人教版高中数学(必修五)教案 59页

1.1.1正弦定理●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教学过程：一、复习准备：1.讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？2.由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形.已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角）是否可以把边、角关系准确量化？→引入课题：正弦定理二、讲授新课：1.教学正弦定理的推导：①特殊情况：直角三角形中的正弦定理：sinA=sinB=sinC=1即c=.②能否推广到斜三角形？（先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据三角函数的定义，有,则.同理，③*其它证法：证明一：（等积法）在任意△ABC当中S△ABC=.两边同除以即得：==.证明二：（外接圆法）如图所示，∠A＝∠D，∴，同理=2R，＝2R.证明三;过点A作单位向量，C由向量的加法可得则AB59\n∴∴，即同理，过点C作，可得从而类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）④正弦定理内容：===2R简单变形；基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值.2.教学例题：①例1：在中，已知，，a=10cm，解三角形.②例2：.讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？思考后见（P8-P9）3.小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论.1.1.1正弦定理一、教学目标:熟练掌握正弦定理运用。培养学生发现数学规律的思维方法与能力；通过对定理的应用，培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法.二、知识复习:(1)正弦定理：，(2)推论：正余弦定理的边角互换功能①，，②，，59\n③==④三、典型例题讲解：（1-2题先让学生练习、老师再讲解）1．在△ABC中，已知，则∠B等于（）A．B．C．D．2．在△ABC中，已知，则这样的三角形有________个．3．在△ABC中，若,求的值．解　　由条件∴同理可得∴＝＝四、课堂练习:一、选择题1．一个三角形的两内角分别为与，如果角所对的边长是６，那么角所对的边的边长为（　　）．Ａ．　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．2．在△ABC中，若其外接圆半径为Ｒ，则一定有（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3．在△ABC中，，则△ABC一定是（　　　）Ａ．等腰三角形Ｂ．直角三角形Ｃ．等腰直角三角形Ｄ．等腰三角形或直角三角形解：在△ABC中，∵，∴，由正弦定理，得。∴2A＝2B或2A＋2B＝180°，∴A＝B或A＋B＝90°。故△ABC为等腰三角形或直角三角形。二、填空题4．在△ABC中，已知且Ｓ△ABC＝　，则Ｃ＝_______59\n5．如果，那么△ABC是三、解答题6．在△ABC中，若ＡＢ＝２，ＢＣ＝５，面积Ｓ△ABC＝４，求的值．解　由条件Ｓ△ABC＝∴当B为锐角时，由∴当B为钝角时，由∴7．在△ABC中，分别为内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，若,求Ａ的值．解∵Ｂ＝Ａ＋∴又∴∴∴又∵∴8．在△ABC中，求证：解：.59\n1.1.2余弦定理（第一课时）教学目标知识与技能：1.掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2.能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题过程与方法：1.学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的一种数量关系——余弦定理2.在探究学习的过程中，认识到余弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力情感、态度与价值观：1.通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，培养探索精神和创新意识2.在运用余弦定理的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界3.通过本节的学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素养教学重点：余弦定理的证明及应用教学难点：向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程教学过程一，创设情境，课题导入1.复习：已知，解三角形（学生板演）2.若将条件改成如何解三角形？设计意图：把研究余弦定理的问题和平面几何中三角形全等判定的方法建立联系，沟通新旧知识的联系，引导学生体会量化的思想和观点师生活动：用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角解三角形”：已知和角，求解引出课题：余弦定理二．设置问题，知识探究1.探究：我们可以先研究计算第三边长度的问题，那么我们又从哪些角度研究这个问题能得到一个关系式或计算公式呢？设计意图：期望能引导学生从各个不同的方面去研究、探索得到余弦定理师生活动：从某一个角度探索并得出余弦定理A3.考虑用向量的数量积，如图BC59\n设，那么，即引导学生证明：3.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍三．典型例题剖析1.例1.在中，已知解三角形分析：已知三角形的两边和它们的夹角解三角形，基本思路是先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求其各角变式引申：在中，已知，解三角形2.探究：余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式，把这个关系式做某些变形，是否可以解决其他类型的解三角形问题？设计意图：（1）引入余弦定理的推论；（2）对一个数学式子做某种变形，从而得到解决其他类型的数学问题的方法，这是一种研究问题的方法师生活动：对余弦定理做某些变形，研究变形后所得关系式的应用，因此应把重点引导到余弦定理的推论上去，即讨论已知三边求角的问题引入余弦定理的推论：，，公式作用：（1）已知三边求三角（2）若A为直角，则,从而；若A为锐角，则，从而；若A为钝角，则，从而例2.已知在中，，求先让学生自己分析、探索，老师进行引导、启发和补充，最后师生一起求解总结：对于已知三角形的三边求三角这种类型，解三角形的基本思路是先由余弦定理求出两角，再用三角形内角和定理求出第三角变式引申：在中，，求让学生板演，师生共同评判3.三角形形状的判定例3.在中，,试确定此三角形的形状59\n求解思路：判断三角形的形状可有两种思路：一是利用边之间的关系来判断，在运算过程中，尽可能把角的关系转化为边的关系；二是利用角之间的关系来判断，将边转化为角变式引申：在中，若，并且，判断三角形的形状四．课堂检测反馈1．已知在中，，则（）2.在中,若，则的最大角的度数为（）3.在中，,则的形状是（）锐角三角形直角三角形钝角三角形非钝角三角形五．课时小结1.学生自己归纳、补充，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力，教师总结2.运用向量方法推导出余弦定理，并能灵活运用余弦定理解决解三角形的两种类型及判断三角形的形状问题六．课后作业课本第10页A组3（2），4（2）B组第2题59\n§2.1.1数列的概念与简单表示法授课类型：新授课（第1课时）●教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣●教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用●教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式●教学过程Ⅰ.课题导入4，5，6，7，8，9，10．①1，，，，，….②1，0.1，0.01，0.001，0.0001，….③1，1.4，1.41，1.414，….④-1，1，-1，1，-1，1，….⑤2，2，2，2，2，….⑥观察这些例子，看它们有何共同特点？（启发学生发现数列定义）上述例子的共同特点是：⑴均是一列数；⑵有一定次序.从而引出数列及有关定义Ⅱ.讲授新课⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.⒊数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第n项结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义.②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“”是这个数列的第“3”项，等等59\n下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项↓↓↓↓↓序号12345这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：来表示其对应关系即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系⒋数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是，也可以是.⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、f(2)、f(3)、f(4)…，f(n)，…6．数列的分类：1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列2）根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列[范例讲解]例1根据下面数列的通项公式，写出前5项：（1）59\n分析：由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项解：（1）(2)例2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7；（2）（3）-，，-，.解：（1）项1=2×1-13=2×2-15=2×3-17=2×4-1↓↓↓↓序号1234即这个数列的前4项都是序号的2倍减去1，∴它的一个通项公式是：；（2）序号：1234↓↓↓↓项分母：2=1+13=2+14=3+15=4+1↓↓↓↓项分子：22-132-142-152-1即这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，∴它的一个通项公式是：；（3）序号‖‖‖‖这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是：59\nⅢ.课堂练习课本[练习]3、4、5[补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3,5,9,17,33,……；(2),,,,,……；(3)0,1,0,1,0,1,……；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,……；(5)2,－6,12,－20,30,－42,…….解：(1)＝2n＋1；(2)＝；(3)＝；(4)将数列变形为1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1,7＋0,8＋1,……,∴＝n＋；(5)将数列变形为1×2,－2×3,3×4,－4×5,5×6,……，∴＝(－1)n(n＋1)Ⅳ.课时小结本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。Ⅴ.课后作业课本习题2.1A组的第1题§2.1.1数列的概念与简单表示法【课前预习】1、在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x的值是　A、19　　B、20　C、21D、222、观察下面数列的特点，用适当的数填空（1），，，，；（2），，，，，。3.已知数列，，则.4根据下列数列的前几项的值，写出它的一个通项公式。（1）数列0.7,0.77,0.777,0.7777,…的一个通项公式为.（2）数列4,0,4,0,4,0,…的一个通项公式为.（3）数列的一个通项公式为.59\n5.已知数列满足，，则.1C2（1）1，（2）3.294.（1）an=;（2）an=2+2·(-1)n+1（3）5.【课内探究】1展示三角形数、正方形数，提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？（1）概括数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。（2）辩析数列的概念：“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2，4，5”呢？给出首项与第n项的定义及数列的记法：{an}（3）数列的分类:有穷数列与无穷数列；递增数列与递减数列，常数列。3数列的表示方法（1）函数y=7x+9与y=3x，当依次取1，2，3，…时，其函数值构成的数列各有什么特点？（2）定义数列{an}的通项公式（3）数列{an}的通项公式可以看成数列的函数解析式，利用一个数列的通项公式，你能确定这个数列的哪些方面的性质？（4）用列表和图象等方法表示数列，数列的图象是一系列孤立的点。4、例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，-1/2，1/3，-1/4；（2）2，0，2，0．【课后提高】1.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，…的第100项是.2.数列{an}中，a1=1,对于所有的n≥2，n∈N*都有a1·a2·a3·…·an=n2，则a3+a5=.3.数列-1,，-，，…的一个通项公式是.4.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖块.（用含n的代数式表示）5.若数列{an}的通项公式an=，记f（n）=2(1-a1)(1-a2)…(1-an)，试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)=(用含n的代数式表示）.59\n6.根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：（1），，，，，…（2），2，，8，，…（3）5，55，555，5555，55555，…（4）5，0，-5，0，5，0，-5，0，…（5）1，3，7，15，31，…（3）联想=10n-1,则an===(10n-1),即an=(10n-1).（4）数列的各项都具有周期性，联想基本数列1，0，-1，0，…，则an=5sin.（5）∵1=2-1，3=22-1，7=23-1，…∴an=2n-1故所求数列的通项公式为an=2n-1.59\n§2.1.2数列的概念与简单表示法授课类型：新授课（第２课时）●教学目标知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与的关系过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。●教学重点根据数列的递推公式写出数列的前几项●教学难点理解递推公式与通项公式的关系●教学过程Ⅰ.课题导入[复习引入]数列及有关定义Ⅱ.讲授新课数列的表示方法通项公式法如果数列的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。如数列的通项公式为； 的通项公式为；　　的通项公式为；图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．递推公式法知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．59\n观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．模型一：自上而下：第1层钢管数为4；即：14＝1+3第2层钢管数为5；即：25＝2+3第3层钢管数为6；即：36＝3+3第4层钢管数为7；即：47＝4+3第5层钢管数为8；即：58＝5+3第6层钢管数为9；即：69＝6+3第7层钢管数为10；即：710＝7+3若用表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且≤n≤7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。即；；依此类推：（2≤n≤7）对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。定义：递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是给出数列的一种方法。如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89递推公式为：数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第一项，……，用表示第项，依次写出成为4、列表法．简记为．[范例讲解]例1设数列满足写出这个数列的前五项。59\n解：分析：题中已给出的第1项即，递推公式：解：据题意可知：，[补充例题]例2已知，写出前5项，并猜想．法一：，观察可得法二：由∴即∴5．数列的前n项和：数列中，称为数列的前n项和，记为.表示前1项之和：=表示前2项之和：=……表示前n-1项之和：=表示前n项之和：=.∴当n≥1时才有意义；当n-1≥1即n≥2时才有意义.3．与之间的关系：由的定义可知，当n=1时，=；当n≥2时，=-，即=.说明：数列的前n项和公式也是给出数列的一种方法.三、例题讲解例3已知数列的第1项是1，以后的各项由公式给出，写出这个数列的前5项59\n分析：题中已给出的第1项即，递推公式：解：据题意可知：例4已知数列中，≥3），试写出数列的前4项解：由已知得例5已知，写出前5项，并猜想．法一：，观察可得法二：由∴即∴∴例6已知数列的前n项和，求数列的通项公式：⑴=n+2n；⑵=n-2n-1.解：⑴①当n≥2时，=-=(n+2n)-[(n-1)+2(n-1)]=2n+1；②当n=1时，==1+2×1=3；③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3，∴=2n+1为所求.⑵①当n≥2时，=-=(n-2n-1)-[(n-1)+2(n-1)-1]=2n-3；②当n=1时，==1-2×1-1=-2；③经检验，当n=1时，2n-3=2×1-3=-1≠-2，∴=为所求.59\nⅢ.课堂练习课本P36练习2Ⅳ.课时小结本节课学习了以下内容：1．递推公式及其用法；2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.Ⅴ.课后作业习题2。1A组的第4、6题学校：临清二中学科：数学编写人：赵云雨一审：李其智二审：马英济§2.1.2数列的概念与简单表示法课前预习1.数列的一个通项公式是（）A.B.C.D.2.已知，则数列是（）中学学科网A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列3.数列的通项公式为，则数列各项中最小项是（）A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项4.已知数列的通项公式为，则3（）A.不是数列中的项B.只是数列中的第2项C.只是数列中的第6项D.是数列中的第2项或第6项5.数列中，由给出的数之间的关系可知的值是（）中学学科网A.12B.15C.17D.186.下列说法正确的是（）数列1，3，5，7可表示为数列1，0，与数列是相同的数列数列的第项是D.数列可以看做是一个定义域为正整数集的函数59\n7.数列的前n项和，则。1.B2.A3.B4.D5.B6.C7课内探究1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式(1)＝0,＝＋(2n－1)(n∈N)；(2)＝1,＝(n∈N)；(3)＝3,＝3－2(n∈N).解：(1)＝0,＝1,＝4,＝9,＝16,∴＝(n－1);(2)＝1,＝,＝,＝,＝,∴＝;(3)＝3＝1+2,＝7＝1+2,＝19＝1+2,＝55＝1+2,＝163＝1+2,∴＝1＋2·3;2．．已知下列各数列的前n项和的公式，求的通项公式(1)＝2n－3n;(2)＝－2.解：(1)＝－1,=-＝2n－3n－[2(n－1)－3(n－1)]＝4n－5,又符合＝4·1－5,∴＝4n－5;(2)＝1,=-＝－2－(－2)＝2·,∴＝∴课后提高59\n1.设数列则是这个数列的A.第六项B.第七项C.第八项D.第九项2.数列的前n项积为，那么当时，的通项公式为A.B.C.D.3、若一数列的前四项依次是2，0，2，0，则下列式子中，不能作为它的通项公式的是（）。（A）an=1－(－1)n（B）an=1＋(－1)n＋1（C）an=2sin2（D）an=(1－cosnπ)＋(n－1)(n－2)4.在数列中，，，则的值是A.B.C.D.5.数列的一个通项公式是。6.数列的前n项和，则。7.数列满足，则。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8.根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第个图中有___________个点.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（1）（2）　（3）　　（4）　　　　　　　（5）59\n9.已知数列的前n项和，数列的前n项和，（1）若，求的值；（2）取数列中的第1项,第3项,第5项,构成一个新数列,求数列的通项公式.10.（1）已知数列的前n项和公式，求的通项公式　①；　　　　　　　②1—4、BDDA　　5、　　6、　　7、161　8、8、　　9、（1）36　　（2）　　　　　10(1)(2)59\n等差数列教案教学目标：知识与能力：理解等差数列的定义；掌握等差数列的通项公式；培养学生的观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程思想过程与方法：经历等差数列的产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的能力。情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析能力，体验从特殊到一般认知规律，培养学生积极思维，追求新知的创新意识。教学重点：理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，体会等差数列与一次函数之间的联系。教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。教学准备：根据本节知识的特点，为突出重点、突破难点，增加教学容量，便于学生更好的理解和掌握所学的知识，我利用计算机辅助教学。教学过程：创设情境，课题导入复习上节课学习的数列的定义及数列的表示法。这些方法从不同的角度反映了数列的特点，下面我们来看这样的一些数列：（大屏幕显示课本41页的四个例子）⑴、05101520……⑵、48535863⑶、1815.51310.585.5⑷、1007210144102161028810360提出问题：以上四个数列有什么共同的特征？请同学们互相讨论。（二）设置问题，形成概念等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数就叫做等差数列的公差，常用字母d表示。提出问题：等差数列的概念中的几个关键点是什么？数学语言：或≥1)理解等差数列的概念是本节课的重点，为了加深对概念的理解，让学生讨论课本45页练习第4题，教师总结。（三）等差数列的通项公式提出问题：如同我们在前一节看到的，能否确定一个数列的通项公式对研究这个数列具有重要的意义。数列⑴、⑵、⑶、⑷的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？再问：若一个无穷等差数列｛｝，首项是，公差为d，怎样得到等差数列的通项公式？（引导学生根据等差数列的定义进行归纳）即：即：即：……59\n至此，让学生自己猜想通项公式是什么，使学生体会归纳、猜想在得出新结论中的作用。此处由归纳得出的公式只是一个猜想，严格的证明需要用数学归纳法的知识，在这里，我们暂且先承认它，我们能否再探索一下其他的推导方法？　（然后学生在教师的引导下一起探索另外的推导方法）叠加法：｛｝是等差数列，所以：……两边分别相加得：所以：迭代法：｛｝是等差数列，则：=……=所以：　　由以上关系还可得：即：则：=即得等差数列的第二通项公式：（四）通项公式的应用：观察通项公式并提出问题：要求等差数列的通项公式只需要求谁？再追问：通项公式中有几个未知量？再追问：要求其中的一个，需要知道其余的几个？例1、等差数列｛｝中，⑴已知：求⑵已知：求⑶已知：求⑷已知：求59\n（题目比较简单，照顾到全体学生，使学生深刻掌握等差数列的通项公式，从而打好基础。）例2、1、求等差数列8、5、2……的第20项解：由得：2、是不是等差数列、、……的项？如果是，是第几项？解：由得由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得：成立解得：即是这个数列的第100项。例3、某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？分析：可以抽象为等差数列的数学模型。4km处的车费记为：公差当出租车行至目的地即14km处时，n=11求所以：例4：数列是等差数列吗？（引导学生根据等差数列的定义求解，就是看是不是一个与n无关的常数。）所以：｛｝是等差数列引申：已知数列｛｝的通项公式，其中、为常数，这个数列是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？　　（指定学生求解）解：取数列｛｝中任意两项和它是一个与n无关的常数，所以｛｝是等差数列？并且：59\n小结：上节课我们已学习过数列是一种特殊的函数，那么由此题启示，等差数列是哪一类函数？等差数列是关于正整数ｎ的一次函数，还可以是常数函数，当ｄ＝０的时候。通过例三，我们能否总结一下，到目前为至我们有哪些方法来判断一个数列是等差数列？　（学生讨论、回答，教师补充）一是利用定义：或≥1)二是利用通项公式：　　是关于ｎ的一次函数或常数函数。课堂检测反馈：求等差数列10、８、６…的第２０项。－20是不是等差数列０、3.5、－7…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。等差数列｛｝中，已知：求和等差数列｛｝中，已知：求等差数列｛｝中，已知：求、（五）课时小结：（学生自己归纳、补充，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力，教师总结）等差数列的定义：或≥1)等差数列的通项公式：或（六）课后作业：课本45页习题2．2（A组）3、42.2.1等差数列导学案一、课前预习：1、预习目标：①通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；②能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；③体会等差数列与一次函数的关系。2、预习内容：59\n（1）、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的差等于同一个，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母表示。（2）、等差中项：若三个数组成等差数列，那么A叫做与的，即或。（3）、等差数列的单调性：等差数列的公差时，数列为递增数列；时，数列为递减数列；时，数列为常数列；等差数列不可能是。（4）、等差数列的通项公式：。二、课内探究学案例1、1、求等差数列8、5、2……的第20项解：由得：2、是不是等差数列、、……的项？如果是，是第几项？解：由得由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得：成立解得：即是这个数列的第100项。例2、某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？分析：可以抽象为等差数列的数学模型。4km处的车费记为：公差当出租车行至目的地即14km处时，n=11求所以：例3：数列是等差数列吗？变式练习：已知数列｛｝的通项公式，其中、为常数，这个数列是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？　　（指定学生求解）解：取数列｛｝中任意两项和59\n它是一个与n无关的常数，所以｛｝是等差数列？并且：三、课后练习与提高在等差数列中，已知求=已知求已知求已知求2、已知，则的等差中项为（）ABCD3、2000是等差数列4，6，8…的（）A第998项B第999项C第1001项D第1000项4、在等差数列40，37，34，…中第一个负数项是（）A第13项B第14项C第15项D第16项5、在等差数列中，已知则等于（）A10B42C43D456、等差数列-3，1，5…的第15项的值为7、等差数列中，且从第10项开始每项都大于1，则此等差数列公差d的取值范围是8、在等差数列中，已知，求首项与公差d59\n9、在公差不为零的等差数列中，为方程的跟，求的通项公式。10、数列满足，设判断数列是等差数列吗？试证明。求数列的通项公式11、数列满足，问是否存在适当的，使是等差数列？59\n（2），注：有学生在解本题第二问的时候，通过已知条件写出数列的前几项，然后猜想通项公式，由于猜想的公式需要证明，所以这种解法在现阶段是有问题的。11、解：假设存在这样的满足题目条件。由已知可得即，满足等差数列的定义，故假设是正确的。即存在适当的的值使数列为公差为的等差数列。由已知条件，令59\n即，解得。2.2.2等差数列的性质教案一、教学目标：知识与技能：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式,能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。过程与方法：通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。二、教学重点、难点：重点：等差数列的性质及推导。难点：等差数列的性质及应用。三、新课讲解：等差数列的常见性质：若数列为等差数列，且公差为，则此数列具有以下性质：①；②；③若（），则；④。证明：①左边=，右边=左边②由可得；由可得③左边右边又因为，所以左边=右边，故得证。④左边右边=左边等差数列的其它性质：59\n①为有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即。②下标成等差数列且公差为的项组成公差为的等差数列。③若数列和均为等差数列，则（为非零常数）也为等差数列。④个等差数列，它们的各对应项之和构成一个新的等差数列，且公差为原来个等差数列的公差之和。四、例题讲解：例1、已知是等差数列，,求数列的公差及通项公式。Key：d=2，an=2n+1【变式】已知是等差数列，（1）已知：,求（2）已知：,求。Key（1）=24（2）=185例2、已知是等差数列，若,求。Key：=180【变式1】在等差数列中，已知则等于（）A.40　　　　B.42　　　　C.43　　　　D.45Key：B59\n【变式2】等差数列中，已知为（）A.48B.49C.50D.51Key：C【变式3】已知等差数列中，，则的值为（）A．15B．30　　C．31　D．64Key：A五、小结：本节课的主要内容是等差数列的性质，对这些性质我们应当熟练掌握，并能够在解题过程中灵活的运用，以便简化解题过程。2.2.2等差数列的性质导学案临清市第二中学数学编写人：李其智审稿人：马英济一、课前预习：等差数列的常见性质：若数列为等差数列，且公差为，则此数列具有以下性质：①；②；③若（），则；④用等差数列的定义证明：二、课内探究：1、等差数列的其它性质：①为有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即。②下标成等差数列且公差为的项组成公差为的等差数列。③若数列和均为等差数列，则（为非零常数）也为等差数列。59\n④个等差数列，它们的各对应项之和构成一个新的等差数列，且公差为原来个等差数列的公差之和。2、典例分析：例1、已知是等差数列，,求数列的公差及通项公式。Key：d=2，an=2n+1【变式】已知是等差数列，（1）已知：,求（2）已知：,求。Key（1）=24（2）=185例2、已知是等差数列，若,求。Key：=180【变式1】在等差数列中，已知则等于（）A.40　　　　B.42　　　　C.43　　　　D.45Key：B【变式2】等差数列中，已知为（）A.48B.49C.50D.51Key：C【变式3】已知等差数列中，，则的值为（）A．15B．30　　C．31　D．64Key：A59\n三、课后提高：1、已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（）A．30B．45C．90D．1862、已知{an}为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则a5=____________3、三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数．．4、已知a、b、c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列．答案1、【解析】由,所以【答案】C2、【标准答案】：１５【试题解析】：由于为等差数列，故∴3、解设三个数分别为x－d，x，x＋d．解得x＝5，d＝±2∴所求三个数为3、5、7或7、5、3说明注意学习本题对三个成等差数列的数的设法4、证∵a、b、c成等差数列∴2b=a＋c∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c＝a＋(a＋c)＋c＝2(a＋c)∴b＋c、c＋a、a＋b成等差数列．说明如果a、b、c成等差数列，常化成2b＝a＋c的形式去运用；反之，如果求证a、b、c成等差数列，常改证2b=a＋c．59\n2.3.1等差数列的前n项和（一）教学目标：1．掌握等差数列前n项和公式及其推导过程和思想方法．2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题3.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导及应教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题授课类型：新授课课时安排：1课时内容分析：   本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它求和解决数列和的最值问题等差数列求和公式的推导，采用了倒序相加法，思路的获得得益于等到差数列任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”数学方法教学过程：一、复习引入：首先回忆一下前几节课所学主要内容：1．等差数列的定义：－=d，（n≥2，n∈N）2．等差数列的通项公式：(或=pn+q(p、q是常数))3．几种计算公差d的方法：①d=－②d=③d=4．等差中项：成等差数列5．等差数列的性质：m+n=p+q(m,n,p,q∈N)6．数列的前n项和：数列中，称为数列的前n项和，记.“小故事”:高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说:“现在给大家出道题目:1+2+…100=?”过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050教师问：“你是如何算出答案的？高斯回答说：因为1+100=101；59\n2+99=101；…50+51=101，所以101×50=5050”这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法二、讲解新课：如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔?这是一堆放铅笔的V形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的“小故事”问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n,…的前120项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.1．等差数列的前项和公式1：证明：①②①+②：∵∴由此得：从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性2．等差数列的前项和公式2：用上述公式要求必须具备三个条件：但代入公式1即得：此公式要求必须已知三个条件：（有时比较有用）59\n总之：两个公式都表明要求必须已知中三个公式二又可化成式子：，当d≠0，是一个常数项为零的二次式三、例题讲解例1一个堆放铅笔的V型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为，其中，根据等差数列前n项和的公式，得答：V形架上共放着7260支铅笔例2等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？解：设题中的等差数列为，前n项为则由公式可得解之得：（舍去）∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54.例3一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n.解：由(n－2)·180＝100n＋×10，求得n－17n＋72＝0,n＝8或n＝9,当n＝9时,最大内角100＋(9－1)×10＝180°不合题意，舍去，∴n＝8.例4在等差数列中，已知，求前20项之和．分析：本题可以用等差数列的通项公式和求和公式求，求解；也可以用等差数列的性质求解．解：法一由.由59\n法二由，而，所以，所以小结：在解决等差数列有关问题时，要熟练运用等差数列的一些性质．在本题的第二种解法中，利用这一性质，简化了计算，是解决这类问题的常用方法．四．巩固练习1．求集合的元素个数，并求这些元素的和3．等差数列{an}的首项为，公差为d，项数为n，第n项为，前n项和为，请填写下表：51010   -28 104-38  -10-3604.在等差数列中，，，求.五、小结本节课学习了以下内容：1.等差数列的前项和公式1：2.等差数列的前项和公式2：59\n3.，当d≠0，是一个常数项为零的二次式六、课后作业：P46.4题,6题七、板书设计（略）八、课后记：学校：临清二中学科：数学编写人：郝伟光一审：李其智二审：马英济2.3.1等差数列的前n项和（一）（学案）一、【学习目标】1、知识与技能:掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题2、经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思二、【本节重点】等差数列前项和公式的理解、推导及应用.三、【本节难点】灵活运用等差数列前项公式解决一些简单的有关问题四、【知识储备】1、复习：等差数列的概念、通项公式、等差中项，等差数列的性质2、(1)一般形式：(2)通项公式：(3)前n项和：3、等差数列(1)定义：(2)通项公式：推广：(3)性质：①②特别地：59\n③奇数项偶数项五、【自主学习】1、学习等差数列前项和公式推导过程。2、等差数列的公差为，首项为，前项和公式（1），公式（2）。3、前n项和公式与n的关系:式变形:六、[小试身手]1等差数列中，(1)已知则=__________________(2)已知，则=___________________2等差数列中，已知，，则=______及n=_____________3、等差数列中，若，则公差.七、[典型例析]例1在等差数列{an}中，(1)已知a15＝10，a45＝90，求(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．例2在等差数列{}中，已知a6+a9+a12+a15=34，求前20项之和59\n八、[当堂检测]1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。2．根据下列各题的条件,求相应等差数列的未知数.1),,求2),求3.,,求4.在等差数列{}中，a2+a5=19S5=40则a10为(A)27(B)28(C)29(D)305.在等差数列{}中，d=2,=11,Sn=35则a1为(A)5或7（B）3或5（C）7或－1（D）3或－16.已知数列1,2,3,4，,2n,则其和为，奇数项的和为。九、重点概念总结应用等差数列{an}的首项为，公差为d，项数为n，第n项为，前n项和为，请填写下表：51010   -28 104-38  -10-360检测答案：1.=2n+1.2.d=2,n=133.4.C5.A6.,59\n2.3.2等差数列的前n项和（二）教学目标1.知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值；2.过程与方法：经历公式应用的过程；3.情感态度与价值观：通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。教学重点熟练掌握等差数列的求和公式教学难点灵活应用求和公式解决问题授课类型：新授课教学过程Ⅰ.课题导入首先回忆一下上一节课所学主要内容：1.等差数列的前项和公式1：2.等差数列的前项和公式2：Ⅱ.讲授新课例1.已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求其前项和的公式.解：由题设：得：：易得：探究1.之间的关系例2.已知数列是等差数列，是其前n项和，求证：⑴，-，-成等差数列；⑵（）成等差数列59\n证明：设首项是，公差为d则∵∵∴∴是以36d为公差的等差数列同理可得是以d为公差的等差数列.例3.已知数列的前n项和为，求这个数列的通项公式.解：根据与,(n>1)得：当n>1时，⑴当n=1时，也满足⑴式所以数列的通项公式为：探究2.课本P51的探究活动一般地，如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？分析：由，得59\n当时===2p结论：通项公式是探究3.对等差数列的前项和公式2：可化成式子：，当d≠0，是一个常数项为零的二次式，那么它有何作用呢？例4.已知等差数列的前n项和，求使得最大的序号n的值.解：由题意得，等差数列的公差为，所以于是，当n取与最接近的整数即7或8时，取最大值。例5.在数列{}中，已知，(nN*)，那么使其前n项和Sn取得最大值的n值等于.解：依题意知，>0...>0,<0,易知最大，即n取12时和最大.小结：对等差数列前项和的最值问题有两种方法:利用:当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值利用：59\n由利用二次函数配方法求得最值时n的值Ⅲ.课堂练习已知等差数列的前n项和为a，前2n项和为b，求前3n项和。2.已知数列的前n项和为，求这个数列的通项公式.3.等差数列{}中,＝－15,公差d＝3,求数列{}的前n项和的最小值.4.等差数列{}的第10项为23，第25项为－22，求此数列(1)第几项开始为负？(2)前10项的和？(3)从首项到第几项之和开始为负？5.在等差数列{}中，已知a1=25,S9=S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值。Ⅳ.课时小结1.表示,2．差数列前项和的最值问题有两种方法:(1)当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值。当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值。(2)由利用二次函数配方法求得最值时n的值3.是以d为公差的等差数列.Ⅴ.课后作业课本P463题59\n2.3.2等差数列的前n项和（二）一．【学习目标】1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决求通项公式，求前n项和的最值等问题..二．【学习重点】熟练掌握等差数列的求和公式三．【本节难点】灵活应用求和公式解决相关问题四．【知识储备】1、＝2、前n项和公式与n的关系:式变形:五．【自主学习】阅读并完成课本例2——例4探究下列问题：1.是等差数列，是其前n项和，参考课本46页B组2题，探究的关系（（）仍成等差数列）2.完成例3，已知数列{an}的前n项的和为Sn，则Sn与Sn-1之间的递推关系式是.由此可推得，数列{an}的通项公式an=.3．等差数列{an}的前n项和与二次函数的关系是.，如何从中读出公差，求最值.六．[小试身手]1数列前项和，且，则正整数_____________2设等差数列前项和，若，则3.等差数列前项和为，若，则当n=___________时，最大七[典型例析]例1在等差数列{an}中，,,求59\n例2已知数列的前n项和为，求这个数列的通项公式.例3在等差数列{an}中，已知a1＝25，S9＝S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．.八、[当堂检测]1.数列{}是等差数列的一个充要条件是（A）Sn=an2+bn+c（B）Sn=an2+bn（C）Sn=an2+bn+c(D)Sn=an2+bn2、等差数列{an}中，d为公差.若前n项的和为Sn=-n2，则（）A.an=2n-1，d=-2B.an=2n-1，d=2C.an=-2n+1，d=-2D.an=-2n+1，d=23.一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110项和4.已知数列{an}的前n项和，判断数列{an}是否为等差数列，并证明你的结论；5．在等差数列{}中,＝－15,公差d＝3,求数列{}的前n项和的最小值6．设等差数列{}的前n项和为，已知＝12，>0，<0，(1)求公差d的取值范围；(2)指出,,,……,中哪一个最大，说明理由九．总结收获：检测答案;1.D2.C3.＝－110.4.是，5.当n＝8或n＝9时，＝＝－108最小.59\n6.（1）－0,∴＋>0,∴>0,最大.§3.2一元二次不等式及其解法（1）授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能:理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2．过程与方法:经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想．【教学重、难点】重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法．难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系．【教学过程】1．课题导入从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：课本P76互联网的收费问题教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：．2．讲授新课（1）一元二次不等式的定义象这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．（2）探究一元二次不等式的解集怎样求不等式的解集呢？探究：①二次方程的根与二次函数的零点的关系容易知道：二次方程的有两个实数根：二次函数有两个零点：于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点．②观察图象，获得解集画出二次函数的图象，如图，观察函数图象，可知：当，或时，函数图象位于轴上方，此时，，即；59\n当时，函数图象位于轴下方，此时，，即；所以，不等式的解集是，从而解决了本节开始时提出的问题．（3）探究一般的一元二次不等式的解法任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：，或． 一般地，怎样确定一元二次不等式与的解集呢？组织学生讨论：从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：①抛物线与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程的根的情况；②抛物线的开口方向，也就是的符号．总结讨论结果：①抛物线 与轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程的判别式三种取值情况(，，）来确定．因此，要分二种情况讨论．②可以转化为分，，三种情况，得到一元二次不等式与的解集．设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第77页的表格)二次函数的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根的解集R的解集3．范例讲解例1(课本第78页)求不等式的解集.解：因为，方程的解是．所以，原不等式的解集是．评述：本题主要熟悉最简单一元二次不等式的解法，一定要保证步骤正确，计算准确．变式训练：课本第80页第1题(1)，(4)，(6)．59\n例2(课本第78页)解不等式．解：整理，得.因为，方程无实数解，所以不等式的解集是.从而，原不等式的解集是.评述：将转化为的过程注意符号的变化，这是解题关键之处，讲课要放慢速度．变式训练：课本第80页第1题(2)，(3)，(5)(7)．4．课时小结解一元二次不等式的步骤：①将二次项系数化为“”：(或)．②计算判别式，分析不等式的解的情况：ⅰ．时，求根，ⅱ．时，求根，ⅲ．时，方程无解，③写出解集．【作业布置】课本第80页习题3.2[A]组第1题【板书设计】一元二次不等式的定义探究一元二次不等式的解集一元二次不等式的解的各种情况列表范例讲解例1练习例2练习【教学后记】59\n§3.2一元二次不等式及其解法（1）课前预习学案【知识准备】1．我们把，并且不等式，称为一元二次不等式．2．不等式的解集是．3．若将不等式的二次项系数化为正数，则不等式化为．【预习内容】课本第76-78页．1．尝试写出课本P76三个实例对应的不等式．2．探究方程的根与二次函数的零点的关系．3．探究不等式的解集．【提出疑惑】1．不等式与的解集之间有什么关系？规律是什么？2．如何将不等式与二次函数的零点的关系？以不等式与二次函数的零点为例进行探究．3．如何将不等式进行转化？课内探究学案59\n【学习目标】1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；2．熟练准确地解节简单的一元二次不等式．【提出问题】1．如何解一般的一元二次不等式与？2．如何解一般的一元二次不等式？【合作探究】1．探究不等式与二次函数的零点之间的关系．2．总结其中的规律，并尝试完成课本第77页的表格二次函数的图象一元二次方程无实根的解集的解集2．尝试用框图将求解一般一元二次方程的过程表示出来．3．试运用上面的规律解答例题，修正已有的观念，并做对应练习进行巩固．例1(课本第78页)求不等式的解集．59\n变式训练：课本第80页第1题(1)，(4)，(6)．例2(课本第78页)解不等式．变式训练：课本第80页第1题(2)，(3)，(5)(7)．【反思总结】解一元二次不等式的步骤：①将二次项系数化为“”：(或)．②计算判别式，分析不等式的解的情况：ⅰ．时，求根，ⅱ．时，求根，ⅲ．时，方程无解，③写出解集．【完成作业】课本第80页习题3.2[A]组第1题课后练习与提高1．与不等式的解集相同的是（）A．B．C．D．2．关于的不等式的解集为，则关于的不等式59\n的解集为（）A．B．C．D．3．集合，，则（）A．B．C．D．4．已知集合，，则．5．不等式的正整数解集为．6．解下列不等式①；②2)；③答案：1．A2．C3．A4．5．6．①；②；③学校：临清二中学科：数学编写人：穆守伏一审：郝富强二审：马英济课题:§3.2一元二次不等式及其解法（2）授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进一步熟练解一元二次不等式的解法；2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；3．情态与价值59\n：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想．【教学重、难点】重点：熟练掌握一元二次不等式的解法难点：理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系【教学过程】1．课题导入（1）一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系（2）一元二次不等式的解法步骤——课本第77页的表格2．范例讲解例3某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离sm和汽车的速度xkm/h有如下的关系：．在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h）解：设这辆汽车刹车前的速度至少为km/h，根据题意，我们得到移项整理得：显然，方程有两个实数根，即．所以不等式的解集为．在这个实际问题中，，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.评述：注意体会三个“二次”之间的关系．变式训练：课本第80页练习2例4一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到移项整理，得因为，所以方程有两个实数根．由二次函数的图象，得不等式的解为：．因为x只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51-59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益．评述：教师板书图象的绘制过程，以起到示范作用．变式训练：课本第80页习题3.2A组第5题．59\n3．补充例题例5设，，且，求的取值范围．解：令由，及二次函数图象的性质可得，即，解之得．因此的取值范围是．评述：留足思考时间，弄清楚两个集合对应二次函数图象之间的关系．变式训练：课本第80页习题3.2A组第3题．4．课时小结进一步熟练掌握一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系．【板书设计】一元二次不等式的解法步骤一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系范例讲解例3练习例4练习补充例题例5练习【作业布置】课本第80页习题3.2[A]组第4，6题【教学后记】学校：临清二中学科：数学编写人：穆守伏一审：郝富强二审：马英济课题:§3.2一元二次不等式及其解法（2）课前预习学案【知识准备】1．回顾一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．2．重新复述一元二次不等式的解法步骤——课本第77页的表格．59\n3．如何将不等式进行转化？【预习内容】课本第78-79页．1．尝试解答课本P78-79两个例题．2．进一步巩固一元二次不等式的解法步骤．3．探究下面题目的解法例5设，，且，求的取值范围．不等式的解集．【提出疑惑】1．为什么遇到有关应用的题目就“头疼”，如何审题？2．解答应用题需要注意些什么？课内探究学案【学习目标】1．巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进一步熟练解一元二次不等式的解法；2．激发自己学习数学的热情，培养不怕困难、勇于探索的精神．【提出问题】1．有关应用的题目如何审题？怎样才能顺利入手解题？需要注意点有哪些问题？2．一元二次不等式与的解集具有什么关系？59\n【合作探究】1．例3某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离sm和汽车的速度xkm/h有如下的关系：．在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h）探究不等式与二次函数的零点之间的关系．变式训练：课本第80页练习22．例4一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？变式训练：课本第80页习题3.2A组第5题．3．补充例5设，，且，求的取值范围．59\n变式训练：课本第80页习题3.2A组第3题．【反思总结】1．熟练掌握一元二次不等式的解法；2．一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系．【完成作业】课本第80页习题3.2[A]组第4，6题课后练习与提高1．若不等式（）无解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．2．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．3．(1998年上海高考题)设全集，，(是常数)，且11∈B，则（）A．B．C．D．4．若恒成立，则实数的取值范围是．5．若的解集为，则________，________．6．已知在区间上的最小值是3，求的值．59