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- 2022-08-16 发布
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高中数学总结--------⑵函数1函数的概念：注意：①函数图像与x轴上的垂线至多一个公共点,但与y轴上的垂线的分共点可能没有,也可任意个;②函数图像一定是坐标系中的曲线,但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像2,常见函数图像：y=f（x）=x+4x；。y=ax+bcx+d（a，c≠0）；｜x｜+｜y｜=2；｜x+1｜+｜y-1｜=2指数函数与对数函数的图象与性质注意:①指数函数与对数函数,当a>1时,都是其定义域上的单调增函数,当00,且,若f(x)的值域为R,则a>0,且..幂函数:注意：幂指数大于0时,幂函数在(0,+∝)上单调递增;幂指数小于0时,幂函数在(0,+∞)上单调递减,所有幂函数的图象都过点(1,1).3图形变换：高中阶段主要学习了种函数：常数函数，n次函数，幂函数（xa），指数函数，对数函数，三角函数，分段函数（如含绝对值的函数）①加减变换：遵循“左加右减，上加下减”的原则（其中上加下减是在X一方变换的，如果也针对y则为“下加上减”即y=f（x）按向量（a，b）平移为y-b=f（x-a）。）②伸缩变换：y=f(x)→y=f（ax）即沿x轴方向向y轴变为原来的1a。绝对值的变换：y=f（x），y=f（｜x｜），y=｜f（x）｜，｜y｜=f（x）的相互转换。4，函数的常见性质若函数y=f（x）满足f(a+bx)=f(c-bx),，则f（mx）的图像关于x=a+bx+c-bx2m=a+c2m对称对一函数y=f（x），有y=f（a+bx）与y=f（c-bx）的图像关于a+bx=c-bx，即x=c-a2b，对称若y=f（x+a）的图像关于y轴对称，则有f（x+a）=f（-x+a），及f（x）关于x=a对称函数f（x）=ax+bcx+d（a，c≠0）值域为x｜x≠ac，图像关于点（-dc，ac）中心对称。（其实该函数是由反比例函数经过平移或伸缩变换而得，而反比例函数就刚好关于原点中心对称。）若f（x）=ax+bcx+d（a，c≠0）则f-1（x）==dx-b-cx+a，（a，d对调）周期函数不一定有最小正周期。如狄利克雷函数D(X)=fx=1,&x为有理数0,&x为无理数这是一个周期函数，任何正有理数都是它的周期，但是它不存在最小正周期。\n原函数与反函数的奇偶性和单调性相同，原函数与导函数的奇偶性相反。设a为非0常数，若f（x）在定义域内恒有下列条件之一：I，f（x+a）=--f(x)，II，f（x+a）f(x)=1,III，f（x+a）=f（x）+1f（x）-1IV，f（x+a）=f（x—a）。则f（x）为周期函数，2a为其周期。若f（x）同时关于x=a和x=b对称，则2b-2a为一周期若f（x）关于x=a对称，且关于点（b，0）对称（a与b不相等）则4b-4a为其一周期若f（x）同时关于点（a，0）和点（b，0）对称，则2b-2a为其一周期。5函数与不等式的求解（详见函数与不等式，导数章节）6抽象函数问题抽象函数性质特殊函数模型f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）f（x）=kxf（x1+x2）=f（x1）.f（x2）或f（x1-x2）=f（x1）∕f（x2）f（x）=axf（x1x2）=f（x1）+f（x2）或f（x1∕x2）=f（x1）-f（x2）f（x）=logaxf（x1）+f（x2）=2f（x1+x2）∕2f（x1-x2）∕2f（x）=cosx易错点；1，忽略了函数的定义域，造成范围求解是出错。2，告知截距相等时，要考虑y=kx的情况，此时截距均为03，求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，记得标注该函数的定义域了。例1、在同一坐标系中，函数与（>0且≠1）的图象可能是\n（A）（B）（C）（D）例2、设，，，则的面积是（）A.1B.C.4D.4例3、若定义在区间上的函数对上的任意个值，，…，，总满足≤，则称为上的凸函数.已知函数在区间上是“凸函数”，则在△中，的最大值是____________________.答案;1，C.2,B3,。例4．已知，求的最大值与最小值。，，。例5，设方程的两个根为，则（）ABCD由两图象交点的意义，交点的横坐标分别为不妨设\n，利用方程根适合方程，注意绝对值的意义化为如何确定范围？目标函数变形，，选D.例6，对于三次函数。定义：（1）设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；定义：（2）设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有成立，则函数的图象关于点对称。己知，请回答下列问题：（1）求函数的“拐点”的坐标（2）检验函数的图象是否关于“拐点”对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）（3）写出一个三次函数，使得它的“拐点”是（不要过程）【标准答案】（1）依题意，得：，。……………………2分由，即。∴，又，∴的“拐点”坐标是。……………………4分（2）由(1)知“拐点”坐标是。而===，由定义(2)知：关于点对称。……………………8分一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心。………………………………………………………………………10分（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数………）都可以给分\n（3）或写出一个具体的函数,如或。…………12分说明：本题在函数、导数、方程的交汇处命题，具有较强的预测性，而且设问的方式具有较大的开放性，情景新颖.解题的关键是：深刻理解函数“拐点”的定义和函数图像的对称中心的意义。其本质是：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；
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