高中数学选择填空部分教案 53页

复数一、知识点1、i2=-1、2、共轭复数为实数部相同3、虚数部互为相反数二、高考考点：1.化为a+bi形式2.表示坐标（a，b）和所在象限3.当只有虚数不，或没有虚数部时，求ab的值4.求共轭复数三、例题：1.设、、、，若为实数，则2.复数的共轭复数是3.在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于第二象限四、练习（2010年北京卷理数9）在复平面内，复数对应的点的坐标为。（2011年北京卷理数2）复数（A）（B）（C）（D）（2012北京卷理数3）设，．“”是“复数是纯虚数”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（2012年4月北京市海淀区高三一模理科）复数在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数=2.(2013年北京卷理数2).在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限\n算法初步一、知识点各种框的意义二、高考考点：根据框图得出结果，补充完整框图三、例题1.执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①；②；③；④．则输出函数的序号为（）（A）①（B）②（C）③（D）④2.执行右图的程序框图，则第次输出的数为（A）（B）（C）（D）开始结束，，输出S是否4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填(A)(B)(C)(D)\n一、练习（2011年北京卷理数4）执行如图所示的程序框图，输出的值为开始（A）（B）（C）是（D）否输出结束（2012年北京卷理数4）执行如图所示的程序框图，输出的值为（A）（B）（C）（D）\n（2013年北京卷理数）4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为A.1B.C.D.\n简单逻辑一、知识点1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q”)；p且q(记作“p∧q”)；非p(记作“┑q”)例（1）p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p且q：2是4的约数且2是6的约数，真命题；非p：2不是4的约数，假命题.（2）p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；非p：矩形的对角线不相等，假命题.（3）p或q：方程的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；p且q：方程的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题；非p：方程的两实根的符号不同，真命题.3、四种命题的形式：原命题：若P则q；逆命题：若q则p；否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。例(1)原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题；否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题；逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题.4、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题逆否命题)①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。②、原命题为真，它的否命题不一定为真。③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。5、充分与必要条件如果已知pq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。若pq且qp,则称p是q的充要条件，记为p⇔q.例（1）若集合，则是的充分条件；若集合，则是的必要条件；\n若集合，则是的充要条件．6、全称命题与特成命题全称命题“”的否定是“”，特称命题“”的否定是“”.写出下列命题的否定，并判断真假.（1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；（2）p：每一个非负数的平方都是正数；（3）p：存在一个三角形，它的内角和大于180°；（4）p：有的四边形没有外接圆；（5）p：某些梯形的对角线互相平分.解：（1）：存在末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题；（2）：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；（3）：任意一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题；（4）：所有四边形都有外接圆，假命题；（5）：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题.二、高考考点：经常考充分必要条件，与其他知识相结合若，则三、例题1．命题“若，则”的逆否命题是__________________.2．已知命题：，则.3．若命题m的否命题n，命题n的逆命题p，则p是m的____逆否命题____.若，则4．命题“若，则”的否命题为________________________．5．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．（1）设，若，则或；（2）设，若，则．解：（1）逆命题：设，若或，则；真命题；否命题：设，若，则且；真命题；\n逆否命题：设，若且，则；真命题；（2）逆命题：设，若，则；假命题；否命题：设，若或，则；假命题；逆否命题：设，若，则或；真命题．6、（1）已知，，那么是的_____充分不必要___条件．（2）已知两直线平行，内错角相等，那么是的____充要_____条件．（3）已知四边形的四条边相等，四边形是正方形，那么是的___必要不充分__条件．四、练习（2009年北京卷理数6)“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件（2010年北京卷理数6）a、b为非零向量。“”是“函数为一次函数”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（2012年北京卷理数3）设，．“”是“复数是纯虚数”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（2013年北京卷理数3）“φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（2012年高考（山东文））设命题p:函数的最小正周期为;命题q:函数的图象关于直线对称.则下列判断正确的是（　　）A．p为真B．为假C．为假D．为真（2012年高考（辽宁文））已知命题p:x1,x2R,(f(x2)f(x1)(x2x1)≥0,则p是（　　）\nA．x1,x2R,(f(x2)f(x1)(x2x1)≤0B．x1,x2R,(f(x2)f(x1)(x2x1)≤0C．x1,x2R,(f(x2)f(x1)(x2x1)<0D．x1,x2R,(f(x2)f(x1)(x2x1)<0．（2012年高考（湖南文））命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是（　　）A．若α≠,则tanα≠1B．若α=,则tanα≠1C．若tanα≠1,则α≠D．若tanα≠1,则α=\n数列一、知识点等差数列等比数列定义递推公式；；通项公式（）中项（）（）前项和重要性质2、数列求和的常用方法(1).公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。(2).裂项相消法:适用于其中{}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。例一求数列an=1/n(n+1)的前n项和.　　解：an=1/[n(n+1)]=（1/n）-[1/(n+1)]（裂项）　　则Sn=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+(1/n）-[1/(n+1)]（裂项求和）　　=1-1/(n+1)　　=n/(n+1)　　例二：求数列an=n(n+1)的前n项和.\n　　解：an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项）　　则Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3=[n(n+1)(n+2)]/3　　例三：1/(1×4)+1/(4×7)+1/(7×10)+……+1/(91×94)使用裂项公式将每个分式展开成两个分数。　　原式=1/3*[（1-1/4）+（1/4-1/7）+（1/7-1/10）+……+（1/91-1/94）]=1/3*(1-1/94)=31/94　　　(3).错位相减法:适用于其中{}是等差数列，是各项不为0的等比数列。　例一：求和Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0）　　当x=1时，Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n^2；　　当x不等于1时，Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)；　　∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n；　　两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n；化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2(4).倒序相加法:类似于等差数列前n项和公式的推导方法.例一：如求1+2+3+...+n=?　　S=1+2+3+...+(n-1)+n　　S=n+(n-1)+...+3+2+1　　则,2S=(n+1)+(n+1)+...+(n+1)+(n+1)=(n+1)n　　=n(n+1)　　故S=n(n+1)/2　　例二：求数列：246……2n的前2n项和　　解答：　　246……2n　　2n2(n-1)2(n-2)……2　　设前n项和为S,以上两式相加\n　　2S=[2+(2n)]+[4+2(n-1)]+[6+2(n-2)]+……+[(2n)+2]共n个2n+2　　故：S=n(2n+2)/2=n(n+1)(5).常用结论1）:1+2+3+...+n=2）1+3+5+...+(2n-1)=3）4）5）二、高考考点1.根据所给条件能写出数列通项公式或求和公式a)给出SN通项公式求an通项公式b)给出an通项公式求Sn通项公式c)给出an的几项或比例关系求an通项公式、Sn通项公式2.最后大题中会考数列求和的常用方法三、例题例1．设数列的通项公式是，则（1）70是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？（2）写出这个数列的前5项（3）这个数列所有项中有没有最小的项？如果有，是第几项？解：（1）由得：或所以70是这个数列中的项，是第13项。（2）这个数列的前5项是；（图象略）（3）由函数的单调性：是减区间，是增区间，\n所以当时，最小，即最小。2．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，首项a1=-2，公差d=3。3．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，则它的第1项是，第2项是8。4．设是公差为正数的等差数列，若，，则。5．公差不为0的等差数列{an}中，a2，a3，a6依次成等比数列，则公比等于3。6.若数列满足：，2，3….则.7．已知数列的通项公式，其前项和为，则数列的前10项的和为75。8．已知数列的通项公式，其前项和为，则377。9．已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为。10．已知数列中，且有，则数列的通项公式为，前项和为。四、练习（2009年北京卷理数10）若数列满足：，则；前8项的和（2010年北京卷理数2）在等比数列中，，公比，若，则m=（）（A）9（B）10（C）11（D）12（2011年北京卷理数11）在等比数列中，若，，则公比\n；。（2012年北京卷理数10）已知为等差数列，为其前项和．若，，则．（2013年北京卷理数10）若等比数列{an}满足a2＋a4=20，a3＋a5=40，则公比q=；前n项和Sn=.（2012年4月北京市海淀区高三一模理科）在等比数列中，，则=（A）（B）（C）（D）(北京市西城区2012年4月高三第一次模拟文)设等比数列的前项和为．则“”是“”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件(2012年3月北京市丰台区高三一模文科)设为等比数列的前项和，若a1=1，且，，成等差数列，则数列的前5项和为(A)341(B)(C)1023(D)1024(2013年北京朝阳区高三一模理科)已知数列是等差数列，数列是等比数列，则的值为\n三视图一、知识点1．柱、锥、台和球的侧面积和体积面　积体　积圆柱S侧＝2πrhV＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝Sh＝πr2h＝πr2圆台S侧＝π(r1＋r2)lV＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h直棱柱S侧＝ChV＝Sh正棱锥S侧＝Ch′V＝Sh正棱台S侧＝(C＋C′)h′V＝(S上＋S下＋)h球S球面＝4πR2V＝πR32.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．二、高考考点最重要：棱锥的体积与面积公式其他也需要三、例题1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．\n2.某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）（A）（B）（C）（D）3.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．四、练习（2010年北京卷理数3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（）（2011年北京卷理数7）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是4（A）8\n43侧（左）视图正（主）视图（B）（C）10俯视图（D）（2012年北京卷理数7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A）（B）（C）（D）(北京市东城区2012年1月高三考试文科）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为aaa正（主）视图俯视图侧（左）视图（A）（B）（C）（D）(北京市西城区2012年1月高三期末考试理科)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）（A）（B）（C）\n（D）(2012年4月北京市房山区高三一模理科)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为.（2013年北京市朝阳区一模理科）已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为1正视图正视图俯视图A．B．C．D．\n几何证明选讲一、知识点平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。\n定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。相似三角形的性质：（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。直角三角形的射影定理射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。圆周定理圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。圆内接四边形的性质与判定定理定理1：圆的内接四边形的对角互补。定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。圆的切线的性质及判定定理切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。与圆有关的比例线段相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角二、高考考点\n灵活运用以上概念三、例题(2012年4月北京市房山区高三一模理科如图，是圆的切线，切点为，交圆于两点，，则=(B)（A）（B）（C）（D）(北京市西城区2012年1月高三期末考试理科)如图，是圆的切线，为切点，是圆的割线．若，则______．（2013年北京市朝阳区一模理科）如图，，是半径为的圆的两条弦，它们相交于的中点.若，，则=，（用表示）.（2013年北京市海淀区一模理科）如图，与圆相切于点，直线交圆于两点，弦垂直于.则下面结论中，错误的结论是　Ａ.∽B.C.D.\n四、练习（2010年北京卷理数12）如图，的弦ED，CB的延长线交于点A。若BDAE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝；CE＝。（2011年北京卷理数5）如图，分别与圆切于点，延长与圆交于另一点。给出下列三个结论：①；②；③其中，正确结论的序号是（A）①②（B）②③（C）①③（D）①②③（2012年北京卷理数5）如图，，于点，以为直径的圆与交于点．则（A）（B）（C）（D）（2013年北京卷理数11）.如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，PA=3，，则PD=，AB=.\n不等式一、知识点1.不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.（3）同向不等式与异向不等式.（4）同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质（1）（对称性）（2）（传递性）（3）（加法单调性）（4）（同向不等式相加）（5）（异向不等式相减）（6）（7）（乘法单调性）（8）（同向不等式相乘）（异向不等式相除）（倒数关系）（11）（平方法则）（12）（开方法则）3.几个重要不等式\n（1）（2）（当仅当a=b时取等号）（3）如果a,b都是正数，那么（当仅当a=b时取等号）极值定理：若则：如果P是定值,那么当x=y时，S的值最小；如果S是定值,那么当x=y时，P的值最大.利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.（当仅当a=b=c时取等号）（当仅当a=b时取等号）(7)(8)平均不等式：如果a,b都是正数，那么（当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：特别地，（当a=b时，）幂平均不等式：(9)常用不等式的放缩法：①②(10)柯西不等式注：例如：.(11)琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点有\n则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.1、标准化：①合并同类项后，化为一边为0的形式。②将不等式化为一次整式（二次整式式不能继续分解，一般有△<0，根据正负直接消去，但要注意不等号是否变化）或其乘方的乘积形式，并将未知数的系数化“+”　　2、求整式方程的根，并在数轴上标出。　　3、由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点；且按各一次整式的次数的奇偶，奇穿偶不穿（不穿忽视此点）　　4、若不等式是“...>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“...<0”,则找“线”在x轴下方的区间.　　例题：　　解不等式：(x-2)^2(x-3)(x+1)<0　　.先求方程(x-2)^2(x-3)(x+1)=0的根既x=2,x=3,x=-1　　答案：　　{x|-1b解的讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则（3）无理不等式：转化为有理不等式求解（4）.指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式\n（6）含绝对值不等式应用分类讨论思想去绝对值；应用数形思想；应用化归思想等价转化注：常用不等式的解法举例（x为正数）：(1)类似于，③二、高考考点a)根据所给不等式组画出图像，得出结论b)根据所给不等式求出x的范围c)掌握重要的不等式关系以此比较大小三、例题1、不等式的解集是___________.2、若不等式对恒成立,则实数的取值范围是______.3、“a>b>0”是“ab<”的充分而不必要条件(填写充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件)4、的最小值为5、已知，且，则的最大值为6、已知，则的最小值是27.解不等式：（1）（2）\n（3）（4）解：（1）原不等式化为，解集为（2）原不等式化为，解集为R（3）原不等式化为，解集为（4）由得点拨：解一元二次不等式要注意二次项系数的符号、对应方程的判断、以及对应方程两根大小的比较.8.函数的定义域为9..二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：x-3-2-101234y60-4-6-6-406则不等式ax2+bx+c>0的解集是10.若不等式的解集是，则b=__-2____c=__-3____.11.原点（0,0）和点P（1,1）在直线的两侧，则a的取值范围是0b>1,,给出下列三个结论:①>;②<;③,其中所有的正确结论的序号是.（　　）A．①B．①②C．②③D．①②③17、下列不等式一定成立的是（　　）A．B．C．D．18.若函数，则与的大小关系是19.函数在区间上恒为正，则的取值范围是0＜a＜220.当点在直线上移动时，的最小值是721.对于0≤m≤4的m，不等式x2+mx＞4x+m－3恒成立，则x的取值范围是x＞3或x＜－1四、练习（2009年北京卷理数1）．设集合，则（）\nA．B．C．D．（2009年北京卷理数11）．若实数满足则的最大值为.（2010年北京卷理数1）集合，则（）（A）{1，2}（B）{0，1，2}（C）{x|0≤x<3}（D）{x|0≤x≤3}（2010年北京卷理数7）设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=的图像上存在区域D上的点，则a的取值范围是（）（A）(1，3]（Ｂ）[2，3]（C）(1，2]（D）[3,]（2011年北京卷理数1）已知集合，.若,则的取值范围是（A）（B）（C）（D）（2012年北京卷理数1）已知集合，，则（A）（B）（C）（D）（2012年北京卷理数2）设不等式组表示的平面区域为．在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于的概率是（A）（B）（C）（D）（2013年北京卷理数1）.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤x＜1}，则A∩B=()A.{0}B.{－1，0}C.{0，1}D.{－1,0,1}\n（2013年北京卷理数8）.设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0=2，求得m的取值范围是A.B.C.D.大题中的应用1、已知集合，函数的定义域为Q（1）若，求实数a的取值范围。（2）若方程在内有解，求实数a的取值范围。分析：问题（1）可转化为在内有有解；从而和问题（2）是同一类型的问题，既可以直接构造函数角度分析，亦可以采用分离参数.解：（1）若，在内有有解令当时，所以a>-4,所以a的取值范围是（2）方程在内有解，则在内有解。当时，所以时，在内有解点拨：本题用的是参数分离的思想.\n2.设，函数，则使的的取值范围是3.如果函数的单调递增区间是(-∞，a]，那么实数a的取值范围是____a<-1____4.若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为5.已知二次函数f(x)=,设方程f(x)=x的两个实根为x1和x2．如果x1<2＜x2<4，且函数f(x)的对称轴为x=x0，求证：x0＞—1．证明：设g(x)=f(x)—x=，且g(4)>0，即∴参数方程与极坐标一、知识点1.直线的参数方程(1)标准式过点Po(x0,y0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是(t为参数)(2)一般式过定点P0(x0,y0)斜率k=tgα=的直线的参数方程是(t不参数)②在一般式②中，参数t不具备标准式中t的几何意义，若a2+b2=1,②即为标准式，此时，｜t｜表示直线上动点P到定点P0的距离；若a2+b2≠1，则动点P到定点P0的距离是｜t｜.直线参数方程的应用设过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是\n（t为参数）若P1、P2是l上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则(1)P1、P2两点的坐标分别是(x0+t1cosα,y0+t1sinα)(x0+t2cosα,y0+t2sinα)；(2)｜P1P2｜=｜t1-t2｜;(3)线段P1P2的中点P所对应的参数为t，则t=中点P到定点P0的距离｜PP0｜=｜t｜=｜｜(4)若P0为线段P1P2的中点，则t1+t2=0.2.圆锥曲线的参数方程(1)圆圆心在(a,b)，半径为r的圆的参数方程是(φ是参数)φ是动半径所在的直线与x轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)(2)椭圆椭圆(a＞b＞0)的参数方程是(φ为参数)椭圆(a＞b＞0)的参数方程是(φ为参数)选修4-4p273.极坐标极坐标系在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫做极轴.\n①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式二、高考考点1、极坐标与直角坐标的互化公式2、参数方程直线(t为参数)圆椭圆3、cos2α+sin2α=14、分清谁是参数三、例题例1在方程(θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是()A.(2,-7)B.（，）C.(，)D.(1，0)解：y=cos2=1-2sin2=1-2x2将x=代入，得y=\n∴应选C.例2下列参数方程(t为参数)与普通方程x2-y=0表示同一曲线的方程是()A.B.C.D.解：普通方程x2-y中的x∈R，y≥0，A.中x=｜t｜≥0，B.中x=cost∈〔-1,1〕，故排除A.和B.C.中y==ctg2t==，即x2y=1，故排除C.∴应选D.例3曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化成直角坐标方程为()A.x2+(y+2)2=4B.x2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y2=4D.(x+2)2+y2=4解：将ρ=，sinθ=代入ρ=4sinθ，得x2+y2=4y，即x2+(y-2)2=4.∴应选B.例4极坐标ρ=cos()表示的曲线是()A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆解：原极坐标方程化为ρ=(cosθ+sinθ)=ρcosθ+ρsinθ，∴普通方程为(x2+y2)=x+y，表示圆.应选D.例54ρsin2=5表示的曲线是()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解：4ρsin2=54ρ·把ρ=ρcosθ=x，代入上式，得2=2x-5.\n平方整理得y2=-5x+.它表示抛物线.∴应选D.例11极坐标方程4sin2θ=3表示曲线是()A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线解：由4sin2θ=3,得4·＝3,即y2=3x2，y=±,它表示两相交直线.∴应选B.四、练习（2010年北京卷理数5）极坐标方程（p-1）（）=（p0）表示的图形是（）（A）两个圆（B）两条直线（C）一个圆和一条射线（D）一条直线和一条射线（2011年北京卷理数3）在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（A）（B）（C）（D）（2012年北京卷理数9）直线为参数与曲线为参数的交点个数为．（2013年北京卷理数9）.在极坐标系中，点(2，)到直线ρsinθ=2的距离等于(北京市东城区2012年4月高考一模理科)在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为．在直线与圆中的应用在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.解：将圆的方程化为参数方程：（为参数）则圆上点P坐标为(2+5cos，1+5sin)，它到所给直线之距离d=\n故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时，d最长，这时，点A坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d最短，这时，点B坐标为(-2，2向量一、知识点1.本章知识网络结构2.向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法；字母表示：a；坐标表示法a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.\n(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.单位向量aO为单位向量｜aO｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）(6)相反向量：a=-bb=-aa+b=0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.3.向量的运算运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1.平行四边形法则2.三角形法则向量的减法三角形法则,数乘向量1.是一个向量,满足:2.>0时,同向;<0时,异向;=0时,.向量的数量积是一个数1.时，.2.4.重要定理、公式(1)平面向量基本定理e1，e2是同一平面内两个不\n共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)两个向量平行的充要条件a∥ba＝λb(b≠0)x1y2－x2y1＝O.(3)两个向量垂直的充要条件a⊥ba·b＝Ox1x2＋y1y2＝O.(4)线段的定比分点公式设点P分有向线段所成的比为λ，即＝λ，则＝＋l+1l(线段的定比分点的向量公式)(线段定比分点的坐标公式)当λ＝1时，得中点公式：＝（＋）或(5)平移公式设点P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P′（x′，y′），则＝+a或曲线y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：y－ｋ＝f（x－ｈ)空间向量1．空间向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下运算律：\n⑴加法交换律：⑵加法结合律：⑶数乘分配律：3共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．4．共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ.推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式．其中向量叫做直线的方向向量.5．向量与平面平行：已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的6．共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有①①式叫做平面的向量表达式7空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个\n有序实数，使8空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：.9．向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：.10．向量的数量积：．已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影.可以证明的长度．11．空间向量数量积的性质：（1）．（2）．（3）．12．空间向量数量积运算律：（1）．（2）（交换律）（3）（分配律）．空间向量的坐标运算一．知识回顾：（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令=(a1,a2,a3),，则∥(用到常用的向量模与向量之间的转化：)\n②空间两点的距离公式：.（2）法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果那么向量叫做平面的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中，则点B到平面的距离为.②利用法向量求二面角的平面角定理：设分别是二面角中平面的法向量，则所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（方向相同，则为补角，反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线平面，，且CDE三点不共线，则a∥的充要条件是存在有序实数对使.（常设求解若存在即证毕，若不存在，则直线AB与平面相交）.二、高考考点1、两向量的平行与垂直条件2、向量的加减3、向量的模和夹角求法4、空间向量在立体几何中的应用三、例题四、练习（2009年北京卷理数2）．已知向量，如果，那么A．且与同向B．且与反向C．且与同向D．且与反向（2010年北京卷理数6）a、b为非零向量。“”是“函数\n为一次函数”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（2011年北京卷理数10）已知向量，，，若与共线，则。（2013年北京卷理数13）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa＋μb(λ，μ∈R)，则=（2012北京市丰台区一模理）4．已知向量，若，则等于（）A．B．C．D．（2012北京市房山区一模理）8.如图，边长为1的正方形的顶点,分别在轴、轴正半轴上移动，则的最大值是（）（A）（B）（C）（D）4（2012北京市房山区一模理）2.如果，那么“∥”是“”的（）\n（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（2012北京市海淀区一模理）（4）已知向量，若与垂直，则（A）（B）（C）2（D）4（2012北京市门头沟区一模理）6．在所在平面内有一点，满足，，则等于(A)(B)(C)(D)（2012北京市朝阳区一模理）2.已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为A.B.C.D.（2012北京市东城区一模理）（7）在直角梯形中，已知∥，，，，，若为的中点，则的值为（A）（B）（C）（D）（2012北京市石景山区一模理）9．设向量，且，则=．\n直线与圆一、知识点一、直线方程.1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0①直线倾斜角的范围是.②直线的斜率:（α不等于90度）③当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在。当α=0o或180o，直线与x轴平行或重合，所倾斜角一定存在，斜率不一定存在。④每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.⑤过两点.\n1.直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜截式.一般式：Ax+By+C=0(A、B不同时为零)点斜式：直线l经过点po（xo,yo）且斜率为k，设p（x，y）是l上不同于po的任意一点时，直线方程为：y-y0=k(x-x0)截距式：直线l经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程为：.两点式：直线l过不同两点（x1,y1）,(x2,y2)时直线方程为：（y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)斜截式：直线l与y轴的交点为（0，b），斜率为k时直线方程为：y=kx+b注：若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若则不是这条线.3.⑴两条直线平行：∥成立的条件是：①和是两条不重合的直线.②在和的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.推论：如果两条直线的倾斜角为则∥.⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在.②且的斜率不存在，或且的斜率不存在.（即是垂直的充要条件）4.直线的交角：⑴直线到的角（方向角）；直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时.⑵两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.\n5.过两直线的交点坐标为（x，y），联立求解6.距离公式：⑴两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：.特例：点P(x,y)到原点O的距离：(2)点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.(3)两条平行线间的距离公式：设两条平行直线，它们之间的距离为，则有.7.关于点对称和关于某直线对称：⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上，过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直二、圆的方程.1.圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.2.圆的一般方程：.当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.当时，方程表示一个点.当时，方程无图形（称虚圆）.注：①圆的参数方程：（为参数）.3.点和圆的位置关系：给定点及圆.①在圆内\n②在圆上③在圆外4.直线和圆的位置关系：设圆：；直线：；圆心到直线的距离.①时，与相切；由代数特征判断：方程组用代入法，得关于（或）的一元二次方程，其判别式为，则：与相切；与相交；与相离.5.圆与圆的位置关系两圆的圆心连线为>r1+r2两圆相离=r1+r2两圆相切|r1-r2|<0,1-2k>0,即k<0.△AOB的面积S=(1-2k)(2-)=[(-4k)++4]≥4,当-4k=,即k=时,△AOB的面积有最小值4,则所求直线方程是x+2y-4=0.(2)解法一:由题设,可令直线方程l为y-1=k(x-2).分别令y=0和x=0,得A(2-,0),B(0,1-2k),∴|PA|·|PB|=,当且仅当k2=1,即k=±1时,|PA|·|PB|取得最小值4.又k<0,∴k=-1,这是直线l的方程是x+y-3=0.解法二:如下图,设∠BAO=θ,由题意得θ∈(0,),且|PA|·|PB|=yxOPEFBA例2图当且仅当θ=时,|PA|·|PB|取得最小值4,此时直线l的斜率为-1,直线l的方程是x+y-3=0.点评①求直线方程的基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量.②在研究最值问题时，可以从几何图形开始，找到取最值时的情形，也可以从代数角度出发，构建目标函数，利用函数的单调性或基本不等式等知识来求最值.\n例3.直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段中点为P（－1，2）.求直线l的方程.分析本题关键是如何使用好中点坐标，对问题进行适当转化.解：解法一设直线l交l1于A（a，b），则点（－2－a，4－b）必在l2，所以有，解得直线l过A(-2,5),P(-1,2),它的方程是3x＋y＋1＝0.解法二由已知可设直线l与l1的交点为A（－1＋m，2＋n），则直线l与l2的交点为B（－1－m，2－n），且l的斜率k＝，∵A,B两点分别l1和l2上，∴，消去常数项得－3m＝n，所以k＝－3，从而直线l的方程为3x＋y＋1＝0.解法三设l1、l2与l的交点分别为A,B，则l1关于点P（－1，2）对称的直线m过点B，利用对称关系可求得m的方程为4x＋y＋1＝0，因为直线l过点B，故直线l的方程可设为3x－5y－5＋λ（4x＋y＋1）＝0.由于直线l点P（－1，2），所以可求得λ＝－18，从而l的方程为3x－5y－5－18（4x＋y＋1）＝0，即3x＋y＋1＝0.点评本题主要复习有关线段中点的几种解法，本题也可以先设直线方程，然后求交点，再根据中点坐标求出直线l的斜率，但这种解法思路清晰，计算量大，解法一和解法二灵活运用中点坐标公式，使计算简化，对解法二还可以用来求已知中点坐标的圆锥曲线的弦所在直线方程，解法三是利用直线系方程求解，对学生的思维层次要求较高。例4.已知两条直线:x+m2y+6=0,:(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时,与（1）相交；（2）平行；（3）重合？分析：利用垂直、平行的充要条件解决.解:当ｍ＝0时，：x＋６＝０，：x＝０，∴∥，当ｍ＝2时，：x＋４y＋６＝０，：３y＋２＝０∴与相交；当m≠０且m≠２时，由得m＝－１或m＝３，由得m＝3\n故（１）当m≠－１且m≠３且m≠０时与相交。（２）m＝－１或m＝０时∥，（３）当m＝３时与重合。点拨：判断两条直线平行或垂直时，不要忘了考虑两条直线斜率是否存在.例5.已知直线经过点P（3，1），且被两平行直线：x+y+1=0和：x+y+6=0截得的线段之长为5。求直线的方程。分析：可以求出直线与两平行线的交点坐标，运用两点距离公式求出直线斜率解法一：:若直线的斜率不存在，则直线的方程为x=3，此时与、的交点分别是A1（3，-4）和B1（3，-9），截得的线段AB的长|AB|=|-4+9|=5，符合题意。若直线的斜率存在，则设的方程为y=k（x-3）+1，解方程组得A（－）解方程组得B（，－）由|AB|=5得+=25，解之，得k=0，即所求的直线方程为y=1。综上可知，所求的方程为x=3或y=1。解法二.设直线与、分别相交于A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+y1+1=0，x2+y2+6=0。两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）=5①例6.已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.分析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.（1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.由得即l恒过定点A（3，1）.∵圆心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半径），∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.\n（2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－，∴l的方程为2x－y－5=0.点拨:直线与圆相交截得弦长的最小值时,可以从垂径定理角度考虑,充分利用圆的几何性质.例7.已知圆O:，圆C:，由两圆外一点引两圆切线PA、PB，切点分别为A、B，满足|PA|=|PB|.求实数a、b间满足的等量关系.例2解：连结PO、PC，∵|PA|=|PB|，|OA|=|CB|=1∴|PO|2=|PC|2，从而化简得实数a、b间满足的等量关系为:.例8.已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线的距离等于.求圆C的方程.解：设圆C半径为，由已知得：∴，或∴圆C方程为.例9.如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3，2)的入射光线l1被直线l：y=x反射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1,l2都相切.(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；xyOABl2l1l(2)设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．例4解：（1）直线设.的倾斜角为，反射光线所在的直线方程为.即.已知圆C与,\n圆心C在过点D且与垂直的直线上，,又圆心C在过点A且与垂直的直线上，,，圆C的半径r=3，故所求圆C的方程为.（2）设点关于的对称点，则，得,固定点Q可发现，当共线时，最小，故的最小值为.此时由,得.四、练习(北京市东城区2012年1月高三考试文科6）在平面直角坐标系内，若曲线：上所有的点均在第二象限内，则实数的取值范围为（A）（B）（C）（D）（2012年4月北京市房山区高三一模理科7）直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是(B)（A）（B）（C）（D）(北京市西城区2012年4月高三第一次模拟文)圆的圆心到直线的距离是___1__.【2012年北京市西城区高三一模理】14.在直角坐标系中，动点， 分别在射线和上运动，且△的面积为．则点，的横坐标之积为_____；△周长的最小值是_____．【2012北京市朝阳区一模理】14.已知△中，.一个圆心为\n，半径为的圆在△内，沿着△的边滚动一周回到原位.在滚动过程中，圆至少与△的一边相切，则点到△顶点的最短距离是，点的运动轨迹的周长是.