高中数学教案精选--正态分布 47页

PLAY第一节正态分布的密度函数第四章正态分布第二节正态分布的数字特征第三节正态分布的线性性质第四节二维正态分布第五节中心极限定理\n正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一,它在概率统计中占有特别重要的地位.比如,考察一群人的身高,个体的身高作为一个随机变量,其取值特点是:在平均身高附近的人较多,特别高和特别矮的人较少.一个班的一次考试成绩、测量误差等均有类似的特征.高斯在研究误差理论时曾用它来刻画误差,因此很多文献中亦称之为高斯分布.进一步的理论研究表明,一个变量如果受到大量独立的因素的影响(无主导因素),则它一般服从正态分布,这是中心极限定理探讨的问题.第一节正态分布的密度函数\n式中为实数,>0.则称X服从参数为,2的正态分布,亦称高斯分布.记为N(,2).可表为X～N(,2).图象见右上角若随机变量X的密度函数为一.一般正态分布1.定义\n(1)单峰对称密度曲线关于直线x=对称f()＝maxf(x)＝正态分布有两个特性：(2)的大小直接影响概率的分布越大,曲线越平坦;越小，曲线越陡峻.正态分布也称为高斯(Gauss)分布\n二.标准正态分布参数＝0，2＝1的正态分布称为标准正态分布，记作X~N(0,1)。其密度函数为\n分布函数为(1)(0)=0.5(2)(+∞)＝1；(3)(x)＝1－(－x).x一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值.(P328附表1)如,若X~N（0,1),(0.5)=0.6915,P{1.320,则有三.一般正态分布概率的计算一般地,有\n\n例2.设XN(,2),求P{-33}的值.如在质量控制中,常用标准指标值±3作两条线,当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报,表明生产出现异常.\n随机变量标准化\n\n例5一种电子元件的使用寿命Ｘ(小时)服从正态分布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件,三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数,故则Y~B(3,p)其中\n\n一.一般正态分布N(,2)第二节正态分布的数字特征\n二.标准正态分布N(0,1)\n\n例2设X服从N(0，1)分布，求E(X2),E(X3)\n\n\n为什么?\n\n\n\n\n\n习作题1.设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机变量U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学期望2设随机变量相互独立,且均服从分布,求随机变量的数学期望答:答:\n1.设随机变量XB（12,0.5),YN(0,1),COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y的方差与协方差.2.某单位招聘2500人,按考试成绩从高分到低分依次录用,共有10000人报名.假定报名者的考试成绩X服从正态分布现已知90分以上有359人,60分以下的有1151人,求被录用者中的最低分数.作业题\n解：Y=ax+b关于x严单,反函数为例1设随机变量X服从标准正态分布,求随机变量Y=aX+b的密度函数,且有第三节正态分布的线性性质一.线性性质\n直接由Y的密度函数,可观察到Y的数学期望与方差定理1设随机变量X服从正态分布N(,2),则X的线性函数也服从正态分布,且有\n例2已知XN(,2),求解的概率密度关于x严格单调,反函数为故你能用正态分布的线性性质求解吗?\n二.正态分布的可加性定理3设随机变量X1,X2，...,Xn独立且Xi服从正态分布N(i,i2),i=1,...,n,则定理2设随机变量X1,X2相互独立且Xi服从正态分布N(i,i2),i=1,2,则\n例1.设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求证：Z=X+Y服从N（0，2）分布.\n例2.设随机变量X与Y独立,且X~N(1,2),Y~N(0,1).求证:(1)Z=2X-Y+3的密度函数;(2)P{20、2>0、||<1，则称(X,Y)服从参数为1,2,1,2,的二维正态分布，可记为一.密度函数若随机变量(X,Y)的密度函数为第四节二维正态分布\n二、边缘密度函数为(X,Y)关于Y的边缘密度函数。设(X,Y)~f(x,y),(x,y)R2,则称为(X,Y)关于X的边缘密度函数；同理,称易知N(1,2,12,22,)的边缘密度函数fX(x)是N(1,12)的密度函数,而fX(x)是N(2,22)的密度函数,即二维正态分布的边缘分布也是正态分布.可见,若（X,，Y）服从二维正态分布，则X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关。\n例设(X,Y)服从N(1,0,32,42,-0.5)分布，Z=X/3+Y/21)求E(Z),D(Z);2)求X与Z的相关系数3)问X与Z是否相互独立？为什么？\n\n\n设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其对应的分布函数分别为Fn(x),F(x).若在F(x)的连续点，有则称{Xn}依分布收敛于X.可记为一.依分布收敛第五节中心极限定理\n二.几个常用的中心极限定理1.独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg)设{Xn}为独立同分布随机变量序列，若EXk=<，DXk=2<，k=1,2,…,则{Xn}满足中心极限定理。根据上述定理，当n充分大时或者\n例1.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于500的概率是多少？解:设Xk为第k次掷出的点数,k=1,2,…,100,则X1,…,X100独立同分布.由中心极限定理\n\n设随机变量n(n=1,2,...)服从参数为n,p(0