高中数学必修一教案(全套) 70页

『高中数学·必修1』第一章集合与函数概念课题：§1.1集合教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。课型：新授课教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。阅读课本P2-P3内容二、新课教学（一）集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。2.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。——————————————第1页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』3.思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。4.关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样5.元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belongto）A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（notbelongto）A，记作a∉A（或aA∈）（举例）6.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N*正整数集，记作N或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R（二）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。2322如：{1，2，3，4，5}，{x，3x+2，5y-x，x+y}，…；例1．（课本例1）思考2，引入描述法说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特——————————————第2页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』征。2如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x+1}，{直角三角形}，…；例2．（课本例2）说明：（课本P5最后一段）思考3：（课本P6思考）强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素22{(x,y)|y=x+3x+2}与{y|y=x+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。辨析：这里的{}已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，{R}也是错误的。说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（三）课堂练习（课本P6练习）三、归纳小结本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。四、作业布置书面作业：习题1.1，第1-4题五、板书设计（略）课题:§1.2集合间的基本关系教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系了解空集的含义课型：新授课教学目的：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；（2）理解子集、真子集的概念；（3）能利用Venn图表达集合间的关系；（4）了解与空集的含义。教学重点：子集与空集的概念；用Venn图表达集合间的关系。教学难点：弄清元素与子集、属于与包含之间的区别；——————————————第3页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』教学过程：六、引入课题1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：（1）0N；（2）2Q；（3）-1.5R2、类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题）七、新课教学（一）集合与集合之间的“包含”关系；A={1，2，3}，B={1，2，3，4}集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。记作：A⊆B(或B⊇A)读作：A包含于（iscontainedin）B，或B包含（contains）A当集合A不包含于集合B时，记作AB⊆用Venn图表示两个集合间的“包含”关系ABA⊆B(或B⊇A)（二）集合与集合之间的“相等”关系；A⊆B且B⊆A，则A=B中的元素是一样的，因此A=B⎧A⊆B即A=B⇔⎨⎩B⊆A练习结论：任何一个集合是它本身的子集（三）真子集的概念若集合A⊆B，存在元素x∈B且x∉A，则称集合A是集合B的真子集（propersubset）。记作：AB（或BA）——————————————第4页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』读作：A真包含于B（或B真包含A）举例（由学生举例，共同辨析）（四）空集的概念（实例引入空集概念）不含有任何元素的集合称为空集（emptyset），记作：∅规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。（五）结论：○1A⊆A○2A⊆B，且B⊆C，则A⊆C（六）例题（1）写出集合{a，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。（2）化简集合A={x|x-3>2},B={x|x≥5}，并表示A、B的关系；（七）课堂练习（八）归纳小结，强化思想两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法；（九）作业布置1、书面作业：习题1.1第5题2、提高作业：○1已知集合A={x|a0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10}，且X∩A=∅,X∩B=X，试求p、q；（2）集合A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若A∪B={-2，0，1}，求p、q；（3）A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且A∩B={3，7}，求B课题：§1.2.1函数的概念教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：十二、引入课题1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：我国2003年4月份非典疫情统计：——————————————第9页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』日期222324252627282930新增确诊病例数10610589103113126981521013.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．十三、新课教学（一）函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）（二）典型例题1．求函数定义域课本P20例1解：（略）说明：○1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；——————————————第10页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．巩固练习：课本P22第1题2．判断两个函数是否为同一函数课本P21例2解：（略）说明：○1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。巩固练习：○1课本P22第2题○2判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？0（1）f(x)=(x－1)；g(x)=12（2）f(x)=x；g(x)=x22（3）f(x)=x；f(x)=(x+1)2（4）f(x)=|x|；g(x)=x（三）课堂练习求下列函数的定义域1（1）f(x)=x−|x|1（2）f(x)=11+x2（3）f(x)=−x−4x+5——————————————第11页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』24−x（4）f(x)=x−12（5）f(x)=x−6x+10（6）f(x)=1−x+x+3−1十四、归纳小结，强化思想从具体实例引入了函数的的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念，介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目，引入了区间的概念来表示集合。十五、作业布置课本P28习题1．2（A组）第1—7题（B组）第1题课题：§1.2.2映射教学目的：（1）了解映射的概念及表示方法，了解象、原象的概念；（2）结合简单的对应图示，了解一一映射的概念．教学重点：映射的概念．教学难点：映射的概念．教学过程：十六、引入课题复习初中已经遇到过的对应：1．对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；5．函数的概念．十七、新课教学1．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射（mapping）（板书课题）．——————————————第12页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』2．先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系（1）开平方；（2）求正弦（3）求平方；（4）乘以2；3．什么叫做映射？一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“f：A→B”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。4．例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？（1）A={P|P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A={P|P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；（3）A={三角形}，B={x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）A={x|x是新华中学的班级}，B={x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．思考：将（3）中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f：B→A是从集合B到集合A的映射吗？5．完成课本练习十八、作业布置——————————————第13页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』补充习题课题：§1.2.2函数的表示法教学目的：（1）明确函数的三种表示方法；（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；（4）纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识．教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．教学过程：十九、引入课题5.复习：函数的概念；6.常用的函数表示法及各自的优点：（1）解析法；（2）图象法；（3）列表法．二十、新课教学（一）典型例题例1．某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x)．分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．解：（略）注意：○1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；○2解析法：必须注明函数的定义域；○3图象法：是否连线；○4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．——————————————第14页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』巩固练习：课本P27练习第1题例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班平均分88．278．385．480．375．782．6请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？解：（略）注意：○1本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点；○2本例能否用解析法？为什么？巩固练习：课本P27练习第2题例3．画出函数y=|x|．解：（略）巩固练习：课本P27练习第3题拓展练习：任意画一个函数y=f(x)的图象，然后作出y=|f(x)|和y=f(|x|)的图象，并尝试简要说明三者（图象）之间的关系．课本P27练习第3题例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．——————————————第15页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．解：设票价为y元，里程为x公里，同根据题意，如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站（包括起点站和终点站），那么汽车*行驶的里程约为19公里，所以自变量x的取值范围是{x∈N|x≤19}．由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：⎧201的解集．课题：§1.3.2函数的奇偶性教学目的：（1）理解函数的奇偶性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；——————————————第19页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』（3）学会判断函数的奇偶性．教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．教学过程：二十七、引入课题1．实践操作：（也可借助计算机演示）取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：○1以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y轴对称；（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．○2以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数．2．观察思考（教材P39、P40观察思考）二十八、新课教学（一）函数的奇偶性定义象上面实践操作○1中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数，操作○2中的图象关于原点对称的函数即是奇函数．——————————————第20页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』1．偶函数（evenfunction）一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（学生活动）：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义2．奇函数（oddfunction）一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．（二）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．（三）典型例题1．判断函数的奇偶性例1．（教材P36例3）应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶性．（本例由学生讨论，师生共同总结具体方法步骤）解：（略）总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．巩固练习：（教材P41例5）例2．（教材P46习题1．3B组每1题）解：（略）说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函——————————————第21页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数．2．利用函数的奇偶性补全函数的图象（教材P41思考题）规律：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．巩固练习：（教材P42练习1）3．函数的奇偶性与单调性的关系（学生活动）举几个简单的奇函数和偶函数的例子，并画出其图象，根据图象判断奇函数和偶函数的单调性具有什么特殊的特征．例3．已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数解：(由一名学生板演，然后师生共同评析，规范格式与步骤)规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．二十九、归纳小结，强化思想本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．三十、作业布置3．书面作业：课本P46习题1．3（A组）第9、10题，B组第2题．2．补充作业：判断下列函数的奇偶性：22x+2x○1f(x)=；x+13○2f(x)=x−2x；○3f(x)=a（x∈R）——————————————第22页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』⎧x(1−x)x≥0,○4f(x)=⎨⎩x(1+x)x<0.3．课后思考：已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)+f(−x)f(x)−f(−x)设g(x)=，h(x)=22○1试判断g(x)与h(x)的奇偶性；○2试判断g(x),h(x)与f(x)的关系；○3由此你能猜想得出什么样的结论，并说明理由．课题：§1.3.1函数的最大（小）值教学目的：（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．教学过程：三十一、引入课题画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：○1说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；○2指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？（1）f(x)=−2x+3（2）f(x)=−2x+3x∈[−1,2]22（3）f(x)=x+2x+1（4）f(x)=x+2x+1x∈[−2,2]三十二、新课教学（一）函数最大（小）值定义1．最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最大值（MaximumValue）．思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（MinimumValue）的——————————————第23页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』定义．（学生活动）注意：○1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；○2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值○2利用图象求函数的最大（小）值○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；（二）典型例题例1．（教材P36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．解：（略）说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．巩固练习：如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，25如果矩形一边长为x，面积为y试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？例2．（新题讲解）旅馆定价一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：房价（元）住房率（%）1605514065——————————————第24页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』1207510085欲使每天的的营业额最高，应如何定价？解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．设y为旅馆一天的客房总收入，x为与房价160相比降低的房价，因此当x房价为(160−x)元时，住房率为(55+⋅10)%，于是得20xy=150·(160−x)·(55+⋅10)%．20x由于(55+⋅10)%≤1，可知0≤x≤90．20因此问题转化为：当0≤x≤90时，求y的最大值的问题．2将y的两边同除以一个常数0.75，得y1=－x＋50x＋17600．由于二次函数y1在x=25时取得最大值，可知y也在x=25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）2例3．（教材P37例4）求函数y=在区间[2，6]上的最大值和最小值．x−1解：（略）注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式．巩固练习：（教材P38练习4）三十三、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论三十四、作业布置4．书面作业：课本P45习题1．3（A组）第6、7、8题．提高作业：快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如下图，各沿箭头方——————————————第25页（共70页）——————————————BAC\n『高中数学·必修1』向航行，快艇和轮船的速度分别是45km/h和15km/h，已知AC=150km，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？第二章基本初等函数课题：§2.1.1指数教学目的：（1）掌握根式的概念；（2）规定分数指数幂的意义；（3）学会根式与分数指数幂之间的相互转化；（4）理解有理指数幂的含义及其运算性质；（5）了解无理数指数幂的意义教学重点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质教学难点：根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂．教学过程：三十五、引入课题1．以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性2．由实例引入，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性；3．复习初中整数指数幂的运算性质；mnm+na⋅a=amnmn(a)=annn(ab)=ab4．初中根式的概念；如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根；三十六、新课教学（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念——————————————第26页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』n一般地，如果x=a，那么x叫做a的n次方根（nthroot），其中n>1，*且n∈N．当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．此n时，a的n次方根用符号a表示．n式子a叫做根式（radical），这里n叫做根指数（radicalexponent），a叫做被开方数（radicand）．当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a的nn正的n次方根用符号a表示，负的n次方根用符号－a表示．正的n次方根与负n的n次方根可以合并成±a（a>0）．n由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作0=0．nn思考：（课本P58探究问题）a=a一定成立吗？．（学生活动）nn结论：当n是奇数时，a=a⎧a(a≥0)nn当n是偶数时，a=|a|=⎨⎩−a(a<0)例1．（教材P58例1）．解：（略）巩固练习：（教材P58例1）2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定：mnnm*a=a(a>0,m,n∈N,n>1)m−11*an==(a>0,m,n∈N,n>1)mnmnaa0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．——————————————第27页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』3．有理指数幂的运算性质rrr+s（1）a·a=a(a>0,r,s∈Q)；rsrs（2）(a)=a(a>0,r,s∈Q)；rrs（3）(ab)=aa(a>0,b>0,r∈Q)．引导学生解决本课开头实例问题例2．（教材P60例2、例3、例4、例5）说明：让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用．巩固练习：（教材P63练习1-3）4．无理指数幂结合教材P62实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．α指出：一般地，无理数指数幂a(a>0,α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．思考：（教材P63练习4）巩固练习思考：：（教材P62思考题）1例3．（新题讲解）从盛满1升纯酒精的容器中倒出升，然后用水填满，再倒31出升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？3解：（略）点评：本题还可以进一步推广，说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问题．三十七、归纳小结，强化思想本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．三十八、作业布置5．必做题：教材P69习题2．1（A组）第1－4题．6．选做题：教材P70习题2．1（B组）第2题．——————————————第28页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』课题：§2.1.2指数函数及其性质教学任务：（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；（2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．教学重点：指数函数的的概念和性质．教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．教学过程：三十九、引入课题（备选引例）5．（合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．○1按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？○2到2050年我国的人口将达到多少？○3你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？x*6．上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1.073（x∈N，x≤20）能否构成函数？7．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，——————————————第29页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？8．上面的几个函数有什么共同特征？四十、新课教学（一）指数函数的概念x一般地，函数y=a(a>0,且a≠1)叫做指数函数（exponentialfunction），其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：○1指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析；○2注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1．巩固练习：利用指数函数的定义解决（教材P68例2、3）（二）指数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．探索研究：1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：1x（1）y=()31x（2）y=()2x（3）y=2x（4）y=3x（5）y=5x1x2．从画出的图象中你能发现函数y=2的图象和函数y=()的图象有什么2x1x关系？可否利用y=2的图象画出y=()的图象？2xxx3．从画出的图象（y=2、y=3和y=5）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？——————————————第30页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』4．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？图象特征函数性质a>10100,a>1x>0,a<1象纵坐标都大于1象纵坐标都小于1在第二象限内的图在第二象限内的图xxx<0,a<1x<0,a>1象纵坐标都小于1象纵坐标都大于1函数值开始增长较函数值开始减小极图象上升趋势是越图象上升趋势是越慢，到了某一值后快，到了某一值后来越陡来越缓增长速度极快；减小速度较慢；9．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：x（1）在[a，b]上，f(x)=a(a>0且a≠1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]；（2）若x≠0，则f(x)≠1；f(x)取遍所有正数当且仅当x∈R；x（3）对于指数函数f(x)=a(a>0且a≠1)，总有f(1)=a；（4）当a>1时，若x0,a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数．．．（Logarithm），记作：x=logNaa—底数，N—真数，logN—对数式a说明：○1注意底数的限制a>0，且a≠1；x○2a=N⇔logN=x；alogN○3注意对数的书写格式．a思考：○1为什么对数的定义中要求底数a>0，且a≠1；○2是否是所有的实数都有对数呢？设计意图：正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数型函数定义域的确定作准备．两个重要对数：○1常用对数（commonlogarithm）：以10为底的对数lgN；——————————————第32页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』○2自然对数（naturallogarithm）：以无理数e=2.71828"为底的对数的对数lnN．2．对数式与指数式的互化xlogN=x⇔a=Na对数式⇔指数式对数底数←a→幂底数对数←x→指数真数←N→幂例1．（教材P73例1）巩固练习：（教材P74练习1、2）设计意图：熟练对数式与指数式的相互转化，加深理解对数概念．说明：本例题和练习均让学生独立阅读思考完成，并指出对数式与指数式的互化中应注意哪些问题．3．对数的性质（学生活动）○1阅读教材P73例2，指出其中求x的依据；○2独立思考完成教材P74练习3、4，指出其中蕴含的结论对数的性质（1）负数和零没有对数；（2）1的对数是零：log1=0；a（3）底数的对数是1：loga=1；a（4）对数恒等式：alogaN=N；n（5）loga=n．a四十五、归纳小结，强化思想○1引入对数的必要性；○2指数与对数的关系；○3对数的基本性质．四十六、作业布置——————————————第33页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』教材P86习题2．2（A组）第1、2题，（B组）第1题．课题：§2.2.1对数的运算性质教学目的：（1）理解对数的运算性质；（2）知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；（3）通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．教学重点：对数的运算性质，用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数教学难点：对数的运算性质和换底公式的熟练运用．教学过程：四十七、引入课题b12．对数的定义：a=N⇔logN=b；a13．对数恒等式：alogaN=N,logab=b；a四十八、新课教学1．对数的运算性质提出问题：根据对数的定义及对数与指数的关系解答下列问题：m+n○1设log2=m，log3=n，求a；aa○2设logM=m，logN=n，试利用m、n表示log(M·N)．aaa（学生独立思考完成解答，教师组织学生讨论评析，进行归纳总结概括得出对数的运算性质１，并引导学生仿此推导其余运算性质）运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：○1log(M·NM)=log＋logN；aaaM○2log=logM－logN；aaaNn○3logM=nlogM(n∈R)．aa——————————————第34页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』（引导学生用自然语言叙述上面的三个运算性质）学生活动：○1阅读教材Ｐ75例3、4，；设计意图：在应用过程中进一步理解和掌握对数的运算性质．○2完成教材Ｐ79练习1~3设计意图：在练习中反馈学生对对数运算性质掌握的情况，巩固所学知识．4．利用科学计算器求常用对数和自然对数的值设计意图：学会利用计算器、计算机求常用对数值和自然对数值的方法．18思考：对于本小节开始的问题中，可否利用计算器求解log的值？从而引1.0113入换底公式．5．换底公式logbclogb=（a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0）．alogac学生活动○1根据对数的定义推导对数的换底公式．设计意图：了解换底公式的推导过程与思想方法，深刻理解指数与对数的关系．○2思考完成教材P76问题（即本小节开始提出的问题）；○3利用换底公式推导下面的结论nn（1）logamb=logab；m1（2）logb=．alogab设计意图：进一步体会并熟练掌握换底公式的应用．说明：利用换底公式解题时常常换成常用对数，但有时还要根据具体题目确定底数．6．课堂练习○1教材Ｐ79练习4○2已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,试求：lg12的值。2○3试求：lg2+lg2⋅lg5+lg5的值。（对换5与2，再试一试）——————————————第35页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』3333○4a+b=lg2+lg5+3lg2⋅lg5，试求：3ab+a+b的值。○5设lg2=a,lg3=b，试用a、b表示log125四十九、归纳小结，强化思想本节主要学习了对数的运算性质和换底公式的推导与应用，在教学中应用多给学生创造尝试、思考、交流、讨论、表达的机会，更应注重渗透转化的思想方法．五十、作业布置1．基础题：教材P86习题2．2（A组）第3~5、11题；2．提高题：○1设log3=a,log5=b，试用a、b表示lg5；83b○2设log7=a,14=5，试用a、b表示log28；1435abc111○3设a、b、c为正数，且3=4=6，求证：−=．ca2b3．课外思考题：设正整数a、b、c（a≤b≤c）和实数x、y、z、ω满足：xyzω1111a=b=c=30，++=，xyzω求a、b、c的值．课题：§2.2.2对数函数（一）教学任务：（1）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；（2）能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；（3）通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法．教学重点：掌握对数函数的图象和性质．教学难点：对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用．教学过程：——————————————第36页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』五十一、引入课题1．（知识方法准备）○1学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法？设计意图：结合指数函数，让学生熟知对于函数性质的研究内容，熟练研究函数性质的方法——借助图象研究性质．○2对数的定义及其对底数的限制．设计意图：为讲解对数函数时对底数的限制做准备．2．（引例）教材P81引例处理建议：在教学时，可以让学生利用计算器填写下表：碳14的含量P0.50.30.10.010.001生物死亡年数t然后引导学生观察上表，体会“对每一个碳14的含量P的取值，通过对应关系t=logP，生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的157302函数”．（进而引入对数函数的概念）五十二、新课教学（一）对数函数的概念1．定义：函数y=logx(a>0，且a≠1)叫做对数函数（logarithmicafunction）其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：xy=2logx，y=log都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．255○2对数函数对底数的限制：(a>0，且a≠1)．巩固练习：（教材P68例2、3）（二）对数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．——————————————第37页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．探索研究：○1在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机）（1）y=logx2（2）y=logx12（3）y=logx3（4）y=logx13○2类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表格：图象特征函数性质a>10101,logx>000aa纵坐标都大于0纵坐标都大于0第二象限的图象第二象限的图象01,logx<0aa纵坐标都小于0纵坐标都小于0○3思考底数a是如何影响函数y=logx的．（学生独立思考，师生共同总结）a规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．（三）典型例题例1．（教材P83例7）．解：（略）说明：本例主要考察学生对对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对对数函数的理解．巩固练习：（教材P85练习2）．例2．（教材P83例8）——————————————第38页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』解：（略）说明：本例主要考察学生利用对数函数的单调性“比较两个数的大小”的方法，熟悉对数函数的性质，渗透应用函数的观点解决问题的思想方法．注意：本例应着重强调利用对数函数的单调性比较两个对数值的大小的方法，规范解题格式．巩固练习：（教材P85练习3）．例2．（教材P83例9）解：（略）说明：本例主要考察学生对实际问题题意的理解，把具体的实际问题化归为数学问题．注意：本例在教学中，还应特别启发学生用所获得的结果去解释实际现象．巩固练习：（教材P86习题2．2A组第6题）．五十三、归纳小结，强化思想本小节的目的要求是掌握对数函数的概念、图象和性质．在理解对数函数的定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质是本小节的重点．五十四、作业布置9．必做题：教材P86习题2．2（A组）第7、8、9、12题．10．选做题：教材P86习题2．2（B组）第5题．课题：§2.2.2对数函数（二）教学任务：（1）进一步理解对数函数的图象和性质；（2）熟练应用对数函数的图象和性质，解决一些综合问题；（3）通过例题和练习的讲解与演练，培养学生分析问题和解决问题的能力．教学重点：对数函数的图象和性质．教学难点：对对数函数的性质的综合运用．教学过程：五十五、回顾与总结1．函数y=logx,y=logx,y=lgx25○1的图象如图所示，回答下列问题．——————————————第39页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』（1）说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么？○23（2）函数y=logx与y=logxa1a(a>0,且a≠0)有什么关系？图象之间又有什么特殊的关系？（3）以y=logx,y=logx,y=lgx的图象为基础，在同一坐标系中画25出y=logx,y=logx,y=logx的图象．1112510（4）已知函数y=logx,y=logx,y=logx,y=logx的图象，a1a2a3a4则底数之间的关系：y=loga1x．y=logax2教y=logax3y=logax4——————————————第40页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』2．完成下表（对数函数y=logx(a>0,且a≠0)的图象和性质）a01图象定义域值域性质3．根据对数函数的图象和性质填空．○1已知函数y=logx，则当x>0时，y∈；当x>1时，2y∈；当04时，y∈．○1已知函数y=logx，则当01时，13y∈；当x>5时，y∈；当02时，x∈．五十六、应用举例例1．比较大小：○1logπ，loge(a>0,且a≠0)；aa12○2log，log(a+a+1)(a∈R)．222解：（略）例2．已知log(3a−1)恒为正数，求a的取值范围．a解：（略）[总结点评]：（由学生独立思考，师生共同归纳概括）．——————————————第41页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』．2例3．求函数f(x)=lg(−x+8x−7)的定义域及值域．解：（略）注意：函数值域的求法．例4．（1）函数y=logx在[2，4]上的最大值比最小值大1，求a的值；a2（2）求函数y=log(x+6x+10)的最小值．3解：（略）注意：利用函数单调性求函数最值的方法，复合函数最值的求法．11+x例5．（2003年上海高考题）已知函数f(x)=−log，求函数f(x)的2x1−x定义域，并讨论它的奇偶性和单调性．解：（略）注意：判断函数奇偶性和单调性的方法，规范判断函数奇偶性和单调性的步骤．2例6．求函数f(x)y=log(−x+4x+5)的单调区间．0.2解：（略）注意：复合函数单调性的求法及规律：“同增异减”．2练习：求函数y=log(3−2x−x)的单调区间．12五十七、作业布置考试卷一套——————————————第42页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』课题：§2.2.2对数函数（三）教学目标：知识与技能理解指数函数与对数函数的依赖关系，了解反函数的概念，加深对函数的模型化思想的理解．过程与方法通过作图，体会两种函数的单调性的异同．情感、态度、价值观对体会指数函数与对数函数内在的对称统一．教学重点：重点难两种函数的内在联系，反函数的概念．难点反函数的概念．教学程序与环节设计：创设情境由函数的观点分析例题，引出反函数的概念．组织探究两种函数的内在联系，图象关系．尝试练习简单的反函数问题，单调性问题．巩固反思从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数函数的定义、图象、性质作一小结．作业回馈简单的反函数问题，单调性问题．课外活动互为反函数的函数图象的关系．——————————————第43页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』教学过程与操作设计：环节呈现教学材料师生互动设计生：独立思考完成，讨论展示并分析自己的材料一：结果．当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确师：引导学生分析归定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的纳，总结概括得出结一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人论：（1）P和t之间的对应们获得了生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间关系是一一对应；创的关系．回答下列问题：（2）P关于t是指数函（1）求生物死亡t年后它机体内的碳14的含数P=(57301)x；设2量P，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，t关于P是对数函数指出是我们所学过的何种函数？t=logx，它们的1情5730（2）已知一生物体内碳14的残留量为P，试求2底数相同，所描述的都该生物死亡的年数t，并用函数的观点来解释P和t是碳14的衰变过程境之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？中，碳14含量P与死亡年数t之间的对应关（3）这两个函数有什么特殊的关系？系；（4）用映射的观点来解释P和t之间的对应关（3）本问题中的同底数的指数函数和对数系是何种对应关系？函数，是描述同一种关（5）由此你能获得怎样的启示？系（碳14含量P与死亡年数t之间的对应关系）的不同数学模型．——————————————第44页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』材料二：由对数函数的定义可知，对数函数y=logx2x是把指数函数y=2中的自变量与因变量对调位置而得出的，在列表画y=logx的图象时，也是2x把指数函数y=2的对应值表里的x和y的数值对换，而得到对数函数y=logx的对应值表，如2下：x表一y=2．环节呈现教学材料师生互动设计生：仿照材料一分析：x…-3-2-10123…y=2x与y=logx2111y…1248…的关系．842表二y=logx．2师：引导学生分析，讲x…-3-2-10123…评得出结论，进而引出111反函数的概念．y…1248…842在同一坐标系中，用描点法画出图象．师：说明：材料一：反函数的概念：（1）互为反函数的两当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的个函数是定义域、值域因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数相互交换，对应法则互的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函逆的两个函数；数互为反函数．（2）由反函数的概念组织由反函数的概念可知，同底数的指数函数和对可知“单调函数一定有探究数函数互为反函数．反函数”；（3）互为反函数的两x材料二：以y=2与y=log2x为例研究互为个函数是描述同一变反函数的两个函数的图象和性质有什么特殊的联化过程中两个变量关系？系的不同数学模型．——————————————第45页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』师：引导学生探索研究材料二．生：分组讨论材料二，选出代表阐述各自的结论，师生共同评析归纳．尝试求下列函数的反函数：x生：独立完成．练习（1）y=3；（2）y=logx6巩固从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数反思函数的定义、图象、性质作一小结．1．求下列函数的反函数：作业x1234反馈y3579环节呈现教学材料师生互动设计x1234y3579答案：2．（1）试着举几个满足“对定义域内任意实1．互换x、y的数值．数a、b，都有f(a·b)=f(a)+f(b)．”的函数实2．略．例，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？（2）试着举几个满足“对定义域内任意实数a、b，都有f(a+b)=f(a)·f(b)．”的函数实例，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？x我们知道，指数函数y=a(a>0，且a≠1)与对数函数y=logx(a>0，且a≠1)互为反函a数，那么，它们的图象有什么关系呢？运用所学的数学知识，探索下面几个问题，亲自发现其中的奥秘吧！问题1在同一平面直角坐标系中，画出指数结论：x函数y=2及其反函数y=logx的图象，你能发课外2互为反函数的两活动现这两个函数的图象有什么特殊的对称性吗？个函数的图象关于直x问题2取y=2图象上的几个点，说出它们线y=x对称．关于直线y=x的对称点的坐标，并判断它们是否在y=logx的图象上，为什么？2x问题3如果P0（x0，y0）在函数y=2的图象上，那么P0关于直线y=x的对称点在函数y=logx的图象上吗，为什么？2——————————————第46页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』问题4由上述探究过程可以得到什么结论？x问题5上述结论对于指数函数y=a(a>0，且a≠1)及其反函数y=logx(a>0，且a≠1)也成立吗？为什么？a课题：§2.3幂函数教学目标：知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．教学重点：重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．教学程序与环节设计：创设情境问题引入．组织探究幂函数的图象和性质．尝试练习幂函数性质的初步应用．巩固反思复述幂函数的图象规律及性质．作业回馈幂函数性质的初步应用．——————————————第47页（共70页）——————————————课外活动利用图形计算器或计算机探索一般幂函数的图象规律．\n『高中数学·必修1』教学过程与操作设计：环节教学内容设计师生双边互动生：独立思考完成引阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列例．问题：1．它们的对应法则分别是什么？师：引导学生分析归纳创概括得出结论．2．以上问题中的函数有什么共同特征？设（答案）师生：共同辨析这种新情1．（1）乘以1；（2）求平方；（3）求立方；（4）函数与指数函数的异境开方；（5）取倒数（或求－1次方）．同．α2．上述问题中涉及到的函数，都是形如y=x的函数，其中x是自变量，是α常数．材料一：幂函数定义及其图象．师：说明：一般地，形如幂函数的定义来y=xα(a∈R)自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也的函数称为幂函数，其中α为常数．是基本初等函数，同样下面我们举例学习这类函数的一些性质．也是一种“形式定义”作出下列函数的图象：1的函数，引导学生注意组（1）y=x；（2）y=x2；（3）y=x2；辨析．−13（4）y=x；（5）y=x．生：利用所学知识和方织法尝试作出五个具体[解]○1列表（略）幂函数的图象，观察所○2图象图象，体会幂函数的变探化规律．究师：引导学生应用画函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性．师生共同分析，强调画图象易犯的错误．——————————————第48页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』环节教学内容设计师生双边互动材料二：幂函数性质归纳．师：引导学生观察图（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，象，归纳概括幂函数的组并且图象都过点（1，1）；的性质及图象变化规（2）α>0时，幂函数的图象通过原点，并律．织且在区间[0,+∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象生：观察图象，分组讨上凸；论，探究幂函数的性质探（3）α<0时，幂函数的图象在区间(0,+∞)上和图象的变化规律，并是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，展示各自的结论进行图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于究交流评析，并填表．+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．——————————————第49页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』材料三：观察与思考观察图象，总结填写下表：123−1y=xy=xy=xy=x2y=x定义域值域奇偶性单调性定点材料五：例题师：引导学生回顾讨论[例1]函数性质的方法，规范（教材P92例题）解题格式与步骤．并指出函数单调[例2]性是判别大小的重要比较下列两个代数值的大小：工具，幂函数的图象可1.51.5（1）(a+1)，a以在单调性、奇偶性基22础上较快描出．−−（2）(2+a2)3，232[例3]讨论函数y=x3的定义域、奇偶性，作生：独立思考，给出解答，共同讨论、评析．出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．环节呈现教学材料师生互动设计——————————————第50页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：33（1）2.34，2.44；66（2）0.315，0.355；33−−（3）(2)2，(3)2；尝试11−−（4）1.12，0.92．练习32．作出函数y=x2的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明．−2−23．作出函数y=x和函数y=(x−3)的图象，求这两个函数的定义域和单调区间．4．用图象法解方程：32（1）x=x−1；（2）x=x−3．规律1：在第一象限，1．如图所示，曲线是幂α作直线x=a(a>1)，函数y=x在第一象限内的图象，已知α分别取它同各幂函数图象相1−1,1,,2四个值，则相应图交，按交点从下到上的2探顺序，幂指数按从小到象依次为：．究大的顺序排列．与发2．在同一坐标系内，作出下列函数的图象，现你能发现什么规律？1−（1）y=x−3和y=x3；规律2：幂指数互为倒54数的幂函数在第一象（2）y=x4和y=x5．限内的图象关于直线y=x对称．1221．在函数y=,y=2x,y=x+x,y=1作业x2回馈中，幂函数的个数为：A．0B．1C．2D．3——————————————第51页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』环节呈现教学材料师生互动设计2．已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,2)，试求出这个函数的解析式．3．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管道半径r的四次方成正比．（1）写出函数解析式；（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速3率为400cm/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率R的表达式；（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率．4．1992年底世界人口达到54．8亿，若人口的平均增长率为x%，2008年底世界人口数为y（亿），写出：（1）1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数；（2）2008年底的世界人口数y与x的函数解析式．课α外利用图形计算器探索一般幂函数y=x的图活象随α的变化规律．动收1．谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函获数的奇偶性、单调性之间的关系？与体2．幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪会些方面？第三章函数的应用课题：§3.1.1方程的根与函数的零点——————————————第52页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』教学目标：知识与技能理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．过程与方法零点存在性的判定．情感、态度、价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．教学重点：重点零点的概念及存在性的判定．难点零点的确定．教学程序与环节设计：创设情境结合二次函数引入课题．组织探究二次函数的零点及零点存在性的．尝试练习零点存在性为练习重点．探索研究进一步探索函数零点存在性的判定．作业回馈重点放在零点的存在性判断及零点的确定上．课外活动研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符号，并尝试进行系统的总结．——————————————第53页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』教学过程与操作设计：环节教学内容设置师生双边互动先来观察几个具体的一元二次方程的根及其师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程相应的二次函数的图象：的根与图象和x轴交22○1方程x−2x−3=0与函数y=x−2x−3点坐标的关系，引出零创点的概念．22○2方程x−2x+1=0与函数y=x−2x+1设生：独立思考完成解○223方程x−2x+3=0与函数y=x−2x+3答，观察、思考、总结、情概括得出结论，并进行交流．境师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？函数零点的概念：对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟函数零点的意义：其中的思想方法．组函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐织标．生：认真理解函数零点即：的意义，并根据函数零方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的点的意义探索其求法：探图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点．○1代数法；○2几何法．函数零点的求法：究求函数y=f(x)的零点：○1（代数法）求方程f(x)=0的实数根；○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．——————————————第54页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』师：引导学生运用函数二次函数的零点：零点的意义探索二次二次函数2函数零点的情况．y=ax+bx+c(a≠0)．2１）△＞０，方程ax+bx+c=0有两不等环节教学内容设置师生双边互动实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二生：根据函数零点的意组次函数有两个零点．义探索研究二次函数２）△＝０，方程ax2+bx+c=0有两相等的零点情况，并进行交织实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一流，总结概括形成结个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零论．点．探2３）△＜０，方程ax+bx+c=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．究——————————————第55页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』生：分析函数，按提示零点存在性的探索：探索，完成解答，并认2（Ⅰ）观察二次函数f(x)=x−2x−3的图真思考．象：○1在区间[−2,1]上有零点______；f(−2)=_______，f(1)=_______,师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间f(−2)·f(1)_____0（＜或＞）．端点上的函数值的符○2在区间[2,4]上有零点______；号情况，与函数零点是f(2)·f(4)____0（＜或＞）．否存在之间的关系．（Ⅱ）观察下面函数y=f(x)的图象生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．○1在区间[a,b]上______(有/无)零点；f(a)·f(b)_____0（＜或＞）．师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其○2在区间[b,c]上______(有/无)零点；中各条件的作用．f(b)·f(c)_____0（＜或＞）．○3在区间[c,d]上______(有/无)零点；f(c)·f(d)_____0（＜或＞）．由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点．环节教学内容设置师生互动设计师：引导学生探索判断例1．求函数f(x)=lnx+2x−6的零点个函数零点的方法，指出数．可以借助计算机或计例问题：算器来画函数的图象，题1）你可以想到什么方法来判断函数零点个结合图象对函数有一研数？个零点形成直观的认究2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函识．数的单调性具有什么特性？生：借助计算机或计算——————————————第56页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』例2．求函数y=x3−2x2−x+2，并画出它器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的大致图象．的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有师：结合图象考察零点几个根：所在的大致区间与个2（1）−x+3x+5=0；数，结合函数的单调性（2）2x(x−2)=−3；说明零点的个数；让学2（3）x=4x−4；生认识到函数的图象尝（4）5x2+2x=3x2+5．及基本性质（特别是单试练2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在调性）在确定函数零点习的大致区间：中的重要作用．3（1）f(x)=−x−3x+5；（2）f(x)=2xln(x−2)−3；x−1（3）f(x)=e+4x−4；（4）f(x)=3(x+2)(x−3)(x+4)+x．1．已知f(x)=2x4−7x3−17x2+58x−24，请探究方程f(x)=0的根．如果方程有根，指出每个根所在的区间（区间长度不超过1）．探究x2．设函数f(x)=2−ax+1．与发（1）利用计算机探求a=2和a=3时函数现f(x)的零点个数；（2）当a∈R时，函数f(x)的零点是怎样分布的？环节教学内容设置师生互动设计——————————————第57页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』1．教材P108习题3．1（A组）第1、2题；2．求下列函数的零点：2（1）y=x−5x−4；2（2）y=−x+x+20；2（3）y=(x−1)(x−3x+1)；22（4）f(x)=(x−2)(x−3x+2)．3．求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零：作12（1）y=x−2x+1；业3回2（2）y=−2x−4x+1．馈24．已知f(x)=2(m+1)x+4mx+2m−1：（1）m为何值时，函数的图象与x轴有两个零点；（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求m的值．5．求下列函数的定义域：2（1）y=x−9；2（2）y=x+3x−4；2（3）y=−x+4x−1222课研究y=ax+bx+c，ax+bx+c=0，考虑列表，建议画出图外ax2+bx+c>0，ax2+bx+c<0的相互关系，象帮助分析．活以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试用一种动系统的、简洁的方式总结表达．收获说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判与定方程在某个区产存在根的基本步骤．体会——————————————第58页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解教学目标：知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．教学重点：重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．教学程序与环节设计：创设情境由二分查找及高次多项式方程的求问题引入．组织探究二分法的意义、算法思想及方法步骤．探索发现体会函数零点的意义，明确二分法的适用范围．尝试练习二分法的算法思想及方法步骤，初步应用二分法解决简单问题．作业回馈二分法应用于实际．课外活动1．二分法为什么可以逼近零点的再分析；2．追寻阿贝尔和伽罗瓦．——————————————第59页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』教学过程与操作设计：环节教学内容设计师生双边互动材料一：二分查找(binary-search)师：从学生感兴趣的计（第六届全国青少年信息学（计算机）奥林匹算机编程问题，引导学克分区联赛提高组初赛试题第15题）某数列有生分析二分法的算法1000个各不相同的单元，由低至高按序排列；现要思想与方法，引入课对该数列进行二分法检索(binary-search)，在最坏的题．情况下，需检索（）个单元。Ａ．1000Ｂ．10Ｃ．100Ｄ．500二分法检索（二分查找或折半查找）演示．生：体会二分查找的思想与方法．创材料二：高次多项式方程公式解的探索史料由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数设y=f(x)的零点（即f(x)=0的根），对于f(x)为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，师：从高次代数方程的情称为求根公式）．解的探索历程，引导学在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根生认识引入二分法的境公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直意义．没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题．二分法及步骤：对于在区间[a，b]上连续不断，且满足师：阐述二分法的逼近f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把原理，引导学生理解二组分法的算法思想，明确函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的二分法求函数近似零织两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方点的具体步骤．法叫做二分法．探给定精度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：分析条件究1．确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，“f(a)·f(b)<0”、给定精度ε；“精度ε”、“区间中2．求区间(a，b)的中点x；点”及“|a−b|<ε”1——————————————第60页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』3．计算f(x)：的意义．1环节呈现教学材料师生互动设计○1若f(x)=0，则x就是函数的零点；11生：结合引例“二分查○2若f(a)·f(x1)<0，则令b=x1（此时零找”理解二分法的算法点x∈(a,x)）；思想与计算原理．01○3若f(x)·f(b)<0，则令a=x（此时零11点x0∈(x1,b)）；师：引导学生分析理解4．判断是否达到精度ε；求区间(a，b)的中点即若|a−b|<ε，则得到零点零点值a（或a+b的方法x=．b）；否则重复步骤2~4．12例题解析：师：引导学生利用二分例1．求函数f(x)=x3+x−2x−2的一个法逐步寻求函数零点的近似值，注意规范方正数零点（精确到0.1）．法、步骤与书写格式．分析：首先利用函数性质或借助计算机、计算组器画出函数图象，确定函数零点大致所在的区间，然后利用二分法逐步计算解答．织生：根据二分法的思想解：（略）．与步骤独立完成解答，注意：探并进行交流、讨论、评○1第一步确定零点所在的大致区间(a，b)，析．究可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；○2建议列表样式如下：零点所在区间中点函数值区间长度[1，2]f(1.5)>01师：引导学生应用函数[1，1.5]f(1.25)<00.5单调性确定方程解的[1.25，1.5]f(1.375)<00.25个数．如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．生：认真思考，运用所例2．借助计算器或计算机用二分法求方程学知识寻求确定方程x解的个数的方法，并进2+3x=7的近似解（精确到0.1）．行、讨论、交流、归纳、解：（略）．概括、评析形成结论．——————————————第61页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』思考：本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数？结论：图象在闭区间[a，b]上连续的单调函数f(x)，在(a，b)上至多有一个零点．环节呈现教学材料师生互动设计1）函数零点的性质师：引导学生从“数”从“数”的角度看：即是使f(x)=0的实数；和“形”两个角度去体从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x会函数零点的意义，掌轴交点的横坐标；探若函数f(x)的图象在x=x0处与x轴相切，握常见函数零点的求究则零点x通常称为不变号零点；0法，明确二分法的适用与若函数f(x)的图象在x=x处与x轴相交，发0范围．现则零点x通常称为变号零点．02）用二分法求函数的变号零点二分法的条件f(a)·f(b)<0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．1）教材P106练习1、2题；2）教材P108习题3．1（A组）第1、2题；3）求方程logx+x=3的解的个数及其大3尝致所在区间；试x24）求方程0.9−x=0的实数解的个数；练21习5）探究函数y=0.3x与函数y=logx的0.3图象有无交点，如有交点，求出交点，或给出一个与交点距离不超过0.1的点．——————————————第62页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』1）教材P108习题3．1（A组）第3~6题、（B组）第4题；2）提高作业：○1已知函数2f(x)=2(m+1)x+4mx+2m−1．作（1）m为何值时，函数的图象与x轴有两个业交点？回（2）如果函数的一个零点在原点，求m的值．馈○2借助于计算机或计算器，用二分法求函数3f(x)=x−2的零点（精确到0.01）；3○3用二分法求3的近似值（精确到0.01）．环节呈现教学材料师生互动设计课查找有关系资料或利用internet查找有关高次外代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔（Abel）和活动伽罗瓦（Galois），增强探索精神，培养创新意识．说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判收定方程在某个区间存在根的基本步骤，及方程根的获与个数的判定方法；体谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似会解，对数学有了哪些新的认识？课题：§3.2.1几类不同增长的函数模型教学目标：知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．过程与方法能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长——————————————第63页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用．情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．教学重点：重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．难点怎样选择数学模型分析解决实际问题．教学程序与环节设计：创设情境实际问题引入，激发学生兴趣．组织探究选择变量、建立模型，利用数据表格、函数图象讨论模型，体会不同函数模型增长的含义及其差异．探索研究总结例题的探究方法，并进一步探索研究幂函数、指数函数、对数函数的增长差异，形成结论性报告．巩固反思师生交流共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤．作业回馈强化基本方法，规范基本格式．课外活动收集一些社会生活中普遍使用的函数模型，了解函数模型的广泛应用．——————————————第64页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』教学过程与操作设计：环节教学内容设计师生双边互动师：指出：一般而言，材料：澳大利亚兔子数“爆炸”在理想条件（食物或养在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、料充足，空间条件充嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑裕，气候适宜，没有敌创筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于害等）下，种群在一定澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数时期内的增长大致符设量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大合“J”型曲线；在有利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起限环境（空间有限，食情来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧物有限，有捕食者存在草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的等）中，种群增长到一境主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种定程度后不增长，曲线方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学呈“S”型．可用指数家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大函数描述一个种群的利亚人才算松了一口气．前期增长，用对数函数描述后期增长的——————————————第65页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』例1．假设你有一笔资金用于投资，现有三种师：创设问题情境，以投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：问题引入能激起学生方案一：每天回报40元；的热情，使课堂里的有方案二：第一天回报10元，以后每天比前一效思维增强．天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报生：阅读题目，理解题比前一天翻一番．意，思考探究问题．组请问，你会选择哪种投资方案？师：引导学生分析本例探究：中的数量关系，并思考织1）在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数应当选择怎样的函数描述这些数量关系？模型来描述．探生：观察表格，获取信息，体会三种函数的增长差异，特别是指数爆究2）分析解答（略）炸，说出自己的发现，并进行交流．师：引导学生观察表格3）根据例1表格中所提供的数据，你对三种中三种方案的数量变方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认化情况，对于“增加量”识？进行比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等．环节教学内容设计师生双边互动——————————————第66页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』4）你能借助计算器或计算机作出函数图象，师：引导学生利用函数并通过图象描述一下三种方案的特点吗？图象分析三种方案的不同变化趋势．生：对三种方案的不同变化趋势作出描述，并组为方案选择提供依据．5）根据以上分析，你认为就作出如何选择？师：引导学生分析影响织方案选择的因素，使学生认识到要做出正确探选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益．究生：通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本全的完整解答，然后全班进行交流．——————————————第67页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』例2．某公司为了实现1000万元利润的目标，师：引导学生分析三种准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利函数的不同增长情况润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y对于奖励模型的影响，（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增使学生明确问题的实加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利质就是比较三个函数润的25%．现有三个奖励模型：的增长情况．xy=0.25xy=logx+1y=1.002．7生：进一步体会三种基问：其中哪个模型能符合公司的要求？本函数模型在实际中的广泛应用，体会它们探究：的增长差异．1）本例涉及了哪几类函数模型？师：引导学生分析问题本例的实质是什么？使学生得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以2）你能根据问题中的数据，判定所给的奖励及奖励比例是否超过模型是否符合公司要求吗？25%进行分析，才能做出正确选择．环节呈现教学材料师生互动设计生：分析数据特点与作用判定每一个奖励模型是否符合要求．组3）通过对三个函数模型增长差异的比较，写师：引导学生利用解析出例2的解答．式，结合图象，对三个织模型的增长情况进行分析比较，写出完整的探解答过程．究生：进一步认识三个函数模型的增长差异，对问题作出具体解答．——————————————第68页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析：师：引导学生仿照前面例题的探究方法，选用你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究幂具体函数进行比较分nx函数y=x(n>0)、指数函数y=a(a>1)、对析．探数函数y=logx(a>1)在区间(0,+∞)上的增长a生：仿照例题的探究方究差异，并进行交流、讨论、概括总结，形成较为准法，选用具体函数进行与确、详尽的结论性报告．研究、论证，并进行交发流总结，形成结论性报现告．师：对学生的结论进行评析，借助信息技术手段进行验证演示．尝试练习：生：通过尝试练习进一1）教材P116练习1、2；步体会三种不同增长2）教材P119练习．的函数模型的增长差巩异及其实际应用．固与小结与反思：反通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、师：培养学生对数学学思指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含科的深刻认识，体会数义，认识数学的价值，认识数学与现实生活、与其学的应用美．他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美．环节呈现教学材料师生互动设计作业教材P127与习题32（A组）第1~5题；回（B组）第1题馈——————————————第69页（共70页）——————————————\n『高中数学·必修1』收集一些社会生活中普遍使用的递增的一次课函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长外速度进行比较，了解函数模型的广泛应用；活有时同一个实际问题可以建立多个函数模动型．具体应用函数模型时，你认为应该怎样选用合理的函数模型？——————————————第70页（共70页）——————————————