高中数学必修一函数教案 10页

函数教案教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想.教学目的：(1)通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；(2)了解构成函数的要素；(3)会求一些简单函数的定义域和值域；(4)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学难点：符号"y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；一、与函数相关的概念(一)函数的有关概念1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A-B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x),x€A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛f(x)|x€A｝叫做函数的值域.注息：①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；②函数符号"y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x.2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3.区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示.4.一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论^判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数，说明理由？(1)f(x)=(x—1)0;g(x)=1(2)f(x)=x;g(x)=Vx2(3)f(x)=x2;f(x)=(x+1)2(4)f(x)=|x|;g(x)=xx2(二)课堂练习求下列函数的定义域11一2一—(1)f(x)(2)f(x)(3)f(x)%x4x5xIxl11x,4x2)(4)f(x)(5)f(x)Vx26x10(6)f(x)*1xvx31x1(三)函数的复合型\n设y是u的函数y=f(u),而u又是x的函数u=g(x),设M表示u=g(x)的值域，N是函数y=f(u)的定义域,当M?N,则y成为x的函数，记为y=f[g(x)].这个函数叫做由y=f(u)及u=g(x)复合而成的复合函数,u叫做中间变量,f称为外层函数,g称为内层函数二、函数的表达方式函数的表达方式：解析法、图像法、列表法(一)解决函数问题【例1】某种笔记本的单价是5元，买x(xC{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).【例2】将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数关系式，并求定义域和值域，作出函数的图象.【例3】向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是()kWBSHABCD【例4】求下列函数的值域：(1)y=x2-2x(-1WxW2);(2)y=x4+1.注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.三、函数的映射1.对于任何一个实数a,数轴上都有唯一的点P和它对应；2.对于坐标平面内任何一个点A,都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；3.对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；4.函数的概念.新课教学1、函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射.2、什么叫做映射？一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射、记作“f:AB”一、/注息：(1)这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的.其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述.(2)“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？(1)A={P|P是数轴上的点},B=R,对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)A={P|P是平面直角体系中的点},B={(x,y)|xCR,yCR},对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；(3)A={三角形},B={x|x是圆},对应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆；四、函数的单调性教学目的：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性.教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性.一、引入课题1.观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：\n②能否看出函数的最大、最小值？③函数图象是否具有某种对称性？二、新课教学(一)函数单调性定义1.增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量X1,X2,当X11的解集.五、函数的奇偶性教学目的：(1)理解函数的奇偶性及其几何意义；(2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质；(3)学会判断函数的奇偶性.教学重点：函数的奇偶性及其几何意义.一、新课教学(一)函数的奇偶性定义图象关于y轴对称的函数即是偶函数，图象关于原点对称的函数即是奇函数.\n1.偶函数：对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(—x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.2.奇函数：对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(—x)=f(x),那么f(x)就叫做奇函数.注息：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内白^任意一个x,则—x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).(二)具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.(三)典型例题1.判断函数的奇偶性：若f(—x)=f(x)或f(—x)—f(x)=0,则f(x)是偶函数；若f(—x)=—f(x)或f(—x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.3.函数的奇偶性与单调性的关系例1.已知f(x)是奇函数，在(0,+8)上是增函数，证明：f(x)在(一8,0)上也是增函数规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致.作业：判断下列函数的奇偶性：„2x2x°①f(x)2x2x；Qf(x)x32x；d)f(x)a(xR)x14f(x)x(1x)x0,x(1x)x0.思考：已知f(x)是定义在R上的函数,设g(x)f(x)f(x),h(x)f(x)f(x)22⑷试判断g(x)与h(x)的奇偶性;②试判断g(x),h(x)与f(x)的关系；③由此你能猜想得出什么样的结论，并说明理由.六、函数的最值问题教学重点：函数的最大(小)值及其几何意义.教学难点：利用函数的单调性求函数的最大(小)值.利用函数的单调性判断函数的最值问题一、新课教学(一)函数最大(小)值定义1.最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：(1)对于任意的xC,都有f(x)WM；(2)存在xoCI,使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最大值.注息：①函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在x0€I,使得f(x0)=M;\n①函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的xCI,都有f(x)WM(f(x)>M).1.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值②利用图象求函数的最大(小)值(3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值如果函数y=f(x)在区间［a,b］上单调递增，在区间［b,c］上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间［a,b］上单调递减，在区间［b,c］上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);(二)典型例题2求函数y在区间［2,6］上的最大值和最小值.x1七、方程的根和函数的零点一元二次方程及其相应的二次函数①方程x2-2x-3=0的解为，函数y=x2-2x-3的图象与x轴有个交点，坐标为.②方程x2-2x+1=0的解为，函数y=x2-2x+1的图象与x轴有个交点，坐标为.根据以上观察结果，可以得到：结论：一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与x轴交点的.若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图象与x轴无交点.函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD),把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点.函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标.即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.函数零点的求法：求函数yf(x)的零点：yf(x)的图象联系起来，并利用d(代数法)求方程f(x)0的实数根;②(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数函数的性质找出零点二次函数的零点：二次函数：yax2bxc(a0).2(1)△>o,万程axbxc0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点.(2)△=0,方程ax2bxc0有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与x轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.\n(3)4<0,方程ax2bxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点.1.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：2222(1)x3x50;(2)2x(x2)3；(3)x4x4；(4)5x2x3x5.2.利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：(1)f(x)x33x5；(2)f(x)2xln(x2)3;(3)f(x)ex14x4;⑷f(x)3(x2)(x3)(x4)x3.当aR时，函数f(x)的零点是怎样分布的？(1)研究yax2bxc,ax2bxc0,(2)ax2bxc0,ax2bxc0的相互关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试用一种系统的、简洁的方式总结表达.函数二分法及步骤：对于在区间［a,b］上连续不断，且满足f(a)•f(b)0的函数yf(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.给定精度，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：1.确定区间［a,b］,验证f(a)•f(b)0,给定精度；2.求区间(a,b)的中点x1；3.计算f(x1):二分法的一般步骤：①若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;0若f(a)•f(x［)<0,则令b=x1(此时零点x0(a,x1))；③若f(x1)•f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0(x1,b))；4.判断是否达到精度；即若|ab|,则得到零点零点值a(或b)；否则重复步骤2~4.\n八、指数函数1.整数指数哥的运算性质；mnmnaaa.m.nmn(a)annn(ab)ab2.根式的概念；如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a,那么这3数叫做a的立方根；(一)指数与指数塞的运算1.根式的概念一般地，如果xna,那么x叫做a的n次方根，其中n>l,且neN*.当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.此时，a的n次方根用符号n/a表示.式子nW叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数a的正的n次方根用符号族表示，负的n次方根用符号一n£表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并成土nl~a(a>0).由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作n/00.结论：当n是奇数时，疗a当n是偶数时，Van|a|a(a0)a(a0)2.分数指数哥正数的分数指数哥的意义规定：man中am(a0,m,nN*,n1)*(aQm,nN,n1)nm.a0的正分数指数哥等于03.有理指数哥的运算性质(1)ar-arars⑵(ar)sars(3)(ab)raras0的负分数指数哥没有意义(a0,r,sQ);(a0,r,sQ);(a0,b0,rQ).指数函数的一般形式(一)指数函数的概念\n般地，函数yax（a0,且a1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.函数一般性质图象特征函数性质a10a1a10a1向x、y轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点（0,1）a01自左1可右看，图象逐渐上升自左1可右看，图象逐渐下降增函数减函数在第L象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1x0,ax1x0,ax1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1_xx0,a1_xx0,a1图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了杲一值后增长速度极快；函数值开始减小极快，到了杲一值后减小速度较慢；九、对数函数(一)对数函数性质和运算(1)对数的定义：abNlogaNb；(2)对数恒等式：a10gaNN,logaabb;1.对数的运算性质运算性质：如果a0,且a1,M0,N0,那么：③l0ga(M-N)logaM+logaN；④l0gaMlOgaM-10gaN；N⑤logaMnnlogaM(nR).2.换底公式logcblogab(a0,且a1；c0,且c1；b0)logca3.对数函数一般变形..nn1(1)logamb—logab；(2)logab.mlogba思考题：设正整数a、b、c(awbwc)和实数x、y、z、满足：\ncz30求a、b、c的值.(二)对数函数的图象和性质内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性.(1)在同一坐标系中画出下列对数函数的图象;（1）ylog2x（2）ylog〔x2（3）y10g3x（4）ylog1x3(2)对数函数的性质如下表格:图象特征函数性质a10a1a10a1函数图象都在y轴右侧函数的定义域为(0,+°°)图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R函数图象都过定点(1,1)11自左1可右看，图象逐渐上升自左1可右看，图象逐渐下降增函数减函数A象限的图象纵坐标都大于0A象限的图象纵坐标都大于0x1,logax00x1,logax0第二象限的图象纵坐标都小于0第二象限的图象纵坐标都小于00x1,logax0x1,logax0作业练习:11x(1)已知函数f(x)1log2L^,求函数f(x)的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性x1x(2)求函数f(x)ylog0.2(x24x5)的单调区间十、哥函数.一般地，形如yx(aR)的函数称为哥函数，其中为常数.1(1)yx;(2)yx2；(3)yx2;,1,、3(4)yx；(5)yx.\n哥函数性质归纳.（1）所有的哥函数在（0,+8）都有定义，并且图象都过点（1,1）；（2）0时，哥函数的图象通过原点，并且在区间[0,）上是增函数.特别地，当1时，哥函数的图象下凸；当01时，哥函数的图象上凸；（3）0时，哥函数的图象在区间（0,）上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.