【教案】高中数学教案-人教A版等比数列 5页

学习必备欢迎下载第七课时等比数列(一)教学目标：掌握等比数列的定义，理解等比数列的通项公式及推导；培养学生的发现意识，提高学生创新意识，提高学生的逻辑推理能力，增强学生的应用意识.教学重点：等比数列的定义及通项公式.教学难点：灵活应用等比数列的定义式及通项公式解决一些相关问题.教学过程：Ⅰ.复习回顾前面几节课，我们共同探讨了等差数列，现在我们再来回顾一下等差数列的主要内容.Ⅱ.讲授新课下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?631，2，4，8，16，⋯，2；①5，25，125，625，⋯；②1111，－，，－，⋯；③248仔细观察数列，寻其共同特点.n－1an对于数列①，an＝2；＝2(n≥2)an－1nan对于数列②，an＝5；＝5(n≥2)an－1n+11an1对于数列③，an＝(－1)·n－1；＝－(n≥2)2an－12共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数.也就是说，这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点.1.定义等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(q≠0)，即：an∶an－1＝q(q≠0)1如：数列①，②，③都是等比数列，它们的公比依次是2，5，－.与等差数列比较，2仅一字之差.总之，若一数列从第二项起，每一项与其前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”.注意（1）公差“d”可为0，（2）公比“q”不可为0.等比数列的通项公式又如何呢?2.等比数列的通项公式请同学们想想等差数列通项公式的推导过程，试着推一下等比数列的通项公式.223解法一：由定义式可得：a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q，a4＝a3q＝(a1q)q＝a1q，⋯，n－1an＝an－1q＝a1q(a1，q≠0)，n＝1时，等式也成立，即对一切n∈N*成立.解法二：由定义式得：(n－1)个等式精品学习资料可选择pdf第1页，共5页-----------------------\n学习必备欢迎下载a2＝q①a1a3＝q②a2⋯⋯an＝qn－1an－1若将上述n－1个等式相乘，便可得：a2a3a4ann－1×××⋯×＝qa1a2a3an－1n－1即：an＝a1·q(n≥2)当n＝1时，左＝a1，右＝a1，所以等式成立，n－1∴等比数列通项公式为：an＝a1·q(a1，q≠0)n－1n－1如：数列①，an＝1×2＝2(n≤64)n－1n1n－1n－11数列②：an＝5×5＝5，数列③：an＝1×(－)＝(－1)n－1与等差数列比较，22两者均可用归纳法求得通项公式.或者，等差数列是将由定义式得到的n－1个式子相“加”，便可求得通项公式；而等比数列则需将由定义式得到的n－1个式子相“乘”，方可求得通项公式.下面看一些例子：［例1］培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？分析：下一代的种子数总是上一代种子数的120倍，逐代的种子数可组成一等比数列，然后可用等比数列的有关知识解决题目所要求的问题.解：由题意可得：逐代的种子数可组成一以a1＝120，q＝120的等比数列{an}.n－1n－1n由等比数列通项公式可得：an＝a1·q＝120×120＝120510∴a5＝120≈2.5×10.10答：到第5代大约可以得到种子2.5×10粒.评述：遇到实际问题，首先应仔细分析题意，以准确恰当建立数学模型.［例2］一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.分析：应将已知条件用数学语言描述，并联立，然后求得通项公式.解：设这个等比数列的首项是a1，公比是q2a1q＝12①则：3a1q＝18②3②÷①得：q＝③216③代入①得：a1＝3n－1163n－1163∴an＝a1·q＝×（），a2＝a1·q＝×＝8.323216答：这个数列的第1项与第2项分别是和8.3评述：要灵活应用等比数列定义式及通项公式.Ⅲ.课堂练习精品学习资料可选择pdf第2页，共5页-----------------------\n学习必备欢迎下载课本P48练习1，2，3已知{an}是无穷等比数列，公比为q.(1)将数列{an}中的前k项去掉，剩余各项组成一个新数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？解：设{an}为：a1，a2，⋯，ak，ak+1，⋯则去掉前k项的数可列为：ak+1，ak+2，⋯，an，⋯可知，此数列是等比数列，它的首项为ak+1，公比为q.(2)取出数列{an}中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？解：设{an}为：a1，a2，a3，⋯，a2k－1，a2k，⋯，取出{an}中的所有奇数项，分别为：a1，a3，a5，a7，⋯，a2k－1，a2k+1，⋯2ka2k+1a1q2∵＝2k－2＝q(k≥1)a2k－1a1q2∴此数列为等比数列，这个数列的首项是a1，公比为q.(3)在数列{an}中，每隔10项取出一项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？解：设数列{an}为：a1，a2，⋯，an，⋯每隔10项取出一项的数可列为：a11，a22，a33，⋯⋯11a22a11q11可知，此数列为等比数列，其公式为：＝＝q.a11a11评述：注意灵活应用等比数列的定义式和通项公式.Ⅳ.课时小结an本节课主要学习了等比数列的定义，即：＝q(q≠0，q为常数，n≥2)an－1n－1等比数列的通项公式：an＝a1·q(n≥2)及推导过程.Ⅴ.课后作业课本P52习题1，2，3，4等比数列(一)n1．已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝p，那么数列{an}是（）A.等比数列B.当p≠0时为等比数列C.当p≠0，p≠1时为等比数列D.不可能为等比数列2．公差不为0的等差数列{an}中，a2，a3，a6依次成等比数列，则公比等于（）11A.B.C.2D.323n3．数列{an}的前n项之和是Sn＝a＋b(a、b为常数且a≠0，1)，问数列{an}是等比数列吗？若是，写出通项公式，若不是，说明理由.精品学习资料可选择pdf第3页，共5页-----------------------\n学习必备欢迎下载327814．已知等比数列x，－，y，－，，⋯，求x，y.416325．已知数列{an}是等比数列，首项为a1，公比不等于1，又其中有连续三项分别是一等差数列的第t，k，p项，求数列{an}的通项公式.56．已知数列{an}为等比数列，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4的值.4等比数列(一)答案1．D2．Dn3．数列{an}的前n项之和是Sn＝a＋b(a、b为常数且a≠0，1)，问数列{an}是等比数列吗？若是，写出通项公式，若不是，说明理由.分析：利用等比数列的定义解题.n－1解：a1＝S1＝a＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)a0又a1＝(a－1)·a＝a－1∴若a－1≠a＋b，即b≠－1时，显然数列{an}不是等比数列.n－1an若a－1＝a＋b，即b＝－1时，由an＝(a－1)a(n≥1)，得＝a(n≥2)an－1故数列{an}是等比数列.194．x＝，y＝285．已知数列{an}是等比数列，首项为a1，公比不等于1，又其中有连续三项分别是一等差精品学习资料可选择pdf第4页，共5页-----------------------\n学习必备欢迎下载数列的第t，k，p项，求数列{an}的通项公式.分析一：先从等比数列入手解决问题.解法一：设符合题设的等比数列{an}中的连续三项为am，am+1，am+2，则：am+1＝amq，am+2＝am+1q(q为公比)am＋2－am＋1两式相减，得q＝am＋1－am又am+1＝am＋(k－t)d，即am+1－am＝(k－t)d（p－k）dp－k同理am+2－am+1＝(p－k)d(d为公差），故q＝＝（k－t）dk－tp－kn－1∴所求通项公式为an＝a1().k－t分析二：先从等差数列入手解决问题.解法二：设等差数列为{bn}，公差为d，则b1＝b1＋（t－1）dbk＝b1＋（k－1）dbp＝b1＋（p－1）dbkbp由题设知，bt，bk，bp是等比数列{an}中的连续三项：故q＝＝btbk利用等比定理，可得bkbp－bk（p－k）dp－k＝＝＝btbk－bt（k－t）dk－tp－kp－kn－1∴q＝，an＝a1().k－tk－t56．已知数列{an}为等比数列，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4的值.4分析：要求a4可以先求an，这样求基本量a1和q的值就成了关键，结合条件考虑运用方程思想解决.解：设此数列的公比为q,由已知得：22a1＋a1q＝10a1（1＋q）＝10①355325a1q＋a1q＝a1q（1＋q）＝②44231131由a1≠0，1＋q≠0，②÷①得，q＝q＝a1＝8.a4＝a1q＝8×＝1.828评述：本题在求基本量a1和q时，运用方程思想把两个方程相除达到消元的目的，此法应重视.精品学习资料可选择pdf第5页，共5页-----------------------