【教案】高中数学函数的单调性和奇偶性教案 7页

学习必备欢迎下载个性化辅导学教案辅导对象年级教材授课老师学科授课时间教学目标教学重点教学难点教学内容及教法学法调整反思（一）知识梳理1、函数的单调性定义：设函数yf(x)的定义域为A，区间IA，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是单调增函数，I称为yf(x)的单调增区间；如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是单调减函数，I称为yf(x)的单调减区间。如果用导数的语言来，那就是：设函数yf(x)，如果在某区间I上f(x)0，那么f(x)为区间I上的增函数；如果在某区间I上f(x)0，那么f(x)为区间I上的减函数；2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法：（1）①定义法（取值――作差――变形――定号）；②导数法（在区间(,)ab内，若总有f()x0，则fx()为增函数；反之，若fx()在区间(,)ab内为增函数，则f()x0，b（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意yax(a0,xbbb0)型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,],[,)，减区间为aabb[,0),(0,].aa（3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减（4）若f(x)与g(x)在定义域内都是增函数（减函数），那么f(x)g(x)在其公共定义域内是增函数（减函数）精品学习资料可选择pdf第1页，共7页-----------------------\n学习必备欢迎下载函数的单调性3、单调性的说明：（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的x1，x2有三个特征：一是任意性；二是大小，即x1x2(x1x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；1（3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数yx分别在()0,和,0()内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即1()0,,0()内是单调递减的，只能说函数y的单调递减区间为()0,和x,0()。4、函数的最大（小）值设函数yf(x)的定义域为A，如果存在定值x0A，使得对于任意xA，有f(x)f(x0)恒成立，那么称f(x0)为yf(x)的最大值；如果存在定值x0A，使得对于任意xA，有f(x)f(x0)恒成立，那么称f(x0)为yf(x)的最小值。（二）考点分析考点1函数的单调性题型1：讨论函数的单调性（同增异减）2例1．（1）求函数ylog0.7(x3x2)的单调区间；2例2.判断函数f(x)=x1在定义域上的单调性.题型2：研究抽象函数的单调性例1．已知函数fx()的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意xx,都有12fx(1x2)fx()1fx(2)，且当x1时fx()0,(2)f1，（1）求证：fx()是偶函数；（2）fx()在(0,)上是增函数；（3）解不等式2f(2x1)2．解：（1）令x1x21，得f(1)2(1)f，∴f(1)0，令x1x21，得∴f(1)0，∴f(x)f(1x)f(1)fx()fx()，∴fx()是偶函数．精品学习资料可选择pdf第2页，共7页-----------------------\n学习必备欢迎下载（2）设x2x10，则x2x2x2fx(2)fx()1fx(1)fx(1)fx(1)f()fx()1f()x1x1x1xx22∵x2x10，∴1，∴f()0，即fx(2)fx()10，∴fx(2)fx(1)x1x1∴fx()在(0,)上是增函数．（3）f(2)1，∴f(4)f(2)f(2)2，22∵fx()是偶函数∴不等式f(2x1)2可化为f(|2x1|)f(4)，21010又∵函数在(0,)上是增函数，∴|2x1|4，解得：x，221010即不等式的解集为(,)．22题型3：函数的单调性的应用2例1．若函数f(x)x(2a)1x2在区间（－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是______(答：a3）)；ax1例2．已知函数fx()在区间2,上为增函数，则实数a的取值范围_____（答：x21(,)）；2考点2函数的值域（最值）的求法求最值的方法：（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。题型1：求分式函数的最值2x2xa1例1．（2007上海）已知函数f(x),x,1[).当a时，求函数f(x)x2精品学习资料可选择pdf第3页，共7页-----------------------\n学习必备欢迎下载的最小值。函数的奇偶性（一）知识梳理1、函数的奇偶性的定义：①对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)〔或f(x)f(x)0〕，则称f(x)为奇函数.奇函数的图象关于原点对称。②对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)〔或f(x)f(x)0〕，则称f(x)为偶函数.偶函数的图象关于y轴对称。③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性.具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）2.函数的奇偶性的判断：（1）可以利用奇偶函数的定义判断fx()f(x)f()x（2）利用定义的等价形式,fx()f(x)0，1（fx()0）fx()（3）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称3．函数奇偶性的性质：（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.（2）若奇函数fx()定义域中含有0，则必有f(0)0.故f(0)0是fx()为奇函数的既不充分也不必要条件。（3）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设f(x)是定义域为R的任一函数，fx()f(x)fx()f(x)Fx()，Gx()。22（4）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.（5）设fx()，gx()的定义域分别是DD1,2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇．（二）考点分析考点1判断函数的奇偶性及其应用题型1：判断有解析式的函数的奇偶性例1．判断下列函数的奇偶性：1x（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·；1x2x1(x)(x0),1x（3）f(x)；（4）f(x)|x2|2x1(x)(x0).题型2：证明抽象函数的奇偶性精品学习资料可选择pdf第4页，共7页-----------------------\n学习必备欢迎下载例1.(09年山东)定义在区间()1,1上的函数f(x)满足：对任意的x,y()1,1，xy都有f(x)f(y)f().求证f(x)为奇函数；1xy00[解析]令x=y=0，则f(0)+f(0)=f()f)0(∴f(0)=010xx令x∈(－1,1)∴－x∈(－1,1)∴f(x)+f(－x)=f()=f(0)=21x0∴f(－x)=－f(x)∴f(x)在(－1，1)上为奇函数例2．（1）函数f(x)，xR，若对于任意实数a,b，都有f(ab)f(a)f(b)，求证：f(x)为奇函数。（2）设函数f(x)定义在(,ll)上，证明f(x)f(x)是偶函数，f(x)f(x)是奇函数。考点2函数奇偶性、单调性的综合应用例1．已知奇函数f(x)是定义在()2,2上的减函数，若f(m)1f2(m)10，求实数m的取值范围。[解析]f(x)是定义在()2,2上奇函数对任意x()2,2有fxfx由条件f(m)1f(2m)10得fm(1)f(2m1)=f(12)m12f(x)是定义在()2,2上减函数212mm12，解得m2312实数m的取值范围是m23例2．设函数f(x)对于任意的x,yR，都有f(xy)f(x)f(y)，且x0时f(x)0,)1(f2（1）求证f(x)是奇函数；（2）试问当3x3时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由。22例3．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a+a+1)3a－2a+1.解之，得0