高中数学《数列》教案 苏教版必修 14页

数　列●三维目标1.知识与技能(1)通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数，认识数列是反映自然规律的基本数学模型；(2)了解数列的分类，理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式；(3)培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力．2.过程与方法(1)通过对具体例子的观察分析得出数列的概念，培养学生由特殊到一般的归纳能力；(2)通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力；(3)通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．3．情感、态度与价值观(1)体会数列是一种特殊的函数，借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力．(2)在参与问题讨论和解决过程中，培养观察、归纳的思维品质，养成自主探索的学习习惯；并通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣．●重点、难点重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用难点：认识数列的本质是一类离散函数.对于数列概念这个重点内容的教学，教师应该强调用函数的背景和研究方法来认识、研究数列，这样可以加深学生对函数概念和性质的理解，有利于对数列本质的把握．建构数列的概念首先要经历大量的实例观察与分析，关键是让学生理解数列的顺序性；其次教师启发学生对几个不同数列的共性进行探究，通过分组讨论，逐步完善，然后揭示出数列的定义．如何理解数列的本质是一类离散函数呢？教师首先可以从分析一个简单的数列入手，启发学生发现数列的函数解析式，进而可以用列表法、图象法来表示，由此发现数列的图象是一系列孤立的点，可谓水到渠成；然后因势利导，进行一般化的抽象，通过数列的定义域与值域之间的一一对应关系的列表，深化对数列是一种特殊函数即离散函数的认识．●教学建议\n1．对数列概念的引入可作适当拓展．一方面从研究数的角度提出数列概念，使学生感受数列是刻画自然规律的基本数学模型；另一方面可从生活实际引入，如银行存款利息、购房贷款等，使学生对这些现象的数学背景有一直观认识，感受数列研究的现实意义，以激发学生的学习兴趣．2．对数列概念的把握，教学中应注意：(1)数列是按照一定顺序排列着的一列数，教学中要注意留给学生回味、思考的空间和余地；(2)数列是一种特殊函数，其定义域是正整数集N*(或它的有限子集)，值域是当自变量顺次从小到大依次取值时的对应值．3．重视对学生学习数列的概念及表示法的过程的评价，关注学生在数列概念与表示法的学习中，对所呈现的问题情境是否充满兴趣；在学习过程中，能否发现数列中的项的规律特点，写出数列的通项公式或递推公式．4．正确评价学生的数学基础知识和基础技能能否类比函数的性质，正确理解数列的概念，正确使用通项公式、列表、图象等方法表示数列，了解数列是一种特殊的函数，了解递推公式也是数列的一种表示方法．●教学流程⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒(对应学生用书第17页)\n课标解读1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2.理解数列的通项公式及简单应用．(重点)3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(重点、难点)数列的概念【问题导思】　(1)正整数1,2,3,4,5,6的倒数依次是________．(2)－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂依次是________．(3)对于函数y＝3x，当自变量x依次取－2，－1,1,2,3时，其函数值依次是________．(4)“一尺之棰，日取其半，万世不褐”，如果将初始量看成“1”，取其一半剩“”，再取一半还剩“”……如此下去，即得一列数________．那么，以上问题的结果，有什么共同特点？\n【提示】　共同特点是：都是一列数；都有一定的次序．1．数列按照一定次序排列的一列数称为数列．2．项数列中的每个数都叫做这个数列的项．3．数列的一般形式可写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}.数列的分类项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列.数列的通项公式【问题导思】　1．数列1，－，，－，…的第n项与序号n之间有何关系？【提示】　第n项是序号n的倒数，且奇数项为正，偶数项为负．2．数列2,4,6,8,10，…与函数y＝2x有何关系？【提示】　该数列是函数y＝2x的自变量x依次取1,2,3,4，…时所得到的一列函数值．如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.数列的表示法　数列可以用通项公式、列表或图象来表示.利用观察法求数列的通项公式　写出下列数列的一个通项公式．(1)，，，，…；(2)－1，，－，，－，…；(3)，3，，，3，…；(4)9,99,999,9999，….【思路探究】　观察→归纳an与n的关系→验证结论→得出答案【自主解答】　(1)根据题意分析可知：分子为2的倍数，即为2n，分母比分子的平方小1，所以an＝.\n(2)该数列的各项符号是负正交替变化，而各项的绝对值为，，，，，….所以an＝(－1)n.(3)该数列的各项都可以写成根式，，，，，….即，，，，，….所以an＝＝.(4)因为9＝101－1,99＝102－1,999＝103－1,9999＝104－1，…，所以an＝10n－1.1．本例中探寻数列中的项与项数n之间的关系时应注意：(1)对于分式应分母分子分别考虑，各个击破；(2)正负项交替出现时要引入控制符号的因式(－1)n.2．此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法，将数列进行整体变形以便能呈现出与序号n相关且便于表达的关系，具体方法为：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征．根据数列的前几项，写出下列数列的一个通项公式．(1)，，，，…；(2)1,3,6,10,15，…；(3)7,77,777，…；(4)，－，，－，…；【解】　(1)注意前四项中有三项的分子为4，不妨把分子统一为4，即，，，，…，因而有an＝(n∈N*)．(2)6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘2，即\n，，，，，…，因而有an＝(n∈N*)．(3)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘9，得9,99,999，…，因而有an＝(10n－1)(n∈N*)．(4)经过观察符号为一正一负：(－1)n＋1，分子为2n－1，分母为2n，所以an＝(－1)n＋1.通项公式的应用　已知数列{an}的通项公式为an＝，(1)写出此数列的前3项；(2)试问和是不是它的项？如果是，是第几项？【思路探究】　(1)分别把n＝1,2,3代入通项公式即可．(2)令an分别等于和，解方程求n，再检验n是否为正整数．【自主解答】　(1)a1＝＝1，a2＝＝，a3＝＝.(2)令＝，则n2＋3n－40＝0，解得n＝5或n＝－8.又n∈N*，故n＝－8舍去，所以是数列{an}的第5项．令＝，则4n2＋12n－27＝0，解得n＝或n＝－.又n∈N*，所以不是数列{an}的项．1．如果已知数列的通项公式，只要将相应序号代入通项公式，就可以写出数列中的指定项．2．判断某数是否为数列中的一项，步骤如下：(1)将所给的数代入通项公式中；(2)解关于n的方程；(3)若n为正整数，说明所给的数是该数列的项；若n不是正整数，则不是该数列的项．\n已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.(1)写出数列的第4项和第6项；(2)问－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．【解】　(1)∵an＝3n2－28n，∴a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.(2)令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，∴n＝7或n＝(舍)．∴－49是该数列的第7项，即a7＝－49.令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，∴n＝－2或n＝.∵－2∉N*，∉N*，∴68不是该数列的项.数列的最大项、最小项问题　已知数列{an}的通项公式是an＝－2n2＋9n＋3，求它的最大项．【思路探究】　数列是特殊的函数，可将问题转化为二次函数的最值问题，利用二次函数的知识求解．【自主解答】　已知－2n2＋9n＋3＝－2(n－)2＋.由于函数f(x)＝－2(x－)2＋在(0，)上是增函数，在[，＋∞)上是减函数，故当n＝2时，f(n)＝－2n2＋9n＋3取得最大值13，所以数列{an}的最大项为a2＝13.1．解决本题的关键是转化为二次函数的最值问题，并注意n∈N*.2．数列的项与项数之间构成特殊的函数关系，故可用函数的有关知识解决数列问题，但要注意函数的定义域．对于通项公式为二次函数的数列，其最值不一定是在对称轴上取得，当对称轴不是正整数时，最值应是离对称轴最近的项的值，且对应的值可能是一项或两项．\n若例题中通项公式改为“an＝－2n2＋29n＋3”，结果是什么？【解】　由题意得an＝－2n2＋29n＋3＝－2(n－)2＋108，又∵n∈N*，∴当n＝7时，an有最大值108.∴数列an中的最大项为a7＝108.忽略数列的函数特性而致误　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－3n＋4，求an的最小值．【错解】　因为an＝n2－3n＋4＝(n－)2＋，所以an的最小值为.【错因分析】　将an＝n2－3n＋4看成关于n的二次函数，当n＝时，取得最小值为，而数列中n∈N*，故n取不到，最小值并不是在顶点处取得．【防范措施】　解题时不要把数列当成一般的二次函数，数列是特殊的函数，其定义域为正整数集N*(或它的有限子集)，图象不连续，是一群孤立的点．【正解】　因为an＝n2－3n＋4＝(n－)2＋，可知图象的对称轴方程为n＝，又n∈N*，故当n＝1或n＝2时，an取得最小值．其最小值为22－3×2＋4＝2.\n1．基础知识：(1)数列的概念；(2)数列的分类；(3)数列的通项公式；(4)数列的表示法．2．基本技能：(1)利用观察法求数列的通项公式；(2)运用通项公式研究数列的项；(3)求数列的最大项与最小项．3．思想方法：(1)函数思想；(2)转化思想.1．若数列{an}的通项公式an＝，则它的前4项为________．【解析】　把n＝1,2,3,4逐一代入即可．【答案】　，，，2．数列，－，，－，…的一个通项公式是an＝________.【解析】　偶数项均为负，奇数项均为正，故应用(－1)n＋1控制符号，分子显然为序号的平方，分母均比相应分子大1.\n【答案】　(－1)n＋13．已知数列1，，，，…，，…，则3是该数列的第________项．【解析】　令＝3，则2n－1＝45，∴n＝23.【答案】　234．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n的一次函数．(1)求{an}的通项公式；(2)88是否是数列{an}中的项？【解】　(1)设an＝kn＋b，则解得：∴an＝4n－2.(2)令an＝88，解得n＝∉N*，∴88不是{an}中的项.一、填空题1．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n＋1(n2＋1)，则a3等于________．【解析】　a3＝(－1)3＋1(32＋1)＝10.【答案】　102．数列1,3,6,10，x,21,28，…中x的值是________．【解析】　观察数列的特点可知，从第2项起，每一项与前一项的差分别为2,3,4，…，依次增加1，故x为15.【答案】　153．数列－1，，－，，…的一个通项公式是________．【解析】　数列中奇数项均为负，偶数项均为正，要用(－1)n控制符号，除首项为1外其余各项均为分式，故把1改写成，从而分母依次为1,3,5,7，…，通项为2n－1，分子依次为1,4,9,16，…，通项为n2.【答案】　an＝(－1)n4．已知数，3，，，…，那么9是数列的第______项．【解析】　根据观察可知，通项公式为an＝，令＝9，解得n＝14.∴9是数列的第14项．\n【答案】　145．根据图2－1－1中的5个图形，及相应点的个数变化规律，试猜测第n个图中有________个点．　(1)　(2)　　(3)　　　(4)　　　　　　(5)图2－1－1【解析】　设第i个图形中有ai个点(i＝1,2，…，n)，则a1＝1，a2＝1＋1×2，a3＝1＋2×3，a4＝1＋3×4，a5＝1＋4×5，…，an＝1＋(n－1)n.【答案】　1＋(n－1)n6．已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋17n＋8，则数列的最大项的值为________．【解析】　由an＝－n2＋17n＋8＝－(n－)2＋得，n＝8或9时，an最大，把8或9代入得a8＝a9＝80.【答案】　807．已知数列{an}满足＝n(n为正整数)，且a2＝6，则数列{an}的一个通项公式为________．【解析】　令n＝1得＝1，∴a1＝1＝1×1；令n＝2得＝2，∴a3＝15＝3×5；令n＝3得＝3，∴a4＝28＝4×7，又a2＝6＝2×3∴an＝n(2n－1)【答案】　an＝n(2n－1)8．数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a20的值为________．【解析】　逐步计算，可得a1＝，a2＝－1＝，a3＝－1＝，a4＝，a5＝－1＝，…，这说明数列{an}是周期数列，T＝3，而20＝3×6＋2，所以a20＝a2＝.【答案】　\n二、解答题9．数列{an}中，已知an＝(n∈N*)．(1)写出a2，a10；(2)79是不是该数列中的项？若是，是第几项？【解】　(1)在an的表达式中，令n＝2,10，即得a2＝＝，a10＝＝.(2)由＝79，即n2＋n－240＝0，得n＝15或n＝－16.∵n∈N*，∴n＝15，即79是该数列中的项，是第15项．10．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．【解】　(1)由n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4.∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数．(2)由an＝n2－5n＋4＝(n－)2－，可知对称轴方程为n＝＝2.5.又∵n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2(或32－5×3＋4＝－2)．11．已知数列{an}中，a1＝3，a10＝21，通项an是项数n的一次函数．(1)求数列{an}的通项公式，并求出a2012；(2)若bn由a2，a4，a6，a8，…组成，试归纳{bn}的一个通项公式．【解】　(1)an是项数n的一次函数，故可设an＝kn＋b，又a1＝3，a10＝21，∴解得∴an＝2n＋1(n∈N*)，a2012＝2×2012＋1＝4025.(2)∵{bn}是由{an}的偶数项组成，∴bn＝a2n＝2×2n＋1＝4n＋1(n∈N*).\n根据如图所示的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第(n)个图中有________个点．(1)　(2)　　(3)　　　　(4)　　　　　　　(5)【解析】　本题关键看每增加一个分支后，各分支点数多了多少个．序号n决定了每个图的分支数，而每个分支有(n－1)个点，中心再加一点，故有n(n－1)＋1＝n2－n＋1个点．【答案】　n2－n＋1有些数列的关系以图形的方式给出，要从图形中善于观察总结出规律，即归纳概括．另外信息蕴含在图中，所以要具有较强的信息整合能力．如图所示的三角形称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形．在图中的4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在平面直角坐标系中画出它的图象．(1)　　　　(2)　　　　(3)　　　　(4)\n【解】　这4个三角形中着色三角形的个数依次为1,3,9,27，则所求数列的前4项都是3的指数幂，且指数等于相应的序号减1，所以这个数列的一个通项公式是an＝3n－1(n∈N*)．在平面直角坐标系中的图象如图所示．拓展数列是如何出现的呢？我国最早的数学起源，当为结绳和刻划，体现了数的顺序性．这有可能是数列的一个起源吗？1953年春，我国首次发现西安半坡遗址(距今5600～6700年之间).1954－1957年，中国科学院考古研究所进行了5次规模较大的科学发掘，获得了大量珍贵的科学资料，其中发现了半坡先民使用的指甲纹壶(如图)与陶器工艺品中的图案(如图)后者每边都是八个孔的等边三角形，反映了半坡人已经有了数量和几何形状的概念，这与“三角形数”何其相似！这说明半坡人已经有了数列的初步概念，遗憾的是在半坡文明中还没有发现对数列进行理论研究的足够证据.