高中数学竞赛教案讲义（3）函数 8页

第三章函数一、基础知识定义1映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f:A→B为一个映射。定义2单射，若f:A→B是一个映射且对任意x,y∈A,xy,都有f(x)f(y)则称之为单射。定义3满射，若f:A→B是映射且对任意y∈B，都有一个x∈A使得f(x)=y，则称f:A→B是A到B上的满射。定义4一一映射，若f:A→B既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B到A由相反的对应法则f-1构成的映射，记作f-1:A→B。定义5函数，映射f:A→B中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它的定义域，若x∈A,y∈B，且f(x)=y（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象。集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3-1的定义域为{x|x≥0,x∈R}.定义6反函数，若函数f:A→B（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1:A→B叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x).这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x,y互换得y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y=的反函数是y=1-(x0).定理1互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。定理2在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。定义7函数的性质。（1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1,x2∈I并且x1f(x2))，则称f(x)在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间。（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。（3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T\n称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。定义8如果实数aa}记作开区间（a,+∞），集合{x|x≤a}记作半开半闭区间（-∞,a].定义9函数的图象，点集{(x,y)|y=f(x),x∈D}称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x)的定义域。通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0)；（1）向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；（2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；（3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象；（4）与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；（5）与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（7）与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称。定理3复合函数y=f[g(x)]的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如y=,u=2-x在（-∞,2）上是减函数，y=在（0，+∞）上是减函数，所以y=在（-∞,2）上是增函数。注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。二、方法与例题1．数形结合法。例1求方程|x-1|=的正根的个数.例2求函数f(x)=的最大值。2函数性质的应用。例3设x,y∈R，且满足，求x+y.\n例4奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)<0，求a的取值范围。例5设f(x)是定义在（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z,用Ik表示区间(2k-1,2k+1]，已知当x∈I0时，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式。例6解方程：(3x-1)()+(2x-3)(+1)=0.3.配方法。例7求函数y=x+的值域。4．换元法。例8求函数y=(++2)(+1),x∈[0,1]的值域。\n5．判别式法。例9求函数y=的值域。6．关于反函数。例10若函数y=f(x)定义域、值域均为R，且存在反函数。若f(x)在(-∞,+∞)上递增，求证：y=f-1(x)在(-∞,+∞)上也是增函数。例11设函数f(x)=，解方程：f(x)=f-1(x).三、基础训练题1．已知X={-1,0,1},Y={-2,-1,0,1,2}，映射f：X→Y满足：对任意的x∈X，它在Y中的象f(x)使得x+f(x)为偶数，这样的映射有_______个。2．给定A={1，2，3}，B={-1，0，1}和映射f：X→Y，若f为单射，则f有_______个；若f为满射，则f有_______个；满足f[f(x)]=f(x)的映射有_______个。3．若直线y=k(x-2)与函数y=x2+2x图象相交于点（-1，-1），则图象与直线一共有_______个交点。\n4．函数y=f(x)的值域为[]，则函数g(x)=f(x)+的值域为_______。5．已知f(x)=，则函数g(x)=f[f(x)]的值域为_______。6．已知f(x)=|x+a|，当x≥3时f(x)为增函数，则a的取值范围是_______。7．设y=f(x)在定义域（，2）内是增函数，则y=f(x2-1)的单调递减区间为_______。8．若函数y=(x)存在反函数y=-1(x)，则y=-1(x)的图象与y=-(-x)的图象关于直线_______对称。9．函数f(x)满足=1-，则f()=_______。10.函数y=,x∈(1,+∞)的反函数是_______。11．求下列函数的值域：（1）y=;(2)y=;(3)y=x+2;(4)y=12.已知定义在R上，对任意x∈R,f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函数，又当x∈[2,3]时，f(x)=x，则当x∈[-2,0]时，求f(x)的解析式。四、高考水平训练题1．已知a∈,f(x)定义域是（0,1]，则g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_______。2．设0≤a<1时，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒为正值。则f(x)定义域为_______。3．映射f:{a,b,c,d}→{1，2，3}满足100，函数f(x)定义域为R，且f(x+a)=，求证：f(x)为周期函数。11．设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为α，β（α<β），已知函数f(x)=,（1）求f(α)、f(β)；（2）求证：f(x)在[α，β]上是增函数；（3）对任意正数x1,x2，求证：<2|α-β|.五、联赛一试水平训练题1．奇函数f(x)存在函数f-1(x)，若把y=f(x)的图象向上平移3个单位，然后向右平移2个单位后，再关于直线y=-x对称，得到的曲线所对应的函数是________.2．若a>0，a1,F(x)是奇函数，则G(x)=F(x)是________（奇偶性）.3．若=x，则下列等式中正确的有________.①F(-2-x)=-2-F(x)；②F(-x)=；③F(x-1)=F(x)；④F(F(x))=-x.4.设函数f：R→R满足f(0)=1，且对任意x,y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，则f(x)=________.5．已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1，且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，则g(2002)=________.\n6.函数f(x)=的单调递增区间是________.7.函数f(x)=的奇偶性是：________奇函数，________偶函数（填是，非）。8.函数y=x+的值域为________.9．设f(x)=,对任意的a∈R，记V(a)=max{f(x)-ax|x∈[1,3]}-min{f(x)-ax|x∈[1,3]}，试求V(a)的最小值。10．解方程组：（在实数范围内）11．设k∈N+,f:N+→N+满足：（1）f(x)严格递增；（2）对任意n∈N+,有f[f(n)]=kn，求证：对任意n∈N+,都有n≤f(n)≤六、联赛二试水平训练题1．求证：恰有一个定义在所有非零实数上的函数f，满足：（1）对任意x≠0,f(x)=x·f；（2）对所有的x≠-y且xy≠0，有f(x)+f(y)=1+f(x+y).2.设f(x)对一切x>0有定义，且满足：（ⅰ）f(x)在（0，+∞）是增函数；(ⅱ)任意x>0,f(x)f=1，试求f(1).3.f:[0,1]→R满足：（1）任意x∈[0,1],f(x)≥0；（2）f(1)=1；（3）当x,y,x+y∈[0,1]时，f(x)+f(y)≤f(x+y)，试求最小常数c，对满足（1），（2），（3）的函数f(x)都有f(x)≤cx.4.试求f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x>0,y>0)的最小值。5．对给定的正数p,q∈(0,1)，有p+q>1≥p2+q2，试求f(x)=(1-x)+在[1-q,p]上的最大值。6．已知f:(0,1)→R且f(x)=.\n当x∈时，试求f(x)的最大值。7．函数f(x)定义在整数集上，且满足f(n)=，求f(100)的值。8．函数y=f(x)定义在整个实轴上，它的图象在围绕坐标原点旋转角后不变。（1）求证：方程f(x)=x恰有一个解；（2）试给出一个具有上述性质的函数。9．设Q+是正有理数的集合，试构造一个函数f:Q+→Q+，满足这样的条件：f(xf(y))=x,y∈Q+.