高中数学必修1教案-(3002) 48页

----第一章集合与函数概念1.1集合1.1.1集合的含义与表示课标三维定向〖知识与技能〗1、了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。2、掌握集合中元素的特性。3、能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。〖过程与方法〗通过实例，从集合中的元素入手，正确表示集合，结合集合中元素的特性，学会观察、比较、抽象、概括的思维方法，领悟分类讨论的数学思想。〖情感、态度、价值观〗在运用集合语言解决问题的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学会用数学思维方法解决问题。〖重点〗集合的含义与表示方法。〖难点〗集合表示方法的恰当选择及应用。教学过程设计一、阅读课本：P2—6（10分钟）（学生课前预习）二、核心内容整合1、为什么要学习集合——现代数学的基础（数学分支）2、集合的含义：把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。3、集合的特性（1）确定性。问题：“高个子”能不能构成集合？我国的小河流呢？〖知识链接〗模糊数学（“模糊数学简介”、“浅谈模糊数学”）（2）互异性：集合中的元素不重复出现。如{1，1，2}不能构成集合（3）无序性——相等集合，如{1，2}={2，1}4、元素与集合之间的“属于”关系：aA,aA5、一些常用数集的记法：N（N*，N+），Z，Q，R。如：R+表示什么？6、集合的表示法：（1）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}“括起来。例1、用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}（2）方程x2x的所有实数根组成的集合；（0，1）（3）由1~20以内的所有质数组成的集合。（难点：质数的概念）---------1-----\n----{2，3，5，7，11，13，17，19}（2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示。{x|xP}例2、试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程x220的所有实数根组成的集合；列举法：{2,2}；描述法：{x|x220}。（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。列举法：{11，12，13，14，15，16，17，18，19}；描述法：{x|10x20,xZ}。〖知识链接〗代表元素：如{x|yx2}（自变量的取值范围），2（函数值的取值范围），2}{y|yx}{(x,y)|yx（平面上在抛物线上的点）各代表的意义。三、迁移应用1、已知4{1,a2,(a1)2}，求实数a的值。2、已知M{x|ax22x10}是单元素集合，求实数a的值。思路探求：（1）对a讨论；（2）方程仅一根0。四、学习水平反馈：P6，练习；P13，习题11，A组，1、2。五、三维体系构建集合的含义元素与集合的关系集合的含义与表示元素的特征：确定性、互异性、无序性集合的表示：列举法、描述法六、课后作业：P13，习题11，A组，3、4。补充：已知{2,(1)2,233}，若1A，求实数a的值。Aaaaa1.1.2集合间的基本关系课标三维定向〖知识与技能〗1、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。2、在具体情景中，了解空集的含义。〖过程与方法〗从类比两个实数之间的关系入手，联想两个集合之间的关系，从中学会观察、类比、概括和思维方法。〖情感、态度、价值观〗通过直观感知、类比联想和抽象概括，让学生体会数学上的规定要讲逻辑顺序，培养学生有条理地思考的习惯和积极探索创新的意识。教学重、难点〖重点〗理解子集、真子集、集合相等等。---------2-----\n----〖难点〗子集、空集、集合间的关系及应用。教学过程设计一、问题情境设疑——类比引入问题：实数有相等关系、大小关系，可否拓展到集合之间的关系？引例：观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗？（1）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}；（2）设A为新华中学高一（2）班全体女生组成的集合，B为这个班全体学生组成的集合；（3）设C={x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}。二、核心内容整合1、子集的概念集合A中任意一个元素都是集合B的元素，记作AB或BA。图示如下符号语言：任意xA，都有xB。2、集合相等类比：实数：ab且abab集合：AB且BAAB3、真子集的概念集合AB，但存在元素xB，且xA，记作AB或BA。（A≠B）说明：从自然语言、符号语言、图形语言三个方面加以描述。4、空集的概念：不含任何元素的集合，记作规定：空集是任何集合的子集：A〖知识链接〗比较计算机“我的文档”的“文件夹”与子集的关系。如何体现“集合相等”？5{a}A与属于关系aA有什么区别？、包含关系如0，{0}，。注意区分元素与集合，集合与集合之间的符号表示。6、集合的性质（1）反身性：AA,A（2）传递性：AB,BCAC课堂练习：判断集合A是否为集合B的子集，若是打“√”，若不是打“×”。（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}（√）（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}（×）（3）A={0}，B={x|x210}（×）（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}（√）三、例题分析示例例1、写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。---------3-----\n----，{a}，{b}，{a，b}。〖探究拓展〗练习：P8，练习1。探究：集合A中有n个元素，请总结出它的子集、真子集的个数与n的关系。子集的个数：2n，真子集的个数：2n–1。与杨辉三角形比较。例2、设A{x,x2,xy},B{1,x,y}，且A=B，求实数x，y的值。例3、若A{x|3x4},B{x|2m1xm1}，当BA时，求实数m的取值范围。四、学习水平反馈：P8，练习2，3；P14，1，2。五、三维体系构建集合间的基本关系：子集，集合相等，真子集，空集。六、课后作业1、已知a,x∈R，集合A={2,4,x2–5x+9},B={3,x2+ax+a}，（1）若A={2,3,4}，求x的值；（2）若2B,BA，求a,x的值。2、已知A={x|x<–1或x>2},B={x|4x+p<0}，且AB，求实数p的取值范围。1.1.3集合的基本运算〖知识与技能〗1、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。2、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。3、能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。〖过程与方法〗通过类比实数的运算，得到集合间的运算：并、交、补，在正确理解并集、交集、补集概念的基础上学会求集合的并集、交集、补集的方法，并体会数形结合思想的应用。〖情感、态度、价值观〗在学习集合运算的过程中，培养类比的思想及由特殊到一般的认知规律，同时在利用数轴和Venn图解题的过程中，学会用数形结合思想解决数学问题。教学重、难点〖重点〗并集、交集、补集的概念及集合的运算。〖难点〗补集的意义及集合的应用，符号之间的区别与联系。教学过程设计第一课时并集与交集一、问题情境设疑类比：实数有加法运算，集合是否也可以“相加”呢？二、核心内容整合1、并集---------4-----\n----引例：考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？（1）A={1，3，5}，B={2，4，6}，C={1，2，3，4，5，6}；（2）A={x|x是有理数}，B={x|x是无理数}，C={x|x是实数}。定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，记作A∪B。A∪B={x|x∈A或x∈B}，图示如右。性质：（1）A∪A=A；（2）AA。例1、设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B。A∪B={3，4，5，6，7，8}例2、设集合A={x|–10时，值域为{y|y4acb2}；a<0时，值域为{y|y4acb24a4a}。说明：①定义域、值域、对应关系是决定函数的三要素，是一个整体；②值域由定义域、对应法则惟一确定；③函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”而不是表示“y等于f与x的乘积”。练习1：判断正误1、函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应（）2、函数的定义域和值域一定是无限集合（）3、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定（）4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素（）5、对于不同的x，y的值也不同（）6、f(a)表示当x=a时，函数f(x)的值，是一个常量（）归纳：如何判断给定的两个变量之间是否具有函数关系？①定义域和对应法则是否给出？②根据所给对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有惟一确定的一个函数值y和它对应。练习2：判断下列对应能否表示y是x的函数：（1）y|x|；（2）|y|x；（3）yx2；（4）y2x（5）y2x21；（6）y2x21。练习3：下列图象能表示函数图象的是（）yyyy0x0x0x0x8(A)(B)(C)(D)-----\n----四、例题分析示例例1、已知函数f(x)x31，x2（1）求函数的定义域；（2）求f(3),f(2)的值；（3）当a>0时，求f(a),f(a1)的值。3注意：①研究一个函数一定在其定义域内研究，所以求定义域是研究任何函数的前提②函数的定义域常常由其实际背景决定，若只给出解析式时,定义域就是使这个式子有意义的实数x的集合。结论：（1）如果yf(x)是整式，则定义域是实数集R；（2）如果yf(x)是分式，则定义域是使分母不等于0的实数的集合；（3）如果yf(x)是二次根式，则定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；（4）如果yf(x)是由几个部分的式子构成，则定义域是使各部分都有意义的实数的集合（即各集合的交集）；（5）如果是实际问题，则定义域是使实际问题有意义的实数的集合。练习4：P19练习1、2。四、三维体系构建1、函数的概念：2、函数的三要素：定义域、值域、对应法则。3、会求简单函数的定义域和函数值。五、课后作业：P24，习题1.2，A组，1，3，4。第二课时函数的定义域与值域三维目标构建〖知识与技能〗1、掌握一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域，并会求一些简单函数的定义域和值域。2、了解区间的意义，并进行区间、不等式与数轴表示的相互转化。〖过程与方法〗进一步体会集合与对应关系在刻画函数概念中的作用，明确函数定义域在三要素中的地位与作用。〖情感、态度、价值观〗培养学生分析、解决问题的能力，养成良好的学习习惯。〖重点〗熟练掌握一次、二次函数与反比例函数的定义域和值域。〖难点〗含字母参数与抽象函数的定义域的求解。教学过程设计一、复习引入1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作：yf(x),xA。练习1：已知f(x)x21，求f(1),f(1),f(a1),f(2x1)。2、函数的三要素：定义域、对应法则、值域。二、核心内容整合---------9-----\n----1、区间的概念：设a，b是两个实数，而且aa，x≤b，xf(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。〖知识提炼〗同增异减---------17-----\n----注意：（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；（2）必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)，分别是增函数和减函数。2、函数的单调性的定义如果函数yf(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间。3、基本初等函数的单调性yy（1）一次函数f(x)axb(a0)：当a>0时，在(,)上是增函数；xoxo当a<0时，在(,)上是减函数。yy---------（2）反比例函数f(x)k(k0)：x当k>0时，在(,0)和(0,)上是减函数；当k<0时，在(,0)和(0,)上是增函数。oxox---------（3）二次函数f(x)ax2bxc(a0)：---------当a>0时，在当a<0时，在[b,)上是增函数，在(,b]上是减函数；2a2a[b,)上是减函数，在(,yb]上是增函数；y2a2a---------oxox三、例题分析示例例1、如图是定义在区间[–5，5]上的函数yf(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？---------18-----\n----例2、物理学中的玻意耳定律pk（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p---------V将增大。试用函数的单调性证明之。〖知识提炼〗用定义证明函数的单调性的一般步骤：（1）取值：设x1,x2是给定区间上任意的两个值，且x1f(x2)时，f(x)是减函数。〖探究〗画出反比例函数y1的图象。x（1）这个函数的定义域I是什么？（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论。四、学习水平反馈：P32练习，1，2，3，4。五、三维体系构建函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分四步：取值——作差——定号——判断六、课后作业：P39，习题1.3，A组1，2，3。第二课时函数的最大（小）值三维目标定向〖知识与技能〗理解函数的最大（小）值及其几何意义，会用函数的单调性求一些函数的最大（小）值。〖过程与方法〗借助具体函数，体验函数最值概念的形成过程，领会数形结合的数学思想。〖情感、态度与价值观〗渗透特殊到一般，具体到抽象、形成辩证的思维观点。教学重难点函数最值的意义及求函数的最值。教学过程设计一、引例画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：（1）f(x)2x3；（2）f(x)x22x1。---------19-----\n----1）说出yf(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；2）指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？yyoxox二、核心内容整合1、函数的最大（小）值的概念设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)M。那么称M是函数yf(x)的最大值。学生类比给出函数最小值的概念：设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)M。那么称M是函数yf(x)的最小值。注意：（1）函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0)M；（2）函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M）。2、一元二次函数yax2bxc(a)的最值：（1）配方：ya(xb)24acb2；2a4a（2）图象：（3）a>0时，ymin4acb24acb24a；a<0时，ymax。4a二、例题分析示例例1、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为ht)4.9t2t18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高(14.7---------20-----\n----度是多少（精确到1m）？〖知识提炼〗函数的最值与单调性的关系：（1）f(x)在[a,b]上为增函数，则f(a)为最小值，f(b)为最大值；（2）f(x)在[a,b]上为减函数，则f(a)为最大值，f(b)为最小值。例3、已知函数y2(x[2,6])，求函数的最大值和最小值。x1分析：证明函数在给定区间上为减函数。三、学习水平反馈：P36，练习5。补充练习：1、函数f(x)x24ax2在区间(–∞，6]内递减，则a的取值范围是（）（A）a≥3（B）a≤3（C）a≥–3（D）a≤–32、在已知函数f(x)4x2mx1在(,2]上递减，在(2,]上递增，则f(x)在[1，2]上的值域是____________。四、三维体系构建1、函数的最大（小）值的含义。2、利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法：（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；（2）利用图象求函数的最大（小）值；（3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值。如果函数yf(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数yf(x)在x=a处有最小值f(a)，在x=b处有最大值f(b)；如果函数yf(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数yf(x)在x=b处有最小值f(b)；五、课后作业：P39，习题1.3，A组5，B组2。教学反思：第三课时一元二次函数在给定区间的最值例1、函数yx24x6,x[1,4]的最小值为，最大值为。练习：函数yx23x2,x[1,1]的最小值为，最大值为。一般结论：f()ax2bx(a0),x[,]xcmn（Ⅰ）配方，求对称轴xx0；（Ⅱ）判断xx0是否属于给定区间[m,n]：---------21-----\n----①若x0[,]，则yminf(x0)，再求f(m),f(n)，较大者为最大值；mn②若x0[mn]，则求f(m),f(n)，较大者为最大值，较小者为最小值。,练习（1）求函数yx22x(x[2,4])的最大、最小值。（2）求函数22([1,1])的最大、最小值。yxxx例2、求函数f(x)3(x1)23在区间[t–1,t+1](t∈R)上的最大值。4练习（1）（2006年福建高考）求函数f(x)x28x在区间[t,t+1]上的最大值。（2）设函数f(x)=4x2–4ax+(a2–2a+2)在[0,2]上的最大值为3，求a的值。（3）求函数22([,1])的最大、最小值。yxxxtt作业：1、求函数f(x)x28x在区间[t,t+1]上的最大值。2、已知函数f(x)x22ax2,x[5,5]。（1）当a=–1时，求f(x)的最值；（2）求实数a的取值范围，使y=f(x)在[–5,5]上是单调函数。1.3.2函数的奇偶性三维目标定向〖知识与技能〗结合具体函数了解奇偶性的含义，能利用函数的图象理解奇函数、偶函数；能判断一些简单函数的奇偶性，并利用奇偶性简化一些函数的图象。〖过程与方法〗体验奇函数、偶函数概念形成的过程，体会由形及数、数形结合的数学思想，并学会由特殊到一般的归纳推理、论证的思维方法。〖情感、态度与价值观〗通过绘制和展示优美的函数图象可以陶冶我们的情操，通过概念的形成过程可以增强我们主动交流的合作精神，并体会到事物的特殊性和一般性的关系，培养我们探究、推理的思维能力。〖重点〗奇偶性概念的理解及应用。〖难点〗奇偶性的判断与应用。教学过程设计一、问题情境设疑引例：1、展示中心对称与轴对称的有关实例。---------22-----\n----2、观察下列四个函数的图象（1）（2）（3）（4）问题：以上图象有什么特征？如何由函数值体现？二、核心内容整合1、偶函数的概念（1）（2）的图象关于y轴对称，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等。偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。如：f()x212x，f(x)。x2112、奇函数的概念（3）（4）的图象关于原点对称，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值也是一对相反数。奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。如：f()3xxx（图象关于原点对称）注意：（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则–x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（3）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即若f(x)为奇函数，则f(x)f(x)有成立；若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)有成立。（4）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。三、例题分析示例1、函数奇偶性的判断（1）定义域关于原点对称；（2）求f(x)，如果f(x)f(x)，则f(x)为奇函数；如果f(x)f(x)，则f(x)为偶函数；例1、判断下列函数的奇偶数：（1）f(x)4；（2）f(x)5（3）f(x)1（4）f(x)1xx；x；x2。x---------23-----\n----〖知识提炼〗(x)2nx2n,(x)2n1x2n1（3）非奇非偶函数：存在x0，使得f(x0)f(x0)且f(x0)f(x0)。如f(x)2x12、奇偶函数图象的性质（1）奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数。（2）偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数。说明：奇偶函数图象的性质可用于：（1）简化函数图象的画法；（2）判断函数的奇偶性。例2、已知函数yf(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象。拓展：如果函数yf(x)是奇函y数，图象又如何？四、学习水平反馈：P36，练习五、三维体系构建0x1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，（1）如果都有f(x)f(x)f(x)为奇函数；（2）如果都有f(x)f(x)f(x)为偶函数2、两个性质：一个函数为奇函数它的图象关于原点对称一个函数为偶函数它的图象关于y轴对称六、课后作业：P39，习题13，A组6，B组3教学反思第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算（2课时）三维目标定向〖知识与技能〗（1）了解根式的概念，方根的概念及二者的关系；（2）理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简。〖过程与方法〗通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应---------24-----\n----用。〖情感、态度与价值观〗通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。教学重难点根式、分数指数幂的概念及其性质。教学过程设计一、问题情境设疑问题1、根据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%，那么，在2001~2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍？问题2、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个t时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系P(1)5730，考古学家2根据这个式子可以知道，生物死亡t年后，体内碳14含量P的值。二、核心内容整合（一）根式（1）平方根：x2a(a0)；立方根：x3a。（2）n次方根：如果xna，那么x叫做a的次方根。练习1、填空：（1）25的平方根等于__（2）27的立方根等于_____；（3）–32的五次方根等于_____；（4）16的四次方根等于____；（5）a6的三次方根等于_____________；（6）0的七次方根等于____________。性质：（1）当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，记为：na。（2）当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，记为na。（3）负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0。（4）(na)na。练习2：求下列各式的值：（1）532；（2）481；（3）210；（4）3312。探究：nana一定成立吗？an为奇数nanaa0|a|an为偶数a0例1、求下列各式的值：---------25-----\n----（1）3(8)3；（2）(10)2；（3）4(3)4；（4）(ab)2(ab)。练习3：（1）计算3(8)34(32)43(23)3；（2）若a22a1a1，求a的取值范围；（3）已知(xa)2(bx)2ba，则ba（填大于、小于或等于）；（4）已知xa3b2，求4x22a3xa6的值。（二）分数指数幂（1）整数指数幂：aaaan（简化运算，连加为乘，连乘为乘方）n个运算性质：amanamn,(am)namn,(ab)nanbn（2）正分数指数幂1012引入：5a105(a2)5a2a5，4a124(a3)4a3a4小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）思考：根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式？如：3a2,b,4c5如何表示？m规定：nnm(0,,*,1)aamnNna（3）负分数指数幂m142（4）规定：an(a0,m,nN*,n1)如：53,a3(a0)nam规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：（1）arasars；（2）(ar)sars；（3）(ab)rarbr(a0,b0,r,sQ)。例题剖析---------21例2、求值：83,252,(1)5,(16)28134---------例3、用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a>0）a3a;a23a2;a3a.例4、计算下列各式（式中字母都是正数）---------26-----\n----21111513（1）(23b2)(62b3)(36b6)；（2）4n8)8。aaa(m例5、计算下列各式：（1）(325125)425；（2）a2(a0)。a3a2（三）无理指数幂问题：当指数是无理数时，如52，我们又应当如何理解它呢？一般地，无理数指数幂a（a>0，是无理数）是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。四、知识反馈：P54，练习，1，2，3。补充练习：1、已知x31a，求a22ax3x6的值。1111a2b2a2b2；2、计算下列各式：（1）1111a2b2a2b2（2）(a22a2)(a2a2)。3、已知，求下列各式的值：1111（1）x2x2；（2）x2x2。4、化简(36a9)4(63a9)4的结果是（）（A）a16（B）a8（C）a4（D）a2---------27-----\n----5、2(2k1)2(2k1)22k等于（）（A）22k（B）2(2k1)（C）2(2k1)（D）216、(|x|1)2有意义，则的取值范围是。7、若10x2,10y3xy3，则102。8、a,bR，下列各式总能成立的是（）（A）(6a6b)6ab（B）n(a2b2)na2b2（C）4a44b4ab（D）10(ab)10ab111119、化简(1232)(1216)(128)(124)(122)的结果是（）（A）1(1111（D）111232)1（B）(1232)1（C）1232(1232)22五、三维体系构建1、根式与分数指数幂的意义2、根式与分数指数幂的相互转化3、有理指数幂的含义及其运算性质：（1）arasars；（2）(ar)sars；（3）(ab)rarbr(a0,b0,r,sQ)。六、课后作业：P59，习题2.1，A组：1，2，3，4；B组：2。2.1.2指数函数及其性质第一课时指数函数的图象和性质三维目标定向〖知识与技能〗（1）掌握指数函数的概念、图象和性质；（2）能够运用指数函数的性质解决某些简单的实际问题。〖过程与方法〗通过对现实问题情境的探究，感受数学与现实生活的密切联系，理解从特殊到一般，转化与化归等数学思想方法。〖情感、态度与价值观〗在本节的学习过程中要注意列表计算中结果的分析，它是掌握指数函数的图象和性质的基础，函数图象是研究函数性质的直观工具，利用图象可以帮助我们记忆函数的性质和变化规律，因此，本节的学习要注重类比分析法、发现法、转化与化归等数学思想的应用，了解事物之间的普遍联系与相互转化，体验数学知识在生产生活实际中的应用。教学重难点：掌握指数函数的图象、性质及应用。---------28-----\n----教学过程设计一、问题情境设疑材料1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个,,一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞分裂的个数y与x的函数关系是什么？材料2：当生物死后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系，这个关系式应该怎样表示呢？t思考1：函数P(1)5730(t0)与函数y2x(xN*)有什么共同特征？21如果用字母a来代替数(1)5730和2，那么以上两个函数都可以表示为形如yax的函数，其中自变量x是指数，2底数a是一个大于0且不等于1的变量。这就是我们要学习的指数函数：yax（a>0且a1）。思考2：yax（a>0且a1），当x取全体实数对yax中的底数为什么要求a>0且a1？方法：可举几个“特例”，看一看a为何值时，x不能取全体实数；a为何值时，x可取全体实数；不能取全体实数的将不研究。结论：当a>0且a1时，ax有意义；当a=1时，y1x1是常量，无研究价值；当a=0时，若x>0，ax0x0无研究价值；若x0，ax0x无意义；当a<0时，ax不一定有意义，如1(2)2。为了便于研究，规定：a>0且a1。提问：那么什么是指数函数呢？思考后回答。二、核心内容整合1、指数函数的定义：函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。练习1：下列函数中，那些是指数函数？。（1）y4x（2）yx4（3）y4x（4）y(4)x（5）yx（6）y42x（7）yxx（8）y(2a1)x（a11）且a22、指数函数的图象和性质：---------29-----\n----思考3：我们研究函数的性质，通常通过函数图象来研究函数的哪几个性质？答：1、定义域；2、值域；3、单调性；4、对称性等。思考4：得到函数的图象一般用什么方法？列表、求对应的x和y的值、描点、作图。用描点法画出指数函数y2x,y(1)x的图象。2思考：函数y2x的图象和函数y(1)x的图象有什么关系？可否利用y2x的图象画出y(1)x的图象？（两22个函数的图象关于轴对称）（3）相关结论01图象定义域R值域(0,+∞)性过定点（0，1），即x=0时，y=1质定点（1）a>1，当x>0时，y>1；当x<0时，00时，01。单调性在R上是减函数在R上是增函数对称性yax和yax关于y轴对称三、例题分析示例例1、已知指数函数f(x)ax(a0且a1)的图象经过点（3，π），求f(0),f(1)，f(3)的值。例2、比较下列各题中两个值的大小：（1）1.72.5，1.73；（2）0.8–0.1，0.8–0.2；（3）1.70.3，0.93.1。四、学习水平反馈：课本P58，练习1、2、3。五、三维体系构建1、指数函数的定义；2、指数函数简图的作法以及应注意的地方；3、指数函数的图象和性质（见上表）---------30-----\n----六、课后作业：P59，习题2.1，A组：5、6、7、8。第二课时指数函数性质的应用三维目标定向〖知识与技能〗在掌握指数函数性质的基础上利用指数函数的性质解决求函数的单调区间、比较大小、求字母的取值范围、求一类函数的值域等问题，充分体现指数函数的性质应用，并且会借助指数函数模型求解实际问题。〖过程与方法〗通过应用指数函数的性质解决实际问题的过程，体会应用知识分析问题、解决问题的思维方法，学会转化和化归的数学思想。〖情感、态度与价值观〗增强学生的应用意识，树立学好数学的信心，最终形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。教学重难点：指数函数性质的应用。教学过程设计一、温故而知新指数函数的概念、图象与性质（强调单调性）二、核心内容整合1、图象的平移与对称变换一般地，对形如yaxmn形式的函数，其图象可由yax的图象经过左右上下平移得到。将指数函数的图象通过翻折、对称，再辅助平移变换可得到较为复杂的函数图象。例1、若函数f(x)ax13恒过定点P，试求点P的坐标。解：将指数函数yax(a0且a1)的图象沿x轴右移一个单位，再沿y轴上移3个单位即可得到f(x)ax13的图象，因为yax的图象恒过（0，1），故相应的f(x)ax13恒过定点（1，4）。练习1、说明下列函数的图象与指数函数y2x的图象的关系，并画出他们的图象：（1）y2x1；（2）y2x21。练习2：画出函数y2|x1|的图象。2、复合函数单调性的应用指数函数的单调性应用十分广泛，可以用来比较数或式的大小，求函数的定义域、值域、最大值、最小值、求字母参数的取值范围等。对复合函数yf[g(x)]，若ug(x)在区间（a，b）上是增函数，其值域为（c，d），又函数yf(u)在（c，d）---------31-----\n----上是增函数，那么复合函数在（a，b）上为增函数。可推广为下表（简记为同增异减）：ug(x)增增减减yf(u)增减增减yf[g(x)]增减减增例2、求不等式a2x7a4x1(a0且a1)中x的取值范围。解：当a>1时，函数yax在R上是增函数，所以a2x7a4x12x74x1x3；当01，yax均不为奇函数或偶函数，但由其参与而构成的较为复杂的函数式的奇偶性，是经常出现的题型之一，其判断方法仍是判断f(x)与f(x)之间的关系。例4、已知f(x)(111)x，2x2（1）求函数f(x)的定义域；---------32-----\n----（2）判断f(x)的奇偶性。（3）求证：f(x)0。解：（1）由2x10，得x0，所以函数的定义域为{x|x0,xR}；（2）f(x)(11x(22x1)x(2x1)2x1)x2(2x1)2(2x1)，2---------则f(x)x(2xx1)x(12x)x(2x1)xxf(x)，所以f(x)为偶函数。---------2(21)2(12)2(21)---------（3）当x>0时，由指数函数的性质知2x1，所以110，所以当x>0时，f(x)(11。x12x1)x0222由于f(x)为偶函数，所以当x<0时，f(x)>0。总之，xR且x0时，函数f(x)0。练习：已知f(x)kaxax(a0且a1)为奇函数，则k=。4、实际应用指数函数应用广泛，如银行复利、人口增长、细菌繁衍、分期付款、土地流失等，这些问题有些模型是指数函数yax，有些则是指数型函数ykax或ykaxb，要具体问题具体分析。例5、截止1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿，则有y13(11%)x131.01x（亿），当x=20时，y131.012016（亿）。所以，经过20年后，我国人口数最多为16亿。小结：在实际问题中，经常会遇到类似的指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则NpxxN)。我们把形如ykaxkR,a0y（且a1）的函数称为指数型函数，这是非常(1)(有用的函数模型。练习（1）如果人口年平均增长率提高1个百分点，那么20年，33年后我国的人口数是多少？（2）如果年均增长率保持在2%，试计算2020~2100年，每隔5年相应的人口数。（3）我国人口数的增长呈现什么趋势？（4）如何看待我国的计划生育政策？三、课后作业：P65，习题2.1，A组9，B组3，4。2.2对数函数---------33-----\n----2.2.1对数与对数运算第一课时对数的概念三维目标定向〖知识与技能〗理解对数的概念，掌握对数恒等式及常用对数的概念，领会对数与指数的关系。〖过程与方法〗从指数函数入手，引出对数的概念及指数式与对数式的关系，得到对数的三条性质及对数恒等式。〖情感、态度与价值观〗增强数学的理性思维能力及用普遍联系、变化发展的眼光看待问题的能力，体会对数的价值，形成正确的价值观。教学重难点：指、对数式的互化。教学过程设计一、问题情境设疑引例1：已知224,2532，如果2x26，则x=？引例2、改革开放以来，我国经济保持了持续调整的增长，假设2006年我国国内生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国内生产总值比2006年翻两番？分析：设经过x年国内生产总值比2006年翻两番，则有a(18%)x4x。a，即1.08=4这是已知底数和幂的值，求指数的问题，即指数式abN中，求b的问题。能否且一个式子表示出来？可以，下面我们来学习一种新的函数，他可以把x表示出来。二、核心内容整合1、对数：如果axN(a0且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN。其中a叫做对数的底数，N叫做真数。根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0且a1时，axNxlogaN（符号功能）——熟练转化如：1.01x18xlog1.0118，42=162=log41613132、常用对数：以10为底log10N写成lgN；自然对数：以e为底logeN写成lnN（e=2.71828,）3、对数的性质：（1）在对数式中N=ax>0（负数和零没有对数）；（2）loga1=0,logaa=1（1的对数等于0，底数的对数等于1）；---------34-----\n----（3）如果把ablogaNN中b的写成logaN，则有aN（对数恒等式）。三、例题分析示例例1、将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）54=625；（2）261；（3）(1)m5.73；643（4）log1164；（5）lg0.01=–2；（6）ln10=2.303。2例2、求下列各式中x的值：（1）log64x2；（2）logx8=6；（3）lg100=x；23（4）–lne=x。补充例题：求值（1）log927；（2）log34625。5四、学习水平反馈：P64，练习1，2，3，4。五、补充练习：求下列各式中的值。log2(log5x)1，log4[log3(log1x)]0。2五、三维体系构建1、对数的相关概念，常用对数，自然对数；2、对数与指数的互换；3、对数的基本性质；4、求值（已知对数、底数、真数其中两个，会求第三个）。六、课后作业：P74，习题2.2，A组1、2。第二课时对数的运算三维目标定向〖知识与技能〗理解并会推导对数的运算法则，并会用语言叙述该法则，理解并能用换底公式化简求值。〖过程与方法〗理解积、商、幂的对数运算法则，能灵活应用换底公式化简求值。〖情感、态度与价值观〗从新颖别致的运算法则中感受奇异美，并能体会对数运算的使用价值。教学重难点：灵活运用对数法则，求值或化简。教学过程设计一、复习引入1、对数的概念：axNxlogaN，常用对数lgx，自然对数：lnx。2、对数的性质：N=ax>0；loga1=0,logaa=1；alogaNN。---------35-----\n----3、课前练习：（1）给出四个等式：①lg(lg10)0②lg(lne)0③若lgx10，则x=10④若lnxe则xe2其中正确的是。（2）log31log33log327。（3）lnelg100。（4）lg142lg7lg18？lg73二、核心内容整合对数的运算性质：如果a>0,a≠1,M>0,N>0，那么：（1）logaMNlogaMlogaN；（2）logaMlogaN；logaMN（3）logaMnnlogaM(nR)。语言表达：两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和；两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差；一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数的n倍。证明：logaMNlogaMlogaN证：设logaMp,logaNq，由对数的定义可以得：Map,Naq，所以MNapaqapqlogaMNpq，即证得logaMNlogaMlogaN。学生类比证明（2）（3）。三、例题分析示例例1、用logax,logay,logaz表示下列各式：logaxy；x2y（1）z（2）loga3z。例2、求下列各式的值：（1）log2(4725)；（2）lg5100。课堂小结：对数的运算性质如果a>0,a≠1,M>0,N>0，那么：（1）logaMNlogaMlogaN；（2）logaMlogaMlogaN；N（3）logaMnnlogaM(nR)。---------36-----\n----说明（1）简易语言表达；（2）有时可逆向运用公式；（3）底数的取值必须是(0,)；（4）注意：loga(MN)logaMlogaN，loga(MN)logaMlogaN巩固练习：P68，练习1、2、3。提高练习：1（1）若lgxlga2lgb3lgc，则x=。（2）1log612log62的值为。2（3）log2843log2843。四、探究（1）logamNnnlogaN；m（2）logablogcb(a0且a1,c0且c1,b0)（换底公式）；logca（3）logablogba1。分析：（1）设logamNnx(am)xNnamxNnlogaNnmx，所以x1logaNnnlogaN。mm（2）设xlogcblogcbxlogcalogcaxbaxxlogab，logca所以logablogcb。logca（3）logablogbalgblgalga1。lgb应用：P75，练习，4。五、课后作业：P74习题2.2，A组，3、4、5。第三课时对数运算性质的应用一、课标定位（一）知识与技能1、掌握对数的运算性质，能较熟练地运用对数的运算性质解决有关对数式的化简、求值问题。2、掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明。3、能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答。（二）过程与方法---------37-----\n----1、利用类比的方法，得出对数的运算性质，体会数学知识的前后连贯性，加深对公式内容及公式适用条件的记忆。2、结合实例探究换底公式，并通过换底公式的应用，体会化归与转化的数学思想。3、通过师生之间、学生之间互相交流探讨，培养探究能力。（三）情感态度与价值观1、通过探究换底公式的概念，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养严谨的科学精神。2、通过计算器来探索对数的运算性质，认识到现代信息技术是认识世界的有效手段和工具，激发学生学习数学的热情。二、教学过程设计（一）知识梳理1、对数的运算性质如果a>0,a≠1,M>0,N>0，那么：（1）logaMNlogaMlogaN；（2）logaMlogaMlogaN；N（3）logaMnnlogaM(nR)；（4）logamNnnlogaN；mlogcb且且；2、换底公式：logab(a0a1,c0c1,b0)logca（二）对数运算性质的运用例1、若a0,a1,xy0,nN*，则下列各式中：①(logax)nnlogax；②(logax)nlogaxn；③logaxloga1；x④logaxlogay；⑤nlogax1logax；⑥1logaxloganx；logayxnn⑦logaxloganxn；⑧logaxylogaxy。xyxy其中成立的有（）（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个例2、lg252lg8lg5lg20lg22。3练习1、若aln2,bln3,cln5，则（）235（A）a1图象定义域(0,+∞)值域R（1）过定点（1，0），即x=1时，y=0性（2）在R上是减函数（2）在R上是增函数质（3）同正异负，即01,x>1时，logax>0；01或a>1,0a>1>d>c。01xy=logbxy=logcxy=logdx三、例题分析示例例1、求下列函数的定义域：（1）ylogax2；（2）yloga(4x)。分析：（1）{x|x0}；（2）{x|x4}。---------41-----\n----例2、比较下列各组数中两个值的大小：1og23.4和log28.5。分析：考察对数函数ylog2x，因为它的底数2>1，所以它(0,)在上是增函数，于是log23.4log28.5。拓展1：（1）log0.33.4,log0.38.5；（2）loga3.4,loga8.5(a0且a1)。小结：注意函数思想和分类讨论思想的应用。练习：已知下列不等式，比较正数m、n的大小：（1）logamlogan(0a1)；（2）logamlogan(a1)。拓展2：（1）log0.33.4,log0.53.4；（2）log23.4,log3.42；（3）log3.42,log20.8。小结：体现了数形结合思想的应用；“介值法”体现了问题的转化思想。练习：已知0