高中数学新课极限教案(4) 8页

课题：2.2数列的极限教学目的：1.理解数列极限的概念；教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限教学难点：数列极限的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：  这节课一开始就把学生引入数列是否“趋向于”一个常数的讨论中，虽然学生对“趋向于”并没有精确的认识，但是凭借他们的自身的感受，运用“观察”“分析”“归纳”“概括”也能得到一些数列的“极限”的肤浅认识，这是感性认识　数列的极限是一个十分重要的概念，它的通俗定义是：随着项数n的无限增大，数列的项an无限地趋近于某个常数a(即|an－a|无限地接近于0)，它有两个方面的意义.教学过程：一、复习引入：1.战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去（1）可以求出第天剩余的木棒长度＝(尺)；（2）前天截下的木棒的总长度＝1-(尺)分析变化趋势.2.观察下列数列，随n变化时，是否趋向于某一个常数：(1);(2);(3)an=4·(－1)n－1;(4)an=2n;(5)an=3;(6)an=;(7)an=()n;(8)an=6+二、讲解新课：1.数列极限的定义：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于某个常数（即无限趋近于0），那么就说数列以为极限，或者说\n是数列的极限．记作，读作“当趋向于无穷大时，的极限等于”“∞”表示“趋向于无穷大”，即无限增大的意思有时也记作：当∞时，．理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n的无限增大，数列的项an无限地趋近于某个常数a”的意义有两个方面：一方面，数列的项an趋近于a是在无限过程中进行的，即随着n的增大an越来越接近于a；另一方面，an不是一般地趋近于a，而是“无限”地趋近于a，即|an－a|随n的增大而无限地趋近于0.2.几个重要极限：（1）（2）（C是常数）（3）无穷等比数列（）的极限是0，即三、讲解范例：例1判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）1，，，…，，…；（2），，，…，，…；（3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，，…；（5）－1,1，－1，…，，…；解：（1）1，，，…，，…的项随n的增大而减小，且当n无限增大时，无限地趋近于0.因此，数列｛｝的极限是0，即＝0.（2），，，…，，…的项随n的增大而增大，且当n无限增大时，无限地趋近于1.因此，数列｛｝的极限是1，即＝1.\n（3）－2，－2，－2，…，－2，…的项随n的增大都不变，且当n无限增大时，无限地趋近于－2.因此，数列｛-2｝的极限是-2，即(-2)＝-2.（4）－0.1，0.01，－0.001，…，，…的项随n的增大而绝对值在减小，且当n无限增大时，无限地趋近于0.因此，数列｛｝的极限是0，即＝0.（5）－1,1，－1，…，，…的项随n的增大而在两个值－1与1上变化，且当n无限增大时，不能无限地趋近于同一个定值.因此，数列｛｝无极限四、课堂练习：1．下列命题正确的是（）①数列没有极限②数列的极限为0③数列的极限为④数列没有极限A①②B②③④C①②③D①②③④答案：D2.判断下列数列是否有极限，若有，写出极限（1）1，，，…，，…；（2）7，7，7，…，7，…；（3）；（4）2，4，6，8，…，2n，…；（5）0.1，0.01，0.001，…，，…；（6）0，…，，…；（7）…，，…；　（8）…，，…；（9）－2,　0，－2，…，,…，\n答案：⑴0⑵7⑶0⑷不存在　⑸0⑹-1⑺0⑻不存在　⑼不存在．3.命题：①单调递减的无穷数列不存在极限；②常数列的极限是这个常数本身；③摇摆的无穷数列不存在极限.以上命题正确的是()A.0B.1C.2D.3答案：B.由极限的定义仅有②是正确的.①的反例是an=这是无穷单调递减数列，它的极限是零；③的反例是an=它是摇摆的无穷数列，它的极限是零.因为|an－0|=|－0|=可以任意小.故选B.4.下列数列，不存在极限的是…()A.B.C.－1，1，－1，1，…，(－1)n，…D.答案：C.选项A的极限是0，选项B，an=的极限是0，选项D的极限an==1+→0+1=1.五、小结：本节学习了数列的极限的定义，是直观定义(描述性定义)，它是培养了我们直觉思维能力、观察分析问题的能力六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.设等比数列{qn－1}(|q|＞1)的前n项和为Sn，则的值是A.　　　B.C.q2　　　D.q4\n2.已知a＞b＞1，则的值是A.－B.　　　　　　C.－bD.不存在3.设Sn是无穷等比数列的前n项和,若Sn=,则首项a1的取值范围是A.（0，）B.（0，）　C.（0，）∪（）D.（0，）∪（，1）4.设f(x)=(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n，f(x)中x2的系数为Tn，则等于A.　　B.　　　　　　C.1D.25.已知等比数列{an}的公比为q(q≠－1)，其前n项的和为Sn,若集合N={S|S=}，则N等于A.{0，1}B.{1，}　　　C.{0，}D.{0，1，}6.等于A.1B.0　　　　　　C.D.不存在二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）7.无穷数列{}（k=1,2,3,……）的各项和是___________.8.在数列{an}中，若(3n－1)an=1,则nan=___________.9.设数列{an}，{bn}均为等差数列，（公差都不为零），=3,则=___________.10.已知（－an－b）=0，则a=___________,b=___________.\n11.已知无穷等比数列{an}的首项为a1，公比为q且有（，则首项a1的取值范围是___________.三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）12.已知f(x)=(x＞0),设a1=1,且an+12·f(an)=2(n∈N*)，求(1)数列{an}的通项公式；（2）13.如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB、BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去，记圆On的面积为an，(n∈N*).(Ⅰ)证明{an}是等比数列；（Ⅱ）求（a1+a2+a3+…+an)的值.14.设数列{an}满足a1++…+=a2n－1,{an}的前n项和为Sn(a＞0,a≠1,n∈N*).(1)求an;(2)求；（3）求证：(n+2)(n+1)an+n(n+2)an+1＜2n(n+1)an+2参考答案：一、1.C2.B3.C4.B5.D6.A二、7.8.9.10.1－111.＜a1≤,且a1≠1.三、12.解：（1）由an+12·f(an)=2,得an+12·=2∴an+12－an2=4　　∴{an2}是以1为首项，4为公差的等差数列，∴an2=1+4(n－1)=4n－3∵an＞0　　∴an=\n(2)原式=当|b|＜2,即－2＜b＜2时，原式=－当|b|=2，即b=±2时，原式=当|b|＞2，即b＞2或b＜－2时，原式=b2综上，原式=13.解：（Ⅰ）记rn为圆On的半径.r1=tan30°=l，=sin30°=∴rn=rn－1(n≥2)　　　　∴a1=πr12=　　　　∴{an}成等比数列.（Ⅱ)∵an=()n－1·a1(n∈N)　　　∴（a1+a2+…+an)=.14.解（1）∵a1+=a2n－1∴a1+=a2(n－1)－1(n≥2)　　∴a2(n－1)－1+=a2n－1　　　∴an=n(a2n－a2n－2)(n≥2)∵a1=a2－1　　∴当n=1时，等式亦成立.　　　　∴an=n(a2n－a2n－2)n∈N*\n(2)由（1）an=n(a2n－a2n－2)=n(a2－1)a2n－2　∴Sn=(a2－1)(1+2a2+3a4+…+na2n－2)a2Sn=(a2－1)(a2+2n4+…+(n－1)a2n－2+na2n)a2Sn－Sn=－(1+a2+a4+…+a2n－2－na2n)(a2－1)(a2－1)Sn=－(－na2n)(a2－1)　　　∴Sn=－+na2n=［］=．(3)若要证（n+2)(n+1)an+n(n+2)an+1＜2n(n+1)an+2，只要证＜2·∵2·=2×=(a2－1)·a2n－2(2a4－1－a2)=(a2－1)2·a2n－2(2a2+1)＞0∴原不等式成立.