映射的教案(高中加强版) 3页

映射的教案映射的基本概念1.映射(Mapping)定义：设X、Y是两个集合，f是一种对应法则，将X中任意元素x对应到Y中唯一元素y，，此时称f为一个X到Y的映射，y=f(x)称为x在Y的像，x是y在f下的一个原像，记f:X→Y，称X为f的定义域，称Y为f的陪域(Codomain)(值域(Range)是陪域的一个子集)映射=定义域+陪域+对应法则集合f(x)={f(x)|x∈X}称为映射f的像，也记作Imf定义：设fX→Y是一个映射(1)若Y=Imf，也就是说，∀y∈Y，∃x∈X，使得f(x)=y，则称f为满射(surjection)(2)若对∀x，y∈X，则f(x)≠f(y)，或者说若x，y∈X，使得f(x)=f(y)，则x=y，称f为单射(injection)(3)若f即是单射，也是满射，则称f为双射(bijection)定义：设f：X→Y是一个映射，若陪域和定义域一样的，则称f为集合X上的一个变换(plus:空集(emptyset)到任意集合存在唯一的映射，并且都是单射。原因：映射的三要素定义域空集，陪域任意一个集合，对应法则可以定义，故存在映射。另外一个方面，在陪域中任意两个不同的元素在定义域中的原像都无法找到，也就是说不能否定原像是不一样的，因此f是个单射)恒等变换：1x或者idx，就是将任意元素映到其本身的映射设f：X→Y为一个映射，对于∀y∈Y，f-1(y)={x∈X|f(x)=y}，称为y的原像集，这是X的子集(subset)定义：设f：X→Y，g：Y→Z是两个映射，(f·g)(x)=g(f(x))，∀x∈X，称之为g与f的合成（或乘积）定理：（映射合成定理）设f：X→Y，g：Y→Z，h：Z→W为三个映射，则(h·g)·f=h·(g·f)：X→W证明：设x∈X[(h·g)·f](x)=(h·g)(f(x))=h[g(f(x))][h·(g·f)](x)=h·[g·f(x)]=h[g(f(x)]=[(h·g)·f](x)注意：映射的合成不满足交换律（请自行举反例）2.逆映射（InverseMapping）定义：设f：X→Y是一个映射，若存在g：X→Y是的g·f=1x，f·g=1y，则称f是可逆的，g是f的一个逆映射引理：一个映射f：X→Y若可逆，它的逆映射比唯一，记作f-1(x)证明：设g，h：Y→X为f的两个逆映射，（g·f）·h=g·(f·h)h=g定理：（双射=可逆）证明：必要性：f双射必可逆对于∀y∈Y，由于f是双射，∃x∈X，使得f(x)=y\n定义：f-1(x)：Y→X，yx往证：f-1f(x)=1x，f·f-1=1y充分性：f可逆f双射设f-1：Y→X是f的逆映射单射，对∀x1，x2∈X，使得f(x1)=f(x2)，往证x1=x2两边作用f-1，x1=（f-1f）(x1)=f-1[f(x1)]=f-1[f(x2)]=（f-1f）(x2)=x2满射，∀y∈Y，寻找x∈X，使得f(x)=y，令x=f-1(y)，f(x)=f[f-1(y)]=(f·f-1)(y)=1y(y)=y例题：设f：XY，与g：YZ为两个映射(1)若f，g分别都是单射，则g·f也是单射Proof：设x1，x2∈X，使得(g·f)(x1)=(g·f)(x2)，g·[f(x1)]=g·[f(x2)]，由于g是单射，f(x1)=f(x2)，又由于f为单射，所以x1=x2(2)若f，g分别都是满射，则g·f也是满射Proof：∀z∈Z，找x∈X，使得g[f(x)]=(g·f)(x)=z由于g是满射，∃y∈Y，使得g(y)=z由于f是满射，∃x∈X，使得f(x)=y(g·f)(x)=g[f(x)]=g(y)=z(3)若g·f是单射，则f是单射（而g一般不是单射）Proof：设x1，x2∈X，使得f(x1)=f(x2)，往证x1=x2，两边作用g，(g·f)(x1)=g(f(x1))=g(f(x2))=(g·f)(x2)，由于g·f是单射，因此x1=x2反例：Ijpfgl(4)若g·f是满射，则g是满射（而f一般不是满射）Proof：∀z∈Z，找x∈X，使得g(y)=z，由于g·f是满射，∃x∈X，使得(g·f)(x)=z，另一方面，(g·f)(x)=g·[f(x)]，令y=f(x)，则g(y)=g[f(x)]=z(反例同上题)(5)若f·g都是双射，则g·f亦为双射Proof：可由(1)(2)的结论证明\n(1)若f与g都是集合X上的变换，且g·f是双射，可否退出f和g都是双射?Proof：反证法（proofbycontraction）f:N→N单射（单而不满）nn+1g:N→N满射（满而不单）nn-110，21……但是我们有f·g=1评注：这是有限集合与无限集合的很大的一个区别(2)若f与g都是集合X上的变换，若f·g和g·f都是双射，是否可退出f和g都是双射?Proof：参考(3)(4)在组合数学中经常考虑有限集合上的映射.例如，设f：XY，X，Y为有限集合(1)若f是单射，则|X|≤|Y|(2)若f是满射，则|X|≥|Y|(3)若f是双射，则|X|=|Y|(4)若f是单射，且|X|=|Y|，则f是满射(f也就是双射了)(5)若f是满射，且|X|=|Y|，则f是单射(f也就是双射了)注意：|X|表示X集合中元素的个数作者：华东师范大学数学系1502班黄越