【教案】高中数学坐标系与参数方程教案人教版选修 12页

高中数学坐标系与参数方程选修4主干知识一、坐标系1．平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。2．空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。3．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）①设M是平面上的任一点，表示OM的长度，表示以射线OX为始边，射线OM为终边所成的角。那么有序数对(,)称为点M的极坐标。其中称为极径，称为极角。约定：极点的极坐标是=0，可以取任意角。4．直角坐标与极坐标的互化以直角坐标系的O为极点，x轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P的直角坐标极坐标分别为（x，y）和(,)，则2xytan二、曲线的极坐标方程1．直线的极坐标方程：若直线过点M(0,0)，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：sin()0sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程（1）直线过极点（2）直线过点M(a,0)且垂直于极轴（3）直线过Mb(,)且平行于极轴2图：方程：2．圆的极坐标方程：若圆心为M(0,0)，半径为r的圆方程为：22220cos(0)0r0几个特殊位置的圆的极坐标方程（1）当圆心位于极点（2）当圆心位于Mr(,0)（3）当圆心位于Mr(,)2用心爱心专心精品学习资料可选择pdf第1页，共12页-----------------------\n图：方程：3．直线、圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化2利用：xytan三、参数方程1．参数方程的意义xft()在平面直角坐标系中，若曲线C上的点Pxy(,)满足，该方程叫曲线C的参数方程，变量t是参变yft()数，简称参数2．参数方程与普通方程的互化（1）参数方程化为普通方程常见参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：xacosxx0at⑴（为参数）；⑵(t为参数）ybsinyy0bta1xsinx(t)（3）[0,2)（4）2t（t为参数）2ycosb1y(t)2txarcos（5）（为参数）ybrsin☆参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围！（2）普通方程化为参数方程常见化普通方程为参数方程，2221、圆(xa)(yb)r的参数方程。2、经过点P(x0，y0)倾斜角为的参数方程。22xy3、椭圆1(ab0)的参数方程。22ab24、抛物线y2pxp(0)普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样。二、考点阐述考点1、极坐标与直角坐标互化例题1、在极坐标中，求两点P(,2),Q,2()之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程。44用心爱心专心精品学习资料可选择pdf第2页，共12页-----------------------\nπ练习1.1、已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为cos3，4cos≥00，≤，则曲线C12与C2交点的极坐标为．23cos3【解析】我们通过联立解方程组(0,0)解得,即两曲线的交点为(23,)。4cos266221．2.（宁夏09）已知圆C：(x1)(y3)1，则圆心C的极坐标为_______(0,02)2答案：（(2,)）3练习1.2（2009丹东）（1）已知点c极坐标为(2,)，求出以C为圆心，半径r=2的圆的极坐标方程（写3出解题过程）；（2）P是以原点为圆心，r=2的圆上的任意一点，Q(6,0)，M是PQ中点，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹的参数方程。解：（）如图所示，设1M为圆上一点，M(,),2则MOC或，由余弦定理得44cos()4333极坐标方程为=4cos()。3x2cos（2）依题意eo的参数方程为设M（xy,),点（P2cos,2sin).y=2sinQM为PQ中点，Q（，），60M的参数方程为62sinx2x3cos即2siny=siny2考点2、极坐标与直角坐标方程互化例题2、福建省龙岩市已知曲线C的极坐标方程是4sin．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，2xt2建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数），点P是曲线C上的动点，2y4t2点Q是直线l上的动点，求|PQ|的最小值．2解：曲线C的极坐标方程4sin可化为4sin,2222其直角坐标方程为xy4y0，即x(y2)4.⋯⋯⋯⋯⋯（3分）用心爱心专心精品学习资料可选择pdf第3页，共12页-----------------------\n直线l的方程为xy40.24所以，圆心到直线l的距离d32⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）2所以，PQ的最小值为322.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）22练习2.1、（沈阳二中2009）设过原点O的直线与圆C：(x1)y1的一个交点为P，点M为线段OP的中点。(1)求圆C的极坐标方程；(2)求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．22解：圆(x1)y1的极坐标方程为2cos⋯⋯4分设点P的极坐标为(1,1)，点M的极坐标为(,)，∵点M为线段OP的中点，∴12，1⋯⋯7分将12，1代入圆的极坐标方程，得cos11∴点M轨迹的极坐标方程为cos，它表示圆心在点(,0)，半径为的圆．⋯⋯10分22练习2.2考点3、参数方程与直角坐标方程互化x210cos例题3：（2009学年海南省）已知曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的极坐y10sin标方程为2cos6sin．（1）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线C1，C2是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．x210cos解：（1）由得y10sin22(x)2y1022∴曲线C1的普通方程为(x)2y10∵2cos6sin2∴2cos6sin222∵xy,xcos,ysin用心爱心专心精品学习资料可选择pdf第4页，共12页-----------------------\n2222∴xy2x6y，即(x)1(y)310∴曲线C2的直角坐标方程为22(x)1(y)310⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（５分）（2）∵圆C1的圆心为()0,2，圆C2的圆心为)3,1(22∴C1C2(2)10()332210∴两圆相交设相交弦长为d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段CC12d23222∴()()(10)22∴d22∴公共弦长为22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）练习3.1（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程.x32cos已知曲线C：(为参数，0≤<2π)，y12sin（Ⅰ）将曲线化为普通方程；（Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程．22（Ⅰ）xy23x2y0⋯5分（Ⅱ）23cossin⋯10分2xcosxt2练习3.2（08海南）已知曲线C1：(为参数)，曲线C2：2(t为参数)。ysin2yt2（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1'，C2'。写出C1'，C2'的参数方程。C1'与C2'公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由。考点4：利用参数方程求求值域例题4、（宁夏）1x22tx1cos2在曲线C1：(为参数）上求一点，使它到直线C2：(t为参数）的距离ysin1y1t2最小，并求出该点坐标和最小距离。解：直线C2化成普通方程是x+y-22-1=0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分用心爱心专心精品学习资料可选择pdf第5页，共12页-----------------------\n设所求的点为P（1+cos,sin),⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分1|cossin22|1则C到直线C2的距离d=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分2=|sin(+)+2|⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分435当时，即=时，d取最小值1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分424C22此时，点P的坐标是（1-，-）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分22练习4.1222EBD（09厦门）在平面直角坐标系xOy中，动圆x+y-8cosx-6siny+A7cos+8=0（q?R）的圆心O为Px(,y)，求2x-y的取值范围..ì??x=4cos,qF【解】由题设得í（q为参数，q?R）.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分?y=3sinq??于是2xy8cos3sin73cos()，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分所以73≤2xy≤73.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分练习4.2．（宁夏09）（本小题满分10分）3xt25已知曲线C的极坐标方程是2sin，设直线L的参数方程是,（t为4yt5参数）．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线L与x轴的交点是M，N曲线C上一动点，求MN的最大值.答案：（本小题满分10分）解：（1）曲线C的极坐标方程可化为：22sin222又xy,xcos,ysin.所以，曲线C的直角坐标方程为：22xy2y0.4（2）将直线L的参数方程化为直角坐标方程得：y(x)23用心爱心专心精品学习资料可选择pdf第6页，共12页-----------------------\n令y0得x2即M点的坐标为)0,2(又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为)1,0(，半径r1，则MC5∴MNMCr51考点5：直线参数方程中的参数的几何意义例题5：泉州已知直线l经过点P(1,1),倾斜角，6①写出直线l的参数方程;22②设l与圆xy4相交与两点,AB，求点P到,AB两点的距离之积.3x1tcosx1t62解（1）直线的参数方程为，即．3分1y1tsiny1t623x1t222（2）把直线代入xy4，1y1t232122得(1t)(1t)4,t(31)t20，tt122，6分22则点P到,AB两点的距离之积为2．10分练习5.1抚顺一中20094x1t5求直线（t为参数）被曲线2cos()所截的弦长.34y1t54x1t解：将方程5，2cos()分别化为普通方程：34y1t5223x4y10，xyxy0,--------------------------------------(5分)112122117圆心C（，－），半径为圆心到直线的距离d＝，弦长＝2rd2.2221021005-------------------------------------------------------------------------10分用心爱心专心精品学习资料可选择pdf第7页，共12页-----------------------\n练习5.2大连市20092已知直线l是过点P(2,1),倾斜角为的直线.圆方程2cos().33（I）求直线l的参数方程；（II）设直线l与圆相交于M、N两点，求|PM|·|PN|的值。2x1tcos,3解：（Ⅰ）l的参数方程为(t为参数)，2y2tsin.31x1t,2即(t为参数)。⋯⋯⋯⋯5分3y2t.2cosx,（Ⅱ）由siny.22可将2cos()，化简得xyx3y0。32将直线l的参数方程代入圆方程得t(323)t6230.∵tt12623，∴|PM||gPN||tt12|623。⋯⋯⋯⋯10分x12t练习5.3（宁夏09）若直线的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为（）y23t3232A．B．C．—D．－2323答案：（C）3、（宁夏09）极坐标方程ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（）2A．2B．2C．1D．2答案：（D）一、选择题x12t1．若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为（）y23t2233A．B．C．D．3322xsin22．下列在曲线(为参数)上的点是（）ycossin用心爱心专心精品学习资料可选择pdf第8页，共12页-----------------------\n131A．(,2)B．(,)C．(2,3)D．(1,3)2422x2sin3．将参数方程(为参数)化为普通方程为（）2ysinA．yx2B．yx2C．yx2(2x3)D．yx2(0y1)24．化极坐标方程cos0为直角坐标方程为（）2222A．xy0或y1B．x1C．xy0或x1D．y15．点M的直角坐标是(1,3)，则点M的极坐标为（）2A．(2,)B．(2,)C．(2,)D．(2,2k),(kZ)33336．极坐标方程cos2sin2表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆7．圆5cos53sin的圆心坐标是（）45A．(5,)B．(5,)C．(5,)D．(5,)3333二、填空题x34t8．直线(t为参数)的斜率为______________________。y45tttxee9．参数方程(t为参数)的普通方程为__________________。tty2(ee)x13t10．已知直线l1:(t为参数)与直线l2:2x4y5相交于点B，又点A(1,2)，y24t则AB_______________。1x2t2211．直线2为参数被圆xy4截得的弦长为______________。(t)1y1t212．直线xcosysin0的极坐标方程为____________________。13．极坐标方程分别为cos与sin的两个圆的圆心距为_____________。三、解答题221．已知点Pxy(,)是圆xy2y上的动点，（1）求2xy的取值范围；（2）若xya0恒成立，求实数a的取值范围。用心爱心专心精品学习资料可选择pdf第9页，共12页-----------------------\nx1t2．求直线l1:(t为参数)和直线l2:xy230的交点P的坐标，及点Py53t与Q(1,5)的距离。22xy3．在椭圆1上找一点，使这一点到直线x2y120的距离的最小值。16122124、（宁夏09）已知椭圆C的极坐标方程为，点F1，F2为其左，右焦点，直线l223cos4sin2x2t2的参数方程为(t为参数，tR)．2yt2（1）求直线l和曲线C的普通方程；（2）求点F1，F2到直线l的距离之和.数学选修4-4坐标系与参数方程一、选择题y23t31．Dkx12t22312．B转化为普通方程：y1x，当x时，y423．C转化为普通方程：yx2，但是x[2,3],y[0,1]224．C(cos1)0,xy0,或cosx125．C(2,2k),(kZ)都是极坐标326．Ccos4sincos,cos0,或4sin,即4sin22则k,或xy4y2二、填空题5y45t51．k4x34t4用心爱心专心精品学习资料可选择pdf第10页，共12页-----------------------\nttyt22xeex2exy2yy2．1,(x2)y(x)(x)4tt416eeyt222x2e25x13t1553．将代入2x4y5得t，则B(,0)，而A(1,2)，得AB2y24t22212222144．14直线为xy10，圆心到直线的距离d，弦长的一半为2()，2222得弦长为145．coscossinsin0,cos()0，取22三、解答题xcos1．解：（1）设圆的参数方程为，y1sin2xy2cossin15sin()1512xy51（2）xyacossin1a0a(cossin)12sin()14a21x1t2．解：将代入xy230得t23，y53t22得P(123,1)，而Q(1,5)，得PQ(23)643x4cos4cos43sin123．解：设椭圆的参数方程为，dy23sin54545cos3sin32cos()355345当cos()1时，dmin，此时所求点为(2,3)。354解:（Ⅰ）直线l普通方程为yx2；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分用心爱心专心精品学习资料可选择pdf第11页，共12页-----------------------\n22xy曲线C的普通方程为1．⋯⋯⋯⋯⋯6分43（Ⅱ）∵F1(1,0),F2(1,0)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分10232∴点F1到直线l的距离d1,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分221022点F2到直线l的距离d2,⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分22∴d1d222.⋯⋯⋯⋯⋯10分用心爱心专心精品学习资料可选择pdf第12页，共12页-----------------------