n图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.变式训练课本P32练习1、3.例2物理学中的玻意耳定律p=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强p将增大.试用函数的单调性证明.活动：学生先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，教师再提示,及时纠正学生解答过程出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤.体积V减少时，压强p将增大是指函数p=是减函数；刻画体积V减少时，压强p将增大的方法是用不等式表达.已知函数的解析式判断函数的单调性时，常用单调性的定义来解决.解：利用函数单调性的定义只要证明函数p=在区间(0,+∞)上是减函数即可.点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性.定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步：在所给的区间上任取两个自变量x1和x2,通常令x10.∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)2m-x2≥a,f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2).又∵函数y=f(x)在［a,b］上是增函数,∴f(2m-x1)-f(2m-x2)>0.∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2).∴函数y=f(x)在区间［2m-b,2m-a］上是减函数.∴当函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数时,其在［a,b］关于直线x=m的对称区间［2m-b,2m-a］上是减函数,即单调性相反.225\n因此有结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性.点评：本题通过归纳——猜想——证明得到了正确的结论,这是我们认识世界发现问题的主要方法,这种方法的难点是猜想,突破路径是寻找共同的特征.本题作为结论记住，可以提高解题速度.图象类似于人的照片，看见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点，同样根据函数的图象也能观察出函数的性质特征.这需要有细致的观察能力.变式训练函数y=f(x)满足以下条件:①定义域是R;②图象关于直线x=1对称;③在区间［2,+∞)上是增函数.试写出函数y=f(x)的一个解析式f(x)=(只需写出一个即可,不必考虑所有情况).活动：根据这三个条件，画出函数y=f(x)的图象简图（只要能体现这三个条件即可），再根据图象简图，联系猜想基本初等函数及其图象和已有的解题经验写出.解：定义域是R的函数解析式通常不含分式或根式，常是整式；图象关于直线x=1对称的函数解析式满足：f(x)=f(2-x)，基本初等函数中有对称轴的仅有二次函数，则由①②想到了二次函数；结合二次函数的图象，在区间［2,+∞)上是增函数说明开口必定向上，且正好满足二次函数的对称轴直线x=1不在区间［2,+∞)内，故函数的解析式可能是y=a(x-1)2+b(a>0).结合二次函数的图象和性质，可知这三条都可满足开口向上的抛物线，故有：形如y=a(x-1)2+b(a>0)，或为y=a|x-1|+b(a>0)等都可以，答案不唯一.知能训练课本P32练习2.【补充练习】1.利用图象法写出基本初等函数的单调性.解：①正比例函数：y=kx(k≠0)当k>0时，函数y=kx在定义域R上是增函数；当k<0时，函数y=kx在定义域R上是减函数.②反比例函数：y=(k≠0)当k>0时，函数y=的单调递减区间是(-∞,0)，(0,+∞)，不存在单调递增区间；当k<0时，函数y=的单调递增区间是(-∞,0)，(0,+∞),不存在单调递减区间.③一次函数：y=kx+b(k≠0)当k>0时，函数y=kx+b在定义域R上是增函数；当k<0时，函数y=kx+b在定义域R上是减函数.④二次函数：y=ax2+bx+c(a≠0)当a>0时，函数y=ax2+bx+c的单调递减区间是(-∞,］，单调递增区间是［,+∞)；当a<0时，函数y=ax2+bx+c的单调递减区间是［,+∞)，单调递增区间是(-∞,］.点评：以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度.2.已知函数y=kx+2在R上是增函数，求实数k的取值范围.225\n答案：k∈(0,+∞).3.二次函数f(x)=x2-2ax+m在(-∞,2)上是减函数，在(2,+∞)上是增函数，求实数a的值.答案：a=2.4.2005年全国高中数学联赛试卷，8已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若f(2a2+a+1)1.∵f(x)在(0,+∞)上是减函数，∴2a2+a+1>3a2-4a+1.∴a2-5a<0.∴00)的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？图1-3-1-10设计意图:使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.问题④:如何从解析式的角度说明f(x)=x2在［0,+∞)上为增函数？设计意图:把对单调性的认识由感性上升到理性的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习作好铺垫.问题⑤:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?设计意图:让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.活动：225\n先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.引导方法与过程：问题①：引导学生进行分类描述图象是上升的、下降的(增函数、减函数)，同时明确函数的图象变化（单调性）是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质.问题②：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识.学生的困难是难以确定分界点的确切位置.问题③：通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.问题④：对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x1、x2.问题⑤：师生共同探究：利用不等式表示变大或变小,得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义.归纳总结：1.函数单调性的几何意义：如果函数y=f(x)在区间D上是增（减）函数，那么在区间D上的图象是上升的（下降的）.2.函数单调性的定义：略.可以简称为步调一致增函数，步调相反减函数.讨论结果：①(1)函数y=x+2，在整个定义域内y随x的增大而增大；函数y=-x+2，在整个定义域内y随x的增大而减小.(2)函数y=x2，在［0,+∞)上y随x的增大而增大，在(-∞,0)上y随x的增大而减小.(3)函数y=，在(0,+∞)上y随x的增大而减小，在(-∞,0)上y随x的增大而减小.②如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数.③不能.④(1)在给定区间内取两个数，例如2和3，因为22<32，所以f(x)=x2在［0,+∞)上为增函数.(2)仿(1)，取多组数值验证均满足，所以f(x)=x2在［0,+∞)上为增函数.(3)任取x1、x2∈［0,+∞),且x10，能断定函数f(x)在区间(a,b)上是增函数吗?活动：引导学生分析这种叙述与定义的等价性.让学生尝试用这种等价形式证明函数f(x)=x在［0,+∞)上是增函数.讨论结果：能.225\n例2用计算机画出函数y=的图象，根据图象指出单调区间，并用定义法证明.思路分析：在图象上观察在哪个区间函数图象是上升的，在哪个区间函数图象是下降的，借助于单调性的几何意义写出单调区间，再用定义证明.教师画出图象，学生回答，如果遇到障碍，就提示利用函数单调性的几何意义写出单调区间.点评：讨论函数单调性的三部曲：第一步，画函数的图象；第二步，借助单调性的几何意义写出单调区间；第三步，利用定义加以证明.答案：略.变式训练画出函数y=的图象，根据图象指出单调区间.活动：教师引导学生利用变换法（也可以用计算机）画出图象，根据单调性的几何意义写出单调区间，再利用定义法证明.答案：略.知能训练课本P32练习2.拓展提升试分析函数y=x+的单调性.活动：先用计算机画出图象，找出单调区间，再用定义法证明.答案：略.课堂小结学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结.(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论.(3)数学思想方法：数形结合.(4)函数单调性的几何意义是:函数值的变化趋势,即图象是上升的或下降的.设计感想本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识.考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔.作业:课本P39习题1.3A组2、3、4.(设计者：张新军)第2课时函数的最值导入新课思路1.某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10000m2的矩形新厂址,新厂址的长为xm，则宽为m，所建围墙ym，假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y最短?225\n学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y=2(x+),x>0的最小值.引出本节课题：在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的.那么什么是函数的最值呢?这就是我们今天学习的课题.用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题.思路2.画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？①f(x)=-x+3；②f(x)=-x+3,x∈［-1,2］；③f(x)=x2+2x+1;④f(x)=x2+2x+1,x∈［-2,2］.学生回答后，教师引出课题：函数的最值.推进新课新知探究提出问题①如图1-3-1-11所示，是函数y=-x2-2x、y=-2x+1,x∈［-1,+∞)、y=f(x)的图象.观察这三个图象的共同特征.图1-3-1-11②函数图象上任意点P(x,y)的坐标与函数有什么关系？③你是怎样理解函数图象最高点的?④问题1中，在函数y=f(x)的图象上任取一点A(x,y)，如图1-3-1-12所示，设点C的坐标为(x0,y0)，谁能用数学符号解释：函数y=f(x)的图象有最高点C？图1-3-1-12⑤在数学中，形如问题1中函数y=f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义？⑥函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0)，这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？⑦函数最大值的几何意义是什么？⑧函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)有最大值吗？为什么？⑨点(-1,3)是不是函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的最高点？⑩由这个问题你发现了什么值得注意的地方？讨论结果:①函数y=-x2-2x图象有最高点A，函数y=-2x+1,x∈［-1,+∞)图象有最高点B，函数y=f(x)图象有最高点C.也就是说,这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.②函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义:横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.225\n③图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.④由于点C是函数y=f(x)图象的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意x，都有y≤y0，即f(x)≤f(x0)，也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x，均有f(x)≤f(x0)成立.⑤一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x)的最大值.⑥f(x)≤M反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实数M；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M.⑦函数图象上最高点的纵坐标.⑧函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)没有最大值，因为函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的图象没有最高点.⑨不是，因为该函数的定义域中没有－1.⑩讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点.提出问题①类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.②类比问题9，你认为讨论函数最小值应注意什么？活动：让学生思考函数最大值的定义，利用定义来类比定义.最高点类比最低点，符号不等号“≤”类比不等号“≥”.函数的最大值和最小值统称为函数的最值.讨论结果：①函数最小值的定义是:一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x)的最小值.函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标.②讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点.应用示例思路1例1求函数y=在区间［2，6］上的最大值和最小值.活动：先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，才提示：图象最高点的纵坐标就是函数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值.根据函数的图象观察其单调性，再利用函数单调性的定义证明，最后利用函数的单调性求得最大值和最小值.利用变换法画出函数y=的图象，只取在区间［2，6］上的部分.观察可得函数的图象是上升的.解：设2≤x10,(x1-1)(x2-1)>0.∴f(x1)>f(x2),即函数y=在区间［2，6］上是减函数.225\n所以，当x=2时，函数y=在区间［2，6］上取得最大值f(2)=2；当x=6时，函数y=在区间［2，6］上取得最小值f(6)=.变式训练1.求函数y=x2-2x(x∈［-3,2］)的最大值和最小值_______.答案：最大值是f(-3)=15，最小值是f(1)=-1.2.函数f(x)=x4+2x2-1的最小值是.分析：（换元法）转化为求二次函数的最小值.设x2=t，y=t2+2t-1(t≥0)，又当t≥0时，函数y=t2+2t-1是增函数，则当t=0时，函数y=t2+2t-1(t≥0)取最小值－1.所以函数f(x)=x4+2x2-1的最小值是－1.答案：-13.画出函数y=－x2＋2|x|＋3的图象，指出函数的单调区间和最大值.分析：函数的图象关于y轴对称，先画出y轴右侧的图象，再对称到y轴左侧合起来得函数的图象；借助图象，根据单调性的几何意义写出单调区间.解：函数图象如图1-3-1-13所示.图1-3-1-13由图象得，函数的图象在区间（－∞，－1）和［0，1］上是上升的，在［－1，0］和（1，＋∞）上是下降的，最高点是(±1,4)，故函数在（－∞，－1），［0，1］上是增函数；函数在［－1，0］，（1，＋∞）上是减函数，最大值是4.点评：本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法.求函数的最值时，先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种方法适用于做解答题.单调法求函数最值：先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：①如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递增，在区间［b,c)上单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；②如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递减，在区间［b,c)上单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).例2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？活动：可以指定一位学生到黑板上书写，教师在下面巡视，并及时帮助做错的学生改错.并对学生的板书及时评价.将实际问题最终转化为求函数的最值，画出函数的图象，利用函数的图象求出最大值.“烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当t取什么值时函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18取得最大值；“这时距地面的高度是多少（精确到1m）”就是函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的最大值；转化为求函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的最大值及此时自变量t225\n的值.解：画出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象，如图1-3-1-14所示，显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆炸的最佳时刻，纵坐标就是这时距离地面的高度.图1-3-1-14由二次函数的知识，对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18，我们有：当t==1.5时，函数有最大值,即烟花冲出去后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29m.点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论.注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.变式训练1.2006山东菏泽二模，文10把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是()A.cm2B.4cm2C.3cm2D.2cm2解析：设一个三角形的边长为xcm，则另一个三角形的边长为(4-x)cm，两个三角形的面积和为S，则S=x2+(4-x)2=(x-2)2+2≥2.当x=2时，S取最小值2m2.故选D.答案：D2.某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚取利润最大，并求出最大利润.分析：设未知数，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答.利润＝（售价－进价）×销售量.解：设商品售价定为x元时，利润为y元，则y=(x-8)［60-(x-10)·10］=-10［(x-12)2-16］=-10(x-12)2+160(10＜x＜16).当且仅当x=12时，y有最大值160元，即售价定为12元时可获最大利润160元.思路2225\n例1已知函数f(x)=x+,x>0，（1）证明当00的最小值.活动：学生思考判断函数单调性的方法，以及函数最小值的含义.（1）利用定义法证明函数的单调性；（2）应用函数的单调性得函数的最小值.（1）解：任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=（x1＋）－（x2+）=（x1－x2）+=，∵x1＜x2，∴x1－x2<0，x1x2>0.当0＜x1＜x2＜1时，x1x2-1<0，∴f（x1）－f（x2）＞0.∴f（x1）＞f（x2），即当00，∴f（x1）－f（x2）＜0.∴f（x1）＜f（x2）,即当x≥1时，函数f(x)是增函数.（2）解法一：由（1）得当x=1时，函数f(x)=x+,x>0取最小值.又f(1)=2，则函数f(x)=x+,x>0取最小值是2.解法二：借助于计算机软件画出函数f(x)=x+,x>0的图象，如图1-3-1-15所示，图1-3-1-15由图象知，当x=1时，函数f(x)=x+,x>0取最小值f(1)=2.点评：本题主要考查函数的单调性和最值.定义法证明函数的单调性的步骤是“去比赛”；三个步骤缺一不可.利用函数的单调性求函数的最值的步骤：①先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：①如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递增，在区间［b,c)上单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；②如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递减，在区间［b,c)上单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).这种求函数最值的方法称为单调法.图象法求函数的最值的步骤：画出函数的图象，依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值.变式训练225\n1.求函数y=（x≥0）的最大值.解析:可证明函数y=（x≥0）是减函数，∴函数y=（x≥0）的最大值是f(0)=3.2.求函数y=|x+1|+|x-1|的最大值和最小值.解法一：（图象法）y＝|x+1|+|x-1|=其图象如图1-3-1-16所示.图1-3-1-16由图象得，函数的最小值是2，无最大值.解法二：（数形结合）函数的解析式y=|x+1|+|x-1|的几何意义是：y是数轴上任意一点P到±1的对应点A、B的距离的和，即y=|PA|+|PB|,如图1-3-1-17所示，图1-3-1-17观察数轴,可得|PA|+|PB|≥|AB|=2，即函数有最小值2，无最大值.3.2007天利高考第一次全国大联考（江苏卷），11设0400时，f(x)=60000-100x是减函数;又f(x)<60000-100×400<25000,所以，当x=300时，有最大值25000,即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元.知能训练课本P32练习5.［补充练习］2007上海市闵行五校联合调研，20某厂2007年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与去年促销费m（万元）（m≥0）满足x=3.已知2007年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16225\n万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.（1）将2007年该产品的利润y万元表示为年促销费m（万元）的函数；（2）求2007年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？分析：（1）年利润＝销售价格×年销售量－固定投入－促销费－再投入，销售价格＝1.5×每件产品平均成本；（2）利用单调法求函数的最大值.解：（1）每件产品的成本为元，故2007年的利润y=1.5××x-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8(3)-m=28-m（万元）（m≥0）.（2）可以证明当0≤m≤3时，函数y=28-m是增函数，当m>3时，函数y=28-m是减函数，所以当m=3时，函数y=28-m取最大值21（万元）.拓展提升问题：求函数y=的最大值.探究：(方法一)利用计算机软件画出函数的图象，如图1-3-1-18所示，图1-3-1-18故图象最高点是(,).则函数y=的最大值是.(方法二)函数的定义域是R，可以证明当x<时，函数y=是增函数；当x≥时，函数y=是减函数.则当x=时，函数y=取最大值,即函数y=的最大值是.(方法三)函数的定义域是R，由y=,得yx2+yx+y-1=0.∵x∈R，∴关于x的方程yx2+yx+y-1=0必有实数根，当y=0时，关于x的方程yx2+yx+y-1=0无实数根，即y=0不属于函数的值域.当y≠0时，则关于x的方程yx2+yx+y-1=0是一元二次方程，225\n则有Δ=(-y)2-4×y(y-1)≥0.∴00时，函数y=kx的最大值为f(b)＝kb，最小值为f(a)＝ka；当k<0时，函数y=kx的最大值为f(a)＝ka，最小值为f(b)＝kb.2.反比例函数：y=(k≠0)在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不存在最值.在闭区间［a,b］（ab>0）上存在最值，当k>0时，函数y=的最大值为f(a)＝，最小值为f(b)＝；当k<0时，函数y=的最大值为f(b)＝，最小值为f(a)＝.3.一次函数：y=kx+b(k≠0)在定义域R上不存在最值.在闭区间［m,n］上存在最值，当k>0时，函数y=kx+b的最大值为f(n)=kn+b，最小值为f(m)＝km+b；当k<0时，函数y=kx+b的最大值为f(m)＝km+b，最小值为f(n)＝kn+b.4.二次函数：y=ax2+bx+c(a≠0):当a>0时，函数y=ax2+bx+c在定义域R上有最小值f()=，无最大值；225\n当a<0时，函数y=ax2+bx+c在定义域R上有最大值f()=，无最小值.二次函数在闭区间上的最值问题是高考考查的重点和热点内容之一.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)在闭区间［p，q］上的最值可能出现以下三种情况：(1)若＜p，则f(x)在区间［p，q］上是增函数，则f(x)min=f(p)，f(x)max=f(q).(2)若p≤≤q，则f(x)min=f(),此时f(x)的最大值视对称轴与区间端点的远近而定：①当p≤＜时，则f(x)max=f(q);②当＝时，则f(x)max=f(p)＝f(q);③当＜＜q时，则f(x)max=f(p).(3)若≥q，则f(x)在区间［p，q］上是减函数，则f(x)min=f(q)，f(x)max=f(p).由此可见,当∈［p,q］时,二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)在闭区间［p，q］上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f()；当［p,q］时,二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)在闭区间［p，q］上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f(p)和f(q)中的最小值.(设计者：方诚心)225\n1.3.2奇偶性整体设计教学分析本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的.教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇（偶）函数的概念.因此教学时，充分利用信息技术创设教学情景，会使数与形的结合更加自然.值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念.教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y=x与y=2x-1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明.三维目标1.理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想.重点难点教学重点:函数的奇偶性及其几何意义.教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？（学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……）今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？（学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志）生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？（学生发现：图象关于y轴对称.）数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究.思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y=x2和y=x3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性.推进新课新知探究提出问题①如图1-3-2-1所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性.225\n图1-3-2-1②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？x-3-2-10123f(x)=x2表1x-3-2-10123f(x)=|x|表2③请给出偶函数的定义？④偶函数的图象有什么特征？⑤函数f(x)=x2,x∈［-1,2］是偶函数吗？⑥偶函数的定义域有什么特征？⑦观察函数f(x)=x和f(x)=的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？活动：教师从以下几点引导学生:①观察图象的对称性.②学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数.③利用函数的解析式来描述.④偶函数的性质：图象关于y轴对称.⑤函数f(x)=x2,x∈［-1,2］的图象关于y轴不对称；对定义域［-1,2］内x=2，f(-2)不存在，即其函数的定义域中任意一个x的相反数-x不一定也在定义域内，即f(-x)=f(x)不恒成立.⑥偶函数的定义域中任意一个x的相反数-x一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称.⑦先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质.给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）；（3）具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称；（4）可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；（5）函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质是“局部”性质.讨论结果:①这两个函数之间的图象都关于y轴对称.②x-3-2-10123f(x)=x29410149表1x-3-2-10123f(x)=|x|3210123表2这两个函数的解析式都满足：f(-3)=f(3);225\nf(-2)=f(2);f(-1)=f(1).可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内一个x，都有f(-x)=f(x).③一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.④偶函数的图象关于y轴对称.⑤不是偶函数.⑥偶函数的定义域关于原点轴对称.⑦一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点轴对称.应用示例思路1例1判断下列函数的奇偶性:（1）f(x)=x4；（2）f(x)=x5；（3）f(x)=x+；（4）f(x)=.活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).解：（1）函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=(-x)4=x4=f(x)，所以函数f(x)=x4是偶函数.（2）函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),所以函数f(x)=x4是奇函数.（3）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=-x+=-(x+)=-f(x)，所以函数f(x)=x+是奇函数.（4）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x，都有f(-x)===f(x)，所以函数f(x)=是偶函数.点评：本题主要考查函数的奇偶性.函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x，其相反数-x也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称.利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(-x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.变式训练225\n2006辽宁高考，理2设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是()A.f(x)f(-x)是奇函数B.f(x)|f(-x)|是奇函数C.f(x)-f(-x)是偶函数D.f(x)+f(-x)是偶函数分析:A中设F(x)=f(x)f(-x),则F(-x)=f(-x)f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)f(-x)为偶函数；B中设F(x)=f(x)|f(-x)|，F(-x)=f(-x)|f(x)|，此时F(x)与F(-x)的关系不能确定，即函数F(x)=f(x)|f(-x)|的奇偶性不确定；C中设F(x)=f(x)-f(-x),F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x)，即函数F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数；D中设F(x)=f(x)+f(-x)，F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数.答案：D例22006上海春季高考，6已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当x∈(-∞,0)时，f(x)=x-x4，则当x∈(0,+∞)时，f(x)=_______.活动：学生思考偶函数的解析式的性质，考虑如何将在区间(0,+∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值.利用偶函数的性质f(x)=f(-x)，将在区间(0,+∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值.分析:当x∈(0,+∞)时，则-x<0.又∵当x∈(-∞,0)时，f(x)=x-x4，∴f(x)=(-x)-(-x)4=-x-x4.答案：-x-x4点评：本题主要考查函数的解析式和奇偶性.已知函数的奇偶性，求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性，将所求解析式的区间上自变量对应的函数值转化为已知解析式的区间上自变量对应的函数值.变式训练已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2+，求f(x).解：当x=0时，f(-0)=-f(0)，则f(0)=0；当x<0时，-x>0，由于函数f(x)是奇函数，则f(x)=-f(-x)=-［(-x)2+］=-x2+，综上所得，f(x)=思路2例1判断下列函数的奇偶性.（1）f(x)=x2,x∈［-1,2］;（2）f(x)=；（3）f（x）=+；（4）f（x）=.活动：学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法.225\n先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系.在(4)中注意定义域的求法,对任意x∈R，有>=|x|≥-x，则+x>0.则函数的定义域是R.解：（1）因为它的定义域关于原点不对称,函数f(x)=x2,x∈［-1,2］既不是奇函数又不是偶函数.（2）因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，并不关于原点对称,函数f(x)=既不是奇函数又不是偶函数.（3）∵x2－4≥0且4－x2≥0，∴x＝±2，即f（x）的定义域是{－2，2}.∵f（2）＝0，f（－2）＝0,∴f（2）＝f（－2），f（2）＝－f（2）.∴f（－x）＝－f（x），且f（－x）＝f（x）.∴f（x）既是奇函数也是偶函数.（4）函数的定义域是R.∵f(-x)+f(x)====0,∴f（－x）＝－f（x）.∴f（x）是奇函数.点评：本题主要考查函数的奇偶性.定义法判断函数奇偶性的步骤是（1）求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(-x)与f(x)或-f(x)是否相等；（2）当f(-x)＝f(x)时，此函数是偶函数；当f(-x)＝-f(x)时，此函数是奇函数；（3）当f(-x)＝f(x)且f(-x)＝-f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；（4）当f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数.判断解析式复杂的函数的奇偶性时，如果定义域关于原点对称时，通常化简f(-x)+f(x)来判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立.变式训练2007河南开封一模，文10函数f(x)=x2－2ax+a在区间（－∞，1）上有最小值，则函数g(x)=在区间（1，+∞）上一定()A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数分析：函数f(x)=x2－2ax+a的对称轴是直线x=a，225\n由于函数f(x)在开区间（－∞，1）上有最小值，所以直线x=a位于区间（－∞，1）内，即a<1.g(x)＝=x+-2，下面用定义法判断函数g(x)在区间（1，+∞）上的单调性.设11>0.又∵a<1，∴x1x2>a.∴x1x2-a>0.∴g(x1)-g(x2)<0.∴g(x1)1时f(x)>0,f(2)=1，（1）求证：f(x)是偶函数；（2）求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数；（3）试比较f()与f()的大小.活动：（1）转化为证明f(-x)=f(x)，利用赋值法证明f(-x)=f(x)；（2）利用定义法证明单调性，证明函数单调性的步骤是“去比赛”；（3）利用函数的单调性比较它们的大小，利用函数的奇偶性，将函数值f()和f()转化为同一个单调区间上的函数值.解：（1）令x1=x2=1，得f(1)=2f(1)，∴f(1)=0.令x1=x2=-1，得f(1)=f［-1×(-1)］=f(-1)+f(-1)，∴2f(-1)=0.∴f(-1)=0.∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x).∴f(x)是偶函数.（2）设x2>x1>0，则f(x2)-f(x1)=f(x1·)-f(x1)=f(x1)+f()-f(x1)=f().∵x2>x1>0，∴>1.∴f()>0，即f(x2)-f(x1)>0.∴f(x2)>f(x1).∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.（3）由（1）知f(x)是偶函数，则有f()＝f().225\n由（2）知f(x)在(0,+∞)上是增函数，则f()>f().∴f()>f().点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用.判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较.其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值.变式训练2007广东中山高三期末统考，理19已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x、y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).（1）求f(1)、f(-1)的值；（2）判断f(x)的奇偶性，并说明理由.分析：（1）利用赋值法，令x=y=1得f(1)的值，令x=y=－1，得f(-1)的值；（2）利用定义法证明f(x)是奇函数，要借助于赋值法得f(-x)=-f(x).解：（1）∵f(x)对任意x、y都有f(x·y)=yf(x)+xf(y)，∴令x=y=1时，有f(1·1)=1·f(1)+1·f(1).∴f(1)=0.∴令x=y=－1时，有f［(-1)·(-1)］=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1).∴f(－1)=0.（2）是奇函数.∵f(x)对任意x、y都有f(x·y)=yf(x)+xf(y)，∴令y=－1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1).将f(-1)=0代入得f(-x)=-f(x)，∴函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数.知能训练课本P36练习1、2.［补充练习］1.2007上海春季高考，5设函数y=f(x)是奇函数.若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，则f(1)+f(2)=_____.分析：∵函数y=f(x)是奇函数，∴f(-2)=-f(2),f(-1)=-f(1).∴-f(2)-f(1)-3=f(1)+f(2)+3.∴2［f(1)+f(2)］=-6.∴f(1)+f(2)=-3.答案：-32.f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为［a－1，2a］，则a=_________，b=________.分析：∵偶函数定义域关于原点对称,∴a－1+2a=0.∴a=.∴f（x）=x2+bx+1+b.又∵f（x）是偶函数，∴b=0.答案：03.2006山东高考，理6已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则f(6)的值为()A.-1B.0C.1D.2分析:f(6)=f(4+2)=-f(4)=-f(2+2)=f(2)=f(2+0)=-f(0).又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.∴f(6)＝0.故选B.225\n答案：B拓展提升问题：基本初等函数的奇偶性.探究：利用判断函数的奇偶性的方法：定义法和图象法，可得正比例函数y=kx(k≠0)是奇函数；反比例函数y=(k≠0)是奇函数；一次函数y=kx+b(k≠0)，当b=0时是奇函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数；二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当b=0时是偶函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数.课堂小结本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称.作业课本P39习题1.3A组6，B组3.设计感想单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，而本节设计的题目不多，因此，在实际教学中，教师可以利用课余时间补充，让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质.在教学设计中，注意培养学生的综合应用能力，以便满足高考要求.习题详解(课本P32页练习)1.从生产效率与生产线上工人数量的关系看，在生产劳动力较少的情况下，随人数的增加效率随着增大，但是到了一定数量后，人数再增多效率反而降低了.这说明劳动力可能过剩，出现了怠工等现象.2.图象如图1-3-2-2所示，图1-3-2-2函数的单调增区间为［8,12)，［13,18)；函数的单调减区间为［12,13)，［18,20］.3.函数的单调区间是［-1,0),［0,2),［2,4),［4,5］.在区间［-1,0),［2,4)上是减函数；在区间［0,2),［4,5］上是增函数.4.证明：设x1、x2∈R，且x10.∴f(x1)>f(x2).∴函数f(x)=-2x+1在R上是减函数.5.如图1-3-2-3所示，225\n图1-3-2-3从图象上可以发现f（－2）是函数的一个最小值.(课本P36练习)1.（1）对于函数f（x）=2x4+3x2，其定义域为（－∞,+∞）.因为对定义域内的每一个x，都有f（－x）=2（－x）4+3（－x）2=2x4+3x2=f（x）,所以函数f（x）=2x4+3x2为偶函数.（2）对于函数f（x）=x3－2x，其定义域为（－∞，+∞）.因为对定义域内的每一个x，都有f（－x）=（－x）3－2（－x）=－x3+2x=－（x3－2x）=－f（x）,所以函数f（x）=x3－2x为奇函数.（3）对于函数f(x)=，其定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）.因为对定义域内的每一个x，都有f（－x）===－f（x）,所以函数f(x)=为奇函数.（4）对于函数f(x)=x2+1，其定义域为（－∞，+∞）.因为对定义域内的每一个x，都有f（－x）=(-x)2+1=x2+1=f（x）,所以函数f(x)=x2+1为偶函数.2.f(x)的图象如图1-3-2-4所示，g(x)的图象如图1-3-2-5所示.图1-3-2-4图1-3-2-5(课本P39习题1.3)备课资料奇、偶函数的性质(1)奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立.225\n(3)f(-x)=f(x)f(x)是偶函数，f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数.(4)f(-x)=f(x)f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0.(5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数；如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相同，那么复合函数y=f［g(x)］是偶函数，如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相反，那么复合函数y=f［g(x)］是奇函数，简称为“同偶异奇”.(6)如果函数y=f(x)是奇函数，那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相同的单调性；如果函数y=f(x)是偶函数，那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相反的单调性.(7)定义域关于原点对称的任意函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x)=.(8)若f(x)是(-a,a)(a＞0)上的奇函数，则f(0)＝0；若函数f(x)是偶函数，则f(x)=f(-x)=f(|x|)=f(-|x|).若函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数，则有f(x)=0.(设计者：韩双影)本章复习整体设计教学分析本节课是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化.本章三部分内容是独立的，但是又相互联系，集合是基础，用集合定义函数，将函数拓展为映射，层层深入，环环相扣，组成了一个完整的整体.三维目标通过总结和归纳集合与函数的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力.重点难点教学重点：①集合与函数的基本知识.②含有字母问题的研究.③抽象函数的理解.教学难点：①分类讨论的标准划分.②抽象函数的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.建设高楼大厦的过程中，每建一层，都有质量检查人员验收，合格后，再继续建上一层，否则返工重建.我们学习知识也是这样，每学完一个章节都要总结复习，引出课题.思路2.为了系统掌握第一章的知识，教师直接点出课题.推进新课新知探究提出问题①第一节是集合，分为几部分？②第二节是函数，分为几部分？③第三节是函数的基本性质，分为几部分？225\n④画出本章的知识结构图.活动：让学生自己回顾所学知识或结合课本，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按课本的章节标题来分类.对于画知识结构图，学生可能比较陌生，教师可以引导学生先画一个本班班委的结构图或学校各个处室的关系结构图，待学生了解了简单的画法后，再画本章的知识结构图.讨论结果:①分为：集合的含义、集合间的基本关系和集合的运算三部分.②分为：定义、定义域、解析式、值域四部分；其中又把函数的概念拓展为映射.③分为：单调性、最值和奇偶性三部分.④第一章的知识结构图如图1-1所示，图1-1应用示例思路1例1若P={x|y=x2},Q={(x,y)|y=x2,x∈R}，则必有()A.P∩Q=B.PQC.P=QD.PQ分析：从选项来看，本题是判断集合P,Q的关系，其关键是对集合P,Q的意义的理解.集合P是函数y=x2的定义域，则集合P是数集，集合Q是函数y=x2的图象上的点组成的集合，则集合Q是点集，∴P∩Q=.答案：A点评：判断用描述法表示的集合间关系时，一定要搞清两集合的含义，明确集合中的元素.形如集合{x|x∈P(x),x∈R}是数集，形如集合{(x,y)|x、y∈P(x,y),x、y∈R}是点集，数集和点集的交集是空集.变式训练1.2007山东威海一模，文1设集合M=｛x|x>1｝，P={x|x2-6x+9=0}，则下列关系中正确的是()A.M=PB.PMC.MPD.M∩P=R分析：P={3}，∵3>1,∴3∈M.∴PM.答案：B2.2007河南周口高三期末调研，理6定义集合A与B的运算A*B={x|x∈A或x∈B,且xA∩B},则(A*B)*A等于()A.A∩BB.A∪BC.AD.B分析：设A={1,2,3,4},B={1,2,5,6,7},则A*B={3,4,5,6,7}，于是(A*B)*A={1,2,5,6,7}=B.225\n答案：D点评：解决新定义集合运算问题的关键是抓住新运算定义的本质，本题A*B的本质就是集合A与B的并集中除去它们公共元素组成的集合.例2求函数y=x2+1的最小值.分析：思路一:利用实数运算的性质x2≥0，结合不等式的性质得函数的最小值；思路二:直接利用二次函数的最值公式，写出此函数的最小值.解：方法一（观察法）∵函数y=x2+1的定义域是R,∴观察到x2≥0.∴x2+1≥1.∴函数y=x2+1的最小值是1.方法二:（公式法）函数y=x2+1是二次函数，其定义域是x∈R，则函数y=x2+1的最小值是f(0)=1.点评：求函数最值的方法：观察法：当函数的解析式中仅含有x2或|x|或时，通常利用常见的结论x2≥0,|x|≥0,≥0等，直接观察写出函数的最值；公式法：求基本初等函数（正、反比例函数，一次、二次函数）的最值时，应用基本初等函数的最值结论（看成最值公式），直接写出其最值.例3求函数y=的最大值和最小值.分析：把变量y看成常数，则函数的解析式可以整理成必有实数根的关于x的方程，利用判别式的符号得关于y的不等式，解不等式得y的取值范围，从而得函数的最值.解：（判别式法）由y=得yx2-3x+4y=0，∵x∈R，∴关于x的方程yx2-3x+4y=0必有实数根.当y=0时，则x=0.故y=0是一个函数值；当y≠0时，则关于x的方程yx2-3x+4y=0是一元二次方程,则有Δ=(-3)2-4×4y2≥0.∴01>0.又∵a<1，∴x1x2>a.∴x1x2-a>0.∴g(x1)-g(x2)<0.∴g(x1)2p-1，解得p<2.当B≠时，则有解得2≤p≤3.综上所得实数p的取值范围是p<2或2≤p≤3,即(-∞,3］.点评：本题是已知集合运算的结果，求参数的值，解决此类问题的关键是依据集合运算的含义，观察明确各集合中的元素，要注意集合元素的互异性在解决含参数集合问题中的作用；空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，求解有关集合间的关系问题时一定要首先考虑空集；要重视常见结论A∩B=BA∪B=ABA的应用，此时通常要分类讨论解决集合问题，分类讨论时要考虑全面，做到不重不漏.例2求函数y=|x+2|-|x-2|的最小值.分析：思路一:画出函数的图象，利用函数最小值的几何意义，写出函数的最小值；思路二:利用绝对值的几何意义，转化为数轴上的几何问题：数轴上到±2两点的距离和的最小值.解：方法一（图象法）:y=|x+2|-|x-2|=-4,2x,4,x≤-2,-20，求证：f(x)在(-1，1)上是减函数.分析：（1）定义法证明，利用赋值法获得f(0)的值进而取x=-y是解题关键；（2）定义法证明，其中判定的范围是关键.解：(1)函数f(x)的定义域是(-1，1)，由f(x)+f(y)=f()，令x=y=0,得f(0)+f(0)=f()，∴f(0)=0.令y=-x,得f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减，令00,1-x1x2>0，∴>0.又(x2-x1)-(1-x1x2)=(x2-1)(x1+1)<0，∴0＜x2-x1<1-x1x2.∴-1<<0.由题意知f()＞0，∴f(x1)＞f(x2).∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数，∴f(x)在(-1，1)上也是减函数.点评：对于抽象函数的单调性和奇偶性问题时，必用单调性和奇偶性的定义来解决，即定义法是解决抽象函数单调性和奇偶性问题的通法；判断抽象函数的奇偶性与单调性时，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性，知能训练1.2006陕西高考，文1已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2+x-6=0},则P∩Q等于()A.{1,2,3}B.{2,3}C.{1,2}D.{2}225\n分析：明确集合P、Q的运算，依据交集的定义求P={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，Q={-3,2},则P∩Q＝{2}.答案：D点评：解决本题关键是集合P是大于等于1且小于等于10的自然数组成的集合，集合Q是方程x2+x-6=0的解集，将这两个集合化简后再运算.2.2006安徽高考，文1设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S={1,3,5}，T={3,6}，则(S∪T)等于()A.B.{2,4,7,8}C.{1,3,5,6}D.{2,4,6,8}分析：直接观察（或画出Venn图）得S∪T={1,3,5,6}，则(S∪T)＝{2,4,7,8}.答案：B点评：求解用列举法表示的数集运算时，首先看清集合元素的特征，理解并确定集合中的元素，最后通过观察或借助于数轴、Venn图写出运算结果.3.已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1和f（x＋1）-f（x）=2x.（1）求f（x）；（2）求f（x）在区间［-1，1］上的最大值和最小值.分析：（1）由于已知f（x）是二次函数，用待定系数法求f（x）；（2）结合二次函数的图象，写出最值.解：（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c，由f（0）＝1，可知c＝1.而f（x＋1）-f（x）＝［a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c］-（ax2＋bx＋c）＝2ax＋a＋b.由f（x＋1）-f（x）＝2x，可得2a＝2，a＋b＝0.因而a＝1，b＝-1.故f（x）＝x2-x＋1.（2）∵f(x)=x2-x+1=(x-)2+，∴当x∈[-1，1]时，f（x）的最小值是f()=，f（x）的最大值是f（-1）＝3.拓展提升问题：某人定制了一批地砖.每块地砖(如图14所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若将此种地砖按图15所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？225\n图1-4图1-5思路分析：（1）由于四块地砖拼出了四边形EFGH，只需证明△CFE、△CFG、△CGH、△CEH为等腰直角三角形即可；（2）建立数学模型，转化为数学问题.设CE=x，每块地砖的费用为W，求出函数W=f(x)的解析式，转化为讨论求函数的最小值问题.解：(1)图1-5可以看成是由四块如图1-4所示地砖绕点C按顺时针旋转90°后得到，则有CE=CF，∠ECF=90°,∴△CFE为等腰直角三角形，同理可得△CFG、△CGH、△CEH为等腰直角三角形.∴四边形EFGH是正方形.(2)设CE=x，则BE=0.4-x，每块地砖的费用为W，设制成△CFE、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a(元)，W=x2·3a+×0.4×(0.4-x)×2a+［0.16-x2-×0.4×(0.4-x)］a=a(x2-0.2x+0.24)=a［(x-0.1)2+0.23］(00，则当x=0.1时，W有最小值，即总费用为最省.即当CE=CF=0.1米时，总费用最省.课堂小结本节课学习了：总结了第一章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法.作业复习参考题任选两题.设计感想本节在设计过程中，注重了两点：一是体现学生的主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是为了满足高考的要求，对课本内容适当拓展，例如关于函数值域的求法，课本中没有专题学习，本节课对此进行了归纳和总结.A组1.（1）函数的单调区间是(-∞,］,(,+∞).函数y=f(x)在区间(-∞,］上是减函数，在区间(,+∞)上是增函数.（2）函数的单调区间是(-∞,0］,(0,+∞).函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是减函数，在区间(-∞,0］上是增函数.图略.2.（1）设0f(x2).∴函数f(x)在(-∞,0)上是减函数.（2）设00.∴f(x1)-x2>0.∵函数f(x)在(0,+∞)上是减函数，∴f(-x1)b).活动：求某些式子的值,首先考虑的应是什么,明确题目的要求是什么,都用到哪些知识,关键是啥,搞清这些之后,再针对每一个题目仔细分析.观察学生的解题情况,让学生展示结果,抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药.求下列各式的值实际上是求数的方根,可按方根的运算性质来解,首先要搞清楚运算顺序,目的是把被开方数的符号定准,然后看根指数是奇数还是偶数,如果是奇数,无需考虑符号,如果是偶数,开方的结果必须是非负数.解：(1)=-8;(2)=10;(3)=π-3;(4)=a-b(a>b).点评：不注意n的奇偶性对式子的值的影响,是导致问题出现的一个重要原因,要在理解的基础上,记准,记熟,会用,活用.变式训练求出下列各式的值:(1);(2)(a≤1);(3).解：(1)=-2,(2)(a≤1)=3a-3,225\n(3)=点评：本题易错的是第(3)题,往往忽视a与1大小的讨论,造成错解.思路2例1下列各式中正确的是()(1)=a;(2)=;(3)a0=1;(4)=.活动：教师提示,这是一道选择题,本题考查n次方根的运算性质,应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解,既要考虑被开方数,又要考虑根指数,严格按求方根的步骤,体会方根运算的实质,学生先思考哪些地方容易出错,再回答.解：(1)=a,考查n次方根的运算性质,当n为偶数时,应先写=|a|,故本题错.(2)=,本质上与上题相同,是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,结论为=,故本题错.(3)a0=1是有条件的,即a≠0,故本题也错.(4)是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,故本题正确.所以答案选(4).点评：本题由于考查n次方根的运算性质与运算顺序,有时极易选错,选四个答案的情况都会有,因此解题时千万要细心.例+=_________活动：让同学们积极思考,交流讨论,本题乍一看内容与本节无关,但仔细一想,我们学习的内容是方根,这里是带有双重根号的式子,去掉一层根号,根据方根的运算求出结果是解题的关键,因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了,从何处入手?需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式.正确分析题意是关键,教师提示,引导学生解题的思路.解：===+1.===-1.所以+=2.点评：不难看出与形式上有些特点,即是对称根式,是形式的式子,我们总能找到办法把其化成一个完全平方式.思考上面的例2还有别的解法吗?活动：教师引导,去根号常常利用完全平方公式,有时平方差公式也可,225\n同学们观察两个式子的特点,具有对称性,再考虑并交流讨论,一个是+,一个是-,去掉一层根号后,相加正好抵消.同时借助平方差,又可去掉根号,因此把两个式子的和看成一个整体,两边平方即可,探讨得另一种解法.另解：利用整体思想,x=+,两边平方得x2=3+2+3-2+2()()=6+2=6+2=8,所以x=2.点评：对双重二次根式,特别是形式的式子,我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式,问题迎刃而解,另外对的式子,我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解.变式训练若=a-1，求a的取值范围.解：因为=a-1,而==|a-1|=a-1,即a-1≥0,所以a≥1.点评：利用方根的运算性质转化为去绝对值符号,是解题的关键.知能训练(教师用多媒体显示在屏幕上)1.以下说法正确的是()A.正数的n次方根是一个正数B.负数的n次方根是一个负数C.0的任何次方根都是零D.a的n次方根用表示(以上n＞1且n∈N*).答案：C2.化简下列各式:(1);(2);(3);(4);(5).答案：(1)2;(2);(3)x2;(4)|x|;(5)|x-y|.3.计算=__________.解：==225\n=++-=2.答案：2拓展提升问题：=a与()n=a（n＞1,n∈N）哪一个是恒等式,为什么?请举例说明.活动：组织学生结合前面的例题及其解答,进行分析讨论,解决这一问题要紧扣n次方根的定义.通过归纳,得出问题结果,对a是正数和零,n为偶数时,n为奇数时讨论一下.再对a是负数,n为偶数时,n为奇数时讨论一下,就可得到相应的结论.解答：①（）n=a（n＞1,n∈N）.如果xn=a（n＞1,且n∈N）有意义,则无论n是奇数或偶数,x=一定是它的一个n次方根,所以（）n=a恒成立.例如：（）4=3,=－5.②=当n为奇数时,a∈R,=a恒成立.例如：=2,=－2.当n为偶数时,a∈R,an≥0,表示正的n次方根或0,所以如果a≥0,那么=a.例如=3,=0；如果a＜0,那么=|a|=－a,如==3.即（na）n=a（n＞1,n∈N）是恒等式,=a（n＞1,n∈N）是有条件的.点评：实质上是对n次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解.课堂小结学生仔细交流讨论后,在笔记上写出本节课的学习收获,教师用多媒体显示在屏幕上.1.如果xn=a,那么x叫a的n次方根,其中n＞1且n∈N*.用式子表示,式子叫根式,其中a叫被开方数,n叫根指数.(1)当n为偶数时,a的n次方根有两个,是互为相反数,正的n次方根用表示,如果是负数,负的n次方根用-表示,正的n次方根与负的n次方根合并写成±(a＞0).225\n(2)n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时a的n次方根用符号表示.(3)负数没有偶次方根.0的任何次方根都是零.2.掌握两个公式：n为奇数时,()n=a,n为偶数时,=|a|=作业课本P59习题2.1A组1.补充作业:1.化简下列各式：(1);(2);(3);(4).解：(1)===;(2)==;(3)==x2;(4)==.2.若50,a<0,a=0三种情况,并结合具体例子讲解,因此设计了大量的类比和练习题目,要灵活处理这些题目,帮助学生加以理解,所以需要用多媒体信息技术服务教学.(设计者：路致芳)225\n第2课时指数与指数幂的运算(2)导入新课思路1.碳14测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收,只要植物和动物生存着,它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后,即会停止吸收碳14,其组织内的碳14便以约5730年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量,便可推断其年代(半衰期:经过一定的时间,变为原来的一半).引出本节课题:指数与指数幂的运算之分数指数幂.思路2.同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂.推进新课新知探究提出问题(1)整数指数幂的运算性质是什么？(2)观察以下式子,并总结出规律：a＞0,①==a2=a;②==a4=a;③==a3=a;④==a5=a.(3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗？,,,(x>0,m,n∈N*,且n>1).(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？(5)你能推广到一般的情形吗？活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类比(2)的规律表示,借鉴(2)(3),我们把具体推广到一般,对写正确的同学及时表扬,其他学生鼓励提示.讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：an=a·a·a·…·a,a0=1(a≠0);00无意义;a-n=(a≠0);am·an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.(2)①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根.实质上①=a,②=a,③=a,④=a结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了,,,,形式上变了,本质没变.根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,225\n根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）.(3)利用(2)的规律,=5,=7,=a,=x.(4)53的四次方根是5,75的三次方根是7,a7的五次方根是a,xm的n次方根是x.结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.(5)如果a>0,那么am的n次方根可表示为m=a,即a=m(a>0,m,n∈N*,n>1).综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书:规定:正数的正分数指数幂的意义是a=m(a>0,m,n∈N*,n>1).提出问题①负整数指数幂的意义是怎样规定的?②你能得出负分数指数幂的意义吗?③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义?④综合上述,如何规定分数指数幂的意义?⑤分数指数幂的意义中,为什么规定a＞0,去掉这个规定会产生什么样的后果?⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?活动：学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来,与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,教师在黑板上板书,学生合作交流,以具体的实例说明a＞0的必要性,教师及时作出评价.讨论结果：①负整数指数幂的意义是:a-n=(a≠0),n∈N*.②既然负整数指数幂的意义是这样规定的,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义.规定:正数的负分数指数幂的意义是a==(a>0,m,n∈N*,n>1).③规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.④教师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是a=(a>0,m,n∈N*,n>1),正数的负分数指数幂的意义是a==(a>0,m,n∈N*,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.⑤若没有a＞0这个条件会怎样呢?如(-1)=3-1=-1,(-1)=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零,如无a＞0的条件,比如式子3a2=|a|,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时,应把负号移到根式的外边,然后再按规定化成分数指数幂,也就是说,225\n负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数,而不是负数,负数只是出现在指数上.⑥规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质:（1）ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q),（2）(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q),（3）(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题,来看下面的例题.应用示例思路1例1求值:①8;②25③()-5;④().活动：教师引导学生考虑解题的方法,利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式,根据题目要求,把底数写成幂的形式,8写成23,25写成52,写成2-1,写成()4,利用有理数幂的运算性质可以解答,完成后,把自己的答案用投影仪展示出来.解：①8=(23)=2=22=4;②25=(52)=5=5-1=;③()-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;④()=()=()-3=.点评：本例主要考查幂值运算,要按规定来解.在进行幂值运算时,要首先考虑转化为指数运算,而不是首先转化为熟悉的根式运算,如8===4.例2用分数指数幂的形式表示下列各式.a3·;a2·;(a>0).活动：学生观察、思考,根据解题的顺序,把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算,根式化为分数指数幂时,要由里往外依次进行,把握好运算性质和顺序,学生讨论交流自己的解题步骤,教师评价学生的解题情况,鼓励学生注意总结.解：a3·=a3·a=a=a;a2·=a2·a=a=a;=(a·a)=(a)=a.点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分数指数又有根式,225\n也不能既有分母又有负指数.例3计算下列各式（式中字母都是正数）:（1）(2ab)(-6ab)÷(-3ab);（2）(mn)8.活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的,整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序,再解答,把自己的答案用投影仪展示出来,相互交流,其中要注意到（1）小题是单项式的乘除运算,可以用单项式的乘除法运算顺序进行,要注意符号,第（2）小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进行计算,熟悉后可以简化步骤.解：（1）原式=［2×(-6)÷(-3)］ab=4ab0=4a;（2）(mn)8=(m)8(n)8=mn=m2n-3=.点评：分数指数幂不表示相同因式的积,而是根式的另一种写法.有了分数指数幂,就可把根式转化成分数指数幂的形式,用分数指数幂的运算法则进行运算了.本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用.变式训练求值:(1)3··;(2).解：(1)3··=3·3·3·3=3=32=9；(2)=(=(===.例4计算下列各式:（1）()÷;（2）(a＞0）.活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,化为同底.利用分数指数幂计算,在第（1）小题中,只含有根式,且不是同次根式,比较难计算,但把根式先化为分数指数幂再计算,这样就简便多了,第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,最后写出解答.解：（1）原式=(25-125)÷25=(5-5)÷5225\n=5-5=5-5=-5;（2）==a=a=.思路2例1比较,,的大小.活动：学生努力思考,积极交流,教师引导学生解题的思路,由于根指数不同,应化成统一的根指数,才能进行比较,又因为根指数最大的是6,所以我们应化为六次根式,然后,只看被开方数的大小就可以了.解：因为==,=,而125＞123＞121,所以>>.所以>>.点评：把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法.例2求下列各式的值:(1);(2)2××.活动：学生观察以上几个式子的特征,既有分数指数幂又有根式,应把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,如果根式中根指数不同,也应化成分数指数幂,然后分析解答,对(1)应由里往外=,对(2)化为同底的分数指数幂,及时对学生活动进行评价.解：(1)=［34×(3)］=(3)=(3)=3=;(2)=2×3×()×(3×22)=2·3=2×3=6.例3计算下列各式的值:（1）［(ab2)-1·(ab-3)(b)7］;（2）;(3).活动：先由学生观察以上三个式子的特征,然后交流解题的方法,把根式用分数指数幂写出,利用指数的运算性质去计算,教师引导学生,强化解题步骤,对(1)先进行积的乘方,再进行同底数幂的乘法,最后再乘方,或先都乘方,再进行同底数幂的乘法,对（2）把分数指数化为根式,225\n然后通分化简,对（3）把根式化为分数指数,进行积的乘方,再进行同底数幂的运算.解：(1)原式=(ab2)(ab-3)·(b)=ababb=ab=ab0=a;另解：原式=(ab-2ab·b)=(ab)=(a2b0)=a;（2）原式======;（3）原式=（ab）-3÷(b-4a-1)=ab-2÷b-2a=ab-2+2=a-1=.例4已知a＞0,对于0≤r≤8,r∈N*,式子()8-r·r能化为关于a的整数指数幂的情形有几种？活动：学生审题,考虑与本节知识的联系,教师引导解题思路,把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,即先把根式转化为分数指数幂,再进行幂的乘方,化为关于a的指数幂的情形,再讨论,及时评价学生的作法.解：()8-r·r=a·a=a=a.16-3r能被4整除才行,因此r=0,4,8时上式为关于a的整数指数幂.点评：本题中确定整数的指数幂时,可由范围的从小到大依次验证,决定取舍.利用分数指数幂进行根式运算时,结果可以化为根式形式或保留分数指数幂的形式.例5已知f（x）=ex－e-x,g（x）=ex+e-x.（1）求［f（x）］2－［g（x）］2的值；（2）设f（x）f（y）=4,g（x）g（y）=8,求的值.活动：学生观察题目的特点,说出解题的办法,整体代入或利用公式,建立方程,求解未知,如果学生有难度,教师可以提示引导,对（1）为平方差,利用公式因式分解可将代数式化简,对(2)难以发现已知和未知的关系,可写出具体算式,予以探求.解：(1)［f（x）］2－［g（x）］2=［f（x）+g（x）］·［f（x）－g（x）］=（ex－e-x+ex+e-x）（ex－e-x－ex－e-x）=2ex（－2e-x）=－4e0=－4;另解：(1)［f（x）］2－［g（x）］2=(ex-e-x)2-(ex+e-x)2=e2x-2exe-x+e-2x-e2x-2exe-x-e-2x=-4ex-x=-4e0=-4;(2)f（x）·f（y）=（ex－e-x）（ey－e-y）=ex+y+e-(x+y)－ex-y－e-(x-y)=g（x+y）－g（x－y）=4,225\n同理可得g（x）g（y）=g（x+y）+g（x－y）=8,得方程组解得g（x+y）=6,g（x－y）=2.所以==3.点评：将已知条件变形为关于所求量g（x+y）与g（x－y）的方程组,从而使问题得以解决,这种处理问题的方法在数学上称之为方程法,方程法所体现的数学思想即方程思想,是数学中重要的数学思想.知能训练课本P54练习1、2、3.［补充练习］教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答,教师巡视,启发,对做得好的同学给予表扬鼓励.1.(1)下列运算中,正确的是()A.a2·a3=a6B.(-a2)3=(-a3)2C.(-1)0=0D.(-a2)3=-a6(2)下列各式①,②③,④（各式的n∈N,a∈R）中,有意义的是()A.①②B.①③C.①②③④D.①③④(3)等于()A.aB.a2C.a3D.a4(4)把根式－2改写成分数指数幂的形式为()A.-2(a-b)B.-2(a-b)C.-2(a-b)D.-2(a-b)(5)化简（ab）（-3ab）÷（ab）的结果是()A.6aB.-aC.-9aD.9a2.计算：(1)0.027－（－）-2+256－3-1+（2－1）0=________.(2)设5x=4,5y=2,则52x-y=________.225\n3.已知x+y=12,xy=9且x＜y,求的值.答案：1.(1)D(2)B(3)B(4)A(5)C2.(1)19(2)83.解：==.因为x+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27.又因为x＜y,所以x-y=-2×33=-63.所以原式=.拓展提升1.化简.活动：学生观察式子特点,考虑x的指数之间的关系可以得到解题思路,应对原式进行因式分解,根据本题的特点,注意到:x-1=(x)3-13=(x-1)·(x+x+1);x+1=(x)3+13=(x+1)·(x-x+1);x-x=x［(x)2-1］=x(x-1)(x+1).构建解题思路教师适时启发提示.解：===x-1+x-x+1-x-x=-x.点拨:解这类题目,要注意运用以下公式,(a-b)(a+b)=a-b,(a±b)2=a±2ab+b,(a±b)(aab+b)=a±b.225\n2.已知a+a=3,探究下列各式的值的求法.(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3).解：(1)将a+a=3,两边平方,得a+a-1+2=9,即a+a-1=7;(2)将a+a-1=7两边平方,得a2+a-2+2=49,即a2+a-2=47;(3)由于a-a=(a)3-(a)3,所以有==a+a-1+1=8.点拨:对“条件求值”问题,一定要弄清已知与未知的联系,然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.课堂小结活动：教师,本节课同学们有哪些收获?请把你的学习收获记录在你的笔记本上,同学们之间相互交流.同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点:(1)分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是a=m(a>0,m,n∈N*,n>1),正数的负分数指数幂的意义是a==(a>0,m,n∈N*,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.(2)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.(3)有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r、s,均有下面的运算性质:①ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q),②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q),③(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).(4)说明两点:①分数指数幂的意义是一种规定,我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性,其中没有推出关系.②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用.因而分数指数幂与根式可以互化,也可以利用(an)==am来计算.作业课本P59习题2.1A组2、4.设计感想本节课是分数指数幂的意义的引出及应用,分数指数是指数概念的又一次扩充,要让学生反复理解分数指数幂的意义,教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解,用观察、归纳和类比的方法完成,由于是硬性的规定,没有合理的解释,因此多安排一些练习,强化训练,巩固知识,要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务.225\n(设计者：郝云静)225\n第3课时指数与指数幂的运算(3)导入新课思路1.同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数,又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢?回顾数的扩充过程,自然数到整数,整数到分数(有理数),有理数到实数.并且知道,在有理数到实数的扩充过程中,增添的数是——实数.对无理数指数幂,也是这样扩充而来.既然如此,我们这节课的主要内容是:教师板书本堂课的课题(指数与指数幂的运算(3))之无理数指数幂.思路2.同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解,到了高中,我们又对函数的概念进行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几种简单的函数,如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要,随着科学的发展,社会的进步,我们还要学习许多函数,其中就有指数函数,为了学习指数函数的知识,我们必须学习实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂,因此我们本节课学习:指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂,教师板书本堂课的课题.推进新课新知探究提出问题①我们知道=1.41421356…,那么1.41,1.414,1.4142,1.41421,…,是的什么近似值？而1.42,1.415,1.4143,1.41422,…,是的什么近似值？②多媒体显示以下图表:同学们从上面的两个表中,能发现什么样的规律?的过剩近似值55的近似值1.511.180339891.429.829353281.4159.7508518081.41439.739872621.414229.7386186431.4142149.7385246021.41421369.7385183321.414213579.7385178621.4142135639.738177525的近似值的不足近似值9.5182696941.49.6726699731.419.7351710391.414225\n9.7383051741.41429.7384619071.4142139.7385089281.4142139.7385167651.41421359.7385177051.414213569.7385177361.414213562③你能给上述思想起个名字吗?④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如5,根据你学过的知识,能作出判断并合理地解释吗?⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗?活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容:问题①从近似值的分类来考虑,一方面从大于的方向,另一方面从小于的方向.问题②对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联.问题③上述方法实际上是无限接近,最后是逼近.问题④对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释.问题⑤在③④的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般.讨论结果：①1.41,1.414,1.4142,1.41421,…这些数都小于,称的不足近似值,而1.42,1.415,1.4143,1.41422,…,这些数都大于,称的过剩近似值.②第一个表:从大于的方向逼近时,5就从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52的方向逼近5.第二个表:从小于2的方向逼近时,5就从51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421,…,即小于5的方向逼近5.从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面5从51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421,…,即小于5的方向接近5,而另一方面5从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于5的方向接近5,可以说从两个方向无限地接近5,即逼近5,所以5是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421,…,和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数的点从两个方向向表示5的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是5225\n一定是一个实数,即51.4<51.41<51.414<51.4142<51.41421<…<5<…<51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5.充分表明5是一个实数.③逼近思想,事实上里面含有极限的思想,这是以后要学的知识.④根据②③我们可以推断5是一个实数,猜测一个正数的无理数次幂是一个实数.⑤无理数指数幂的意义:一般地,无理数指数幂aα（a>0,α是无理数）是一个确定的实数.也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广,在数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义,知道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂.提出问题（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正数?（2）无理数指数幂的运算法则是怎样的?是否与有理数指数幂的运算法则相通呢?（3）你能给出实数指数幂的运算法则吗?活动：教师组织学生互助合作,交流探讨,引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳.对问题（1）回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明.对问题（2）结合有理数指数幂的运算法则,既然无理数指数幂aα（a>0,α是无理数）是一个确定的实数,那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似,并且相通.对问题（3）有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则,实数的运算法则自然就得到了.讨论结果：（1）底数大于零的必要性,若a=-1,那么aα是+1还是-1就无法确定了,这样就造成混乱,规定了底数是正数后,无理数指数幂aα是一个确定的实数,就不会再造成混乱.（2）因为无理数指数幂是一个确定的实数,所以能进行指数的运算,也能进行幂的运算,有理数指数幂的运算性质,同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则:①ar·as=ar+s(a>0,r,s都是无理数).②(ar)s=ars(a>0,r,s都是无理数).③(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r是无理数).（3）指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂.实数指数幂的运算性质:对任意的实数r,s,均有下面的运算性质:①ar·as=ar+s(a>0,r,s∈R).②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R).③(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).应用示例思路1例1利用函数计算器计算.（精确到0.001）（1）0.32.1;（2）3.14-3;（3）3.1;（4）.活动：教师教会学生利用函数计算器计算,熟悉计算器的各键的功能,正确输入各类数,225\n算出数值,对于（1）,可先按底数0.3,再按键,再按幂指数2.1,最后按,即可求得它的值；对于（2）,先按底数3.14,再按键,再按负号键,再按3,最后按即可;对于(3),先按底数3.1,再按键,再按34,最后按即可;对于（4）,这种无理指数幂,可先按底数3,其次按键,再按键,再按3,最后按键.有时也可按或键,使用键上面的功能去运算.学生可以相互交流,挖掘计算器的用途.答案：（1）0.32.1≈0.080;（2）3.14-3≈0.032;（3）3.1≈2.336;（4）≈6.705.点评：熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤,感受现代技术的威力,逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值,若保留小数点后n位,只需看第（n+1）位能否进位即可.例2求值或化简.(1)(a>0,b>0);(2)()(a>0,b>0);(3).活动：学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应使所化式子达到最简,对既有分数指数幂又有根式的式子,应该把根式统一化为分数指数幂的形式,便于运算,教师有针对性地提示引导,对(1)由里向外把根式化成分数指数幂,要紧扣分数指数幂的意义和运算性质,对(2)既有分数指数幂又有根式,应当统一起来,化为分数指数幂,对(3)有多重根号的式子,应先去根号,这里是二次根式,被开方数应凑完全平方,这样,把5,7,6拆成()2+()2,22+()2,22+()2,并对学生作及时的评价,注意总结解题的方法和规律.解：(1)=(ab)=a-2bab=ab=.点评：根式的运算常常化成幂的运算进行,计算结果如没有特殊要求,就用根式的形式来表示.(2)()=aabb=a0b0=.点评：化简这类式子一般有两种办法,一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数,另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数.(3)225\n==-+2--2+=0.点评：考虑根号里面的数是一个完全平方数,千万注意方根的性质的运用.例3已知x=(5-5),n∈N*,求(x+)n的值.活动：学生思考,观察题目的特点,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,5与5具有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示.x2=(5-5)2=(5-2·50+5)=(5+2+5-4)=(5+5)2-1.这时应看到1+x2=1+(-5)2=(5+5)2,这样先算出1+x2,再算出,带入即可.解：将x=(5-5)代入1+x2，得1+x2=1+(5-5)2=(5+5)n,所以(x+)n=［(5-5)+］n=［(5-5)+(5+5)］n=(5)n=5.点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法.思路2例1计算:(1);(2)125+()-2+343-();225\n(3)(-2xy)(3xy)；(4)(x-y)÷(x-y).活动：学生观察、思考,根式化成分数指数,利用幂的运算性质解题,另外要注意整体的意识,教师有针对性的提示引导,对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行,对(2)充分利用指数幂的运算法则来进行,对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行,对(4)要利用平方差公式先因式分解,并对学生作及时的评价.解：(1)=()+()+(0.0625)+1-=()2×+()+(0.5)+=++0.5+=5;(2)125+()-2+343-()=(53)+(2-1)-2+(73)-(3-3)=5+2-2×(-1)+7-3=25+4+7-3=33;(3)(-2xy)(3xy)=(-2×3)(xx·yy)==-6xy=;(4)(x-y)÷(x-y)=((x)2-(y)2)÷(x-y)=(x+y)(x-y)÷(x-y)=x+y.点评：在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式.例2化简下列各式:225\n(1);(2)(a3+a-3)(a3-a-3)÷［(a4+a-4+1)(a-a-1)］.活动：学生观察式子的特点,特别是指数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,这两题要注意分解因式,特别是立方和和立方差公式的应用,对有困难的学生及时提示:对(1)考查x2与x的关系可知x2=(x)3,立方关系就出来了,公式便可运用,对(2)先利用平方差,再利用幂的乘方转化为立方差,再分解因式,组织学生讨论交流.解：(1)原式====;(2)原式=［(a3)2-(a-3)2］÷［(a4+a-4+1)(a-a-1)］====a+a-1.点评：注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用,因为二项和、差公式,平方差公式一般在使用中一目了然,而对立方和立方差公式却一般不易观察到,a=(a)3还容易看出,对其中夹杂的数字m可以化为m·aa=m,需认真对待,要在做题中不断地提高灵活运用这些公式的能力.知能训练课本P59习题2.1A组3.利用投影仪投射下列补充练习:1.化简:(1+2)(1+2)(1+2)(1+2)(1+2)的结果是()A.(1-2)-1B.(1-2)-1C.1-2D.(1-2)分析:根据本题的特点,注意到它的整体性,特别是指数的规律性,我们可以进行适当的变形.因为(1+2)(1-2)=1-2,所以原式的分子分母同乘以(1-2),依次类推,所以==(1-2)-1.答案：A225\n2.计算(2)0.5+0.1-2+(2)-3π0+9-0.5+490.5×2-4.解：原式=()+100+()-3+49×=+100+-3++=100.3.计算(a≥1).解：原式=(a≥1).本题可以继续向下做,去掉绝对值,作为思考留作课下练习.4.设a>0,x=(a-a),则(x+)n的值为_______.分析:从整体上看,应先化简,然后再求值,这时应看到解：1+x2=1+(a-a)2=(a+a)2.这样先算出1+x2,再算出,将x=(a-a)代入1+x2,得1+x2=1+(a-a)2=(a+a)2.所以(x+)n=［(a-a)+(a+a)2］n=［(a-a)+(a+a)］n=a.答案：a拓展提升参照我们说明无理数指数幂的意义的过程,请你说明无理数指数幂的意义.活动：教师引导学生回顾无理数指数幂5的意义的过程,利用计算器计算出3的近似值,取它的过剩近似值和不足近似值,根据这些近似值计算的过剩近似值和不足近似值,利用逼近思想,“逼出”的意义,学生合作交流,在投影仪上展示自己的探究结果.解：3=1.73205080…,取它的过剩近似值和不足近似值如下表.的过剩近似值的过剩近似值的不足近似值的不足近似值1.83.4822022531.73.2490095851.743.3403516781.733.317278183225\n1.7333.3241834461.7313.3195783421.73213.322110361.73193.3216498491.732063.3220182521.732043.32197221.7320153.3219975291.7320493.3219929231.73205093.3219972981.73205073.3219968381.732050813.3219970191.732050793.321997045我们把用2作底数,的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数21.7,21.72,21.731,21.7319,…,同样把用2作底数,的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数:21.8,21.74,21.733,21.7321,…,不难看出的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多,即3的近似值精确度越高,以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2α会越来越趋近于同一个数,我们把这个数记为.即21.7<21.73<21.731<21.7319<…<<…<21.7321<21.733<21.74<21.8.也就是说是一个实数,=3.321997…也可以这样解释:当3的过剩近似值从大于的方向逼近时,的近似值从大于的方向逼近；当3的不足近似值从小于的方向逼近时,的近似值从小于的方向逼近.所以就是一串有理指数幂21.7,21.73,21.731,21.7319,…,和另一串有理指数幂21.8,21.74,21.733,21.7321,…,按上述规律变化的结果,即≈3.321997.课堂小结(1)无理指数幂的意义.一般地,无理数指数幂aα（a>0,α是无理数）是一个确定的实数.(2)实数指数幂的运算性质:对任意的实数r,s,均有下面的运算性质:①ar·as=ar+s(a>0,r,s∈R).②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R).③(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).(3)逼近的思想,体会无限接近的含义.作业课本P60习题2.1B组2.设计感想无理数指数是指数概念的又一次扩充,教学中要让学生通过多媒体的演示,理解无理数指数幂的意义,教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索,自己得出结论,加深对概念的理解,本堂课内容较为抽象,又不能进行推理,只能通过多媒体的教学手段,让学生体会,225\n特别是逼近的思想、类比的思想,多作练习,提高学生理解问题、分析问题的能力.备课资料富兰克林的遗嘱与拿破仑的诺言富兰克林利用放风筝而感受到电击,从而发明了避雷针.这位美国著名的科学家死后留下了一份有趣的遗嘱：“……一千英镑赠给波士顿的居民,如果他们接受了这一千英镑,那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民,他们得把这些钱按每年5％的利率借给一些年轻的手工业者去生息.这些款过了100年增加到131000英镑.我希望那时候用100000英镑来建立一所公共建筑物,剩下的31000英镑拿去继续生息100年.在第二个100年末了,这笔款增加到4061000英镑,其中1061000英镑还是由波士顿的居民来支配,而其余的3000000英镑让马萨诸塞州的公众来管理.过此之后,我可不敢主张了！”你可曾想过：区区的1000英镑遗产,竟立下几百万英镑财产分配的遗嘱,是“信口开河”,还是“言而有据”呢？事实上,只要借助于复利公式,同学们完全可以通过计算而作出自己的判断.yn=m(1+a)n就是复利公式,其中m为本金,a为年利率,yn为n年后本金与利息的总和.在第一个100年末富兰克林的财产应增加到:y100=1000(1+5%)100=131501（英镑）,比遗嘱中写的还多出501英镑.在第二个100年末,遗产就更多了：y100=131501(1+5%)100=4142421（英镑）.可见富兰克林的遗嘱是有科学根据的.遗嘱故事启示我们：在指数效应下,微薄的财产,低廉的利率,可以变得令人瞠目结舌.威名显赫的拿破仑,由于陷进了指数效应的漩涡而使法国政府十分难堪！1797年,拿破仑参观国立卢森堡小学,赠上了一束价值三个金路易的玫瑰花,并许诺只要法兰西共和国存在一天,他将每年送一束价值相等的玫瑰花,以作两国友谊的象征.由于连年征战,拿破仑忘却了这一诺言！1894年,卢森堡王国郑重地向法兰西共和国提出了“玫瑰花悬案”,要求法国政府在拿破仑的声誉和1375596法郎的债款中,二者选取其一.这笔巨款就是三个金路易的本金,以5％的年利率,在97年的指数效应下的产物.(设计者：刘玉亭)225\n2.1.2指数函数及其性质整体设计教学分析有了前面的知识储备,我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念,作指数函数的图象以及研究指数函数的性质.教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫.本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,编写时充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情景,为学生的数学探究与数学思维提供支持.三维目标1.通过实际问题了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质,体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想.2.让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.培养学生观察问题、分析问题的能力,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.3.通过训练点评,让学生更能熟练指数幂运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美.重点难点教学重点：指数函数的概念和性质及其应用.教学难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用.课时安排3课时教学过程第1课时指数函数及其性质(1)导入新课思路1.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的,写出存留污垢y与漂洗次数x的关系式,它是函数关系式吗？若是,请计算若要使存留的污垢不超过原有的,则至少要漂洗几次？教师引导学生分析,列出关系式y=()x,发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在指数的位置上,这样的函数叫指数函数,引出本节课题.思路2.教师复习提问指数幂的运算性质,并要求学生计算23,20,2-2,16,27,49.再提问怎样画函数的图象,学生思考,分组交流,写出自己的答案8,1,,2,9,,先建立平面直角坐标系,再描点,最后连线.点出本节课题.225\n思路3.在本章的开头,问题（2）中时间t和碳14含量P的对应关系P=［()］t,如果我们用x表示时间,y表示碳14的含量,则上述关系可表示为y=［()］x,这是我们习惯上的函数形式,像这种自变量在指数的位置上的函数,我们称为指数函数,下面我们给出指数函数的确切概念,从而引出课题.推进新课新知探究提出问题1.一种放射性物质不断衰减为其他物质,每经过一年剩留量约是原来的84%,求出这种物质经过x年后的剩留量y与x的关系式是_________.(y=0.84x)2.某种细胞分裂时,由一个分裂成两个,两个分裂成四个,四个分裂成十六个,依次类推,一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞个数y与x的关系式是_________.(y=2x)提出问题(1)你能说出函数y=0.84x与函数y=2x的共同特征吗?(2)你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念?(3)为什么指数函数的概念中明确规定a>0,a≠1?(4)为什么指数函数的定义域是实数集?(5)如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数？请你说出它的步骤.活动：先让学生仔细观察,交流讨论,然后回答,教师提示点拨,及时鼓励表扬给出正确结论的学生,引导学生在不断探索中提高自己的应用知识的能力,教师巡视,个别辅导,针对学生共性的问题集中解决.问题(1)看这两个函数的共同特征,主要是看底数和自变量以及函数值.问题(2)一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量.问题(3)为了使运算有意义,同时也为了问题研究的必要性.问题(4)在(3)的规定下,我们可以把ax看成一个幂值,一个正数的任何次幂都有意义.问题(5)使学生回想指数函数的定义,根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数,紧扣指数函数的形式.讨论结果：(1)对于两个解析式我们看到每给自变量x一个值,y都有唯一确定的值和它对应,再就是它们的自变量x都在指数的位置上,它们的底数都大于0,但一个大于1,一个小于1.0.84与2虽然不同,但它们是两个函数关系中的常量,因为变量只有x和y.(2)对于两个解析式y=0.84x和y=2x,我们把两个函数关系中的常量用一个字母a来表示,这样我们得到指数函数的定义:一般地,函数y=ax(a>0,a≠1)叫做指数函数,其中x叫自变量,函数的定义域是实数集R.(3)a=0时,x>0时,ax总为0;x≤0时,ax没有意义.a<0时,如a=-2,x=,ax=(-2)=显然是没有意义的.a=1时,ax恒等于1,没有研究的必要.因此规定a>0,a≠1.此解释只要能说明即可,不要深化.(4)因为a>0,x可以取任意的实数,所以指数函数的定义域是实数集R.(5)判断一个函数是否是一个指数函数,一是看底数是否是一个常数,225\n再就是看自变量是否是一个x且在指数位置上,满足这两个条件的函数才是指数函数.提出问题(1)前面我们学习函数的时候,根据什么思路研究函数的性质,对指数函数呢?(2)前面我们学习函数的时候,如何作函数的图象?说明它的步骤.(3)利用上面的步骤,作函数y=2x的图象.(4)利用上面的步骤,作函数y=()x的图象.(5)观察上面两个函数的图象各有什么特点,再画几个类似的函数图象,看是否也有类似的特点?(6)根据上述几个函数图象的特点,你能归纳出指数函数的性质吗?(7)把y=2x和y=()x的图象,放在同一坐标系中,你能发现这两个图象的关系吗?(8)你能证明上述结论吗?(9)能否用y=2x的图象画y=()x的图象?请说明画法的理由.活动：教师引导学生回顾需要研究的函数的那些性质,共同讨论研究指数函数的性质的方法,强调数形结合,强调函数图象在研究函数性质中的作用,注意从具体到一般的思想方法的运用,渗透概括能力的培养,进行课堂巡视,个别辅导,投影展示画得好的部分学生的图象,同时投影展示课本表21,22及图2.12,2.13及2.14,及时评价学生,补充学生回答中的不足.学生独立思考,提出研究指数函数性质的思路,独立画图,观察图象及表格,表述自己的发现,同学们相互交流,形成对指数函数性质的认识,推荐代表发表本组的集体的认识.讨论结果：(1)我们研究函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般,一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的性质.(2)一般是列表,描点,连线,借助多媒体手段画出图象,用计算机作函数的图象.(3)列表.x-3.00-2.50-2.00-1.50-1.000.000.501.001.502.00y=2x124作图如图2-1-2-1图2-1-2-1(4)列表.x-2.50-2.00-1.50-1.000.001.001.502.002.50y=()x124作图如图2-1-2-2225\n图2-1-2-2(5)通过观察图2121,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是上升的,说明是增函数,图象位于x轴上方,说明值域大于0.图象经过点（0,1）,且y值分布有以下特点,x<0时00时y>1.图象不关于x轴对称,也不关于y轴对称,说明函数既不是奇函数也不是偶函数.通过观察图2122,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是下降的,说明是减函数,图象位于x轴上方,说明值域大于0.图象经过点（0,1）,x<0时y>1,x>0时01和0,a≠1),y=(-4)x,y=πx,y=6x3+2.活动：学生观察,小组讨论,尝试解决以上题目,学生紧扣指数函数的定义解题,因为y=x2,y=2·4x,y=6x3+2都不符合y=ax的形式,教师强调y=ax的形式的重要性,即a前面的系数为1,a是一个正常数（也可是一个表示正常数的代数式）,指数必须是x的形式或通过转化后能化为x的形式.解：y=8x,y=(2a-1)x(a>,a≠1),y=(-4)x,y=πx是指数函数;y=x2,y=2·4x,y=6x3+2不是指数函数.变式训练函数y=23x,y=ax+k,y=a-x,y=()-2x(a>0,a≠1)中是指数函数的有哪些?答案：y=23x=(23)x,y=a-x=()x,y=()-2x=［()-2］x是指数函数.例2比较下列各题中的两个值的大小:（1）1.72.5与1.73;(2)0.8-0.1与0.8-0.2;(3)1.70.3与0.93.1.活动：学生自己思考或讨论,回忆比较数的大小的方法,结合题目实际,选择合理的,再写出（最好用实物投影仪展示写得正确的答案）,比较数的大小,一是作差,看两个数差的符号,若为正,则前面的数大;二是作商,但必须是同号数,看商与1的大小,再决定两个数的大小;三是计算出每个数的值,再比较大小;四是利用图象;五是利用函数的单调性.教师在学生中巡视其他学生的解答,发现问题及时纠正并及时评价.解法一：用数形结合的方法,如第（1）小题,用图形计算器或计算机画出y=1.7x的图象,如图2-1-2-4.225\n图2-1-2-4在图象上找出横坐标分别为2.5、3的点,显然,图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方,所以1.72.5<1.73,同理0.8-0.1<0.8-0.2,1.70.3>0.93.1.解法二：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77,1.73≈4.91,所以1.72.5<1.73.同理0.8-0.1<0.8-0.2,1.70.3>0.93.1.解法三：利用函数单调性,①1.72.5与1.73的底数是1.7,它们可以看成函数y=1.7x,当x=2.5和3时的函数值；因为1.7>1,所以函数y=1.7x在R上是增函数,而2.5<3,所以1.72.5<1.73；②0.8-0.1与0.8-0.2的底数是0.8,它们可以看成函数y=0.8x,当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0<0.8<1,所以函数y=0.8x在R上是减函数,而-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2；③因为1.70.3>1,0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1.点评：在第（3）小题中,可以用解法一、解法二解决,但解法三不适合.由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到1,把这两数值分别与1比较大小,进而比较1.70.3与0.93.1的大小,这里的1是中间值.思考在上面的解法中你认为哪种方法更实用?活动：学生对上面的三种解法作比较,解题有法但无定法,我们要采取多种解法,在多种解法中选择最优解法,这要通过反复练习,强化来实现.变式训练1.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,按大小顺序排列a,b,c.答案：ba;当a>1时,a0且y≠1｝.(2)因为-|x|≥0,所以只有x=0.因此函数y=()的定义域是｛x∣x=0｝.而y=()=()0=1,即函数y=()的值域是｛y∣y=1｝.(3)令≥0,得≥0,225\n即≥0,解得x<-1或x≥1,因此函数y=10的定义域是｛x∣x<-1或x≥1｝.由于-1≥0,且≠2,所以≥0且≠1.故函数y=10的值域是｛y∣y≥1,y≠10｝.点评：求与指数函数有关的定义域和值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性,特别是第(1)题千万不能漏掉y>0.变式训练求下列函数的定义域和值域:(1)y=();(2)y=;(3)y=ax-1(a>0,a≠1).答案：(1)函数y=()的定义域是R,值域是［,+∞）;(2)函数y=的定义域是［,+∞）,值域是［0,+∞）;(3)当a>1时,定义域是{x|x≥0},当030.7;对(2)因为0.75-0.1=1.029186,0.750.1=0.971642,所以0.75-0.1>0.750.1;对(3)因为1.80.6=1.422864,0.81.6=0.699752,所以1.80.6>0.81.6;对(4)因为()=2.080084,2=0.659754,所以()>2.解法二：利用指数函数的性质对两个数进行大小的比较:对(1)因为函数y=3x在R上是增函数,0.8＞0.7,所以30.8>30.7;对(2)因为函数y=0.75x在R上是减函数,0.1＞-0.1,所以0.75-0.1>0.750.1;对(3)由指数函数的性质知1.80.6>1.80=1=0.80>0.81.6,所以1.80.6>0.81.6;对(4)由指数函数的性质知()>()0=1=20>2,所以()>2.解法三:利用图象法来解,具体解法略.点评：在利用指数函数的性质对两个数进行大小比较时,首先把这两个数看作指数函数的两个函数值,利用指数函数的单调性比较.若两个数不是同一函数的两个函数值,则寻求一个中间量,两个数都与这个中间量进行比较,这是常用的比较数的大小的方法,然后得两个数的大小,数学上称这种方法为“中间量法”.变式训练比较与(a>0,a≠1,n∈N*,n>2)的大小关系.解：因为=a,=a,而n∈N*，n>2,所以=>0,即.因此：当a>1时a>a，即>；当00,a≠1)对任意的实数x,y都有()A.f(xy)=f(x)·f(y)B.f(xy)=f(x)+f(y)C.f(x+y)=f(x)·f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)答案：C3.函数y=ax+5+1(a>0,a≠1)恒过定点________.答案：（-5,2）拓展提升探究一：在同一坐标系中作出函数y=2x,y=3x,y=10x的图象,比较这三个函数增长的快慢.活动：学生深刻回顾作函数图象的方法,交流作图的体会.列表、描点、连线,作出函数y=2x,y=3x,y=10x的图象,如图2-1-2-6.x-2-1012310y=2x0.250.512481024y=3x0.110.331392759049y=10x0.010.111010010001010图2-1-2-6从表格或图象可以看出:(1)x<0时,有2x>3x>10x;(2)x>0时,有2x<3x<10x;(3)当x从0增长到10,函数y=2x的值从1增加到1024,而函数y=3x的值从1增加到59049.这说明x>0时y=3x比y=2x的函数值增长得快.同理y=10x比y=3x的函数值增长得快.因此得：一般地,a>b>1时,(1)x<0时,有ax0时,有ax>bx>1;(4)指数函数的底数越大,x>0时其函数值增长就越快.探究二：分别画出底数为0.2、0.3、0.5的指数函数的图象(图2-1-2-7),对照底数为2、3、5的指数函数的图象,研究指数函数y=ax(00时,有axbx>1;(4)指数函数的底数越小,x>0时,其函数值减少就越快.课堂小结1.指数函数的定义.2.指数函数的图象和性质.3.利用函数的图象说出函数的性质,即数形结合的思想(方法),它是一种非常重要的数学思想和研究方法.4.利用指数函数的单调性比较几个数的大小,特别是中间变量法.作业课本P59习题2.1A组5、6、8、10.设计感想本节课是在前面研究了函数性质的基础上,研究具体的初等函数,它是重要的初等函数,它有着丰富的内涵,且和我们的实际生活联系密切,也是以后学习对数函数的基础,在指数函数的概念讲解过程中,既要向学生说明定义域是什么,又要向学生交代，为什么规定底数a是大于0而不等于1的,本节内容课堂容量大,要提高课堂的效率和节奏,多运用信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务.(设计者：韩双影)225\n第2课时指数函数及其性质(2)导入新课思路1.复习导入：我们前一节课学习了指数函数的概念和性质,下面我们一起回顾一下指数函数的概念、图象和性质.如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题,这就是本堂课要讲的主要内容.教师板书课题.思路2.我们在学习指数函数的性质时,利用了指数函数的图象的特点,并且是用类比和归纳的方法得出,在理论上,我们能否严格的证明特别是指数函数的单调性,以便于我们在解题时应用这些性质,本堂课我们要解决这个问题.教师板书课题:指数函数及其性质(2).应用示例思路1例1已知指数函数f(x)=ax（a＞0且a≠1）的图象过点（3,π）,求f(0),f(1),f(-3)的值.活动：学生审题,把握题意,教师适时提问,点拨,求值的关键是确定a,一般用待定系数法,构建一个方程来处理,函数图象过已知点,说明点在图象上,意味着已知点的坐标满足曲线的方程,转化为将已知点的坐标代入指数函数f(x)=ax（a＞0且a≠1）求a的值,进而求出f(0),f(1),f(-3)的值,请学生上黑板板书,及时评价.解：因为图象过点（3,π）,所以f(3)=a3=π,即a=π,f(x)=(π)x.再把0,1,3分别代入,得f(0)=π0=1,f(1)=π1=π,f(-3)=π-1=.点评：根据待定系数的多少来确定构建方程的个数是解题的关键,这是方程思想的运用.例2用函数单调性的定义证明指数函数的单调性.活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤,单调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写.证法一：设x1,x2∈R,且x1＜x2,则y2－y1=ax2－ax1=ax1（ax2-x1－1）.因为a＞1,x2－x1＞0，所以ax2-x1＞1,即ax2-x1－1＞0.又因为ax1＞0,所以y2－y1＞0,即y11,y10且y≠1}.（2）由5x-1≥0得x≥,所以所求函数定义域为{x|x≥}.由≥0得y≥1,所以函数值域为{y|y≥1}.（3）所求函数定义域为R，由2x>0可得2x+1>1.所以函数值域为{y|y>1}.(4)由已知得：函数的定义域是R,且(2x+1)y=2x-2,即(y-1)2x=-y-2.因为y≠1,所以2x=.又x∈R,所以2x>0,>0.解之,得-20,所以值域为(0,1)∪(1,+∞).例2（1）求函数y=()的单调区间,并证明.（2）设a是实数,f(x)=a(x∈R),试证明对于任意a,f(x)为增函数.活动：（1）这个函数的单调区间由两个函数决定,指数函数y=()x与y=x2-2x的复合函数,（2）函数单调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写.解法一：设x10.当x1,x2∈（-∞,1］时,x1+x2-2<0,这时(x2-x1)(x2+x1-2)<0,即>1,所以y2>y1,函数单调递增;当x1,x2∈［1,+∞）时,x1+x2-2>0,这时(x2-x1)(x2+x1-2)>0,即<1,所以y2u2,又因为y=()u是减函数,所以y10得2x1+1>0,2x2+1>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)0;④<.225\n当f(x)=10x时,上述结论中正确的是.分析:因为f(x)=10x,且x1≠x2,所以f(x1+x2)===f(x1)·f(x2),所以①正确;因为f(x1·x2)=≠=f(x1)+f(x2),②不正确;因为f(x)=10x是增函数,所以f(x1)-f(x2)与x1-x2同号,所以>0,所以③正确.因为函数f(x)=10x图象如图2-1-2-9所示是上凹下凸的,可解得④正确.图2-1-2-9答案：①③④另解：④∵10x1>0,10x2>0,x1≠x2,∴>∴>,即>∴>.拓展提升在同一坐标系中作出下列函数的图象,讨论它们之间的联系.(1)①y=3x,②y=3x+1,③y=3x-1;(2)①y=()x,②y=()x-1,③y=()x+1.活动：学生动手画函数图象,教师点拨,学生没有思路教师可以提示.学生回忆函数作图的方法与步骤,按规定作出图象,特别是关键点.答案：如图2-1-2-10及图2-1-2-11.图2-1-2-10图2-1-2-11观察图2-1-2-10可以看出,y=3x,y=3x+1,y=3x-1的图象间有如下关系:y=3x+1的图象由y=3x的图象左移1个单位得到;y=3x-1的图象由y=3x的图象右移1个单位得到;y=3x-1的图象由y=3x+1的图象向右移动2个单位得到.观察图2-1-2-11可以看出,y=()x,y=()x-1,y=()x+1的图象间有如下关系:225\ny=()x+1的图象由y=()x的图象左移1个单位得到;y=()x-1的图象由y=()x的图象右移1个单位得到;y=()x-1的图象由y=()x+1的图象向右移动2个单位得到.你能推广到一般的情形吗?同学们留作思考.课堂小结思考我们本堂课主要学习了哪些知识,你有什么收获?把你的收获写在笔记本上.活动：教师用多媒体显示以下内容,学生互相交流学习心得,看是否与多媒体显示的内容一致.本节课,在复习旧知识的基础上学习了数形结合的思想、函数与方程的思想,加深了对问题的分析能力,形成了一定的能力与方法.作业课本P59习题2.1B组1、3、4.设计感想本堂课主要是复习巩固指数函数及其性质,涉及的内容较多,要首先组织学生回顾指数函数的性质,为此,必须利用函数图象,数形结合,通过数与形的相互转化,借助形的直观性解决问题,本节课要训练学生能够恰当地构造函数,根据函数的单调性比较大小,有时要分a>1,00,m∈R)有着怎样的关系呢?在理论上,含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢?这是我们本堂课研究的内容.教师点出课题:指数函数及其性质（3）.思路2.我们在第一章中,已学习了函数的性质,特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点,我们刚刚学习的指数函数,严格地证明了指数函数的单调性,便于我们在解题时应用这些性质,在实际生活中,往往遇到的不单单是指数函数,还有其他形式的函数,有的是指数函数的复合函数,我们需要研究它的单调性和奇偶性,这是我们面临的问题也是我们本堂课要解决的问题——指数函数及其性质（3）.推进新课新知探究提出问题(1)指数函数有哪些性质?(2)利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些?(3)对复合函数,如何证明函数的单调性?(4)如何判断函数的奇偶性,有哪些方法?活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容.讨论结果：(1)指数函数的图象和性质一般地,指数函数y=ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：a>100时,y>1;x<0时,00时,01（5）在R上是增函数（5）在R上是减函数(2)依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤是：①取值.即设x1、x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2.②作差变形.即求f（x2）－f（x1）,通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形.225\n③定号.根据给定的区间和x2－x1的符号确定f（x2）－f（x1）的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论.④判断.根据单调性定义作出结论.(3)对于复合函数y=f(g(x))可以总结为:当函数f(x)和g(x)的单调性相同时,复合函数y=f(g(x))是增函数;当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时,复合函数y=f(g(x))是减函数;又简称为口诀“同增异减”.(4)判断函数的奇偶性:一是利用定义法,即首先是定义域关于原点对称,再次是考察式子f(x)与f(-x)的关系,最后确定函数的奇偶性;二是作出函数图象或从已知图象观察,若图象关于原点或y轴对称,则函数具有奇偶性.应用示例思路1例1在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y=2x的图象的关系.(1)y=2x+1与y=2x+2;(2)y=2x-1与y=2x-2.活动：教师适当时候点拨,学生回想作图的方法和步骤,特别是指数函数图象的作法,学生回答并到黑板上作图,教师指点学生,列出对应值表,抓住关键点,特别是(0,1)点,或用计算机作图.解：(1)列出函数数据表作出图象如图2-1-2-12.x-3-2-101232x0.1250.250.512482x+10.250.51248162x+20.512481632图2-1-2-12比较可知函数y=2x+1、y=2x+2与y=2x的图象的关系为：将指数函数y=2x的图象向左平行移动1个单位长度,就得到函数y=2x+1的图象;将指数函数y=2x的图象向左平行移动2个单位长度,就得到函数y=2x+2的图象.(2)列出函数数据表作出图象如图2-1-2-13x-3-2-101232x0.1250.250.512482x-10.6250.1250.250.51242x-20.31250.6250.1250.250.512图2-1-2-13225\n比较可知函数y=2x-1、y=2x-2与y=2x的图象的关系为：将指数函数y=2x的图象向右平行移动1个单位长度,就得到函数y=2x-1的图象;将指数函数y=2x的图象向右平行移动2个单位长度,就得到函数y=2x-2的图象.点评：类似地,我们得到y=ax与y=ax+m(a>0,a≠1,m∈R)之间的关系:y=ax+m(a>0,m∈R)的图象可以由y=ax的图象变化而来.当m>0时,y=ax的图象向左移动m个单位得到y=ax+m的图象;当m<0时,y=ax的图象向右移动|m|个单位得到y=ax+m的图象.上述规律也简称为“左加右减”.变式训练为了得到函数y=2x-3-1的图象,只需把函数y=2x的图象()A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度答案：B点评：对于有些复合函数的图象,常用变换方法作出.例2已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.（1）求a,b的值；（2）若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.活动：学生审题,考虑解题思路.求值一般是构建方程,求取值范围一般要转化为不等式,如果有困难,教师可以提示,（1）从条件出发,充分利用奇函数的性质,由于定义域为R,所以f(0)=0,f(-1)=-f(1),（2）在（1）的基础上求出f(x),转化为关于k的不等式,利用恒成立问题再转化.（1）解：因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,即=0b=1,所以f(x)=;又由f（1）=-f（-1）知=a=2.（2）解法一：由（1）知f(x)==+,易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.又因f(x)是奇函数,从而不等式：f(t2-2t)+f(2t2-k)<0,等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),因f(x)为减函数,由上式推得：t2-2t>k-2t2,即对一切t∈R有3t2-2t-k>0,从而判别式Δ=4+12k<0,∴k<.225\n解法二：由（1）知f(x)=.又由题设条件得<0,即<0.整理得>1,因底数2>1,故3t2-2t-k>0,上式对一切t∈R均成立,从而判别式Δ=4+12k<0,即k<-.点评：记住下列函数的增减性,对解题是十分有用的,若f(x)为增(减)函数,则为减(增)函数.思路2例1设a>0,f(x)=在R上满足f(-x)=f(x).(1)求a的值;(2)证明f(x)在(0,+∞)上是增函数.活动：学生先思考或讨论,如果有困难,教师提示,引导.(1)求单独一个字母的值,一般是转化为方程,利用f(-x)=f(x)可建立方程.(2)证明增减性一般用定义法,回忆定义法证明增减性的步骤,规范书写的格式.(1)解：依题意,对一切x∈R有f(-x)=f(x)成立,即+aex=.所以=0对一切x∈R成立.由此可得=0,即a2=1.又因为a>0,所以a=1.(2)证明:设00,x2>0,x2-x1>0,得x2+x1>0,>0,1<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x)在（0,+∞）上是增函数.点评：在已知等式f(-x)=f(x)成立的条件下,对应系数相等,求出a,也可用特殊值求解.证明函数的单调性,严格按定义写出步骤,判断过程尽量明显直观.例2已知函数f(x)=3x,且x=a+2时,f(x)=18,g(x)=3的定义域为［0,1］.(1)求g(x)的解析式;225\n(2)求g(x)的单调区间,确定其增减性并试用定义证明;(3)求g(x)的值域.解：(1)因为f(x)=3x,且x=a+2时f(x)=18,所以f(a+2)=3a+2=18.所以3a=2.所以g(x)=3ax-4x=(3a)x-4x.所以g(x)=2x-4x.(2)因为函数g(x)的定义域为［0,1］,令t=2x,因为x∈［0,1］时,函数t=2x在区间［0,1］上单调递增,所以t∈［1,2］,则g(t)=t-t2=-(t2-t)=-(t-)2+,t∈［1,2］.因为函数t=2x在区间［0,1］上单调递增,函数g(t)=t-t2在t∈［1,2］上单调递减,所以函数g(x)在区间［0,1］上单调递减.证明:设x1和x2是区间［0,1］上任意两个值,且x11,所以函数y=3x在R上是增函数.而0.7<0.8,所以30.7<30.8.(2)0.75-0.1与0.750.1的底数都是0.75,它们可以看成函数y=0.75x,当x=-0.1和0.1时的函数值；因为1>0.75,所以函数y=0.75x在R上是减函数.而-0.1<0.1,所以0.750.1<0.75-0.1.(3)1.012.7与1.013.5的底数都是1.01,它们可以看成函数y=1.01x,当x=2.7和3.5时的函数值；因为1.01>1,所以函数y=1.01x在R上是增函数.而2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5.(4)0.993.3与0.994.5的底数都是0.99,它们可以看成函数y=0.99x,当x=3.3和4.5时的函数值；因为0.99<1,所以函数y=0.99x在R上是减函数.而3.3<4.5,所以0.994.5<0.993.3.8.(1)2m,2n可以看成函数y=2x,当x=m和n时的函数值;因为2>1,所以函数y=2x在R上是增函数.因为2m<2n,所以mn.(3)am,an可以看成函数y=ax,当x=m和n时的函数值;因为0n.(4)am,an可以看成函数y=ax,当x=m和n时的函数值;因为a>1,所以函数y=ax在R上是增函数.因为am>an,所以m>n.点评：利用指数函数的单调性是解题的关键.9.(1)死亡生物组织内碳14的剩余量P与时间t的函数解析式为P=().当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为P=()=()9≈0.002.答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前含量的2‰,因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.(2)设大约经过t万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么()<0.001,解得t>5.7.答:大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的.225\nB组1.当0＜a＜1时,a2x-7＞a4x-12x-7＜4x－1x＞－3;当a＞1时,a2x-7＞a4x-12x－7＞4x－1x＜－3.综上,当0＜a＜1时,不等式的解集是{x|x＞－3}；当a＞1时,不等式的解集是{x|x＜－3}.2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用.解：(1)设y=x+x,那么y2=(x+x)2=x+x-1+2.由于x+x-1=3,所以y=.(2)设y=x2+x-2,那么y=(x+x-1)2-2.由于x+x-1=3,所以y=7.(3)设y=x2-x-2,那么y=(x+x-1)(x-x-1),而(x-x-1)2=x2-2+x-2=,所以y=±3.点评：整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口.3.解：已知本金为a元.1期后的本利和为y1=a+a×r=a(1+r),2期后的本利和为y2=a(1+r)+a(1+r)×r=a(1+r)2,3期后的本利和为y3=a(1+r)3,…x期后的本利和为y=a(1+r)x.将a=1000,r=0.0225,x=5代入上式得y=a(1+r)x=1000×(1+0.0225)5=1000×1.02255≈1118.答:本利和y随存期x变化的函数关系式为y=a(1+r)x,5期后的本利和约为1118元.4.解：(1)因为y1=y2,所以a3x+1=a-2x.所以3x+1=-2x.所以x=.(2)因为y1>y2,所以a3x+1>a-2x.所以当a>1时,3x+1>-2x.所以x>.所以当00,r,s∈Q,以下运算中正确的是()A.ar·as=arsB.(ar)s=arsC.()r=ar·bsD.arbs=(ab)r+s答案：B3.式子成立的充要条件是()A.≥0B.x≠1C.x<1D.x≥2分析：方法一:要使式子成立,需x-1>0,x-2≥0,即x≥2.若x≥2,则式子成立.从而x≥2是式子成立的充要条件.故选D.方法二:对A,式子≥0连式子成立也保证不了,尤其x-2≤0,x-1<0时式子不成立.对B,x-1<0时式子不成立.对C,x<1时无意义.对D正确.答案：D4.化简(1＜b<2).225\n解：==-1(10,∴x-1=0,即x=1.∴=1.(设计者：郑芳鸣)225\n2.2对数函数2.2.1对数与对数运算整体设计教学分析我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的基础,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能,教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.三维目标1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与指数式的关系；通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算,并掌握化简求值的技能;运用对数运算性质解决有关问题.培养学生分析、综合解决问题的能力;培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.2.通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质；让学生经历并推理出对数的运算性质;让学生归纳整理本节所学的知识.3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性.重点难点教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质,对数运算的性质与对数知识的应用.教学难点:对数概念的理解,对数运算性质的推导及应用.课时安排3课时教学过程第1课时对数与对数运算(1)导入新课思路1.1.庄子：一尺之棰,日取其半,万世不竭.（1）取4次,还有多长？（2）取多少次,还有0.125尺？2.假设2002年我国国民生产总值为a亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？抽象出：1.()4＝？()x＝0.125x=?2.(1+8%)x=2x=?都是已知底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕.思路2.225\n我们前面学习了指数函数及其性质,同时也会利用性质解决问题,但仅仅有指数函数还不够,为了解决某些实际问题,还要学习对数函数,为此我们先学习对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕.推进新课新知探究提出问题(对于课本P572.1.2的例8)①利用计算机作出函数y=13×1.01x的图象.②从图象上看,哪一年的人口数要达到18亿、20亿、30亿…?③如果不利用图象该如何解决,说出你的见解？即=1.01x,=1.01x,=1.01x,在这几个式子中,x分别等于多少？④你能否给出一个一般性的结论?活动：学生讨论并作图,教师适时提示、点拨.对问题①,回忆计算机作函数图象的方法,抓住关键点.对问题②,图象类似于人的照片,从照片上能看出人的特点,当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标.对问题③,定义一种新的运算.对问题④,借助③,类比到一般的情形.讨论结果：①如图2-2-1-1.图2-2-1-1②在所作的图象上,取点P,测出点P的坐标,移动点P,使其纵坐标分别接近18,20,30,观察这时的横坐标,大约分别为32.72,43.29,84.04,这就是说,如果保持年增长率为1个百分点,那么大约经过33年,43年,84年,我国人口分别约为18亿,20亿,30亿.③=1.01x,=1.01x,=1.01x,在这几个式子中,要求x分别等于多少,目前我们没学这种运算,可以定义一种新运算,即若=1.01x,则x称作以1.01为底的的对数.其他的可类似得到,这种运算叫做对数运算.④一般性的结论就是对数的定义:一般地,如果a(a>0,a≠1)的x次幂等于N,就是ax=N,那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm),记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.有了对数的定义,前面问题的x就可表示了:x=log1.01,x=log1.01,x=log1.01.由此得到对数和指数幂之间的关系:aNb指数式ab=N底数幂指数对数式logaN=b对数的底数真数对数225\n例如：42=162=log416;102=1002=log10100;4=2=log42;10-2=0.01-2=log100.01提出问题①为什么在对数定义中规定a>0,a≠1?②根据对数定义求loga1和logaa(a>0,a≠1)的值.③负数与零有没有对数?④=N与logaab=b(a>0,a≠1)是否成立?讨论结果：①这是因为若a＜0,则N为某些值时,b不存在,如log（－2）;若a=0,N不为0时,b不存在,如log03,N为0时,b可为任意正数,是不唯一的,即log00有无数个值;若a=1,N不为1时,b不存在,如log12,N为1时,b可为任意数,是不唯一的,即log11有无数个值.综之,就规定了a＞0且a≠1.②loga1=0,logaa=1.因为对任意a>0且a≠1,都有a0=1,所以loga1=0.同样易知：logaa=1.即1的对数等于0,底的对数等于1.③因为底数a＞0且a≠1,由指数函数的性质可知,对任意的b∈R,ab＞0恒成立,即只有正数才有对数,零和负数没有对数.④因为ab=N,所以b=logaN,ab=a=N,即a=N.因为ab=ab,所以logaab=b.故两个式子都成立.(a=N叫对数恒等式)思考我们对对数的概念和一些特殊的式子已经有了一定的了解,但还有两类特殊的对数对科学研究和了解自然起了巨大的作用,你们知道是哪两类吗?活动：同学们阅读课本P68的内容,教师引导,板书.解答：①常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N的常用对数log10N简记作lgN.例如：log105简记作lg5;log103.5简记作lg3.5.②自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数,以e为底的对数叫自然对数,为了简便,N的自然对数logeN简记作lnN.例如：loge3简记作ln3;loge10简记作ln10.应用示例思路1例1将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式：（1）54=625;（2）2-6=;（3）()m=5.73;(4)log16=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.活动：学生阅读题目,独立解题,把自己解题的过程展示在屏幕上,教师评价学生,强调注意的问题.对（1）根据指数式与对数式的关系,4在指数位置上,4是以5为底625的对数.225\n对（2）根据指数式与对数式的关系,-6在指数位置上,-6是以2为底的对数.对（3）根据指数式与对数式的关系,m在指数位置上,m是以为底5.73的对数.对(4)根据指数式与对数式的关系,16在真数位置上,16是的-4次幂.对(5)根据指数式与对数式的关系,0.01在真数位置上,0.01是10的-2次幂.对(6)根据指数式与对数式的关系,10在真数位置上,10是e的2.303次幂.解：（1）log5625=4;（2）log2=-6;（3）log5.73=m;（4）()-4=16;(5)10-2=0.01;(6)e2.303=10.思考指数式与对数式的互化应注意哪些问题?活动：学生考虑指数式与对数式互化的依据,回想对数概念的引出过程,理清对数与指数幂的关系,特别是位置的对照.解答：若是指数式化为对数式,关键要看清指数是几,再写成对数式.若是对数式化为指数式,则要看清真数是几,再写成幂的形式.最关键的是搞清N与b在指数式与对数式中的位置,千万不可大意,其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据.变式训练课本P64练习1、2.例2求下列各式中x的值:（1）log64x=;（2）logx8=6;（3）lg100=x;（4）-lne2=x.活动：学生独立解题,教师同时展示学生的作题情况,要求学生说明解答的依据,利用指数式与对数式的关系,转化为指数式求解.解：（1）因为log64x=-,所以x=64=(2)=2-4=.（2）因为logx8=6,所以x6=8=23=()6.因为x>0,因此x=.（3）因为lg100=x,所以10x=100=102.因此x=2.（4）因为-lne2=x,所以lne2=-x,e-x=e2.因此x=-2.点评：本题要注意方根的运算,同时也可借助对数恒等式来解.变式训练求下列各式中的x：①log4x=;②logx27=;③log5（log10x）=1.解：①由log4x=,得x=4=2;②由logx27=,得x=27,所以x=27=81;225\n③由log5（log10x）=1,得log10x=5,即x=105.点评：在解决对数式的求值问题时,若不能一下子看出结果,根据指数式与对数式的关系,首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果.思路2例1以下四个命题中,属于真命题的是（）（1）若log5x=3,则x=15（2）若log25x=,则x=5（3）若logx=0,则x=（4）若log5x=－3,则x=A.（2）（3）B.（1）（3）C.（2）（4）D.（3）（4）活动：学生观察,教师引导学生考虑对数的定义.对数式化为指数式,根据指数幂的运算性质算出结果.对于（1）因为log5x=3,所以x=53=125,错误;对于（2）因为log25x=,所以x=25=5,正确;对于（3）因为logx=0,所以x0=,无解,错误;对于（4）因为log5x=－3,所以x=5-3=,正确.总之（2）（4）正确.答案：C点评：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据.例2对于a＞0,a≠1,下列结论正确的是（）（1）若M=N,则logaM=logaN（2）若logaM=logaN,则M=N（3）若logaM2=logaN2,则M=N（4）若M=N,则logaM2=logaN2A.（1）（3）B.（2）（4）C.（2）D.（1）（2）（4）活动：学生思考,讨论,交流,回答,教师及时评价.回想对数的有关规定.对（1）若M=N,当M为0或负数时logaM≠logaN,因此错误;对（2）根据对数的定义,若logaM=logaN,则M=N,正确;对（3）若logaM2=logaN2,则M=±N,因此错误;对（4）若M=N=0时,则logaM2与logaN2都不存在,因此错误.综上,（2）正确.答案：C点评：0和负数没有对数,一个正数的平方根有两个.例3计算：(1)log927;(2)log81;(3)log(2-3);(4)log625.活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,学生展示自己的解题过程,教师及时评价学生.利用对数的定义或对数恒等式来解.求式子的值,首先设成对数式,再转化成指数式或指数方程求解.另外利用对数恒等式可直接求解,所以有两种解法.225\n解法一：(1)设x=log927,则9x=27,32x=33,所以x=;(2)设x=log81,则()x=81,3=34,所以x=16;(3)令x=log(2-)=log(2+)-1,所以(2+)x=(2+)-1,x=-1;(4)令x=log625,所以()x=625,5x=54,x=3.解法二：(1)log927=log933=log99=;(2)log81=log()16=16;(3)log(2-)=log(2+)-1=-1;(4)log625=log()3=3.点评：首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果,对数的定义是转化和对数恒等式的依据.变式训练课本P64练习3、4.知能训练1.把下列各题的指数式写成对数式:(1)42＝16;（2）30=1;（3）4x＝2;（4）2x＝0.5;(5)54=625;(6)3-2=;(7)()-2=16.解：(1)2＝log416;(2)0＝log31;(3)ｘ＝log4２;(4)ｘ＝log20.5;(5)4=log5625;(6)-2=log3;(7)-2=log16.2.把下列各题的对数式写成指数式:(1)ｘ＝log527;(2)ｘ＝log87;(3)ｘ＝log43;(4)ｘ＝log7;(5)log216=4;(6)log27=-3;(7)log=6;(8)logx64=-6;(9)log2128=7;(10)log327=a.解：(1)5x＝27;(2)8x＝７;(3)4x＝3;(4)7x＝;(5)24=16;(6)()-3=27;(7)()6=x;(8)x-6=64;(9)27=128;(10)3a=27.3.求下列各式中x的值:(1)log8x=;(2)logx27=;(3)log2（log5x）=1;(4)log3（lgx）=0.225\n解：(1)因为log8x=,所以x=8=(23)==2-2=;(2)因为logx27=,所以x=27=33,即x=(33)=34=81;(3)因为log2（log5x）=1,所以log5x=2,x=52=25;(4)因为log3（lgx）=0,所以lgx=1,即x=101=10.4.(1)求log84的值;(2)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.解：(1)设log84=x,根据对数的定义有8x=4,即23x=22,所以x=,即log84=;(2)因为loga2=m,loga3=n,根据对数的定义有am=2,an=3,所以a2m+n=(am)2·an=(2)2·3=4×3=12.点评：此题不仅是简单的指数与对数的互化,还涉及到常见的幂的运算法则的应用.拓展提升请你阅读课本75页的有关阅读部分的内容,搜集有关对数发展的材料,以及有关数学家关于对数的材料,通过网络查寻关于对数换底公式的材料,为下一步学习打下基础.课堂小结(1)对数引入的必要性；(2)对数的定义；(3)几种特殊数的对数；(4)负数与零没有对数；(5)对数恒等式；(6)两种特殊的对数.作业课本P74习题2.2A组1、2.【补充作业】1.将下列指数式与对数式互化,有x的求出x的值.（1）5=;（2）log24=x;（3）3x=;（4）()x=64;（5）lg0.0001=x;（6）lne5=x.解：（1）5=化为对数式是log5=;（2）x=log4化为指数式是()x=4,即2=22,=2,x=4;（3）3x=化为对数式是x=log3,因为3x=()3=3-3,所以x=-3;（4）()x=64化为对数式是x=log64,因为()x=64=43,所以x=-3;（5）lg0.0001=x化为指数式是10x=0.0001,因为10x=0.0001=10-4,所以x=-4;（6）lne5=x化为指数式是ex=e5,因为ex=e5,所以x=5.225\n2.计算的值.解：设x=log3,则3x=,(3)x=(),所以x=log.所以3===.3.计算(a>0,b>0,c>0,N>0).解：===N.设计感想本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上,为了运算的方便,引进了对数的概念,使学生感受到对数的现实背景,它有着丰富的内涵,和我们的实际生活联系密切,也是以后学习对数函数的基础,鉴于这种情况,安排教学时,无论是导入还是概念得出的过程,都比较详细,通俗易懂,要反复练习,要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别,结合指数式理解对数式,强化对数是一种运算,并注意对数运算符号的理解和记忆,多运用信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务,为下一节课作准备.(设计者：路致芳)225\n第2课时指数与指数幂的运算(2)导入新课思路1.碳14测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收,只要植物和动物生存着,它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后,即会停止吸收碳14,其组织内的碳14便以约5730年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量,便可推断其年代(半衰期:经过一定的时间,变为原来的一半).引出本节课题:指数与指数幂的运算之分数指数幂.思路2.同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂.推进新课新知探究提出问题(1)整数指数幂的运算性质是什么？(2)观察以下式子,并总结出规律：a＞0,①==a2=a;②==a4=a;③==a3=a;④==a5=a.(3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗？,,,(x>0,m,n∈N*,且n>1).(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？(5)你能推广到一般的情形吗？活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类比(2)的规律表示,借鉴(2)(3),我们把具体推广到一般,对写正确的同学及时表扬,其他学生鼓励提示.讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：an=a·a·a·…·a,a0=1(a≠0);00无意义;a-n=(a≠0);am·an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.(2)①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根.实质上①=a,②=a,③=a,④=a结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了,,,,形式上变了,本质没变.根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,225\n根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）.(3)利用(2)的规律,=5,=7,=a,=x.(4)53的四次方根是5,75的三次方根是7,a7的五次方根是a,xm的n次方根是x.结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.(5)如果a>0,那么am的n次方根可表示为m=a,即a=m(a>0,m,n∈N*,n>1).综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书:规定:正数的正分数指数幂的意义是a=m(a>0,m,n∈N*,n>1).提出问题①负整数指数幂的意义是怎样规定的?②你能得出负分数指数幂的意义吗?③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义?④综合上述,如何规定分数指数幂的意义?⑤分数指数幂的意义中,为什么规定a＞0,去掉这个规定会产生什么样的后果?⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?活动：学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来,与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,教师在黑板上板书,学生合作交流,以具体的实例说明a＞0的必要性,教师及时作出评价.讨论结果：①负整数指数幂的意义是:a-n=(a≠0),n∈N*.②既然负整数指数幂的意义是这样规定的,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义.规定:正数的负分数指数幂的意义是a==(a>0,m,n∈N*,n>1).③规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.④教师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是a=(a>0,m,n∈N*,n>1),正数的负分数指数幂的意义是a==(a>0,m,n∈N*,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.⑤若没有a＞0这个条件会怎样呢?如(-1)=3-1=-1,(-1)=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零,如无a＞0的条件,比如式子3a2=|a|,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时,应把负号移到根式的外边,然后再按规定化成分数指数幂,也就是说,225\n负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数,而不是负数,负数只是出现在指数上.⑥规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质:（1）ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q),（2）(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q),（3）(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题,来看下面的例题.应用示例思路1例1求值:①8;②25③()-5;④().活动：教师引导学生考虑解题的方法,利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式,根据题目要求,把底数写成幂的形式,8写成23,25写成52,写成2-1,写成()4,利用有理数幂的运算性质可以解答,完成后,把自己的答案用投影仪展示出来.解：①8=(23)=2=22=4;②25=(52)=5=5-1=;③()-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;④()=()=()-3=.点评：本例主要考查幂值运算,要按规定来解.在进行幂值运算时,要首先考虑转化为指数运算,而不是首先转化为熟悉的根式运算,如8===4.例2用分数指数幂的形式表示下列各式.a3·;a2·;(a>0).活动：学生观察、思考,根据解题的顺序,把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算,根式化为分数指数幂时,要由里往外依次进行,把握好运算性质和顺序,学生讨论交流自己的解题步骤,教师评价学生的解题情况,鼓励学生注意总结.解：a3·=a3·a=a=a;a2·=a2·a=a=a;=(a·a)=(a)=a.点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分数指数又有根式,225\n也不能既有分母又有负指数.例3计算下列各式（式中字母都是正数）:（1）(2ab)(-6ab)÷(-3ab);（2）(mn)8.活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的,整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序,再解答,把自己的答案用投影仪展示出来,相互交流,其中要注意到（1）小题是单项式的乘除运算,可以用单项式的乘除法运算顺序进行,要注意符号,第（2）小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进行计算,熟悉后可以简化步骤.解：（1）原式=［2×(-6)÷(-3)］ab=4ab0=4a;（2）(mn)8=(m)8(n)8=mn=m2n-3=.点评：分数指数幂不表示相同因式的积,而是根式的另一种写法.有了分数指数幂,就可把根式转化成分数指数幂的形式,用分数指数幂的运算法则进行运算了.本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用.变式训练求值:(1)3··;(2).解：(1)3··=3·3·3·3=3=32=9；(2)=(=(===.例4计算下列各式:（1）()÷;（2）(a＞0）.活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,化为同底.利用分数指数幂计算,在第（1）小题中,只含有根式,且不是同次根式,比较难计算,但把根式先化为分数指数幂再计算,这样就简便多了,第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,最后写出解答.解：（1）原式=(25-125)÷25=(5-5)÷5225\n=5-5=5-5=-5;（2）==a=a=.思路2例1比较,,的大小.活动：学生努力思考,积极交流,教师引导学生解题的思路,由于根指数不同,应化成统一的根指数,才能进行比较,又因为根指数最大的是6,所以我们应化为六次根式,然后,只看被开方数的大小就可以了.解：因为==,=,而125＞123＞121,所以>>.所以>>.点评：把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法.例2求下列各式的值:(1);(2)2××.活动：学生观察以上几个式子的特征,既有分数指数幂又有根式,应把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,如果根式中根指数不同,也应化成分数指数幂,然后分析解答,对(1)应由里往外=,对(2)化为同底的分数指数幂,及时对学生活动进行评价.解：(1)=［34×(3)］=(3)=(3)=3=;(2)=2×3×()×(3×22)=2·3=2×3=6.例3计算下列各式的值:（1）［(ab2)-1·(ab-3)(b)7］;（2）;(3).活动：先由学生观察以上三个式子的特征,然后交流解题的方法,把根式用分数指数幂写出,利用指数的运算性质去计算,教师引导学生,强化解题步骤,对(1)先进行积的乘方,再进行同底数幂的乘法,最后再乘方,或先都乘方,再进行同底数幂的乘法,对（2）把分数指数化为根式,225\n然后通分化简,对（3）把根式化为分数指数,进行积的乘方,再进行同底数幂的运算.解：(1)原式=(ab2)(ab-3)·(b)=ababb=ab=ab0=a;另解：原式=(ab-2ab·b)=(ab)=(a2b0)=a;（2）原式======;（3）原式=（ab）-3÷(b-4a-1)=ab-2÷b-2a=ab-2+2=a-1=.例4已知a＞0,对于0≤r≤8,r∈N*,式子()8-r·r能化为关于a的整数指数幂的情形有几种？活动：学生审题,考虑与本节知识的联系,教师引导解题思路,把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,即先把根式转化为分数指数幂,再进行幂的乘方,化为关于a的指数幂的情形,再讨论,及时评价学生的作法.解：()8-r·r=a·a=a=a.16-3r能被4整除才行,因此r=0,4,8时上式为关于a的整数指数幂.点评：本题中确定整数的指数幂时,可由范围的从小到大依次验证,决定取舍.利用分数指数幂进行根式运算时,结果可以化为根式形式或保留分数指数幂的形式.例5已知f（x）=ex－e-x,g（x）=ex+e-x.（1）求［f（x）］2－［g（x）］2的值；（2）设f（x）f（y）=4,g（x）g（y）=8,求的值.活动：学生观察题目的特点,说出解题的办法,整体代入或利用公式,建立方程,求解未知,如果学生有难度,教师可以提示引导,对（1）为平方差,利用公式因式分解可将代数式化简,对(2)难以发现已知和未知的关系,可写出具体算式,予以探求.解：(1)［f（x）］2－［g（x）］2=［f（x）+g（x）］·［f（x）－g（x）］=（ex－e-x+ex+e-x）（ex－e-x－ex－e-x）=2ex（－2e-x）=－4e0=－4;另解：(1)［f（x）］2－［g（x）］2=(ex-e-x)2-(ex+e-x)2=e2x-2exe-x+e-2x-e2x-2exe-x-e-2x=-4ex-x=-4e0=-4;(2)f（x）·f（y）=（ex－e-x）（ey－e-y）=ex+y+e-(x+y)－ex-y－e-(x-y)=g（x+y）－g（x－y）=4,225\n同理可得g（x）g（y）=g（x+y）+g（x－y）=8,得方程组解得g（x+y）=6,g（x－y）=2.所以==3.点评：将已知条件变形为关于所求量g（x+y）与g（x－y）的方程组,从而使问题得以解决,这种处理问题的方法在数学上称之为方程法,方程法所体现的数学思想即方程思想,是数学中重要的数学思想.知能训练课本P54练习1、2、3.［补充练习］教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答,教师巡视,启发,对做得好的同学给予表扬鼓励.1.(1)下列运算中,正确的是()A.a2·a3=a6B.(-a2)3=(-a3)2C.(-1)0=0D.(-a2)3=-a6(2)下列各式①,②③,④（各式的n∈N,a∈R）中,有意义的是()A.①②B.①③C.①②③④D.①③④(3)等于()A.aB.a2C.a3D.a4(4)把根式－2改写成分数指数幂的形式为()A.-2(a-b)B.-2(a-b)C.-2(a-b)D.-2(a-b)(5)化简（ab）（-3ab）÷（ab）的结果是()A.6aB.-aC.-9aD.9a2.计算：(1)0.027－（－）-2+256－3-1+（2－1）0=________.(2)设5x=4,5y=2,则52x-y=________.225\n3.已知x+y=12,xy=9且x＜y,求的值.答案：1.(1)D(2)B(3)B(4)A(5)C2.(1)19(2)83.解：==.因为x+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27.又因为x＜y,所以x-y=-2×33=-63.所以原式=.拓展提升1.化简.活动：学生观察式子特点,考虑x的指数之间的关系可以得到解题思路,应对原式进行因式分解,根据本题的特点,注意到:x-1=(x)3-13=(x-1)·(x+x+1);x+1=(x)3+13=(x+1)·(x-x+1);x-x=x［(x)2-1］=x(x-1)(x+1).构建解题思路教师适时启发提示.解：===x-1+x-x+1-x-x=-x.点拨:解这类题目,要注意运用以下公式,(a-b)(a+b)=a-b,(a±b)2=a±2ab+b,(a±b)(aab+b)=a±b.225\n2.已知a+a=3,探究下列各式的值的求法.(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3).解：(1)将a+a=3,两边平方,得a+a-1+2=9,即a+a-1=7;(2)将a+a-1=7两边平方,得a2+a-2+2=49,即a2+a-2=47;(3)由于a-a=(a)3-(a)3,所以有==a+a-1+1=8.点拨:对“条件求值”问题,一定要弄清已知与未知的联系,然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.课堂小结活动：教师,本节课同学们有哪些收获?请把你的学习收获记录在你的笔记本上,同学们之间相互交流.同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点:(1)分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是a=m(a>0,m,n∈N*,n>1),正数的负分数指数幂的意义是a==(a>0,m,n∈N*,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.(2)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.(3)有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r、s,均有下面的运算性质:①ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q),②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q),③(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).(4)说明两点:①分数指数幂的意义是一种规定,我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性,其中没有推出关系.②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用.因而分数指数幂与根式可以互化,也可以利用(an)==am来计算.作业课本P59习题2.1A组2、4.设计感想本节课是分数指数幂的意义的引出及应用,分数指数是指数概念的又一次扩充,要让学生反复理解分数指数幂的意义,教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解,用观察、归纳和类比的方法完成,由于是硬性的规定,没有合理的解释,因此多安排一些练习,强化训练,巩固知识,要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务.225\n(设计者：郝云静)第3课时指数与指数幂的运算(3)导入新课思路1.同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数,又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢?回顾数的扩充过程,自然数到整数,整数到分数(有理数),有理数到实数.并且知道,在有理数到实数的扩充过程中,增添的数是——实数.对无理数指数幂,也是这样扩充而来.既然如此,我们这节课的主要内容是:教师板书本堂课的课题(指数与指数幂的运算(3))之无理数指数幂.思路2.同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解,到了高中,我们又对函数的概念进行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几种简单的函数,如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要,随着科学的发展,社会的进步,我们还要学习许多函数,其中就有指数函数,为了学习指数函数的知识,我们必须学习实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂,因此我们本节课学习:指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂,教师板书本堂课的课题.推进新课新知探究提出问题①我们知道=1.41421356…,那么1.41,1.414,1.4142,1.41421,…,是的什么近似值？而1.42,1.415,1.4143,1.41422,…,是的什么近似值？②多媒体显示以下图表:同学们从上面的两个表中,能发现什么样的规律?的过剩近似值55的近似值1.511.180339891.429.829353281.4159.7508518081.41439.739872621.414229.7386186431.4142149.7385246021.41421369.7385183321.414213579.7385178621.4142135639.738177525的近似值的不足近似值9.5182696941.49.6726699731.419.7351710391.414225\n9.7383051741.41429.7384619071.4142139.7385089281.4142139.7385167651.41421359.7385177051.414213569.7385177361.414213562③你能给上述思想起个名字吗?④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如5,根据你学过的知识,能作出判断并合理地解释吗?⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗?活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容:问题①从近似值的分类来考虑,一方面从大于的方向,另一方面从小于的方向.问题②对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联.问题③上述方法实际上是无限接近,最后是逼近.问题④对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释.问题⑤在③④的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般.讨论结果：①1.41,1.414,1.4142,1.41421,…这些数都小于,称的不足近似值,而1.42,1.415,1.4143,1.41422,…,这些数都大于,称的过剩近似值.②第一个表:从大于的方向逼近时,5就从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52的方向逼近5.第二个表:从小于2的方向逼近时,5就从51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421,…,即小于5的方向逼近5.从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面5从51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421,…,即小于5的方向接近5,而另一方面5从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于5的方向接近5,可以说从两个方向无限地接近5,即逼近5,所以5是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421,…,和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数的点从两个方向向表示5的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是5225\n一定是一个实数,即51.4<51.41<51.414<51.4142<51.41421<…<5<…<51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5.充分表明5是一个实数.③逼近思想,事实上里面含有极限的思想,这是以后要学的知识.④根据②③我们可以推断5是一个实数,猜测一个正数的无理数次幂是一个实数.⑤无理数指数幂的意义:一般地,无理数指数幂aα（a>0,α是无理数）是一个确定的实数.也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广,在数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义,知道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂.提出问题（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正数?（2）无理数指数幂的运算法则是怎样的?是否与有理数指数幂的运算法则相通呢?（3）你能给出实数指数幂的运算法则吗?活动：教师组织学生互助合作,交流探讨,引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳.对问题（1）回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明.对问题（2）结合有理数指数幂的运算法则,既然无理数指数幂aα（a>0,α是无理数）是一个确定的实数,那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似,并且相通.对问题（3）有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则,实数的运算法则自然就得到了.讨论结果：（1）底数大于零的必要性,若a=-1,那么aα是+1还是-1就无法确定了,这样就造成混乱,规定了底数是正数后,无理数指数幂aα是一个确定的实数,就不会再造成混乱.（2）因为无理数指数幂是一个确定的实数,所以能进行指数的运算,也能进行幂的运算,有理数指数幂的运算性质,同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则:①ar·as=ar+s(a>0,r,s都是无理数).②(ar)s=ars(a>0,r,s都是无理数).③(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r是无理数).（3）指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂.实数指数幂的运算性质:对任意的实数r,s,均有下面的运算性质:①ar·as=ar+s(a>0,r,s∈R).②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R).③(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).应用示例思路1例1利用函数计算器计算.（精确到0.001）（1）0.32.1;（2）3.14-3;（3）3.1;（4）.活动：教师教会学生利用函数计算器计算,熟悉计算器的各键的功能,正确输入各类数,225\n算出数值,对于（1）,可先按底数0.3,再按键,再按幂指数2.1,最后按,即可求得它的值；对于（2）,先按底数3.14,再按键,再按负号键,再按3,最后按即可;对于(3),先按底数3.1,再按键,再按34,最后按即可;对于（4）,这种无理指数幂,可先按底数3,其次按键,再按键,再按3,最后按键.有时也可按或键,使用键上面的功能去运算.学生可以相互交流,挖掘计算器的用途.答案：（1）0.32.1≈0.080;（2）3.14-3≈0.032;（3）3.1≈2.336;（4）≈6.705.点评：熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤,感受现代技术的威力,逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值,若保留小数点后n位,只需看第（n+1）位能否进位即可.例2求值或化简.(1)(a>0,b>0);(2)()(a>0,b>0);(3).活动：学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应使所化式子达到最简,对既有分数指数幂又有根式的式子,应该把根式统一化为分数指数幂的形式,便于运算,教师有针对性地提示引导,对(1)由里向外把根式化成分数指数幂,要紧扣分数指数幂的意义和运算性质,对(2)既有分数指数幂又有根式,应当统一起来,化为分数指数幂,对(3)有多重根号的式子,应先去根号,这里是二次根式,被开方数应凑完全平方,这样,把5,7,6拆成()2+()2,22+()2,22+()2,并对学生作及时的评价,注意总结解题的方法和规律.解：(1)=(ab)=a-2bab=ab=.点评：根式的运算常常化成幂的运算进行,计算结果如没有特殊要求,就用根式的形式来表示.(2)()=aabb=a0b0=.点评：化简这类式子一般有两种办法,一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数,另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数.(3)225\n==-+2--2+=0.点评：考虑根号里面的数是一个完全平方数,千万注意方根的性质的运用.例3已知x=(5-5),n∈N*,求(x+)n的值.活动：学生思考,观察题目的特点,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,5与5具有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示.x2=(5-5)2=(5-2·50+5)=(5+2+5-4)=(5+5)2-1.这时应看到1+x2=1+(-5)2=(5+5)2,这样先算出1+x2,再算出,带入即可.解：将x=(5-5)代入1+x2，得1+x2=1+(5-5)2=(5+5)n,所以(x+)n=［(5-5)+］n=［(5-5)+(5+5)］n=(5)n=5.点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法.思路2例1计算:(1);(2)125+()-2+343-();225\n(3)(-2xy)(3xy)；(4)(x-y)÷(x-y).活动：学生观察、思考,根式化成分数指数,利用幂的运算性质解题,另外要注意整体的意识,教师有针对性的提示引导,对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行,对(2)充分利用指数幂的运算法则来进行,对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行,对(4)要利用平方差公式先因式分解,并对学生作及时的评价.解：(1)=()+()+(0.0625)+1-=()2×+()+(0.5)+=++0.5+=5;(2)125+()-2+343-()=(53)+(2-1)-2+(73)-(3-3)=5+2-2×(-1)+7-3=25+4+7-3=33;(3)(-2xy)(3xy)=(-2×3)(xx·yy)==-6xy=;(4)(x-y)÷(x-y)=((x)2-(y)2)÷(x-y)=(x+y)(x-y)÷(x-y)=x+y.点评：在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式.例2化简下列各式:225\n(1);(2)(a3+a-3)(a3-a-3)÷［(a4+a-4+1)(a-a-1)］.活动：学生观察式子的特点,特别是指数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,这两题要注意分解因式,特别是立方和和立方差公式的应用,对有困难的学生及时提示:对(1)考查x2与x的关系可知x2=(x)3,立方关系就出来了,公式便可运用,对(2)先利用平方差,再利用幂的乘方转化为立方差,再分解因式,组织学生讨论交流.解：(1)原式====;(2)原式=［(a3)2-(a-3)2］÷［(a4+a-4+1)(a-a-1)］====a+a-1.点评：注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用,因为二项和、差公式,平方差公式一般在使用中一目了然,而对立方和立方差公式却一般不易观察到,a=(a)3还容易看出,对其中夹杂的数字m可以化为m·aa=m,需认真对待,要在做题中不断地提高灵活运用这些公式的能力.知能训练课本P59习题2.1A组3.利用投影仪投射下列补充练习:1.化简:(1+2)(1+2)(1+2)(1+2)(1+2)的结果是()A.(1-2)-1B.(1-2)-1C.1-2D.(1-2)分析:根据本题的特点,注意到它的整体性,特别是指数的规律性,我们可以进行适当的变形.因为(1+2)(1-2)=1-2,所以原式的分子分母同乘以(1-2),依次类推,所以==(1-2)-1.答案：A225\n2.计算(2)0.5+0.1-2+(2)-3π0+9-0.5+490.5×2-4.解：原式=()+100+()-3+49×=+100+-3++=100.3.计算(a≥1).解：原式=(a≥1).本题可以继续向下做,去掉绝对值,作为思考留作课下练习.4.设a>0,x=(a-a),则(x+)n的值为_______.分析:从整体上看,应先化简,然后再求值,这时应看到解：1+x2=1+(a-a)2=(a+a)2.这样先算出1+x2,再算出,将x=(a-a)代入1+x2,得1+x2=1+(a-a)2=(a+a)2.所以(x+)n=［(a-a)+(a+a)2］n=［(a-a)+(a+a)］n=a.答案：a拓展提升参照我们说明无理数指数幂的意义的过程,请你说明无理数指数幂的意义.活动：教师引导学生回顾无理数指数幂5的意义的过程,利用计算器计算出3的近似值,取它的过剩近似值和不足近似值,根据这些近似值计算的过剩近似值和不足近似值,利用逼近思想,“逼出”的意义,学生合作交流,在投影仪上展示自己的探究结果.解：3=1.73205080…,取它的过剩近似值和不足近似值如下表.的过剩近似值的过剩近似值的不足近似值的不足近似值1.83.4822022531.73.2490095851.743.3403516781.733.317278183225\n1.7333.3241834461.7313.3195783421.73213.322110361.73193.3216498491.732063.3220182521.732043.32197221.7320153.3219975291.7320493.3219929231.73205093.3219972981.73205073.3219968381.732050813.3219970191.732050793.321997045我们把用2作底数,的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数21.7,21.72,21.731,21.7319,…,同样把用2作底数,的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数:21.8,21.74,21.733,21.7321,…,不难看出的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多,即3的近似值精确度越高,以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2α会越来越趋近于同一个数,我们把这个数记为.即21.7<21.73<21.731<21.7319<…<<…<21.7321<21.733<21.74<21.8.也就是说是一个实数,=3.321997…也可以这样解释:当3的过剩近似值从大于的方向逼近时,的近似值从大于的方向逼近；当3的不足近似值从小于的方向逼近时,的近似值从小于的方向逼近.所以就是一串有理指数幂21.7,21.73,21.731,21.7319,…,和另一串有理指数幂21.8,21.74,21.733,21.7321,…,按上述规律变化的结果,即≈3.321997.课堂小结(1)无理指数幂的意义.一般地,无理数指数幂aα（a>0,α是无理数）是一个确定的实数.(2)实数指数幂的运算性质:对任意的实数r,s,均有下面的运算性质:①ar·as=ar+s(a>0,r,s∈R).②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R).③(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).(3)逼近的思想,体会无限接近的含义.作业课本P60习题2.1B组2.设计感想无理数指数是指数概念的又一次扩充,教学中要让学生通过多媒体的演示,理解无理数指数幂的意义,教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索,自己得出结论,加深对概念的理解,本堂课内容较为抽象,又不能进行推理,只能通过多媒体的教学手段,让学生体会,225\n特别是逼近的思想、类比的思想,多作练习,提高学生理解问题、分析问题的能力.备课资料历史上数学计算方面的三大发明你知道数学计算方面的三大发明吗?这就是阿拉伯数字、十进制和对数.研究自然数遇到的第一个问题是计数法和进位制的问题,我们采用的十进制是中国人的一大发明.在商代中期的甲骨文中已有十进制,其中最大的数是3万,印度最早到六世纪末才有十进制.但是,目前使用的计数法和阿拉伯数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0是印度人最早开始使用,后来传到阿拉伯,由阿拉伯人传到欧洲,并被欧洲人所接受.十进制位置计数法的诞生,是自然数发展史上的一次飞跃,同一个数字由于它所在的位置不同而有不同的值.无穷多个自然数可以用有限个符号来驾驭,所有的自然数都可以方便清楚地表示出来.16世纪前半叶,由于实际的需要,对计算技术的改进提出了前所未有的要求.这一时期计算技术最大的改进是对数的发明和应用,它的产生主要是由于天文和航海计算的迫切需要.为了简化天文航海方面所遇到的繁杂数值计算,自然希望将乘除法归结为简单的加减法.苏格兰数学家纳皮尔(Napier,J.1550~1617)在球面天文学的三角学研究中,首先发明了对数方法.1614年他在题为《奇妙的对数定理说明书》一书中,阐述了他的对数方法,对数的使用价值为纳皮尔的朋友——英国数学家布里格斯(Birggs,H.1561~1630)所认识,他与纳皮尔合作,并于1624年出版了《对数算术》一书,公布了以10为底的14位对数表,并称以10为底的对数为常用对数.常用对数曾经在简化计算上为人们做过重大贡献,而自然对数以及以e为底的指数函数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具.恩格斯曾把对数的发明与解析几何的创始,微积分学的建立并称为17世纪数学的三大成就.法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾说:“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命.”一直到18世纪,瑞士数学家欧拉(Euler,L.1707~1783)才发现了指数与对数的关系,他指出“对数源出于指数”,这个见解很快被人们所接受.(设计者：邓新国)本章复习整体设计教学分析函数是描述客观世界变化规律的重要的数学模型,面对纷繁复杂的变化现象,我们还可以根据变化现象懂得不同特征进行分类研究.而指数函数、对数函数以及幂函数是研究客观世界的变化规律的三类重要且常用的基本初等函数,本章学习了这三类基本初等函数的概念和性质,因此我们对这一些基本知识和三类基本初等函数学完的前提下,综合复习所学知识,进行知识梳理和整合,同时通过进行知识梳理和整合,使学生形成知识网络,强化数学思想和方法的运用,通过复合函数和抽象函数的复习,提高学生的综合能力.三维目标1.理解指数与对数,指数函数与对数函数及幂函数的概念和联系,通过提问,提高学生的认知水平,为学生塑造良好的数学认知结构.2.让学生熟悉,能更加熟练地解决与指数函数、对数函数、幂函数有关的问题,培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力.3.对复合函数,抽象函数有一个新的认识,培养学生分析、解决问题和交流以及分类讨论的能力.重点难点教学重点：指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质.225\n教学难点：灵活运用函数性质解决有关问题.课时安排1课时教学过程应用示例思路1例1计算:(1)［(3)(5)0.5+(0.008)÷(0.02)×(0.32)］÷0.06250.25;（2）.活动：学生观察、思考,学生观察式子的特点,特别是指数和真数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,对有困难的学生及时提示,组织学生讨论交流,并对学生作及时的评价.解：(1)原式=［()3×()·()2×0.5+(0.2)3×()÷(0.2)］÷(0.5)4×=［×+52÷］÷0.5=+10=.（2）====.点评：在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式,注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用.变式训练如果已知log5427＝a,54b＝3,如何用a、b表示log10881?解法一：由54b＝3得log543＝b.所以log10881＝＝==.解法二：由log5427=a,得54a=27,设x=log10881,则108x=81,所以(542×27-1)x=3×27,即(542×54-a)x=54b×54a.所以542x-ax=54a+b,即2x-ax=a+b.因此,得x=.点评：解法一是通过指数化成对数,再由对数的运算性质和换底公式计算结果;225\n解法二是通过对数化成指数,再由指数的运算性质计算出结果,但解法二运算的技巧性较大.例2已知a＞0,a≠1,x=,求(x+)n的值.活动：学生思考,观察题目的特点,教师引导学生考虑问题的思路,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,a与a具有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路,必要时给予提示.x2-1=(a+a)2-1=(a+2·a0+a)-1=(a-2·a0+a)=(a-a)2.这时应看到==|a-a|.解：将x=(a+a)代入x2-1,得x2-1=(a+a)2-1=(a-a)2.所以==|a-a|,x+=(a+a)+|a-a|=所以(x+)n=点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法.例3若函数f(x)的定义域是(,3］,求f(log3x)的定义域.活动：学生思考,小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价.根据你的学习经历,回顾求一个函数的定义域的方法.已知抽象函数f(x)的定义域,求抽象函数f［g(x)］的定义域,要借助于f(x)的定义域来求,由于函数f(x)的定义域是(,3］,所以f(log3x)中的log3x的范围就是(,3］,从中解出x,即为f(log3x)的定义域.解：因为函数f(x)的定义域为(,3］,所以f(log3x)中的log3x的范围就是(,3］,即0.5＜log3x≤3,即＜x≤9.因此函数f(log3x)定义域为(3,9］.点评：求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围,对复合函数的定义域要严格注意对应法则.225\n变式训练1.求函数y=的定义域.2.求函数f(x)=的定义域.答案：1.{x|x≠0且x≠1}.2.{x|x≤0}.思路2例1求函数y=的定义域、值域和单调区间.活动：学生观察,思考交流,独立解题,教师要求学生展示自己的思维过程.求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围;函数的值域要根据定义域来求;求函数的单调区间一般用定义法,有时也借助复合函数的单调性.由于自变量处在指数位置上,分母是一个指数式,因此自变量取值无限制;值域转化为二次函数,单调区间用复合函数的单调性确定.解：函数y=的定义域是全体实数,因为y===［()x］2≥,所以函数的值域为［,+∞).设u=()x,则它在(-∞,+∞)上单调递减,而二次函数y=(u)2在u≤时是减函数,在u≥时是增函数,令()x≤,则x≥1,令()x≥,则x≤1,所以函数y=在［1,+∞)上是增函数,在(-∞,1］上是减函数.点评：这里求函数值域的方法是配方法,求单调区间是用复合函数的单调性确定的.例2已知函数f(x)=x(+).(1)指出函数的奇偶性,并予以证明；(2)求证：对任何x(x∈R且x≠0),都有f(x)＞0.解：(1)因为f(x)的定义域是不为0的实数,关于原点对称,又f(-x)=-x(+)=x()=x(-1+)=x(+)=f(x),所以f(x)是偶函数.(2)当x＞0时,2x＞1,所以f(x)＞0.当x＜0时,由f(x)为偶函数,有f(x)=f(-x)＞0.所以对一切x∈R,x≠0,恒有f(x)＞0.225\n点评：利用函数的奇偶性常可使解法简化,如本题,当x＜0时,证明f(x)＞0较繁,若注意到f(x)为偶函数,则只需证明当x＞0时,f(x)＞0,而这是显然的.知能训练课本P82复习参考题A组1、3、4、6、8、10.拓展提升问题：已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点,过A作x轴的垂线,垂足为E,过点B作y轴的垂线,交EA于C,若C恰好在函数y=log2x的图象上,试求A、B、C三点的坐标.活动：学生先仔细审题,理解题目的含义,然后思考交流,教师适当时候提示指导.画出函数的图象,设出点的坐标,由图形间的关系建立方程求解.解：先画出函数的图象如图.图2-1设A(x1,log8x1)、B(x2,log8x2),则C(x1,log8x2).因为C在函数y=log2x的图象上,所以log8x2=log2x1,即log2x2=log2x1.所以x2=x13.又=,即=,所以x1log8x13=x13log8x1.所以3x1log8x1=x13log8x1.由x1>1,所以log8x1≠1.从而有3x1=x13.所以x1=,x2=3.所以A、B、C三点的坐标分别为A(,log83)、B(3,log83)、C(,log2).课后作业课本P82复习参考题A组2、5、7、9.设计感想本堂课是对过去学过的一章知识进行复习,目的是构建知识体系,形成知识网络,总结解题的方法规律和思想,以便综合运用这些知识,使学生能够见题想法,见题有法,能够做到一题多解,触类旁通,由于涉及的知识点和方法思想较多,所以设计的题目也较多,要注意解题方法的总结和提炼,希望加快处理速度,提高课堂复习效果,做到以不变应万变,使全体同学在知识和技能上都有较大的提高.习题详解(课本第82页复习参考题)A组225\n1.（1）11；（2）；（3）；（4）.2.（1）原式===;（2）原式===.3.（1）因为lg2=a,lg3=b,log125===,所以log125=.（2）因为log23=a,log37=b,log1456=====.4.（1）（-∞,）∪（,+∞）;（2）［0,+∞）.5.（,1）∪（1,+∞）;（2）（-∞,2）;（3）（-∞,1）∪（1,+∞）.6.（1）因为log67>log66=1,所以log67>1.又因为log76log76.（2）因为log3π>log33=1,所以log3π>1.又因为log20.8<0,所以log3π>log20.8.7.证明：（1）因为f（x）=3x,所以f（x）·f（y）=3x×3y=3x+y.又因为f（x+y）=3x+y,所以f（x）·f（y）=f（x+y）.（2）因为f（x）=3x,所以f（x）÷f（y）=3x÷3y=3x-y.又因为f（x-y）=3x-y,所以f（x）÷f（y）=f（x-y）.8.证明:因为f（x）=lg,a、b∈（-1,1）,所以f（a）+f（b）=lg=lg,f（）=lg（）225\n=lg=lg.所以f（a）+f（b）=f（）.9.（1）设保鲜时间y关于储藏温度x的函数解析式为y=k·ax（a>0,且a≠1）.因为点（0,192）、（22,42）在函数图象上,所以解得所以y=192×0.93x,即所求函数解析式为y=192×0.93x.（2）当x=30℃时,y≈22（小时）；当x=16℃时,y≈60（小时）,即温度在30℃和16℃的保鲜时间约为22小时和60小时.（3）图象如图：图2-210.解析：设所求幂函数的解析式为f（x）=xα,因为f（x）的图象过点（2,）,所以=2α,即2=2α.所以α=.所以f（x）=x（x>0）.图略,f(x)为非奇非偶函数；同时它在（0,+∞）上是减函数.B组1.A2.因为2a=5b=10,所以a=log210,b=log510,所以+=+=lg2+lg5=lg10=1.3.（1）f（x）=a在x∈（-∞,+∞）上是增函数.证明：任取x1,x2∈（-∞,+∞）,且x10.25-0.2.(3)首先比较指数相同的两个数的大小,考察函数y=x0.3的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为0.2＜0.3,所以0.20.3<0.30.3.再比较同底数的两个数的大小,考察函数y=0.3x的单调性,它在定义域内函数单调递减,又因为0.2＜0.3,所以0.30.3<0.30.2.所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.另外,本题还有图象法,计算结果等方法,留作同学们自己完成.点评：指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性；底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性.知能训练1.下列函数中,是幂函数的是()A.y=2xB.y=2x3C.y=D.y=2x2.下列结论正确的是()A.幂函数的图象一定过原点B.当α<0时,幂函数y=xα是减函数C.当α>0时,幂函数y=xα是增函数D.函数y=x2既是二次函数,也是幂函数3.下列函数中,在(-∞,0)是增函数的是()A.y=x3B.y=x2C.y=D.y=x4.已知某幂函数的图象经过点(2,),则这个函数的解析式为.答案：1.C2.D3.A4.y=x拓展提升分别在同一坐标系中作出下列函数的图象,通过图象说明它们之间的关系.①y＝x-1,y＝x-2,y=x-3;②y＝x,y＝x;③y=x,y=x2,y=x3;④y=x,y＝x.活动：学生思考或交流,探讨作图的方法,教师及时提示,必要时,利用几何画板演示.225\n解：利用描点法,在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如图2-3-2、图2-3-3，图2-3-4、图2-3-5.图2-3-2图2-3-3图2-3-4图2-3-5①观察图2-3-2得到:函数y＝x-1、y＝x-2、y=x-3的图象都过点(1,1),且在第一象限随x的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近x轴,向上无限接近y轴,指数越小,向右无限接近x轴的图象在下方,向上离y轴越远.②观察图2-3-3得到:函数y＝x、y＝x的图象都过点(1,1),且在第一象限随x的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近x轴,向上无限接近y轴,指数越小,向右无限接近x轴的图象在下方,向上离y轴越远.③观察图2-3-4得到:函数y=x、y=x2、y=x3的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间［0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象下凸越大,在第一象限来看,图象向上离y轴近,向下离y轴近.④观察图2-3-5得到:函数y=x、y＝x的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间［0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象上凸越大,在第一象限来看,图象在点(1,1)的左边离y轴近,在点(1,1)的右边离x轴近.根据上述规律可以判断函数图象的分布情况.课堂小结1.幂函数的概念.2.幂函数的性质.3.幂函数的性质的应用.作业课本P87习题2.31、2、3.225\n设计感想幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数,课本内容较少,但高考内容不少,应适当引申,所以设计了一些课本上没有的题目类型,以扩展同学们的视野,同时由于作图的内容较多,建议抓住关键点作图,要会熟练地运用计算机或计算器作图,强化对知识的理解.习题详解(课本第79页习题2.3)1.函数y=是幂函数.2.解析:设幂函数的解析式为f（x）=xα,因为点（2,）在图象上,所以=2α.所以α=,即幂函数的解析式为f（x）=x,x≥0.3.（1）因为流量速率v与管道半径r的四次方成正比,所以v=k·r4；（2）把r=3,v=400代入v=k·r4中,得k=＝,即v=r4；（3）把r=5代入v=r4,得v=×54≈3086（cm3/s）,即r=5cm时,该气体的流量速率为3086cm3/s.225\n第三章函数的应用本章教材分析函数的应用是学习函数的一个重要方面.学生学习函数的应用,目的就是利用已有的函数知识分析问题和解决问题.通过函数的应用,对完善函数的思想，激发应用数学的意识,培养分析问题、解决问题的能力，增强实践的能力等，都有很大的帮助.本章主要内容：函数与方程、函数模型及其应用、实习作业和小结.在函数与方程这一节中课本从学生最熟悉的二次函数入手，通过研究方程的根与函数的零点的关系，使函数的图象与性质得到充分的应用，同时也展现了函数和方程的密切关系.求函数零点的近似解不仅展示了数学方法的严谨性、科学性，也为计算机的应用提供了广阔的空间.让学生进一步受到数学思想方法的熏陶，激发学生的学习热情.在函数模型及其应用这一节中让学生近距离接近社会生活，从生活中学习数学，使数学在社会生活中得到应用和提高，让学生体会到数学是有用的，从而培养学生的学习兴趣.“数学建模”也是高考考查的重点.本章还是数学思想方法的载体，学生在学习中会经常用到“函数方程思想”“数形结合思想”“转化思想”,从而提高自己的数学能力.因此应从三个方面把握本章：(1)知识间的联系;(2)数学思想方法;(3)认知规律.本章教学时间约需9课时，具体分配如下(仅供参考)：3.1函数与方程约3课时3.2函数模型及其应用约4课时实习作业约1课时本章复习约1课时3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点整体设计教学分析函数作为高中的重点知识有着广泛应用，与其他数学内容有着有机联系.课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.本节设计特点是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是：“数形结合”思想和“转化”思想.本节充分体现了函数图象和性质的应用.因此，把握课本要从三个方面入手：新旧知识的联系，学生认知规律，数学思想方法.另外，本节也是传统数学方法与现代多媒体完美结合的产物.三维目标1.让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图象性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点.2.通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界.3.通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性,体会这些给他们带来的快乐.重点难点根据二次函数图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数;函数零点的概念.课时安排优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n2课时教学过程第1课时方程的根与函数的零点导入新课思路1.(情景导入)据新华社体育记者报道：昨晚足球比赛跌宕起伏，球迷经历了大喜到大悲,再到大喜的过程(领先则喜，落后即悲).请问：整场足球比赛出现几次“比分相同”的时段?学生思考或讨论回答：三次:(1)开场;(2)由领先到落后必经过“比分相同”时段;(3)由落后到领先必经过“平分”时段.教师点拨：足球比赛有“落后”“领先”“比分相同”,函数值有“负”“正”“零”,函数图象与足球比赛一样跌宕起伏.由此导入课题,为后面学习埋好伏笔.思路2.(事例导入)(多媒体动画演示)一枚炮弹从地面发射后，炮弹的高度随时间变化的函数关系式为h=20t-5t2,问炮弹经过多少秒回到地面？炮弹回到地面即高度h=0，求方程20t-5t2=0的根,得t=4秒.如图3-1-1-1.图3-1-1-1思路3.(直接导入)教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点.推进新课新知探究提出问题①求方程x2-2x-3=0的根，画函数y=x2-2x-3的图象.②求方程x2-2x+1=0的根，画函数y=x2-2x+1的图象.③求方程x2-2x+3=0的根，画函数y=x2-2x+3的图象.④观察函数的图象发现：方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系?⑤如何判断一元二次方程根的个数，如何判断二次函数图象与x轴交点的个数，它们之间有什么关系?⑥归纳函数零点的概念.⑦怎样判断函数是否有零点？⑧函数的图象不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路:问题①:先求方程的两个根，找出抛物线的顶点,画出二次函数的图象(图3-1-1-2).问题②:方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上(图3-1-1-3).优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n问题③:方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是画二次函数图象的关键(图3-1-1-4).问题④:方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标都是实数.问题⑤:对于其他函数这个结论正确吗？问题⑥:函数的零点是一个实数.问题⑦:可以利用“转化思想”.问题⑧:足球比赛中从落后到领先是否一定经过“平分”？由此能否找出判断函数是否有零点的方法？函数图象穿过x轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？讨论结果：①方程的两个实数根为-1，3.②方程的实数根为1.③方程没有实数根.④方程的根就是函数的图象与x轴交点的横坐标.⑤一元二次方程根的个数，就是二次函数图象与x轴交点的个数，可以用判别式来判定一元二次方程根的个数.a.当Δ>0时，一元二次方程有两个不等的实根x1、x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1,0)、(x2,0);b.当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实根x1=x2，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1,0);c.当Δ<0时，一元二次方程没有实根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点.⑥一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.⑦方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.⑧观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象，我们发现函数f(x)=x2-2x-3在区间［-2,1］上有零点.计算f(-2)与f(1)的乘积，发现这个乘积特点是小于零.在区间［2,4］同样如此.可以发现，f(-2)f(1)<0,函数y=x2-2x-3在区间(-2，1)内有零点x=-1，它是方程x2-2x-3=0的一个根.同样地，f(2)f(4)<0，函数y=x2-2x-3在(2，4)内有零点x=3,它是方程x2-2x-3=0的另一个根.图3-1-1-2图3-1-1-3图3-1-1-4应用示例思路1例1已知函数f(x)=|x2-2x-3|-a分别满足下列条件，求实数a的取值范围.(1)函数有两个零点;(2)函数有三个零点;(3)函数有四个零点.活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.因为函数f(x)=|x2-2x-3|-a的零点个数不易讨论，所以可转化为方程|x2-2x-3|-a=0根的个数来讨论，即转化为方程|x2-2x-3|=a的根的个数问题,再转化为函数f(x)=|x2-2x-3|与函数f(x)=a交点个数问题.解：设f(x)=|x2-2x-3|和f(x)=a分别作出这两个函数的图象(图3-1-1-5)优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n，它们交点的个数，即函数f(x)=|x2-2x-3|-a的零点个数.图3-1-1-5(1)若函数有两个零点，则a=0或a>4.(2)若函数有三个零点，则a=4.(3)函数有四个零点,则00,所以一元二次方程2x2-3x-2=0有两个不相等的实根，所以函数f(x)=2x2-3x-2有两个零点.证法二:因为一元二次方程2x2-3x-2=0可化为(2x+1)(x-2)=0,所以一元二次方程2x2-3x-2=0有两个不相等的实根x1=2,x2=.所以函数f(x)=2x2-3x-2有两个零点.证法三:因为函数f(x)=2x2-3x-2的图象是一条开口向上的抛物线，且顶点在x轴的下方,即f(0)=-2<0,所以函数f(x)=2x2-3x-2有两个零点.如图3-1-1-6.图3-1-1-7点评：判断函数零点个数可以结合函数的图象.方法：零点函数方程的根两图象交点.数学思想：转化思想和数形结合思想.例2若关于x的方程3x2-5x+a=0的一根在(-2，0)内，另一个根在(1，3)内，求a的取值范围.活动：学生自己思考或讨论，再写出(最好用实物投影仪展示写的正确的答案).优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正,并及时评价.如果用求根公式与判别式来做，运算量很大,能否将问题转化？借助二次函数的图象，从图象中抽出与方程的根有关的关系式，使得问题解答大大简化.引导学生画出函数的图象观察分析.解：设f(x)=3x2-5x+a,则f(x)为开口向上的抛物线,如图3-1-1-8：图3-1-1-8因为f(x)=0的两根分别在区间(-2，0)、(1，3)内，所以即故所求a的取值范围是-121.由Δ=0,得1+8a=0,a=优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n∴方程为x2-x-1=0,即x=-2(0,1)(舍去).综上可得a>1.(2)当方程2ax2-x-1=0在(0，1)内有两个解时，则或容易解得实数a不存在.综合(1)(2),知a>1.变式训练若方程ax2+3x+4a=0的根都小于1，求实数a的取值范围.解：(1)当a=0时，x=0满足题意.(2)当a≠0时，设f(x)=ax2+3x+4a.方法一:若方程ax2+3x+4a=0的根都小于1，则∴∴00),方程f(x)-x=0的两个根为x1、x2,满足00,即f(x)-x>0.又∵f(x)-x=a(x1-x)(x2-x)0.故=x0+>x0,即x0<.变式训练1.已知二次函数f(x)满足f(3-x)=f(3+x),且其两零点分别为x1、x2,求x1+x2.解：∵对任意x都有f(3-x)=f(3+x)，∴函数f(x)的图象上有两点(3-x,y)、(3+x,y)关于x=3对称.∴二次函数f(x)的对称轴为x=3.∵x1、x2为二次函数f(x)的两个零点，∴x1+x2=6.2.若函数f(x)满足f(3-x)=f(3+x)，且函数f(x)有6个零点，求所有零点的和.解：同理函数f(x)的对称轴为x=3，∴3(x1+x2)=18.点评：①二次函数的双根与二次函数解析式的关系是：若二次项系数为a,两个根为x1、x2,则二次函数解析式为f(x)=a(x-x1)(x-x2).②二次函数的双根与二次函数对称轴的关系是：二次函数f(x)的对称轴为x=.总之：二次函数的双根是联系函数与方程的桥梁和纽带，应仔细体会、准确把握.知能训练讨论函数y=ex+4x-4的零点的个数.活动：鼓励学生说出自己的见解，并说明理由.函数零点问题是函数的重要应用，离不开函数的图象和性质.(1)利用f(a)f(b)<0及函数的单调性.(2)作出y=ex和y=4-4x的图象，把函数y=ex+4x-4的零点的个数转化为方程ex=4-4x根的个数，再转化为上述两函数图象交点的个数.解：(方法一)利用计算机作出x，f(x)的对应值表：优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\nx01f(x)-32.71828由表和图可知，f(0)<0,f(1)>0,则f(0)f(1)<0，这说明f(x)在区间(0,1)内有零点,由于函数在定义域(-∞,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.(方法二)作出y=ex和y=4-4x的图象(图3-1-1-10),即可直观地看出零点的个数为1.图3-1-1-10总结点评：讨论函数零点个数问题是函数的重要应用，由于函数与方程的特殊关系，所以这个问题常用的方法是：(1)解方程;(2)画图象;(3)利用f(a)f(b)<0及函数的单调性;同时这些方法是有机联系的.拓展提升1.2007山东青岛高三教学质量检测,理19已知m∈R,设P:x1和x2是方程x2-ax-2=0的两个根,不等式|m-5|≤|x1-x2|对任意实数a∈［1，2］恒成立；Q：函数f(x)=3x2+2mx+m+有两个不同的零点,求使P和Q同时成立的实数m的取值范围.解：由题意知x1+x2=a,x1x2=-2,∴|x1-x2|==.当a∈［1,2］时,的最小值为3.要使|m-5|≤|x1-x2|对任意实数a∈［1，2］恒成立，只需|m－5|≤3,即2≤m≤8.由已知得Q中:f(x)=3x2+2mx+m+的判别式Δ=4m2-12(m+)=4m2-12m-16>0，得m<-1或m>4.综上，要使P和Q同时成立，只需解得实数m的取值范围是(4,8］.2.如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)>0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内是否有零点？可能有几个零点？活动：学生先思考或讨论，再回答.利用函数图象进行探索分析:①有没有零点？②零点的个数是奇数还是偶数？解析:零点个数可以是任意自然数.下面讨论在区间［-3,3］上函数零点个数，(1)可能没有零点如图(图3-1-1-11).优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n图3-1-1-11图3-1-1-12(2)可能有一个零点如图(图3-1-1-12).(3)可能有两个零点如图(图3-1-1-13).图3-1-1-13图3-1-1-14(4)可能有三个零点如图(图3-1-1-14).(5)可能有n(n∈N*)个零点,图略.点评：在区间［-3,3］上函数零点个数可以是任意自然数.借助计算机可以验证同学们的判断，激发学生学习兴趣.课堂小结本节学习了:①零点的概念;②零点的判断方法;③利用函数的单调性证明零点的个数;④零点的应用.学习方法：由特殊到一般的方法.数学思想：转化思想、数形结合思想.作业课本P88练习1.设计感想本节以事例导入,该事例是学生很感兴趣的话题,发人深思而紧贴本节主题,为后面讲解埋好了伏笔.因为二次函数、二次方程永远是高考的重点,所以本节结合二次函数的图象性质详实讨论了有关二次函数的零点和二次方程的根的问题.本节不仅选用了一些传统经典的题目进行方法总结,还搜集了一些最新的高三模拟题加以充实提高.另外,本节目的明确、层次分明、难度适中,对学生可能产生兴趣的问题进行了拓展,希望大家喜欢.(设计者：赵冠明)第2课时方程的根与函数的零点复习提出问题①已知函数f(x)=mx2+mx+1没有零点，求实数m的范围.②证明函数f(x)=x2+6x+10没有零点.③已知函数f(x)=2mx2-x+m有一个零点，求实数m的范围.④已知函数f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1有两个零点，求实数m的范围.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①因为Δ=m2-4m<0或m=0,∴0≤m<4.②因为Δ=36-40=-4<0,∴没有零点.③Δ=1-4m2=0或m=0,∴m=或m=或m=0.优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n④Δ=16m2-8(m+1)(2m-1)=-8m+8>0且2(m+1)≠0,∴m<1且m≠-1.导入新课思路1.(情景导入)歌中唱到：再“穿过”一条烦恼的河流明天就会到达，同学们知道生活中“穿过”的含义.请同学们思考用数学语言是怎样描述函数图象“穿过”x轴的？学生思考或讨论回答：利用函数值的符号，即f(a)f(b)<0.思路2.(直接导入)教师直接点出课题：这一节我们将进一步巩固有关方程的根与函数的零点的知识，总结求方程的根与函数的零点的方法，探寻其中的规律.推进新课新知探究提出问题①如果函数相应的方程不易求根，其图象也不易画出,怎样讨论其零点?②用数学语言总结判断零点存在性定理,并找出好的理解记忆方法.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①在闭区间［a,b］上，若f(a)f(b)<0，y=f(x)连续，则(a,b)内有零点.②如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.我们把它叫做零点存在性定理.因为闭区间端点符号相反的连续函数在开区间内有零点,可以简记为：“闭端反连(脸)，开内零点.”应用示例思路1例1求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数.活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示:因为方程lnx+2x-6=0的根不易求得，函数f(x)=lnx+2x-6的图象不易画出，如果不借助计算机，怎么判断零点个数？可以利用f(a)f(b)<0，及函数单调性.解：利用计算机作出x，f(x)的对应值表：x123456789f(x)-4-1.30691.09863.38635.60947.79189.945012.079414.1972由表和图3-1-1-15可知，f(2)<0,f(3)>0,则f(2)f(3)<0，这说明f(x)在区间(2,3)内有零点.由于函数在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.图3-1-1-15图3-1-1-16优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n变式训练证明函数f(x)=lgx+x-8有且仅有一个零点.证明:如图3-1-1-16,因为f(1)=-7,f(10)=3,∴f(1)f(10)<0.∴函数f(x)=lgx+x-8有一个零点.∵y=lgx为增函数，y=x-8是增函数，∴函数f(x)=lgx+x-8是增函数.∴函数f(x)=lgx+x-8有且仅有一个零点.点评：判断零点的个数:(1)利用零点存在性定理判断存在性;(2)利用单调性证明唯一性.例2已知函数f(x)=3x+,(1)判断函数零点的个数.(2)找出零点所在区间.解：(1)设g(x)=3x,h(x)=,作出它们的图象(图3-1-1-17)，两函数图象交点的个数即为f(x)零点的个数.所以两函数图象有且仅有一个交点，即函数f(x)=3x+有且仅有一个零点.图3-1-1-17(2)因为f(0)=-1,f(1)=2.5,所以零点x∈(0,1).变式训练证明函数f(x)=2x+4x-4有且仅有一个零点.证明:利用计算机作出x，f(x)的对应值表：x-101234567f(x)-7.5-32816284884172图3-1-1-18由表和图3-1-1-18可知，f(0)<0,f(1)>0,则f(0)f(1)<0，这说明f(x)在区间内有零点.下面证明函数在定义域(-∞,+∞)内是增函数.设x1,x2∈(-∞,+∞),且x10.∴f(x1)-f(x2)<0.∴函数在定义域(-∞,+∞)内是增函数.则函数f(x)=2x+4x-4有且仅有一个零点.思路2例1证明函数y=2|x|-2恰有两个零点.图3-1-1-19证明:如图3-1-1-19,∵f(-2)=2,f(0)=-1,f(2)=2,∴f(-2)f(0)<0,f(0)f(2)<0.∴函数y=2|x|-2有两个零点.要证恰有两个零点,需证函数y=2|x|-2在(0，+∞)上为单调的，函数y=2|x|-2在(-∞，0)上为单调的.∵在(0，+∞)上，函数y=2|x|-2可化为y=2x-1,下面证明f(x)=2x-1在(0，+∞)上为增函数.证明：设x1,x2为(0，+∞)上任意两实数，且00,2-x2-1<0.∴2(2-x2-1)<0.∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)0.∴f(x1)-f(x2)>0.∴函数f(x)=x+-3在(0，1)上为减函数.同理函数f(x)=x+-3在(1，+∞)上为增函数.∴函数f(x)=x+-3在(0，+∞)上恰有两个零点(如图3-1-1-20).图3-1-1-20点评：证明函数零点的个数是一个难点和重点，对于基本初等函数可以借助函数图象和方程来讨论.对于较复杂的函数证明函数恰有n个零点，先找出有n个，再利用单调性证明仅有n个.例2已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有三个零点，分别是0、1、2,如图3-1-1-21，求证:b<0.图3-1-1-21优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示:方法一：把零点代入，用a、c表示b.方法二：用参数a表示函数.证法一：因为f(0)=f(1)=f(2)=0,所以d=0,a+b+c=0,4a+2b+c=0.所以a=,c=b.所以f(x)=x(x2-3x+2)=x(x-1)(x-2).当x<0时，f(x)<0，所以b<0.证法二：因为f(0)=f(1)=f(2)=0,所以f(x)=ax(x-1)(x-2).当x>2时,f(x)>0,所以a>0.比较同次项系数，得b=-3a.所以b<0.变式训练函数y=ax2-2bx的一个零点为1，求函数y=bx2-ax的零点.答案:函数y=bx2-ax的零点为0、2.点评：如果题目给出函数的零点，这涉及到零点的应用问题.(1)可以考虑把零点代入用待定系数法解决问题.(2)利用零点的特殊性把解析式的设法简单化.知能训练1.函数f(x)=lgx-2x2+3的零点一定位于下列哪个区间?()A.(4,5)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)2.若函数f(x)=2mx+4在［-2,1］上存在零点，则实数m的取值范围是()A.［4］B.(-∞,-2］∪［1,+∞)C.［-1,2］D.(-2,1)3.已知函数f(x)=－3x5－6x＋1,有如下对应值表：x-2-1.5012f(x)10944.171-8-107函数y＝f(x)在哪几个区间内必有零点？为什么？答案:1.B2.B3.(0，1),因为f(0)·f(1)<0.点评：结合函数图象性质判断函数零点所在区间是本节重点，应切实掌握.拓展提升方程lnx+2x+3=0根的个数及所在的区间，能否进一步缩小根所在范围？分析：利用函数图象(图3-1-1-22)进行探索分析.图3-1-1-22解：(1)观察函数的图象计算f(1)、f(2),知f(x)=lnx+2x+3有零点.优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n(2)通过证明函数的单调性,知f(x)=lnx+2x+3有一个零点x∈(1,2).请同学们自己探究能否进一步缩小根所在范围？借助计算机可以验证同学们判断，激发学生学习兴趣.课堂小结(1)学会由函数解析式讨论零点个数，证明零点个数.(2)思想方法：函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想.作业课本P88练习2.设计感想如何用数学语言描述“穿过”是本节的关键，本节从导入开始让学生体会数学语言与文字语言的区别,并进一步让学生学会应用数学语言描述零点存在性定理.本节多次用计算机作图来感知函数零点，在零点证明题中又经常用到函数的单调性进行严格证明，所以本节是数与形的完美统一.优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n3.1.2用二分法求方程的近似解整体设计教学分析求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难.本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用.用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算.在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步.三维目标1.让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法.2.了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想.3.回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣.重点难点用二分法求方程的近似解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情景导入)师：(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔10元降低报价.生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价.如果低了，每50元上升；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……师：在现实生活中我们也常常利用这种方法.譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障，(相距大约3500米)电工是怎样检测的呢？是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测,还是按照生3那样来检测呢？生：(齐答)按照生3那样来检测.师：生3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件，区间逼近法).思路2.(事例导入)有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好.(让同学们自由发言，找出最好的办法)解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球.第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球.第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？推进新课新知探究提出问题优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n①解方程2x-16=0.②解方程x2-x-2=0.③解方程x3-2x2-x+2=0.④解方程(x2-2)(x2-3x+2)=0.⑤我们知道，函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？⑥“取中点”后，怎样判断所在零点的区间?⑦什么叫二分法?⑧试求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内零点的近似值.⑨总结用二分法求函数零点近似值的步骤.⑩思考用二分法求函数零点近似值的特点.讨论结果：①x=8.②x=-1,x=2.③x=-1,x=1,x=2.④x=,x=,x=1,x=2.⑤如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.〔“取中点”,一般地,我们把x=称为区间(a,b)的中点〕⑥比如取区间(2，3)的中点2.5,用计算器算得f(2.5)<0,因为f(2.5)·f(3)<0,所以零点在区间(2.5,3)内.⑦对于在区间［a,b］上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).⑧因为函数f(x)=lnx+2x-6，用计算器或计算机作出函数f(x)=lnx+2x-6的对应值表.x123456789f(x)-4-1.3061.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972由表可知，f(2)<0,f(3)>0,则f(2)·f(3)<0，这说明f(x)在区间内有零点x0，取区间(2，3)的中点x1=2.5,用计算器算得f(2.5)≈-0.084，因为f(2.5)·f(3)<0，所以x0∈(2.5,3).同理,可得表(下表)与图象(如图3-1-2-1).区间中点的值中点函数的近似值(2，3)2.5-0.084(2.5,3)2.750.512(2.5,2.75)2.6250.215(2.5,2.625)2.56250.066(2.5,2.5625)2.53-1-2-5-0.009(2.53-1-2-5,2.5625)2.5468750.029(2.53-1-2-5,2.546875)2.53906250.010(2.53-1-2-5,2.5390625)2.535156250.001优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n图3-1-2-1由于(2,3)(2.5,3)(2.5,2.75),所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见上表).这样，在一定的精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值.特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值.例如，当精确度为0.01时，由于|2.5390625-2.53-1-2-5|=0.0078125<0.01，所以，我们可以将x=2.53-1-2-5作为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值.⑨给定精度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：1°确定区间［a,b］，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε.2°求区间(a,b)的中点c.3°计算f(c):a.若f(c)=0，则c就是函数的零点；b.若f(a)·f(c)<0，则令b=c〔此时零点x0∈(a,c)〕；c.若f(c)·f(b)<0，则令a=c〔此时零点x0∈(c,b)〕.4°判断是否达到精度ε；即若|a-b|<ε，则得到零点值a(或b)；否则重复步骤2°~4°．⑩由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.应用示例思路1例1借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精确度为0.1).活动：①师生共同探讨交流，引出借助函数f(x)=2x+3x-7的图象，能够缩小根所在区间，并根据f(1)<0,f(2)>0,可得出根所在区间(1,2)；②引发学生思考，如何进一步有效缩小根所在的区间；③共同探讨各种方法，引导学生探寻出通过不断对分区间，有助于问题的解决；④用图例演示根所在区间不断被缩小的过程，加深学生对上述方法的理解；⑤引发学生思考在有效缩小根所在区间时，到什么时候才能达到所要求的精确度.学生简述上述求方程近似解的过程.解：原方程即2x+3x-7=0,令f(x)=2x+3x-7,用计算器或计算机做出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表与图象(3-1-2-2).x012345678f(x)-6-2310214075142273优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n图3-1-2-2观察图表可知f(1)·f(2)<0,说明这个函数在区间(1，2)内有零点x0.取区间(1，2)的中点x=1.5,用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5).再取区间(1，1.5)的中点x=1.25,用计算器算得f(1.25)≈-0.87.因为f(1.25)·f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5).同理,可得，x0∈(1.375,1.5)，x0∈(1.375,1.4375).由于|1.375-1.4375|=0.0625<0.1,所以，原方程的近似解可取为1.4375.例2利用计算器，求方程x2-2x-1=0的一个近似解(精确度0.1)．活动：教师帮助学生分析:画出函数f(x)=x2-2x-1的图象，如图3-1-2-3所示.从图象上可以发现，方程x2-2x-1=0的一个根x1在区间(2，3)内，另一个根x2在区间(-1，0)内.根据图象，我们发现f(2)=-1<0，f(3)=2>0，这表明此函数图象在区间(2，3)上穿过x轴一次，即方程f(x)=0在区间(2，3)上有唯一解.图3-1-2-3计算得f()=>0，发现x1∈(2，2.5)(如图3-1-2-3)，这样可以进一步缩小x1所在的区间.解：设f(x)=x2-2x-1，先画出函数图象的简图，如图3-1-2-3.因为f(2)=-1<0，f(3)=2>0，所以在区间(2，3)内，方程x2-2x-1=0有一解，记为x1.取2与3的平均数2.5，因为f(2.5)=0.25>0，所以20x1∈(2,3),优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\nf(2)<0,f(2.5)>0x1∈(2,2.5),f(2.25)<0，f(2.5)>0x1∈(2.25,2.5),f(2.375)<0，f(2.5)>0x1∈(2.375,2.5),f(2.375)<0，f(2.4375)>0x1∈(2.375,2.4375).因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为x1≈2.4.点评：利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.思路2例1利用计算器，求方程lgx=3-x的近似解(精确度0.1).活动：学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.分别画出y=lgx和y=3-x的图象，如图3124所示.在两个函数图象的交点处，函数值相等.因此，这个点的横坐标就是方程lgx=3-x的解.由函数y=lgx与y=3-x的图象可以发现，方程lgx=3-x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2，3)内.图3-1-2-4解：设f(x)=lgx+x-3，设x1为函数的零点即方程lgx=3-x的解.用计算器计算，得f(2)<0，f(3)>0x1∈(2,3)，f(2.5)<0，f(3)>0x1∈(2.5,3)，f(2.5)<0，f(2.75)>0x1∈(2.5,2.75)，f(2.5)<0，f(2.625)>0x1∈(2.5,2.625)，f(2.5625)<0，f(2.625)>0x1∈(2.5625,2.625).因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为x1≈2.6.例2求方程lnx-2x+3=0在区间［1,2］内的根(精确度0.1).解：设f(x)=lnx-2x+3,则原方程的根为函数f(x)的零点.设x1为函数的零点即方程lnx-2x+3=0的解.如图3-1-2-5,因为f(1)=1,f(2)=-0.306852819,所以f(1)f(2)<0,即函数f(x)在［1,2］内有一个零点.根据二分法，用计算器得出以下表格：xy112-0.3068528193-1.9013877114-3.6137056395-5.3905620886-7.2082405317-9.0540898518-10.92055846(步长为1)xy优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n111.550.4054651082-0.3068528192.5-1.0837092683-1.9013877113.5-2.74723703243.6137056394.5-4.495922603(步长为0.5)xy111.250.7231435511.50.4054651081.750.0596157872-0.3068528192.25-0.6890697832.5-1.0837092682.75-1.488399088(步长为0.25)xy111.1250.8677830351.250.7231435511.3750.5684537311.50.4054651081.6250.2355078151.750.0596157871.875-0.12139134(步长为0.125)xy1.50.4054651081.56250.3-2-1-2871021.6250.2355078151.68750.1482481431.750.0596157871.8125-0.0302928921.875-0.121391341.9375-0.213601517(步长为0.0625)由上述表格可以得到下表与图象3-1-2-5:区间中点的值中点函数近似值(1,2)1.50.405465108优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n(1.5,2)1.750.059615787(1.75,2)1.875-0.12139134(1.75,1.875)1.8125-0.030292892图3-1-2-5因为f(1.75)=0.059615787>0,f(1.8125)=-0.030292892<0,所以x1∈(1.75,1.8125).由于|1.8125-1.75|=0.0625<0.1,所以区间(1.75,1.8125)内的每一个实数都可以作为方程lnx-2x+3=0在区间［1,2］内的根.点评：①先设出方程对应的函数，画出函数的图象，初步确定解所在的区间,再用二分法求方程近似解.②二分法,即逐渐逼近的方法.③计算量较大，而且是重复相同的步骤，借助计算器或计算机完成计算比较容易.知能训练1.根据下表中的数据，可以断定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为()x-10123ex0.3712.277.3920.0x+212345A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)2.用二分法判断方程2x=x2的根的个数为()A.1B.2C.3D.4答案:1.C.设f(x)=ex-x-2,f(1)<0,f(2)>0,即f(1)f(2)<0,∴x∈(1,2).2.C.设f(x)=2x-x2(下表),画出函数y=2x与y=x2的图象(图3-1-2-6).x-1012345f(x)-0.5112-107优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n图3-1-2-6由图与表,知有三个根.拓展提升从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为多少？(此例既体现了二分法的应用价值，也有利于发展学生的应用意识)答案:至少需要检查接点的个数为4.课堂小结活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.引导方法：从基本知识基本技能和思想方法两方面来总结.①掌握用二分法求方程的近似解，及二分法的其他应用.②思想方法：函数方程思想、数形结合思想.作业课本P92习题3.1A组1、3.设计感想“猜价格”的游戏深受人们的喜欢,它是二分法的具体应用,用它引入拉近了数学与生活的距离.二分法是科学的数学方法，它在求方程的近似解和现实生活中都有着广泛的应用.本节设计紧紧围绕这两个中心展开，充分借助现代教学手段，用多种角度处理问题，使学生充分体会数学思想方法的科学性与完美性.习题详解(课本第88页练习)1.(1)令f(x)=-x2+3x+5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(1))，它与x轴有两个交点，所以方程-x2+3x+5=0有两个不相等的实数根.(2)2x(x-2)=-3可化为2x2-4x+3=0，令f(x)=2x2-4x+3,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(2))，它与x轴没有交点，所以方程2x(x-2)=-3无实数根.(3)x2=4x-4可化为x2-4x+4=0,令f(x)=x2-4x+4,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(3))，它与x轴只有一个交点(相切)，所以方程x2=4x-4有两个相等的实数根.(4)5x2+2x=3x2+5可化为2x2+2x-5=0,令f(x)=2x2+2x-5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(4))，它与x轴有两个交点，所以方程5x2+2x=3x2+5有两个不相等的实数根.优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n图3-1-2-72.(1)作出函数图象(图3-1-2-8(1)),因为f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0,所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有一个零点.又因为f(x)是(-∞,+∞)上的减函数，所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有且只有一个零点.(2)作出函数图象(图3-1-2-8(2)),因为f(3)<0,f(4)>0,所以f(x)=2x·ln(x-2)-3在区间(3,4)上有一个零点.又因为f(x)=2x·ln(x-2)-3在(2,+∞)上是增函数,所以f(x)在(3,4)上有且仅有一个零点.(3)作出函数图象(图3-1-2-8(3)),因为f(0)<0,f(1)>0,所以f(x)=ex-1+4x-4在区间(0,1)上有一个零点.又因为f(x)=ex-1+4x-4在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点.(4)作出函数图象(图3-1-2-8(4)),因为f(-4)<0,f(-3)>0,f(-2)<0,f(2)<0,f(3)>0,所以f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点.优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n图3-1-2-8(课本第91页练习)1.由题设可知f(0)=-1.4<0,f(1)=1.6>0,于是f(0)·f(1)<0,所以函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点x0.下面用二分法求函数f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在区间(0，1)内的零点.取区间(0，1)的中点x1=0.5,用计算器可算得f(0.5)=-0.55.因为f(0.5)·f(1)<0,所以x0∈(0.5,1).再取区间(0.5，1)的中点x2=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.32.因为f(0.5)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.5,0.75).同理,可得x0∈(0.625,0.75)，x0∈(0.625,0.6875)，x0∈(0.65625,0.6875).由于|0.6875-0.65625|=0.03125<0.1,所以原方程的近似解可取为0.65625.2.原方程可化为x+lgx-3=0,令f(x)=x+lgx-3,用计算器可算得f(2)≈-0.70,f(3)≈0.48.于是f(2)·f(3)<0,所以这个方程在区间(2,3)内有一个解x0.下面用二分法求方程x=3-lgx在区间(2,3)的近似解.取区间(2,3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈-0.10.因为f(2.5)·f(3)<0,所以x0∈(2.5,3).再取区间(2.5,3)的中点x2=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以x0∈(2.5,2.75).同理,可得x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.5625,2.625),x0∈(2.5625,2.59375),x0∈(2.578125,2.59375),x0∈(2.5859375,2.59375).由于|2.5859375-2.59375|=0.0078125<0.01,所以原方程的近似解可取为2.59375.(课本第92页习题3.1)A组1.A,C点评：需了解二分法求函数的近似零点的条件.2.由x,f(x)的对应值表可得f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n又根据“如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.”可知函数f(x)分别在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内有零点.3.原方程即(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1,可算得f(-1)=-1,f(0)=5.于是f(-1)·f(0)<0,所以这个方程在区间(-1,0)内有一个解.下面用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1，0)内的近似解.取区间(-1，0)的中点x1=-0.5,用计算器可算得f(-0.5)=3.375.因为f(-1)·f(-0.5)<0,所以x0∈(-1,-0.5).再取(-1，-0.5)的中点x2=-0.75,用计算器可算得f(-0.75)≈1.58.因为f(-1)·f(-0.75)<0,所以x0∈(-1,-0.75).同理,可得x0∈(-1,-0.875)，x0∈(-0.9375,-0.875).由于|(-0.875)-(-0.9375)|=0.0625<0.1,所以原方程的近似解可取为-0.9375.4.原方程即0.8x-1-lnx=0,令f(x)=0.8x-1-lnx,f(0)没有意义，用计算器算得f(0.5)≈0.59,f(1)=-0.2.于是f(0.5)·f(1)<0,所以这个方程在区间(0.5,1)内有一个解.下面用二分法求方程0.8x-1=lnx在区间(0，1)内的近似解.取区间(0.5，1)的中点x1=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.13.因为f(0.75)·f(1)<0,所以x0∈(0.75,1).再取(0.75,1)的中点x2=0.875,用计算器可算得f(0.875)≈-0.04.因为f(0.875)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.75,0.875).同理,可得x0∈(0.8125,0.875)，x0∈(0.8125,0.84375).由于|0.8125-0.84375|=0.03125<0.1,所以原方程的近似解可取为0.84375.5.由题设有f(2)≈-0.31<0,f(3)≈0.43>0,于是f(2)·f(3)<0,所以函数f(x)在区间(2，3)内有一个零点.下面用二分法求函数f(x)=lnx在区间(2，3)内的近似解.取区间(2，3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈0.12.因为f(2)·f(2.5)<0,所以x0∈(2,2.5).再取(2，2.5)的中点x2=2.25,用计算器可算得f(2.25)≈-0.08.因为f(2.25)·f(2.5)<0,所以x0∈(2.25,2.5).同理,可得x0∈(2.25,2.375)，x0∈(2.3125,2.375),x0∈(2.34375,2.375),x0∈(2.34375,2.359375),x0∈(2.34375,2.3515625),x0∈(2.34375,2.34765625).由于|2.34375-2.34765625|=0.00390625<0.01,所以原方程的近似解可取为2.34765625.B组1.将系数代入求根公式x=,得x==,优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n所以方程的两个解分别为x1=,x2=.下面用二分法求方程的近似解.取区间(1.775,1.8)和(-0.3,-0.275),令f(x)=2x2-3x-1.在区间(1.775,1.8)内用计算器可算得f(1.775)=-0.02375,f(1.8)=0.08.于是f(1.775)·f(1.8)<0.所以这个方程在区间(1.775,1.8)内有一个解.由于|1.8-1.775|=0.025<0.1,所以原方程在区间(1.775,1.8)内的近似解可取为1.8.同理,可得方程在区间(-0.3,-0.275)内的近似解可取为-0.275.所以方程精确到0.1的近似解分别是1.8和-0.3.2.原方程即x3-6x2-3x+5=0,令f(x)=x3-6x2-3x+5,函数图象如下图所示.图3-1-2-9所以这个方程在区间(-2,0),(0,1),(6,7)内各有一个解.取区间(-2，0)的中点x1=-1,用计算器可算得f(-1)=1.因为f(-2)·f(-1)<0,所以x0∈(-2,-1).再取(-2，-1)的中点x2=-1.5,用计算器可算得f(-1.5)=-7.375.因为f(-1.5)·f(-1)<0,所以x0∈(-1.5,-1).同理,可得x0∈(-1.25,-1)，x0∈(-1.125,-1),x0∈(-1.125,-1.0625).由于|(-1.0625)-(-1.125)|=0.0625<0.1,所以原方程在区间(-2，0)内的近似解可取为-1.0625.同理,可得原方程在区间(0，1)内的近似解可取为0.7,在区间(6，7)内的近似解可取为6.3.3.(1)由题设有g(x)=2-［f(x)］2=2-(x2+3x+2)2=-x4-6x3-13x2-12x-2.(2)函数图象如下图所示.图3-1-2-10优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n(3)由图象可知，函数g(x)分别在区间(-3，-2)和区间(-1，0)内各有一个零点.取区间(-3，-2)的中点x1=-2.5,用计算器可算得g(-2.5)=0.1875.因为g(-3)·g(-2.5)<0,所以x0∈(-3,-2.5).再取(-3，-2.5)的中点x2=-2.75,用计算器可算得g(-2.75)≈0.28.因为g(-3)·g(-2.75)<0,所以x0∈(-3,-2.75).同理,可得x0∈(-2.875,-2.75)，x0∈(-2.8125,-2.75).由于|-2.75-(-2.8125)|=0.0625<0.1,所以原方程在区间(-3，-2)内的近似解可取为-2.8125.同样可求得函数在区间(-1,0)内的零点约为-0.2.所以函数g(x)精确到0.1的零点约为-2.8或-0.2.点评：第2、3题采用信息技术画出函数图象,并据此明确函数零点所在的区间.在教学中,如果没有信息技术条件,建议教师直接给出函数图象或零点所在区间.优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型整体设计教学分析函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题.课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的.三维目标1.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.2.恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题.3.让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣.重点难点教学重点:认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同.教学难点:应用函数模型解决简单问题.课时安排2课时教学过程第1课时几类不同增长的函数模型导入新课思路1.(事例导入)一张纸的厚度大约为0.01cm，一块砖的厚度大约为10cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n=20时它们的厚度.你的直觉与结果一致吗？解：纸对折n次的厚度:f(n)=0.01·2n(cm),n块砖的厚度:g(n)=10n(cm),f(20)≈105m,g(20)=2m.也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解.思路2.(直接导入)请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象性质，本节我们通过实例比较它们的增长差异.推进新课新知探究提出问题①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.②正方形的边长为x，面积为y,把y表示为x的函数.③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力湿地每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y,把y表示为x的函数.④分别用表格、图象表示上述函数.⑤指出它们属于哪种函数模型.⑥讨论它们的单调性.优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n⑦比较它们的增长差异.⑧另外还有哪种函数模型.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.①总价等于单价与数量的积.②面积等于边长的平方.③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、….④列表画出函数图象.⑤引导学生回忆学过的函数模型.⑥结合函数表格与图象讨论它们的单调性.⑦让学生自己比较并体会.⑧另外还有与对数函数有关的函数模型.讨论结果：①y=x.②y=x2.③y=(1+5%)x,④如下表x123456y=x123456y=x2149162536y=(1+5%)x1.051.011.161.221.281.34它们的图象分别为图3-2-1-1，图3-2-1-2，图3-2-1-3.图3-2-1-1图3-2-1-2图3-2-1-3⑤它们分别属于：y=kx+b(直线型),y=ax2+bx+c(a≠0,抛物线型)，y=kax+b(指数型).⑥从表格和图象得出它们都为增函数.⑦在不同区间增长速度不同，随着x的增大y=(1+5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数.⑧另外还有与对数函数有关的函数模型,形如y=logax+b,我们把它叫做对数型函数.应用示例思路1例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y=40(x∈N*)优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n进行描述；方案二可以用函数y=10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y=0.4×2x-1(x∈N*)进行描述.三个模型中，第一个是常函数，后两个都是递增函数模型.要对三个方案作出选择，就要对它的增长情况进行分析.我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况.x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元140100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.43040030010214748364.8107374182.4再作出三个函数的图象(3-2-1-4).图3-2-1-4由表和图(3214)可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案二与方案三的函数的增长情况很不相同.可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的.从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天方案二最多;第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.下面再看累积的回报数.通过计算机或计算器列表如下：1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210180360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，则应选择方案三.针对上例可以思考下面问题：①选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数.优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n②课本把两种回报数都列表给出的意义何在？③由此得出怎样结论.答案:①选择哪种方案依据的是累积回报数.②让我们体会每天回报数增长变化.③上述例子只是一种假想情况，但从中我们可以体会到，不同的函数增长模型，其增长变化存在很大差异.变式训练某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：全球通使用者先缴50元基础费，然后每通话1分钟付话费0.4元；神州行不交月基础费，每通话1分钟付话费0.6元，若设一个月内通话x分钟，两种通讯业务的费用分别为y1元和y2元，那么(1)写出y1、y2与x之间的函数关系式；(2)在同一直角坐标系中画出两函数的图象；(3)求出或寻求出一个月内通话多少分钟，两种通讯业务费用相同；(4)若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯业务较合算.思路分析：我们可以先建立两种通讯业务所对应的函数模型，再通过比较它们的变化情况，为选择哪种通讯提供依据.(1)全球通的费用应为两种费用的和，即月基础费和通话费，神州行的费用应为通话费用；(2)运用描点法画图，但应注意自变量的取值范围；(3)可利用方程组求解，也可以根据图象回答；(4)寻求出当函数值为200元时，哪个函数所对应的自变量的值较大.解：(1)y1=50＋0.4x(x≥0)，y2=0.6x(x≥0).(2)图象如图(3-2-1-5)所示.图3-2-1-5(3)根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250，所以在一个月内通话250分钟时，两种通讯业务的收费相同.(4)当通话费为200元时，由图象可知，y1所对应的自变量的值大于y2所对应的自变量的值,即选取全球通更合算.另解：当y1=200时有0.4x＋50=200,∴x1=375；当y2=200时有0.6x=200,x2=.显然375>,∴选用全球通更合算.点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求？活动：学生先思考或讨论，再回答.优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是只需在区间［10,1000］上，检验三个模型是否符合公司要求即可.不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果.解：借助计算器或计算机作出函数y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x的图象(图3-2-1-6).图3-2-1-6观察函数的图象，在区间［10,1000］上，模型y=0.25x,y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求.下面通过计算确认上述判断.首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y=0.25x，它在区间［10,1000］上递增，而且当x=20时，y=5,因此,当x>20时，y>5,所以该模型不符合要求；对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805，806)内有一个点x0满足1.002x0=5,由于它在区间［10,1000］上递增，因此当x>x0时，y>5，所以该模型也不符合要求；对于模型y=log7x+1，它在区间［10,1000］上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈［10,1000］时，是否有=≤0.25成立.图3217令f(x)=log7x+1-0.25x,x∈［10,1000］.利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象(图3217)，由函数图象可知它是递减的，因此f(x)0)，销售数量就减少kx%(其中k为正常数).目前，该商品定价为a元，统计其销售数量为b个.(1)当k=时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？(2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k的取值范围.解：依题意，价格上涨x%后，销售总金额为y=a(1+x%)·b(1-kx%)=［-kx2+100(1-k)x+10000］.(1)取k=,y=(x2+50x+10000),所以x=50,即商品价格上涨50%，y最大为ab.(2)因为y=［-kx2+100(1-k)x+10000］,此二次函数的开口向下，对称轴为x=，在适当涨价过程后，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x在{x|x>0}的一个子集内增大时，y也增大.所以>0,解得00.当00,g(x)-h(x)>0,g(x)>h(x)；当87≤x<216时,432-5x<0,g(x)-h(x)<0,g(x)20000时，y2>y1.当x=20000时，y1=y2；当x<20000时，y20且a≠1).∴由图知2=a1.∴a=2,即底数为2.②∵25=32>30,∴说法正确.③∵指数函数增加速度越来越快，∴说法不正确.④t1=1,t2=log23,t3=log26,∴说法正确.⑤∵指数函数增加速度越来越快，∴说法不正确.课堂小结活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结.答案:(1)建立函数模型;(2)利用函数图象性质分析问题、解决问题.作业课本P107习题3.2A组1、2.设计感想本节设计由学生熟悉素材入手，结果却出乎学生的意料，由此使学生产生浓厚的学习兴趣.课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型的应用，而且体会到它们之间的差异；我们补充的例题与之相映生辉，是课本的补充和提高，其难度适中是各地高考模拟经常选用的素材.其中拓展提升中的问题紧贴本节主题，很好地体现了指数函数的性质特点,是一个不可多得的素材.(设计者：林大华)第2课时几类不同增长的函数模型导入新课思路1情景导入国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么.发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦子的质量为40g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但不能满足发明者要求，这就是指数增长.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.思路2直接导入我们知道，对数函数y=logax(a>1),指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)在区间(0，+∞)上都是增函数.但这三类函数的增长是有差异的.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.推进新课优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n新知探究提出问题①在区间(0，+∞)上判断y=log2x,y=2x,y=x2的单调性.②列表并在同一坐标系中画出三个函数的图象.③结合函数的图象找出其交点坐标.④请在图象上分别标出使不等式log2x<2x1)和幂函数y=xn(n>0)，通过探索可以发现，在区间(0，+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.同样地，对于对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，在区间(0，+∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax1),指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)在区间(0，+∞)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y=ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度，而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就会有logax0)增长快于对数函数y=logax(a>1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”.应用示例思路1例1某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.而每月所获利润=卖报收入的总价－付给报社的总价.卖报收入的总价包含三部分：①可卖出400份的20天里，收入为20·0.30x；②可卖出250份的10天里，收入为10·0.30·250；③10天里多进的报刊退回给报社的收入为10·0.05·(x-250).付给报社的总价为30·0.20x.解：设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.于是每月所获利润y为优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\ny=20·0.30x+10·0.30·250+10·0.05·(x-250)-30·0.20x=0.5x+625，x∈［250，400］.因函数y在［250，400］上为增函数，故当x=400时，y有最大值825元.例2某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间(共4次)效果最佳？图3-2-1-15解：(1)依题意,得y=(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则t1+=4,t1=4.因而第二次服药应在11:00；设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有t2+(t2-4)+=4,解得t2=9小时，故第三次服药应在16:00；设第四次服药在第一次后t3小时(t3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，(t2-4)+(t2-9)+=4,解得t3=13.5小时，故第四次服药应在20:30.变式训练通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f(x)表示学生接受概念的能力〔f(x)的值愈大，表示接受的能力愈强〕，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式：f(x)=(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？解：(1)当087.5可知，h(t)在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.点评：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力.拓展提升探究内容①在函数应用中如何利用图象求解析式.②分段函数解析式的求法.③函数应用中的最大值、最小值问题.举例探究：(2007山东省青岛高三教学质量检测，理21)某跨国公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图3-2-1-18(1)、图3-2-1-18(2)、图3-2-1-18(3)所示.其中图3-2-1-18(1)的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图3-2-1-18(2)的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图3-2-1-18(3)的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系.图3-2-1-18(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)、国内市场的日销售量g(t)与第一批产品A上市时间t的关系式；(2)第一批产品A上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6300万元?分析：1.利用图象求解析式,先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式.2.在t∈［0,40］上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段.3.回忆函数最值的求法.解：(1)f(t)=g(t)=t2+6t(0≤t≤40).(2)每件A产品销售利润h(t)=.优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n该公司的日销售利润F(t)=,当0≤t≤20时，F(t)=3t(t2+8t),先判断其单调性.设0≤t1＜t2≤20,则F(t1)-F(t2)=3t1(t12+8t1)-3t2(t22+8t2)=(t1+t2)(t1-t2)2.∴F(t)在［0,20］上为增函数.∴F(t)max=F(20)=6000<6300.当206300，则f(x),故选择方案A；当客户通话时间为x>200分钟时，g(x)1.2,所以这个男生偏胖.图3-2-2-7图3-2-2-8变式训练九十年代，政府间气候变化专业委员会（IPCC）提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加.据测，1990年、1991年、1992年大气中的CO2浓度分别比1989年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位.若用一个函数模拟九十年代中每年CO2浓度增加的可比单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数或函数y=a·bx+c（其中a、b、c为常数），且又知1994年大气中的CO2浓度比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n解：(1)若以f(x)=px2+qx+r作模拟函数，则依题意得解得所以f(x)=x2+x.(2)若以g(x)=a·bx+c作模拟函数，则解得所以g(x)=·()x-3.(3)利用f(x)、g(x)对1994年CO2浓度作估算，则其数值分别为：f(5)=15可比单位，g(5)=17.25可比单位，∵|f(5)－16|<|g(5)－16|,故选f(x)=x2+x作为模拟函数与1994年的实际数据较为接近.思路2例1某自来水厂的蓄水池有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为1206t吨,其中0≤t≤24.(1)从供水开始到第几小时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象?活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导.思路分析：首先建立函数模型，利用函数模型解决实际问题.解：设供水t小时，水池中存水y吨，则(1)y=400+60t-120=60()2+40(1≤t≤24),当t=6时，ymin=40(吨),故从供水开始到第6小时，蓄水池中的存水量最少，最少存水为40吨.(2)依条件知60()2+40<80,1≤t≤24,解得0，二次函数f(a)图象开口方向向上,当a=(a1+a2+…+an)时，y有最小值,所以a=(a1+a2+…+an)即为所求.点评：此题在高考中是具有导向意义的试题，它以物理知识和简单数学知识为基础，并以物理学科中的统计问题为背景，给出一个新的定义，要求学生读懂题目，抽象其中的数量关系，将文字语言转化为符号语言，即y=(a-a1)2+(a-a2)2+…+(a-an)2,然后运用函数的思想方法去解决问题.解题关键是将函数式化成以a为自变量的二次函数形式，这是函数思想在解决实际问题中的应用.课堂小结1.巩固函数模型的应用.2.初步掌握函数拟合思想，并会用函数拟合思想解决实际问题.作业课本P107习题3.2B组1、2.设计感想本节通过事例引入课题，接着通过事例让学生感受什么是函数拟合；课本的例3是函数模型的应用，例4是函数拟合的应用，这都是本节的重点.因此本节选用了多个地市的模拟试题进行强化训练，其中开放性函数拟合问题更值得关注.本节素材鲜活丰富，结构合理有序，难度适中贴近高考.习题详解(课本第98页练习)1.y2.2.设第1轮病毒发作时有a1=10台被感染,第2轮,第3轮,…,依次有a2台,a3台,…被感染,依题意有a5=10×204=160.答:在第5轮病毒发作时会有160万台被感染.(课本第101页练习)三个函数图象如下:图3-2-2-9优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n由图象可以看到,函数(1)以“爆炸”式的速度增长;函数(2)增长缓慢,并渐渐趋于稳定;函数(3)以稳定的速度增加.(课本第104页练习)1.(1)已知人口模型为y=y0ert,其中y0表示t=0时的人口数,r表示人口的年增长率.若按1650年世界人口5亿,年增长率为0.3%估计,有y=5e0.003t.当y=10时,解得t≈231.所以,1881年世界人口数约为1650年的2倍.同理,可知2003年世界人口数约为1970年的2倍.(2)由此看出,此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况.2.由题意有75t-4.9t2=100,解得t=,即t1≈1.480,t2≈13.827.所以,子弹保持在100m以上的时间t=t2-t1≈12.35,在此过程中,子弹最大速率v1=v0-9.8t=75-9.8×1.480=60.498m/s.答:子弹保持在100米以上高度的时间是12.35秒,在此过程中,子弹速率的范围是v∈(0,60.498).(课本第106页练习)1.(1)由题意可得y1=150+0.25x,y2=+0.25,y3=0.35x,y4=0.35x-(150+0.25x)=0.1x-150.(2)画出y4=0.1x-150的图象如下.图3-2-2-10由图象可知,当x<1500件时,该公司亏损;当x=1500件时,公司不赔不赚;当x>1500件时,公司赢利.2.(1)列表.优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n(2)画散点图.图3-2-2-113.确定函数模型.甲:y1=-x2+12x+41,乙:y2=-52.07×0.778x+92.5.(4)做出函数图象进行比较.图3-2-2-12优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n图3-2-2-13图3-2-2-14计算x=6时,y1=77,y2=80.9.可见,乙选择的模型较好.(课本第107页习题3.2)A组1.(1)列表.(2)描点.图3-2-2-15(3)根据点的分布特征,可以考虑以d=kf+b作为刻画长度与拉力的函数模型,取两组数据(1,14.2)、(4,57.5),有解得所以d=14.4f-0.2.将已知数据带入上述解析式或作出函数图象,可以发现,优质数学资源下载http://www.docin.com/sxzyxz第287页共289页\n这个函数模型与已知数据拟合程度较好,说明它能较好地反映长度与拉力的关系.图3-2-2-162.由=(60)2a,得a=.由=x2,得x=3010.因为3010<100,所以这辆车没有超速.3.(1)x=(2)v=图略.4.设水池总造价为y元,水池长度为xm,则y=(12x+)95+×135,画出函数y1=(12x+)95+×135和函数y2=7的图象.图3-2-2-17由图可知,若y1≤7,则x应介于［x1,x2］之间,x1,x2即为方程(12x+)95+×135=70000的两个根.解得x1≈6.4,x2≈31.3.答:水池的长与宽应该控制在［6.4,31.3］之间.5.将x=0,y=1.01×105和x=2400,y=0.90×105分别代入y=cekx,得到解得c=所以y=1.01×105ex.当x=5596m时,y=0.772×105(Pa)<0.775×105(Pa).答:这位游客的决定是冒险的决定.6.由500≤2500()t<1500,解得2.3