人教版高中数学《导数》全部教案(1) 36页

导数的背景（5月4日）教学目标　　理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义教学重点　　瞬时速度、切线的斜率、边际成本教学难点　　极限思想教学过程一、导入新课1.　瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？析：大家知道，自由落体的运动公式是（其中g是重力加速度）.当时间增量很小时，从3秒到（3＋）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大.　因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.从3秒到（3＋）秒这段时间内位移的增量：从而，.从上式可以看出，越小，越接近29.4米/秒；当无限趋近于0时，无限趋近于29.4米/秒.　此时我们说，当趋向于0时，的极限是29.4.当趋向于0时，平均速度的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度.一般地，设物体的运动规律是s＝s（t），则物体在t到（t＋）这段时间内的平均速度为.　如果无限趋近于0时，无限趋近于某个常数a，就说当趋向于0时，的极限为a，这时a就是物体在时刻t的瞬时速度.2.　切线的斜率问题2：P（1,1）是曲线\n上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.析：设点Q的横坐标为1＋，则点Q的纵坐标为（1＋）2，点Q对于点P的纵坐标的增量（即函数的增量），所以，割线PQ的斜率.由此可知，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，变得越来越小，越来越接近2；当点Q无限接近于点P时，即无限趋近于0时，无限趋近于2.　这表明，割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2的直线.　我们把这条直线叫做曲线在点P处的切线.　由点斜式，这条切线的方程为：.一般地，已知函数的图象是曲线C，P（），Q（）是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动.　当点Q沿着曲线无限接近点P，即趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.　此时，割线PQ的斜率无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当趋向于0时，割线PQ的斜率的极限为k.3.　边际成本问题3：设成本为C，产量为q，成本与产量的函数关系式为，我们来研究当q＝50时，产量变化对成本的影响.在本问题中，成本的增量为：.产量变化对成本的影响可用：来刻划，越小，越接近300；当无限趋近于0时，无限趋近于300，我们就说当趋向于0时，的极限是300.我们把的极限300叫做当q＝50时的边际成本.\n　　一般地，设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C＝C（q），当产量为时，产量变化对成本的影响可用增量比刻划.　如果无限趋近于0时，无限趋近于常数A，经济学上称A为边际成本.　它表明当产量为时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）.二、小结　　瞬时速度是平均速度当趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率当趋近于0时的极限；边际成本是平均成本当趋近于0时的极限.三、练习与作业：1.　某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s）求它在t＝2s时的速度.2.　判断曲线在点P（1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.3.　已知成本C与产量q的函数关系式为，求当产量q＝80时的边际成本.4.　一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为，求t＝4s时此球在垂直方向的瞬时速度.\n5.　判断曲线在（1，）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.6.　已知成本C与产量q的函数关系为，求当产量q＝30时的边际成本.导数的概念（5月4日）教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。教学重点：导数的概念以及求导数教学难点：导数的概念教学过程：一、导入新课：上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。二、新授课：1.设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即注：1.函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。2.在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0。3.是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率。\n4.导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率。因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为。5.导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关。6.在定义式中，设，则，当趋近于0时，趋近于，因此，导数的定义式可写成。7.若极限不存在，则称函数在点处不可导。8.若在可导，则曲线在点（）有切线存在。反之不然，若曲线在点（）有切线，函数在不一定可导，并且，若函数在不可导，曲线在点（）也可能有切线。一般地，，其中为常数。特别地，。如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即＝＝函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值，即＝。所以函数在处的导数也记作。注：1.如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间\n内可导。2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值。3.求导函数时，只需将求导数式中的换成就可，即＝4.由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是：（1）.求函数的改变量。（2）.求平均变化率。（3）.取极限，得导数＝。例1.求在＝－3处的导数。例2.已知函数（1）求。（2）求函数在＝2处的导数。小结：理解导数的概念并会运用概念求导数。练习与作业：1.求下列函数的导数：（1）；　　　　　　　　　　　　　　　　（2）\n(3)(3)2.求函数在－1,0，1处导数。3.求下列函数在指定点处的导数：（1）；　　　　　　　　　　　　　　　（2）；（3）　　　　　　　　　　　　　　（4）.4.求下列函数的导数：（1）　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）；（3）　　　　　　　　　　　　　　　　　（4）。\n5.求函数在－2,0，2处的导数。导数的概念习题课（5月6日）教学目标　　理解导数的有关概念，掌握导数的运算法则教学重点　　导数的概念及求导法则教学难点　　导数的概念一、课前预习1.在点处的导数是函数值的改变量＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿与相应自变量的改变量＿＿的商当＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2.若在开区间（a，b）内每一点都有导数，称为函数的导函数；求一个函数的导数，就是求＿＿＿＿＿；求一个函数在给定点的导数，就是求＿＿＿＿＿.函数在点处的导数就是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3.常数函数和幂函数的求导公式：　4.导数运算法则：若＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，则：二、举例例1.设函数，求：（1）当自变量x由1变到1.1时，自变量的增量；（2）当自变量x由1变到1.1时，函数的增量；（3）当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率；（4）函数在x＝1处的变化率.例2.生产某种产品q个单位时成本函数为，求（1）生产90个单位该产品时的平均成本；（2）生产90个到100个单位该产品时，成本的平均变化率；（3）生产90个与100个单位该产品时的边际成本各是多少.例3.已知函数，由定义求，并求.\n例4.已知函数(a,b为常数)，求.例5.曲线上哪一点的切线与直线平行？三、巩固练习1.若函数，则＝＿＿＿＿＿＿2.如果函数在点处的导数分别为：（1）　　　　　　　　　　　　　　　（2）（3）　　　　　　　　　　　　　　　（4），试求函数的图象在对应点处的切线的倾斜角.3.已知函数，求，，.4.求下列函数的导数（1）　　　　　（2）（3）　　　　　（4）四、作业1.若存在，则＝＿＿＿＿＿2.若，则＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿3.求下列函数的导数：（1）　　　　　　（2）\n（3）　　　　　　　（4）4.某工厂每日产品的总成本C是日产量x的函数，即，试求：（1）当日产量为100时的平均成本；（2）当日产量由100增加到125时，增加部分的平均成本；（3）当日产量为100时的边际成本.5.设电量与时间的函数关系为，求t＝3s时的电流强度.6.设质点的运动方程是，计算从t＝2到t＝2＋之间的平均速度，并计算当＝0.1时的平均速度，再计算t＝2时的瞬时速度.7.若曲线的切线垂直于直线，试求这条切线的方程.8.在抛物线上，哪一点的切线处于下述位置？（1）与x轴平行（2）平行于第一象限角的平分线.（3）与x轴相交成45°角9.已知曲线上有两点A（2,0），B（1,1），求：（1）割线AB的斜率；　　　　（2）过点A的切线的斜率；（3）点A处的切线的方程.\n10.在抛物线上依次取M（1,1），N（3,9）两点，作过这两点的割线，问：抛物线上哪一点处的切线平行于这条割线？并求这条切线的方程.11.已知一气球的半径以10cm/s的速度增长，求半径为10cm时，该气球的体积与表面积的增长速度.12.一长方形两边长分别用x与y表示，如果x以0.01m/s的速度减小，y边以0.02m/s的速度增加，求在x＝20m，y＝15m时，长方形面积的变化率.13.（选做）证明：过曲线上的任何一点（）（）的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数.（提示：）导数的应用习题课（5月8日）教学目标　　掌握导数的几何意义，会求多项式函数的单调区间、极值、最值教学重点　　多项式函数的单调区间、极值、最值的求法教学难点　　多项式函数极值点的求法、多项式函数最值的应用一、课前预习1.设函数在某个区间内有导数，如果在这个区间内＿＿＿＿，则是这个区间内的＿＿＿＿＿；如果在这个区间内＿＿＿，则是这个区间内的＿＿＿＿＿.2.设函数在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的值都大（小），则称是函数的一个＿＿＿＿＿＿.3.如果在某个区间内有导数，则可以这样求它的极值：（1）求导数＿＿＿＿＿；　　　　　　（2）求方程＿＿＿＿＿＿＿＿的根（可能极值点）；（3）如果在根的左侧附近为＿，右侧附近为＿，则函数在这个根处取得极＿值；如果在根的左侧附近为＿，右侧附近为＿，则函数在这个根处取得极＿值.4.设是定义在[a，b]上的函数，在(a，b)内有导数，可以这样求最值：\n（1）求出函数在(a，b)内的可能极值点（即方程在(a，b)内的根）；（2）比较函数值，与，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.二、举例例1.确定函数的单调区间.例2.设一质点的运动速度是，问：从t＝0到t＝10这段时间内，运动速度的改变情况怎样？例3.求函数的极值.例4.设函数在＝1与＝2处取得极值，试确定a和b的值，并问此时函数在与处是取极大值还是极小值？例5.求函数在[－2,2]上的最大值和最小值.例6.矩形横梁的强度与它断面的高的平方与宽的积成正比例，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽和高应为多少？\n例7.求内接于抛物线与x轴所围图形内的最大矩形的面积.例8.某种产品的总成本C（单位：万元）是产量x（单位：万件）的函数：，试问：当生产水平为x＝10万件时，从降低单位成本角度看，继续提高产量是否得当？三、巩固练习1.若函数在区间[a，b]内恒有，则此函数在[a，b]上的最小值是＿＿＿＿2.曲线的极值点是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿3.设函数在x＝1处取得极大值－2，则a＝＿＿＿＿.4.求下列函数的单调区间：（1）　　　　（2）5.求下列函数的极值：（1），　　　　　　　　（2），[－4,4]6.求下列函数的最值：（1），[－3,10]　　　　（2），[－1,4]\n7.设某企业每季度生产某个产品q个单位时，总成本函数为，（其中a＞0，b＞0，c＞0），求：（1）使平均成本最小的产量（2）最小平均成本及相应的边际成本.8.一个企业生产某种产品，每批生产q单位时的总成本为（单位：百元），可得的总收入为（单位：百元），问：每批生产该产品多少单位时，能使利润最大？最大利润是多少？9.在曲线上找一点（），过此点作一切线，与x轴、y轴构成一个三角形，问：为何值时，此三角形面积最小？10.已知生产某种彩色电视机的总成本函数为，通过市场调查，可以预计这种彩电的年需求量为，其中p（单位：元）是彩电售价，q（单位：台）是需求量.　试求使利润最大的销售量和销售价格.多项式函数的导数（5月6日）教学目的：会用导数的运算法则求简单多项式函数的导数教学重点：导数运算法则的应用教学难点：多项式函数的求导一、复习引入1、已知函数，由定义求\n2、根据导数的定义求下列函数的导数：（1）常数函数（2）函数二、新课讲授1、两个常用函数的导数：2、导数的运算法则：如果函数有导数，那么也就是说，两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差；常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数.例1：求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）（5）为常数)例2：已知曲线上一点，求：（1）过点P的切线的斜率；（2）过点P的切线方程.三、课堂小结：多项式函数求导法则的应用四、课堂练习：1、求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、已知曲线上有两点A（4，0），B（2，4），求：（1）割线AB的斜率；（2）过点A处的切线的斜率；（3）点A处的切线的方程.\n3、求曲线在点M（2，6）处的切线方程.五、课堂作业1、求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）2、求曲线在处的切线的斜率。3、求抛物线在处及处的切线的方程。4、求曲线在点P（2，－3）处的切线的方程。函数的单调性与极值（5月10日）教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；掌握利用导数判断函数单调性的方法；教学重点：利用导数判断函数单调性；教学难点：利用导数判断函数单调性教学过程：一引入：以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x10时，函数y=f(x)在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即0时，函数y=f(x)在区间（，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内<0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数。\n例1确定函数在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。y例2确定函数的单调区间。x022极大值与极小值观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。一般地，设函数y=f(x)在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的函数值都大，我们说f()是函数y=f(x)的一个极大值；如果的值比附近所有各点的函数值都小，我们说f()是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。oaX1X2X3X4baxy（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>。\n（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有。但反过来不一定。如函数，在处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。假设使，那么在什么情况下是的极值点呢？oaX0baxyoaX0baxy如上左图所示，若是的极大值点，则两侧附近点的函数值必须小于。因此，的左侧附近只能是增函数，即。的右侧附近只能是减函数，即，同理，如上右图所示，若是极小值点，则在的左侧附近只能是减函数，即，在的右侧附近只能是增函数，即，从而我们得出结论：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值。xoy例3求函数的极值。\n三小结1求极值常按如下步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程=0的根，这些根也称为可能极值点；④检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最好通过列表法)四巩固练习1确定下列函数的单调区间：（1）（2）2求下列函数的极值（1）（2）（3）（4）五课堂作业1确定下列函数的单调区间：（1）（2）（3）（4）2求下列函数的极值（1）（2）（3）（4）（5）（6）函数的极限（4月29日）\n教学目标：1、使学生掌握当时函数的极限；　　　　　2、了解：的充分必要条件是教学重点：掌握当时函数的极限教学难点：对“时，当时函数的极限的概念”的理解。教学过程：一、复习：（1）＿＿＿＿＿;（2）（3）二、新课就问题（3）展开讨论：函数当无限趋近于2时的变化趋势当从左侧趋近于2时　　（）1.11.31.51.71.91.991.9991.99992y=x21.21当从右侧趋近于2时　　（）2.92.72.52.32.12.012.0012.00012y=x28.41.7.2912OXYHY1。发现我们再继续看当无限趋近于1（）时的变化趋势；函数的极限有概念：当自变量无限趋近于（）时，如果函数无限趋近于一个常数A，就说当趋向时，函数的极限是A，记作。特别地，；三、例题求下列函数在X＝0处的极限（1）　　（2）　　　　（3）　　\n四、小结：函数极限存在的条件；如何求函数的极限。五、练习及作业：1、对于函数填写下表，并画出函数的图象，观察当无限趋近于1时的变化趋势，说出当时函数的极限0.10.90.990.9990.99990.999991y=2X＋11.51.11.011.0011.00011.000011y=2X＋12、对于函数填写下表，并画出函数的图象，观察当无限趋近于3时的变化趋势，说出当时函数的极限2.92.992.9992.99992.999992.9999993y=X2－13.13.013.0013.00013.000013.0000013y=X2－13　　　　　　　　　　（）　　函数的最大与最小值（5月8日）教学目标：1、使学生掌握可导函数在闭区间上所有点（包括端点）处的函数中的最大（或最小）值；　　　　　2、使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法教学重点：掌握用导数求函数的极值及最值的方法教学难点：提高“用导数求函数的极值及最值”的应用能力一、复习：1、；2、3、求y=x3—27x的极值。二、新课yxX2oaX3bx1在某些问题中，往往关心的是函数在一个定义区间上，哪个值最大，哪个值最小观察下面一个定义在区间上的函数的图象\n发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______在区间上求函数的最大值与最小值的步骤：1、函数在内有导数；2、求函数在内的极值3、将函数在内的极值与比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值三、例1、求函数在区间上的最大值与最小值。解：先求导数，得令＝0即解得导数的正负以及，如下表X－2（－2，－1）－1（－1，0）0（0，1）1（1，2）2y/0＋0－0＋y1345413从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4在日常生活中，常常会遇到什么条件下可以使材料最省，时间最少，效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。例2　用边长为60CM的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成，问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大，最大容积是多少？例3、已知某商品生产成本C与产量P的函数关系为C＝100＋4P，价格R与产量P的函数关系为R＝25－0.125P，求产量P为何值时，利润L最大。\n四、小结：1、闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。2、函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。3、在解决实际应用问题中，关键在于建立数学模型和目标函数；如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较。五、练习及作业：：1、函数在区间上的最大值与最小值2、求函数在区间上的最大值与最小值。　　　　　　3、求函数在区间上的最大值与最小值。4、求函数在区间上的最大值与最小值。5、给出下面四个命题（1）函数在区间上的最大值为10，最小值为－\n（2）函数（2＜X＜4）上的最大值为17，最小值为1　（3）函数（－3＜X＜3）上的最大值为16　，　最小值为－16（4）函数（－2＜X＜2）上　无　最大值　也无　最小值。其中正确的命题有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿6、把长度为LCM的线段分成四段，围成一个矩形，问怎样分法，所围成矩形的面积最大。7、把长度为LCM的线段分成二段，围成一个正方形，问怎样分法，所围成正方形的面积最小。8、某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件X元出售，可以卖出(200-X)件，应该如何定价才能使利润L最大？9、在曲线Y=1—X2(X0，Y0)上找一点了()，过此点作一切线，与X、Y轴构成一个三角形，问X0为何值时，此三角形面积最小？10、要设计一个容积为V的圆柱形水池，已知底的单位面积造价是侧面的单位面积造价的一半，问：如何设计水池的底半径和高，才能使总造价最少？(提示：)函数极限的运算法则（4月30日）教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限教学重点：运用函数极限的运算法则求极限教学难点：函数极限法则的运用教学过程：一、引入：\n一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如.若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算.二、新课讲授对于函数极限有如下的运算法则：如果，那么也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.说明：当C是常数，n是正整数时，这些法则对于的情况仍然适用.三典例剖析例1求例2求例3求分析：当时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数在定义域内，可以将分子、分母约去公因式后变成，由此即可求出函数的极限.\n例4求分析：当时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。总结：例5求分析：同例4一样，不能直接用法则求极限.如果分子、分母都除以，就可以运用法则计算了。四课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限）（1）；（2）（3）；（4）（5）（6）\n（7）（8）五小结1有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；2函数的运算法则成立的前提条件是函数的极限存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点.3两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在.4在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限.六作业（求下列极限）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）\n（16）（17）（18）极限的概念（4月27日）教学目的：理解数列和函数极限的概念；教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限；教学难点：数列和函数极限的理解教学过程：一、实例引入：例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。（1）求第天剩余的木棒长度(尺)，并分析变化趋势；（2）求前天截下的木棒的总长度(尺)，并分析变化趋势。观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数无限增大时，数列的项无限趋近于某个常数A（即无限趋近于0）。无限趋近于常数A，意指“可以任意地靠近A，希望它有多近就有多近，只要充分大，就能达到我们所希望的那么近。”即“动点到A的距离可以任意小。二、新课讲授1、数列极限的定义：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于某个常数A（即无限趋近于0），那么就说数列的极限是A，记作注：①上式读作“当趋向于无穷大时，的极限等于A”。“∞”表示“趋向于无穷大”，即无限增大的意思。有时也记作当∞时，A②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________③思考：是否所有的无穷数列都有极限？例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）1，，，…，，…；（2），，，…，，…；（3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，，…；\n（5）－1,1，－1，…，，…；注：几个重要极限：（1）（2）（C是常数）（3）无穷等比数列（）的极限是0，即：2、当时函数的极限Oyx（1）画出函数的图像，观察当自变量取正值且无限增大时，函数值的变化情况：函数值无限趋近于0，这时就说，当趋向于正无穷大时，函数的极限是0，记作：一般地，当自变量取正值且无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于正无穷大时，函数的极限是A，记作：也可以记作，当时，（2）从图中还可以看出，当自变量取负值而无限增大时，函数的值无限趋近于0，这时就说，当趋向于负无穷大时，函数的极限是0，记作：一般地，当自变量取负值而无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于负无穷大时，函数的极限是A，记作：也可以记作，当时，（3）从上面的讨论可以知道，当自变量的绝对值无限增大时，函数的值都无限趋近于0，这时就说，当趋向于无穷大时，函数的极限是0，记作一般地，当自变量的绝对值无限增大时，如果函数\n的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于无穷大时，函数的极限是A，记作：也可以记作，当时，特例：对于函数（是常数），当自变量的绝对值无限增大时，函数的值保持不变，所以当趋向于无穷大时，函数的极限就是，即例2：判断下列函数的极限：（1）（2）（3）（4）三、课堂小结1、数列的极限2、当时函数的极限四、练习与作业1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限（1）1，，，…，，…；（2）7，7，7，…，7，…；（3）；（4）2，4，6，8，…，2n，…；（5）0.1，0.01，0.001，…，，…；（6）0，…，，…；（7）…，，…；（8）…，，…；（9）－2,　0，－2，…，,…，2、判断下列函数的极限：（1）（2）（3）（4）\n（5）（6）（7）（8）补充：3、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点。（1）求证：MN⊥AB；（2）若平面PCD与平面ABCD所成的二面角为θ，能否确定θ，使得MN是异面直线AB与PC的公垂线？若可以确定，试求θ的值；若不能，说明理由。数列极限的运算法则（5月3日）教学目标：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。教学重点：运用数列极限的运算法则求极限教学难点：数列极限法则的运用教学过程：一、复习引入：函数极限的运算法则：如果则＿＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿（B）二、新授课：数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似：如果那么　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况。例如，若，，有极限，则：特别地，如果C是常数，那么二.例题：例1.已知，求例2.求下列极限：\n（1）；　　　　　　　　　　　　　（2）例3.求下列有限：（1）　　　　　　　　　　　　　　（2）分析：（1）（2）当无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。例4.求下列极限：（1）（2）说明：1.数列极限的运算法则成立的前提的条件是：数列的极限都是存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点。当无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。2.有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）。3.两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在。\n小结：在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限的运算法则是对有限的数列是成立的。练习与作业：1.已知，求下列极限（1）；　　　　　　　　　　（2）2.求下列极限：（1）；　　　　　　　　　　　　（2）。3.求下列极限（1）；　　　　　　　　　　　　　（2）　；（3）；　　　　　　　　　　　　　（4）。4.求下列极限已知求下列极限：（1）.　　　　　　　　　　　　（2）.　　\n5.求下列极限:（1）.　　　　　　　　　　　　　　（2）.（3）.　　　　　　(4).(5).　　　　　　　(6).(7).　　　　　　　　　　　　　　（8）（9）（10）.已知求无穷等比数列各项的和（5月4日）教学目的：掌握无穷等比数列各项的和公式；教学重点：无穷等比数列各项的和公式的应用教学过程：一、复习引入1、等比数列的前n项和公式是_________________________________________________2、设AB是长为1的一条线段，等分AB得到分点A1，再等分线段A1B得到分点A2，如此无限继续下去，线段AA1，A1A2，…，An－1An，…的长度构成数列①可以看到，随着分点的增多，点An越来越接近点B，由此可以猜想，当n无穷大时，AA1+A1A2+…+An－1An的极限是________.下面来验证猜想的正确性，并加以推广\n二、新课讲授1、无穷等比数列各项的和：公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和.设无穷等比数列的公比的绝对值小于1，则其各项的和S为例1、求无穷等比数列0.3，0.03，0.003，…各项的和.例2、将无限循环小数化为分数.三、课堂小结：1、无穷等比数列各项的和公式；2、化循环小数为分数的方法四、练习与作业1、求下列无穷等比数列各项的和：（1）（2）（3）（4）2、化循环小数为分数：（1）（2）（3）（4）3、如图，等边三角形ABC的面积等于1，连结这个三角形各边的中点得到一个小三角形，又连结这个小三角形各边的中点得到一个更小的三角形，如此无限继续下去，求所有这些三角形的面积的和.\n4、如图，三角形的一条底边是a,这条边上的高是h（1）过高的5等分点分别作底边的平行线，并作出相应的4个矩形，求这些矩形面积的和（2）把高n等分，同样作出n－1个矩形，求这些矩形面积的和；（3）求证：当n无限增大时，这些矩形面积的和的极限等于三角形的面积ah/2