高中数学教案：直线与圆 23页

直线与圆　　一、知识网络二、高考考点　　1.直线的倾斜与斜率；　2.直线的方程及其应用；　3.两条直线的平行、垂直与有关夹角和到角的公式；　　4.简单的线性规划问题；5.圆的方程及其应用；　6.直线与圆的相切与相交问题；　　7.两圆的位置关系；　　8.直线、圆与其它圆锥曲线的综合问题.　　三、知识要点　　（一）直线　　1、直线的倾斜角定义与规定　　（1）定义：对于一条与x轴相交的直线，将x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做直线的倾斜角，习惯上记作.　　（2）规定：当直线和x轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°.　　综合上述一般定义和特殊规定，直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°）或[0，π）.　　提醒：直线的倾斜角取值范围是一般与特殊相结合的产物，因此，解决有关直线的倾斜角或斜率问题时，一方面要注意立足于这一特定范围，另一方面又要注意分“一般”与“特殊”两种情况考察，以确保解题的完整与正确.　　（3）直线的斜率与方向向量　　（Ⅰ）　定义1：当直线l的倾斜角不是90°时，的正切叫做直线l的斜率，直线的斜率通常用k表示即：　　\n　特例：当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在.　　认知：直线的倾斜角与斜率的另一联系：　；；　　；　　　（直线的斜率不存在）　　（Ⅱ）斜率公式　　已知直线l上两点，则直线l的斜率：.　　（Ⅲ）　定义2：直线l上的向量与平行于l的向量都称为直线l的方向向量.　　设，则直线l的方向向量的坐标是；当直线l不与x轴垂直时，，此时，直线l的方向向量可化为（这里k为直线l的斜率）.　　2、直线的方程　　（1）理论基础：直线的方程与方程的直线之定义　　在直角坐标系中，如果直线l和二元方程的实数解之间建立了如下关系：　　①直线l上的点的坐标都是方程的解（纯粹性）　　②以方程的解为坐标的点都在直线l上（完备性）　　那么，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.　　（2）直线方程的几种形式　　（Ⅰ）点斜式：　已知直线l的斜率为k，且过点，则直线l的方程为：　　（Ⅱ）斜截式　　已知直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则直线l的方程为：　　注意：由斜截式方程的推导过程可知，斜截式是点斜式的特例.直线方程的特殊形式各自都有其局限性，两者都不能表示与x轴垂直的直线的方程.因此，运用上述两种形式求直线方程，都是在斜率存在的前提之下的，都需要特别考察直线斜率不存在的情形。　　（Ⅲ）两点式已知直线l经过两点，则直线l的方程为：　.　　（Ⅳ\n）截距式　　已知直线l在x轴和y轴上的截距分别为，则直线l的方程为：　　注意：截距式是两点式的特例，以其自身特色被人们乐于应用.但应注意，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线（水平直线和铅垂直线），而截距式不能表示与坐标轴垂直以及过原点的直线.运用它们求直线方程，都需要单独考察它们不能表示的特殊直线.　　（Ⅴ）一般式　方程叫做直线方程的一般式　　直线方程的一般式适合于任何直线，并且是寻求直线方程的最后归宿.直线的一般式方程的产生基于命题：任何一条直线的方程都可以表示为关于x,y的一次方程，反之，任何关于x,y的一次方程都表示一条直线.这一命题的正反两个方面，使直线和二元一次方程完成了数与形的转化与统一.　　3、两条直线的位置关系　　（1）两条直线平行的条件　　设l1、l2为两条不重合的直线，则　　（Ⅰ）的斜率相等或它们的斜率都不存在.　　因此，已知l1//l2时，解题时要注意对“一般”和“特殊”两种情况的讨论.　　（Ⅱ）若设直线　，则　　　（此式包含了一般与特殊两种情形）　　（Ⅲ）平行于直线的直线（系）方程为：　　　（2）两条直线垂直的条件　　　对于两条直线l1和l2　　（Ⅰ）的斜率之积等于－1或它们中一个斜率为0而另一个斜率不存在　　（Ⅱ）若设直线l1：,,　则，（此式包含了一般与特殊两种情况）　　（Ⅲ）垂直于直线的直线（系）方程为：　　（3）直线l1到l2的角；直线l1与l2的夹角　　设l1与l2相交　　（Ⅰ）直线l1到l2的角，是指l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时所转动的角，通常记作　　①l1到l2的角中的“到”字，画龙点睛的道出了这个角的方向性，注意到当l1//l2时不定义l1到l2的角，故的取值范围为（0，）　　②设l1与l2的斜率分别为k1,k2,l1到l2的角为，则　当\n；　　当（注意：分子是后一直线斜率减去前一直线斜率）　　（Ⅱ）直线l1与l2的夹角，是指l1与l2相交所成的四个角中，不大于直角的那个角，将其记为.　　①l1与l2的夹角没有方向性，注意到当l1//l2时不定义l1与l2夹角的概念，故得的取值范围为：　　②设l1与l2的斜率分别为k1,k2,l1与l2的夹角为，则　当；　　当.　　（4）点到直线的距离设点，直线则点P到直线l距离：　　　　　讨论（两平行直线间的距离）：　　设两条平行直线，　则l1与l2之间的距离为.　　（5）两条直线的交点（1）直线　　（2）经过直线l1与l2的交点的直线（系）方程为（这里不含l2）　　(二)圆的方程　　1、定义与方程　　（1）定义　　（2）方程　　（Ⅰ）标准方程：　圆心为（a、b），半径为　　（Ⅱ）一般方程：圆心为，半径为　　（III）参数方程：\n圆心为(a，b)，r为半径长　　2、性质与应用　　（1）圆的基本性质　　（Ⅰ）关于弦的性质　　圆心与弦中点连线垂直于这条弦（或弦的垂直平分线经过圆心）；　两圆相交时，两圆心的连线为公共弦的垂直平分线；　　若设圆半径为r，弦心距d，弦长为2l，则有　　（Ⅱ）关于切线的性质　　切线垂直于经过切点的圆的半径；圆心到切线的距离等于圆的半径.　　（2）圆的性质的应用　　解决有关圆的问题时，适时运用圆的性质，往往可避免或缩短某个局部的求解过程，既有效地减少计算量，又使解题过程简捷明快.关于圆的问题的解题技巧，主要表现在“设”的技巧上：　　（Ⅰ）巧设圆心坐标　　若已知（或可知）圆心所在直线的方程或其它特征，则可据此巧设圆心坐标，减少所引参数的个数.　　（Ⅱ）巧设圆的方程　　一般地，当所给问题与圆心或半径相关时，以设圆的标准方程为上；在特殊情况下，根据问题的具体情况设圆的一般方程或圆系方程，亦会收到简明效果.　　3、直线与圆　　设直线，圆，　　则直线与圆的位置关系有两种判别方法：　　（1）“特性”判别法（只适合于直线与圆位置关系的判定）：　　设圆心C到直线l的距离为d，则　　直线l与圆C相交；　直线l与圆C相切；　直线l与圆C相离.　　（2）“通性”判别法（适于直线与圆锥曲线位置的判定）：　　将上述曲线方程与圆方程联立，消去x(或y)所得一元二次方程的判别式为，则　　直线与圆C相交；　直线与圆C相切；　直线与圆C相离.　　4、挖掘与引申　　（1）两圆的公共弦所在直线的方程　　设⊙　①　　与⊙②　　相交于A、B两点，则由①-②得两圆公共弦AB所在直线的方程为：　　　（2）圆的切点弦所在直线（极线）的方程　对于圆　　（Ⅰ）当点在圆上时，以M为切点的切线方程为\n；　　（Ⅱ）当点在圆外时，过点M分别向圆作切线MA、MB（切点分别为A、B），则切点弦AB所在直线（极线）方程为.　　引申：当点在圆外时，过点M分别向圆作切线MA、MB（切点分别为A、B），则切点弦AB所在直线（极线）方程为.　　四、经典例题　　例1．求经过点A（5，2），并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.　　分析：由题意知直线l与两坐标轴都相交，因为不存在直线l垂直于x轴的情形.但是，注意到直线l的两截距互为相反数的一般情形与特殊情形，故解题也需分两种情形讨论.　　解：由题意知直线l与两坐标轴都相交.　　（1）当直线l在两轴上的截距均不为零时，设直线l的方程为：　　∵　∴，即a=3.　　∴此时直线l的方程为：.　　（2）当直线l在两轴上的截距为零，即直线l过原点时，直线l的方程为：　　∴综合（1），（2）得所求直线l的方程为或.　　点评：运用直线的某一种特殊形式求直线方程，从客观上是默认了这一形式存在的前提条件.因此，解题时还要考察这一形式不能表示的直线，只有实现“一般”与“特殊”的相互依存，才能实现解题的完解完胜.在这里，直线的“截距式”不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行（或重合）的直线.因此，要对这些特殊直线单独考察.　　例2．直线l被两平行直线所截线段AB的中点M在直线上，且l到l2的角为45°，求直线l的方程.　　分析：由已知条件易得直线l的斜率.欲求点M坐标，先考察点M的位置特征，注意到，点M为线段AB的中点，故点M在与、等距离的另一直线上.因此，为避免复杂运算，可先求的方程.　　解（利用平面图形几何性质的技巧）：由题意知，点M在与l1，l2等距的直线l3上，注意到l1，l2的纵截距分别为，故l3的纵截距为l，　∴由斜截式得l3的方程为①　　将①与联立解得②　　设直线l的斜率为k，则又由已知得\n，　　解得③　　于是由②③得所求直线l的方程为　　点评：解决直线问题的主要技巧，一是“设”的技巧：通过巧设有关点的坐标或有关直线的方程来减少计算量；二是适时“利用平面图形性质”的技巧：通过不失时机的利用平面图形的特征，避免或减少解方程的运算.请在下面的例题中注意上述技巧的刻意运用.　例3．已知点A（1，-1）和直线，过点A作直线l2与l1交于点B，使，求直线l2的方程.　　分析：欲求的斜率k，如直面求直线、联立的方程组，再利用两点间的距离公式，运算复杂，故想到避其锋芒，先求与的夹角的三角函数值.为此，利用已知条件率先构造含有的Rt△.　　解（对交点坐标不设不解）：过点A作　　又为直线l1与l2的夹角　∴由　　（1）当直线l2的斜率存在时，设直线l2的斜率为k，　　则由两直线的夹角公式得　　此时，直线l的方程为　　（2）当直线l2的斜率不存在时，直线l2的方程为，此时易得B（1，4），符合已知条件.　　综合（1）（2）得所求直线l2的方程为.　　点评：借助平面图形的特征,人为地构造与求解,进而转化为运用夹角公式求解目标直线的斜率,刻意避免了求解直线l1与l2的交点坐标.这样对交点坐标“不设不解”的处理手法，也是直线与曲线相交问题的基本解题策略之一.　　例4．在中，A（3，-1），AB边上的中线所在直线方程为的平分线所在直线方程为，求BC边所在直线方程.　　分析：如何利用\n的的平分线方程这一条件？通常的选择是两种：一是直面问题，所用l1与l2的角的计算公式；二是利用平分线性质等价转化.我们这里选择第二条途径.　　解（利用三角形内角平分线的性质）：由题意设B（4t-10,t）　　则AB边中点，∴点D在直线上，∴　　∴点B（10，5）①　　又注意到AB与BC边所在直线关于的平分线所在直线对称，　　故点A（3，-1）关于直线对称点A′（m,n）一定在直线BC上　　∴由点A、A′关于直线对称得　　　∴A′（1，7）　②　　于是由①②得直线A′B即直线BC的方程为　　点评：本题解题特色，一是利用已知直线方程巧设点B和点D坐标；二是利用平分线性质转化为点的对称问题.此为解决这类直线问题的基本策略.　　例5．已知过点A（1，1）且斜率为的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，过P、Q分别作直线的垂线，垂足为R、S，求四边形PRSQ的面积的最小值.　分析：这里的四边形PRSQ为直角梯形且PR//SQ，故梯形的高RS为平行线QS与PR间的距离，从设直线l的方程切入.　　解：设直线l的方程为　　①　　在①中令　∴Q（0,m+1）　　在①中令　∴　将P、Q两点到直线的距离分别记为,　　则②　　又直线QS方程为\n，　　直线PR方程为，∴直线PR与QS间的距离　　即③　　∴由②③得：　　　（当且仅当时等号成立）　　于是可知，四边形PRSQ的面积的最小值为（当且仅当时取得）　　点评：从设直线l的方程切入，点P、Q坐标以及点P、Q到l的距离依次登场，循序渐进，又借助两平行直线间的距离公式求出梯形的高RS，四边形面积的表达式便呼之欲出了.解题主线分明，脉络清晰，这是我们应追求的境界.　　例6．设圆上的点A（2，3）关于直线的对称点仍在此圆上，且该圆与直线相交的弦长为，求圆的方程.　　分析：圆上的点A关于直线的对称点仍在此圆上，由此我们可以推出什么？　　解（巧设圆心坐标）：由圆上的点A关于直线的对称点仍在圆上知，圆心在直线上　　∴可设圆的圆心坐标为（2t，-t），圆的方程为①　　则由题设条件得：②　　③∴由②③解得∴所求圆方程为　　点评：要善于认知题设的真面目：点A关于直线的对称点在此圆上　　弦的垂直平分线为　直线\n过圆心　　例7．一个圆与直线相切于点P（4，-1），且圆心在直线上，求圆的方程。　　分析：求圆的方程，当已知条件与圆心或半径关系较为密切时，首先考虑运用圆的标准方程.　　解（巧设圆心坐标）：∵圆心在直线上　　∴设圆心C的坐标为（3t,5t）　　又，∴　由此得　解之得.　　∴圆心C（3，5），半径.　　∴所求圆的方程为　　点评：已知条件中出现圆的切线，要想到利用圆的切线的性质.上述解答便是利用了圆的切线的性质之一，圆的切线垂直于经过切点的圆的半径.　　例8．已知圆C与圆相交，所得公共弦平行于已知直线，又圆C经过点A（-2，3），B（1，4），求圆C的方程。　　分析：题设条件中出现两圆的公共弦.对此，处置问题的常用方法有二：一是推导并利用公共弦所在直线的方程；二是充分利用两圆的公共弦的性质，着眼点不同，随之的解法也会不同.　　解法一（利用公共弦所在直线的方程）：设圆C方程为，则圆C与已知圆的公共弦所在直线方程为　　∴由题设得：　①　　又点A、B在圆C上，故有：　②　　③　　∴所求圆C的方程为：　　解法二（利用圆的性质）：由已知得圆C的弦AB的中点坐标为，　　∴圆C的弦AB的垂直平分线方程为　　④　　又已知圆圆心为　　∴两圆连心线所在直线的方程为　⑤　　设圆心C（a,b），则由④、⑤得　　　　解之得　　　　再注意到圆C的半径　∴所求圆C的方程为\n　　点评：两种解法各有所专长，仅就解题的严密性而言，解法二的优势明显一些.　　例9．已知圆M的方程为，点Q是x轴上的动点，QA、QB分别切圆M于A、B，试求弦AB的中点P的轨迹方程.　　分析：本题出现“切点弦”.鉴于问题的复杂性，我们考虑推导并利用圆的切点弦所在直线的方程.　　解：由已知得M（0，2），圆M方程为①　　设Q（t,0），则由①得切点弦AB所在直线方程为　　②　　　　又设P（x,y），则由得　　　③　　将③代入②得④　　讨论：当t=0时有x=0，代入②得满足④式，故点也是所求轨迹上的点.　　综上可知，所求弦AB的中点P的轨迹方程为：　.　　说明：这里的切点弦AB所在直线的方程②是需要推导或证明的.本题略去的推导或证明过程，请大家练习.　　例10．已知直线与⊙相交于A、B两点　　（1）当时，求⊙C的方程；　（2）当时，求⊙C的方程（O为原点）　　解：　（1）利用圆的性质，对交点坐标“不设不解”　注意到⊙C的方程为　　∴弦心距由得　\n　　　　∴所求⊙C方程为：　　或　　（2）对交点A、B坐标“既设又解”　　设、，　　将直线方程与⊙C方程联立得：　消去x得　　①　　由题意知：为方程①的两个不等实根　∴　②　　∴由韦达定理得：③　∴④　　又由　　∴⑤　　∴由③、④、⑤得：　　解得：a=3（满足②式）　∴所求⊙C方程为　　　　点评：在这里的“既设又解”中，“设”是真心实意地设（交点坐标）“解“是半心半意地解（方程组），解至中途转而运用韦达定理求解.　　例10的改作：　（1）已知⊙C：与直线相交于A、B两点，且（O为原点），求m的值.　　（2）已知⊙C的圆心坐标为，⊙C与已知直线相交于A、B两点，且（O为坐标原点），求⊙C方程　　（3）已知过点（3，0）的直线l与⊙C：相交于A、B两点且\n（O为坐标原点），求直线l的方程.　　五、高考真题　　（一）选择题　　1.“”是“直线与直线相互垂直”的（　　）　　A.充分必要条件　　　　　　　　B.充分而不必要条件　　C.必要而不充分条件　　　　　　D.既不充分又不必要条件　　2.设直线的倾斜角为，且，则a,b满足（　　）　　A.a+b=1　　　　B.a-b=1　　　　C.a+b=0　　　　D.a-b=0　　3.设直线的方程是，从1，2，3，4，5这五个数中每次取出两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是（　　）　　A.20　　　　　　B.19　　　　　　C.18　　　　　　D.16　　4.将直线沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆相切，则实数的值为（　　）　　A.–3或7　　　　B.–2或8　　　　C.0或10　　　　D.1或11　　5.已知直线l过点（－2，0），当直线l与圆有两个交点时，其斜率k的取值范围是（　　）　　A.　　　　B.　　C.　D.　　6.从原点向圆作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为（　　）　　A.　　　　　　　　B.　　　　　　　　C.　　　　　　　　D.　　　　　　　　　　7.已知点P（x,y）在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是（　　）　　A.[-2，-1]　　　　B.[-2，1]　　　　C.[-1，2]　　　　D.[1，2]　　8.已知圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为（　　）　　A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.　　\n（二）填空题　　1.直线关于直线x=1对称的直线方程是　　　　　　.　　2.设直线和圆相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程为　　　　　　.　　3.若经过点P（-1，0）的直线与圆相切，则此直线在y轴上的截距是　　　　　　.　　4.若，则x－y的最大值是　　　　　　.　5.已知直线与圆相交于A、B两点，且，则　　　　　　.6.由动点P向圆引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，，则动点P的轨迹方程为　　　　　　.　7.非负实数x,y满足，则的最大值为　　　　　　.　　8.设x,y满足约束条件，则使目标函数的值最大的点（x,y）是　　　　　　.　　9.设实数x,y满足，则的最大值为　　　　　　.　　（三）解答题　　1.如图，直线与直线之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2.　　　（1）分别用不等式组表示W1和W2；　　（2）若区域W中的动点P（x,y）到的距离之积为，求点P的轨迹C的方程；　　（3）设不过原点O的直线l与（2）中曲线C相交于两点，且与分别交于两点，求证：的重心与的重心重合.　　2.\n在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示），将矩形折叠，使A点落在线段DC上.　　（1）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；　　（2）求折叠的长的最大值.　　3.如图，直线与相交于点P，直线与x轴交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交直线于点，过点作x轴的垂线交于，……这样一直作下去，可得到一系列点P1，Q1，P2，Q2，……，点的横坐标构成数列.　　（1）证明：；　　（2）求系数的通项公式；　　（3）比较与+5的大小.　　分析与解答　　（一）选择题　　1.选B.　分析：当时，两直线为和，显然垂直，条件具充分性；　　当两直线互相垂直时，由得：　　或，条件不具必要性.　　故应选B.　　2.选D.　分析：由为倾斜为得　　　　　又由　　　　得，　　∴，即a=b，故应选D.　　3.选C.　　分析：注意到A、B的顺序，从1，2，3，4，5五个数中任取两个作为中A、B的值有种解法，但其中有“A=1，B=2”与“A=2，B=4”表示同一直线，“A=2，B=1”与“A=4，B=2”表示同一条直线，所以不同直线的条数为，应选C.　　4.选A.　分析：把直线即向左平移1个单位得直线\n.　　解法一：若注意到圆与y轴交于（0，0）和（0，4）两点，即圆与y轴的相交弦为x=0，当时，直线都和圆与y轴的相交弦相交，从而否定B，C，D，应选A.　　解法二：将代入圆方程得　　，　　当得　　　　解得或，从而应选A.　　5.选C.　分析：将直线代入得　　　，　故选C.　　6.选B.　分析：已知圆的圆心C（0，6），设两切点为A、B，　　则在中，，则　∴，应选B.　　7.选C.　　分析：首先由不等式确定可行域，而后研究目标函数（即）.　　　　结合图形易知：　　当直线，过点A（0，1）时，；　　当直线，过点B（2，0）时，，故应选C.　　8.选C.　　分析：已知圆圆心（1，0），其关于直线的对称点为（0，-1），由此否定A，B，D，应选C.　　（二）填空题　　1.分析：从点的对称切入，当直线上的点（0，0）关于的对称点为A（2，0），直线上的点（2，1）关于的对称点为B（0，1），则，从而直线AB的方程为，故所求对称直线方程为\n　　2.分析：已知圆圆心（1，0），，　∴弦AB的垂直平分线的斜率为，　　∴弦AB的垂直平分线的方程为，　故所求直线方程为：　　3.分析：已知圆方程为：，　经过点P（-1，0）且与圆相切的直线的斜率存在，　　设这一切线的方程为，　则，由此解题k=1，　　∴上述切线的方程为y=x+1，其在y轴上的截距是1，故应填1.　　4.分析：根据已知设，　　则（为辅助）　　∴x-y的最大值为　　5.分析：由题设在中，，　∴　　∴，　　∴应填　　6.分析：由题设得，∴　　又，，　　∴动点P的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆.　　∴动点P的轨迹方程为　　点评：首先认知动点P的运动轨迹，而后据此导出动点P的轨迹方程，此为求动点轨迹方程的又一途径。　　7.分析：由不等式组解得可行域.可行域边界上各交点的坐标分别为O（0，0），A（2，0），B（0，3），C（1，2），当，则比较u在各交点处的函数值得　　点评：在x,y不受其它限制的情况下，目标函数的最值一定是在可行域边界上的“交点”处取得.因此，相关问题均可仿7解决.　　8.分析：由不等式作出可行域，求出可行域边界上的各个“交点”的坐标，则仿7可得答案是点（2，3）.\n　　9.分析：由不等式组作出可行域，则可行域为所包围的平面区域（包含边界），　，，　　注意到表示区域内　　任一点P与原点的连线的斜率，　又，　　∴　　（三）解答题　　1.　分析：对于（1）从题设中的直线方程切入；对于（3），则可考虑推理并运用三角形重心坐标公式证明.为此，寻找三顶点同名坐标的和之间的联系.　　解：　（1）由题设得：　，　.　　（2）直线，　直线.　由题意得：，　即：①　　∵点　　∴　②　∴由①，②得：　　整理得　∴所求动点P的轨迹C的方程为：　　③　　（3）证明：　（Ⅰ）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为，　　∵直线l，曲线C关于x轴对称　并且与关于x轴对称.　∴\n的中点坐标均为（a，0），　　∴的重心坐标均为，　即它们的重心重合.　　（Ⅱ）当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为：　　　④　　④代入③得：　　由题意知这里：且　　　　⑤　　设，则由韦达定理得：　　　又设　则由　得，由　得，　　∴，　　　于是可得：，　　即的重心与的重心重合.　　点评：　　（1）这里区域.　　（2）根据三角形重心坐标公式，要证明上述两个三角形的重心重合，只要证三顶点的同名坐标的算术平均数分别相等.于是，计算、推理的方向便更加明确了.　　2.　分析：（1）由题设，知折痕上点的坐标特征，故求折痕所在直线的方程时考虑运用待定参数法；　　（2）利用（1）的结果，先求折痕之长的函数表达式，归结为函数的最值问题.　　解：　（1）设折叠后A在DC边上的对应点为，　　并设折痕EF所在直线的方程为　　（Ⅰ）当k=0时，与D重合（水平折线），折痕所在直线的方程为\n　　（Ⅱ）当，由题设知与关于折痕所在直线EF对称，　　∴且的中点在直线EF上，　∴　　且　　∴，　∴折痕EF所在直线方程为：　　于是综合（Ⅰ）、（Ⅱ）得折痕EF所在直线方程为　　　　（2）由（1）知线段EF的方程为　　（※）　　当E与D重合时，E点坐标为（1，0），由（※）得k=-1；　　当F与B重合时，F点坐标为（2，0），由（※）得　　（Ⅰ）当E在OD上，F在OB上时，由（※）得则∴当得，即　∴当时，，则l是k的减函数，此时；　　当时，，则l是k的增函数，此时；　　（Ⅱ）当E在DC上，F在OD上时，　　由（※）得　　则是k的增函数，　　此时，\n　　（Ⅲ）当E在OD上，F在BC上时，，　　由（※）得　　则是k的减函数，　此时　　　　于是综合（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）得的最大值为和中的最大者.　　注意到　成立，　　∴，　而　　∴　于是可知折痕EF的最大值为：　　点评：根据题意作出图形（比较这里的2（Ⅰ），可使我们的寻求目标明确，解题思路明朗，同时也可从中受到直观启发或猜想.图形的积极作用是人所共知的.但是，事物都是一分为二的.当问题比较复杂时，我们所作出的图形只是诸多情况中的一种，因而很容易“以一种倾向掩盖另一种倾向”，导致我们解题的疏漏或缺憾，（忽略（Ⅱ）、（Ⅲ））.因此，当我们刻意借助图形解题时，要注意多方位、多角度地考察问题，立足考察的这一种情形，寻觅可能存在的其它情形.为此，不仅有利于解好这个题，而且有利于我们思路的开阔以及思维的缜密，均有益处.　　3.　　分析：　（1）注意到为点的横坐标，所以设出之后，从寻找，坐标切入；　　（2）利用（1）的结果认知的相关数列的特性，推导的表达式；　　（3）首先整理、化简以及的表达式，而后根据具体情况选择比较大小的手段.解：（1）证明：设点的坐标为，则由题设得　点的坐标为点的坐标为　　∵点在直线上，∴　∴　　即：\n　　（2）解：由题设知，　　又由（1）知　　∴数列是首项为，　公比为的等比数列，　∴，　　即：　　（3）解：由　解得，　　即P（1，1）∴①　　∴　　②　　（Ⅰ）当时，由②得，　　而此时，由①得　∴此时；　　（Ⅱ）当时，由②得，　　而此时，由①得　\n∴此时.　　于是综合（Ⅰ）、（Ⅱ）得：　　当时，；　　当时，　　点评：对于（3），在化简、整理出与的表达式中，根据①，②两式的结构特征，它们不适于比较法等直接比较的方法，于是想到借助“媒介值”来进行比较！因此，为寻找①式的上（确）界和下（确）界，想到从比较与1的大小为主线展开讨论.