高中数学必修二全册教案 155页

第一课时柱、锥、台、球的结构特征（一）教学目标1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知.（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类.（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征.（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类.2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征.（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识.3．情感、态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力.（2）培养学生的空间想象能力和抽象概括能力.（二）教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征.难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括.（三）教学方法通过提出问题，学生观察空间实物及模型，先独立思考空间几何体的结构特征，然后相互讨论、交流，最后得出完整结论.教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1．小学与初中在平面上研究过哪些几何图形？在空间范围上研究过那些？2．你能根据某种标准对下列几何体进行分类吗？（展示具有柱、锥、台、球结构的空间物体）1．学生回忆，相互交流教师对学生给予及时评价.2．教师对学生分类进行整理。分类多面体和旋转体分类，分类二按柱、锥、台、球分类以旧导新棱柱的结构特征1．观察教科书第2页中和图（2）、（5）、（7）、（9），它们各自的特点是什么？在归纳的过程中，可引导学生从围成几何体的面的特征去观察，从而得出棱柱的主要结构特征.1．有两个面互相平行；\n2．其余各面都是平行四边形；3．每相邻两个四边形的公共边互相平行.引出棱柱概念之前，应注意对具体的棱柱的特点进行充分分析，让学生能够经历共同特点的概括过程.在得到棱柱的结构特征后教师归结棱柱定义，并结合图形认识棱柱有关概念.从分析具体棱柱的特点出发，通过概括共同特点得出棱柱的结构特征.例1如图，过BC的截面截去长方形的一角，所得的几何体是不是棱柱？解析：以A′ABB′和D′DCC′为底即知所得几何体是棱柱.例2观察螺杆头部模型，有多少对平行的平面？能作为棱柱底面的有几对？解析：略教师投影例一并读题.有的学生可能会认为不是棱柱，因为如果选择上下两平面为底，则不符合棱柱结构特征的第二条.引导学生讨论：如何判定一个几何体是不是棱柱？教学时应当把学生的注意力引导到用概念进行判断上来，即看所给的几何体是否符合棱柱定义的三个条件.教师投影例2并读题.教师引导学生分析得出，平行平面共有四对，但能作为棱柱底面的只有一对，即上下两个平行平面.引导学生探究：棱柱的哪些平行的面能作为底面，此时侧面是什么？哪些平行的平面不能作为底面？通过改变棱柱放置的位置（变式），引导学生应用概念判别几何体.加深对棱柱结构特征的认识.棱锥的结构特征1．观察教材节2页的图（14）（15）它们有什么共同特征？2．请类比棱柱、得出相关概念，分类及表示.学生进行观察、讨论、然后归纳，教师注意引导，整理.得出棱锥的结构特征，有关概念分类及表示方法.\n棱锥的结构特征：1．有一个面是多边形.2．其余各面都是有一个公共点的三分形.从分析具体棱锥出发，通过概括棱锥的共同特点，得出棱锥的结构特征.棱台的结构特征1．观察教材第2页中图（13）、（16），思考它们可以怎样得到？有什么共同特征？2．请仿照棱锥中关于侧面、侧棱、顶点的定义，给棱台相关概念下定义.教师在学生讨论中可引导学生思考棱台可以怎样得到，从而迅速得出棱台的结构特征.由一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分.突出棱台的形成过程，把握棱台的结构特征.圆柱的结构特征观察下面这个几何体（圆柱）及得到这种几何体的方法，思考它与棱柱的共同特点，给它定个名称并下定义.教师演示，学生观察，然后学生给出圆柱的名称及定义，教师给出侧面、底面、轴的定义.以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转而成的面所围成的旋转体叫做圆柱.圆柱和棱锥统称为柱体.突出圆柱的形成过程，把握圆柱的结构特征.圆锥的结构特征1．观察下面这个几何体（圆锥）及得到这种几何体的方法，思考它与棱锥的共同特点，给它定个名称并下定义.2．能否将轴改为斜边？以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体.圆锥与棱锥统称为锥体.突出圆锥的形成过程，把握圆锥的结构特征.圆台的结构特征下面这种几何体称为圆台，请思考圆台可以用什么办法得到？请在教材图11-9上标上圆台的轴、底面、侧面、母线.学生1：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分.\n学生2：以直角梯形，垂直于底面的腰为旋转轴，其余各边旋转形成的面所围成的旋转体（教师演示）师：棱台与圆台统称为台体.开放性设计，学生推理与教师演示结合，培养学生思维发散性与灵活性，加深学生对概念理解.球的结构特征观察球的模型，思考球可以用什么办法得到？球上的点有什么共同特点.学生1：以半圆的直径所在直线为旋转思，半圆面旋转一圆形的旋转体叫做球体，简称球.（教师演示）学生2：球上的点到求心的距离等于定长.教师讲解球的球心、半径、直径、表示方法.开放性设计，学生推理与教师演示结合，培养学生思维发散性与灵活性，加深学生对概念理解.归纳总结简单几何体的结构特征及有关概念.学生总结，然后老师补充.回顾反思、归纳知识、提升学生知识、整合能力.课后作业1.1第一课时习案学生独立完成巩固知识提升能力备用例题例1下列命题中错误的是（）A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形【解析】圆锥的母线长相长，设为l，若圆锥截面三角形顶角为，圆锥轴截面三角形顶角为，则0＜≤.当≤90°时，截面面积S=≤.当90°＜＜180°时.截面面积S≤，故选B.\n例2根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.（1）由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形；（2）一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形.【分析】要判断几何体的类型，首先应熟练掌握各类几何体的结构特征.图2图1【解析】（1）如图1，该几何体满足有两个面平行，其余六个面都是矩形，可使每相邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是六棱柱.（2）如图2，等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形，每个直角梯形旋转180°形成半个圆台，故该几何体为圆台.点评：对于不规则的平面图形绕轴旋转问题，要对原平面图形作适当的分割，再根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征进行判断.例3把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1:4，母线长是10cm，求圆锥的母线长.【分析】画出圆锥的轴截面，转化为平面问题求解.图4—1—8【解析】设圆锥的母线长为ycm，圆台上、下底面半径分别是xcm、4xcm.作圆锥的轴截面如图.在Rt△SOA中，O′A′∥OA，∴SA′∶SA=O′A′∶OA，即（y-10）∶y=x∶4x.∴y=13.∴圆锥的母线长为13cm【点评】圆柱、圆锥、圆台可以看做是分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体，其轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形，这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元素，处理旋转体的有关问题一般要作出轴截面.第二课时简单组合体的结构特征\n（一）教学目标1．知识与技能（1）理解由柱、锥、台、球组成的简单组合体的结构特征.（2）能运用简单组合体的结构特征描述现实生活中的实际模型.2．过程与方法让学生通过下观感觉空间物体，认识简单的组合体的结构特征，归纳简单组合体的基本构成形式.3．情感态度与价值观培养学生的空间想象能力，培养学习教学应用意识.（二）重点、难点重点与难点都是认识简单组体体的结构特征.（三）教学方法概念形成过程中，学生观察、思考、讨论、交流与教师引导相结合，然后通过对一些具体问题的讨论，加深对简单组合体的结构特征的理解.教学环节教学内容师生互动设计意图创设情境观察教材下列各图，说出这些几何体是由哪些简单几何体构成的.学生回答，然后师生共同讨论他们的联系与区别.通过问题解决，学生复习了上课时所学知识，同学又为学习新知识作准备概念形成1．简单组合体概念，由柱体锥体，台体和球体等简单几何体组合而成的几何体.2．简单组合体为构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.学生归纳，总结后教师予以适当修饰，补充.培养学生总结概括，表述的能力，加强对概念的理解.应用举例例1\n已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为r，R，求球的半径.【解析】圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得梯形腰长为R+r，梯形的高即球的直径为=2，所以，球的半径为.圆锥底面半径为1cm，高为cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.EC1OD1=1FDCS【解析】锥的轴截面SEF，正方体对角面CDD1C1，如图所示.设正方体棱长x，则CC1=x，C1D1=x.作SO⊥EF于O，则SO=，OE=1，∵△ECC1～△EOS，∴=，即=.教师出示简单组合体，学生说出简单组合体的结构特征，然后探索各有关量的联系方法，找到适当的轴截面，求解，教师板书.通过直观、观察加强学生对简单组合体结构特征的认识，培养学生空间想象能力和逻辑推理能力.\n∴x=（cm），即内接正方体棱长为cm.归纳总结一、知识点（1）简单组合体定义（2）简单组合体构成形式二、注意事项轴截面在旋转体与多面体组合而成的几何体中的应用.师生共同总结——交流——完善巩固、加深对概念的理解、培养思维严谨性.课后作业1.1第二课时习案学生独立完成巩固深化，提高学生解决问题的能力.备选例题例1左下图是由右下图中的哪个平面图旋转得到的图4—1—9【解析】因为简单组合体为一个圆台和一个圆锥，因此平面图应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，可排除B、D，再由圆台上、下底的大小比例关系可排除C.【点评】组合体通过分拆，可转化为几个简单几何体，从而研究其结构特征.第一课时空间几何体的三视图一、教学目标1．知识与技能（1）掌握画三视图的基本技能（2）丰富学生的空间想象力2．过程与方法主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。\n3．情感、态度与价值观（1）提高学生空间想象力（2）体会三视图的作用二、教学重点、难点重点：画出简单组合体的三视图难点：识别三视图所表示的空间几何体三、教学方法教师讲授与学生观察、讨论、动手实践相结合.教学环节教学内容师生互动设计意图新课并入1.如何将空间几何体画在纸上，用平面图形来表示.2.我们常用三视图和直观图表示空间几何体.三视图：观察从三个不位置观察同一空间几何体而画出的图形.直观图：观察者站在某一点观察一个空间几何体面画出的图形.师：要解决这个问题，我们需要将我们看到的画下来，这就取决于我们怎样去看.生1：我们可以从前后角度，左右角度，上下角度看.生2：我们也可站在某一点观察.师总结空间几何体表示方法，点出主题.让学生发现知识源于实践，又可应用于实践，培养学生应用意识，激发学生学习的激情.探索新知教学中投影与平行投影.中心投影：光由一点向外散射形成的投影.平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影.分正投影、斜投影.讨论：三角形在平行投影和中心投影后的结果.师：要学习三视图，首先我们要学习两个知识.中心投影与平行投影……生1：联想到棱柱的结构特征，无论是正投影还是斜投影，三角形在平行投影后为结果是与原三角形全等的三角形.生2：三角形在中心投影后得到了一个相似的放大了的三角形.以旧带新，提高知识的系统性和思维的严谨性.探索新知教学柱、锥、台、球的三视图：1.定义三视图：\n正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图.侧视图：光线从几何体的左面向后面正投影得到的投影图.俯视图：光线从几何体的左面向后面正投影得到的投影图.2.观察长方体的三视图.讨论三视图有何基本特征.师：把一空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形，但是只有一个平面图形难以把握几何体的全貌.通常，总是选择三种正投影……生：长方体的正视图和侧视图高度一样（等于长方体的高）.俯视图与正视图长度一样（等于长方体的和）.俯视图和侧视图宽度一样（等于长方体的宽）.这个结论可推广到一般简单几何体.我们用“长对正高平齐、宽相等”来概括三视图的基本特征.通过讨论掌握三视图的基本特征，同时通过精炼的语言概括提高学生的记忆效果.应用举例1．正向应用（幻灯片）画出球、圆柱、圆锥、棱柱的三视图.2．逆向练习（幻灯片）TP15图（1）、（2）分别是两个几何体的三视图，你能说出它们对应的几何体的名称吗？正视图侧视图俯视图（2）正视图侧视图俯视图（1）答案：（1）圆台；（2）三棱锥学生独立完成.教师用幻灯片公布答案，然后讲解注意事项.注意事项：画三视图时棱要用实线画出，被挡的轮廓线用虚线画出；有尺寸要求的，标好尺寸.此外，一般情况下光画正视图，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.通过正向应用巩固所学知识.通过逆向应用培养学生空间想象能力，然后综合学生问题点拨注意事项，构建完整的知识体系培养学生严谨的思维习惯.探索新知教学简单组合体的三视图1．讨论教材P16.\n图1.2－7四个几何体的结构特征.2．画出上面（2）（3）（4）的三视图.3．总结画简单组合体三视图的基本步骤.第一步：分清几何体的结构特征.第二步：画三视图.学生回答几何体的结构特征.教师再讲明图(1)的三视图.然后学生独立完成（2）（3）（4）的三视图.师生一起归纳画简单组合体三视图的基本步骤.弄清简单组合体的结构特征是画好简单组合体三视图的关键.归纳总结1．投影法2．三视图定义及三视图基本特征3．画出三视图注意事项学生归纳后老师补充回顾、反思、归纳所学知识、培养整合知识的能力.课后练习1.2第一课时习案学生独立完成巩固知识提升能力备用例题例1画出下列空间几何体的三视图．如图是截去一角的长方体，画出它的三视图.【解析】物体三个视图的构成都是矩形，长方体截角后，截面是一个三角形，在每个视图中反映为不同的三角形，三视图为图2.例2由5个小立方块搭成的几何体，其三视图分别如下，请画出这个的几何体（正视图）(俯视图)（右视图）\n【解析】先画出几何体的正面，再侧面，然后结合俯视图完成几何体的轮廓，如图.【评析】画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚，确定一个正前方，从三个不同的角度进行观察.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分用虚线表示出来，绘制三视图.就是由客观存在的几何物体，从观察的角度，得到反应出物体形象的几何学知识.例3某建筑由相同的若干个房间组成，该楼的三视图如图所示，问：（1）该楼有几层？从前往后最多要走过几个房间？（2）最高一层的房间在什么位置？画出此楼的大致形状.【解析】（1）由主视图与左视图可知，该楼有3层.由俯视图可知，从前往后最多要经过3个房间.（2）由主视图与左视图可知，最高一层的房间在左侧的最后一排的房间.楼房大致形状如右图所示.【评析】根据三视图的特征，结合所给的视图进行逆推，考察我们的想象能力与逆向思维能力.由三视图得到相应几何体后，可以验证所得几何体的三视图与所给出的三视图是否一致.依据三视图进行逆向分析，就是用几何知识解决实际问题的一个方面.在工厂中，工人师傅都是根据零件结构设计的三视图，对零件进行加工制作.第二课时空间几何体的直观图（一）数学目标1．知识与技能（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图.（2）采用对比的方法了解在平行投影下面空间图形与在中心投影下面空间图形两种方法的各自特点.2．过程与方法学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图.\n3．情感态度与价值观（1）提高空间想象力与直观感受.（2）体会对比在学习中的作用.（3）感受几何作图在生产活动中的应用.（二）教学重点、难点重点、难点：用斜二测面法画空间几何值的直观图.（三）教学方法在以水平放置的正六边形或正六棱柱为例画直观图，通过多媒体课件的具体准确逐步演示，使学生熟练掌握并归纳斜二测画法去画直棱柱的基本步骤.教学环节数学内容师生互动设计意图创设情境三视图用三个角度的正棱影图反映空间几何体的形状和大小，我们能否将空间图形用一个平面图形来表示呢？学生讨论发现能，如教材图1.1—2如图1.1—10.师：这些平面图形既富有立体感又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，我们称这种图形为立体图形的直观图.设疑激趣点出主题探索新知1．水平放置的平面图形的直观图的画法.（1）例1用斜二测法画水平放置的正六边形的直观图.画法：（1）如图（1），在正方边开ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′=45°.（2）在图（2）中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′=AD，在y′轴上取M′N′=MN.以点N′为中点，画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；再以M′为中点，画E′F′平行于x′轴，并且等于EF.（3）连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴和y′教师用多媒体课件边演示边讲解.学生观察、思考、归纳师：从以上演示我们可以发现画一个水平放置的平面多边形直观图的关键是什么？生：确定多边形顶点的位置.师：请大家尝试归纳平面多边形直观图的基本步骤.生：①选取恰当的坐标系.②画平行线段，截取长度③依次连结各顶点成图（老师板书）师：有哪些注意事项生1：平行于x轴，y轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴.多媒体演示提高上课效率.师生互动，突破重点.\n轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′（图（3））2）斜二测画法基本步骤.（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平表示水平面.（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.生2：原图中平行于x轴的线段在直观图中保持原长度不变平行于y轴的线段长度，为原来的一半.师在连虚实线的使用等方面予以补充.2．简单几何体的直观图画法例2用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm，3cm，2cm的长方体ABCD–A′B′C′D′的直观图.画法：（1）画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴交于点O师：下面我们体会一下，用斜二测画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体ABCD、A′B′C′D′的直观图的画法.教师边演示边讲解，学生边观察，边思考，边总结.多媒体演示提高上课效率.师生互动，突破重点.\n，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.（2）画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN=4cm；在y轴上取线段PQ，使PQ=cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.（3）画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段A′A，B′B，C′C，D′D.（4）成图，顺次连接A，B，C，D，并加以整理（去掉辅助线，将被挡的部分改为虚线），就得长方体的直观图.师：请大家归纳一下，直棱柱的直观图画法.生：①画轴②画底画③画侧棱④成图师：有什么注意事项吗？生1：竖直方面保持平行关系和长度关系不变.生2：被遮的部分用虚线.3．简单组合体画法例3已知几何体的三视图说出它的结构特征，并用斜二测画法画它的直观图.画法：（1）画轴.如图(1)，画x轴、z轴，使∠xOz=90°.（2）画圆的柱的下底面.在学生讨论然后简答.生1：这个几何体是一个简单的组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆柱上底面与圆锥底面相重合.生2：我们可以先画出上部的圆锥.师给予肯定然后点拔注意事项.前后联系加强知识的系统性.\nx轴上取A，B两点，使AB的长度等于俯视图中圆的直径，且OA=OB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱下底面的作法作出圆柱的下底面.（3）在Oz上截取点O′，使OO′等于正视图中OO′的长度，过点O′作平行于轴Ox的轴O′x′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.（4）画圆锥的顶点.在Oz上截取点P，使PO′等于正视图中相应的高度.（5）成图.连接PA′、PB′，AA′，BB′，整理得到三视图表示的几何体的直观图.（如图(2)）画轴的下底面.正视图O′OOO′′O′侧视图侧视图随堂练习1．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）：（1）任意三角形；（2）平行四边形；（3）正八边形.答案：略2．判断下列结论是否正确，正确的在括号内画“√”学生独立完成巩固所学知识\n，错误的画“×”.（1）角的水平放置的直观图一定是角.（√）（2）相等的角在直观图中仍然相等.（×）（3）相等的线段在直观图中仍然相等.（×）（4）若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行.（√）3．利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三角形.②平行四边形的直观图是平行四边形.③正方形的直观图是正方形.④菱形的直观图是菱形.以上结论，正确的是（A）A．①②B．①C．③④D．①②③④4．用斜二测画法画出五棱锥P–ABCDE的直观图，其中底面ABCDE是正五边形，点P在底面的投影是正五边形的中心O（尺寸自定）.答案：略归纳总结1．平面图形斜二测画法.2．简单几何体斜二测画法.3．简单组合斜二测画法.4．注意事项.学生归纳，然后老师补充、完善前后联系加强知识的系统性作业1.2第二课时习案学生独立完成巩固知识提升能力备用例题例1用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图.【分析】先画出正五边形的图形，然后按照斜二测画法的作图步骤进行画图.\n【解析】（1）如图1所示，在已知正五边形ABCDE中，取中心O为原点，对称轴FA为y轴，对点O与y轴垂直的是x轴，分别过B、E作GB∥y轴，HE∥y轴，与x轴分别交于点G、H.画对应的轴O′x′、O′y′，使∠x′O′y′=45°.（2）如图2所示：以点O′为中点，在x′轴上取G′H′=GH，分别过G′、H′，在x′轴的上方，作G′B′∥y′轴，使G′B′=；作H′E′∥y′轴，使H′E′=；在y′轴的点O′上方取O′A′=OA，在点O′下方取O′F′=OF，并且以点F′为中点，画C′D′∥x′轴，且使C′D′=CD.（3）连结A′B′、B′C′、D′E′、E′A′，所得正五边形A′B′C′D′E′就是正五边形ABCDE的直观图，如图3所示.123【评析】在直观图中确定坐标轴上的对应点及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较好办，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作坐标轴的平行线段与坐标轴相交，先确定这些平行线段在坐标轴上的端点的对应点，再确定这些点的对应点.例2已知一个正四棱台的上底面边长为2cm，下底面边长为6cm，高为4cm.用斜二测画法画出此正四棱台的直观图.【分析】先画出上、下底面正方形的直观图，再画出整个正四棱台的直观图.【解析】（1）画轴.以底面正方形ABCD的中心为坐标原点，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.∥＝∥＝（2）画下底面.以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF=AB=6cm，在y轴上取线段GH，使得GH=AB，再过G、H分别作ABEF，CDEF，且使得CD的中点为\nH，AB的中点为G，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图.（3）画上底面.在z轴上截取线段OO1=4cm，过O1点作O1x′∥Ox、O1y′∥Oy，使∠x′O1y′=45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中重复（2）的步骤画出上底面的直观图A1B1C1D1.（3）再连结AA1、BB1、CC1、DD1，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图（图2）.【评析】用斜二测画法画空间图形的直观图时，对于图中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决：过与坐标轴不平行的线段的端点作坐标轴的平行线段，再借助于所作平行线段确定端点在直观图中的位置，有了端点在直观图中的位置，一切问题便可迎刃而解.例3如右图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O1y，A1B1∥C1D1，A1B1=C1D1=2，A1D1=O′D1=1.请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的面积.【解析】如图，建立直角坐标系xoy，在x轴上截取OD=O′D1=1，OC=O′C1=2.在过点D的y轴的平行线上截取DA=2D1A1=2.在过点A的x轴的平行线上截取AB=A1B1=2.连接BC，即得到了原图形.由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB=2，CD=\n3，直角腰长度为AD=2.所以面积为=5.【评析】给出直观图来研究原图形，逆向运用斜二测画法规则，更要求我们具有逆向思维的能力.画法关键之处同样是关键点的确定，逆向的规则为“水平长不变，垂直长增倍”，注意平行于y′轴的为垂直.第一课时柱体、锥体、台体的表面积（一）教学目标1．知识与技能（1）了解柱体、锥体与台体的表面积（不要求记忆公式）.（2）能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积.（3）培养学生空间想象能力和思维能力.2．过程与方法让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，培养转化化归能力.3．情感、态度与价值观通过学习，使学生感受到几面体表面积的求解过程，激发学生探索创新的意识，增强学习的积极性.（二）教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的表面积公式的推导与计算.难点：展开图与空间几何体的转化.（三）教学方法学导式：学生分析交流与教师引导、讲授相结合.教学环节教学内容师生互动设计意图新课导入问题：现有一棱长为1的正方体盒子AC′，一只蚂蚁从A点出发经侧面到达A′点，问这只蚂蚁走边的最短路程是多少？A′D′C′BCAB′D学生先思考讨论，然后回答.学生：将正方体沿AA′展开得到一个由四个小正方形组成的大矩形如图A′A则即所求.情境生动，激发热情教师顺势带出主题.\n师：(肯定后)这个题考查的是正方体展开图的应用，这节课，我们围绕几何体的展开图讨论几何体的表面积.\n探索新知1．空间多面体的展开图与表面积的计算.（1）探索三棱柱、三棱锥、三棱台的展开图.（2）已知棱长为a，各面均为等边三角形S–ABC(图1.3—2)，求它的表面积.解：先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交B于D，因为BC=a，∴.∴四面体S–ABC的表面积.师：在初中，我们已知学习了正方体和长方体的表面积以及它们的展开图，你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？生：相等.师：对于一个一般的多面，你会怎样求它的表面积.生：多面体的表面积就是各个面的面积之和，我们可以把它展成平面图形，利用平面图形求面积的方法求解.师：（肯定）棱柱、棱锥、棱台边是由多个平面图形围成的多面体，它们的展开图是什么？如何计算它们的体积？……生：它的表面积都等于表面积与侧面积之和.师以三棱柱、三棱锥、三棱台为例，利用多媒体设备投放它们的展开图，并肯定学生说法.师：下面让我们体会简单多面体的表面积的计算.师打出投影片、学生阅读、分析题目、整理思想.生：由于四面体S–ABC的四个面都全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面积的4倍.让学生经历几何体展开过程感知几何体的形状.推而广之，培养探索意识会\n学生分析，教师板书解答过程.\n探索新知2．圆柱、圆锥、圆台的表面积（1）圆柱、圆锥、圆台的表面积公式的推导S圆柱=2r(r+1)S圆锥=r(r+1)S圆台=(r12+r2+r1l+rl)（2）讨论圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系S圆台=(r12+r2+rl+r′l)S圆柱=2r(r+l)S圆锥=r(r+l)r=0r=1（3）例题分析例2如图所示，一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆(取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器)？分析：只要求出每一个花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面面积加上下底面面积，再减去底面圆孔的面积.解：如图所示，由圆台的表积公式得一个花盆外壁的表面积≈1000(cm2)=0.1(m2).涂100个花盆需油漆：0.1×100×100=1000(毫升).答：涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆.师：圆柱、圆锥的侧面展开图是什么？生：圆柱的侧面展开图是一个矩形，圆锥的侧面展开图是一个扇形.师：如果它们的底面半径均是r，母线长均为l，则它们的表面积是多少？师：打出投影片（教材图1.3.3和图1.3—4）生1：圆柱的底面积为，侧面面积为，因此，圆柱的表面积：生2：圆锥的底面积为，侧面积为，因此，圆锥的表面积：师：(肯定)圆台的侧面展开图是一个扇环，如果它的上、下底面半径分别为r、r′，母线长为l，则它的侧面面积类似于梯形的面积计算S侧=所以它的表面积为现在请大家研究这三个表面积公式的关系.学生讨论，教师给予适当引导最后学生归纳结论.师：下面我们共同解决一个实际问题.（师放投影片，并读题）让学生自己推导公式，加深学生对公式的认识.用联系的观点看待三者之间的关系，更加方便于学生对空间几何体的了解和掌握，灵活运用公式解决问题.\n师：本题只要求出花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量，你会怎样用它的表面积.生：花盆的表积等于花盆的侧面面积加上底面面积，再减去底面圆孔的面积.(学生分析、教师板书)\n随堂练习1．练习圆锥的表面积为acm2，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径.2．如图是一种机器零件，零件下面是六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形）形，上面是圆柱（尺寸如图，单位：mm）形.电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11kg，问电镀10000个零件需锌多少千克（结果精确到0.01kg）答案：1．m；2．1.74千克.学生独立完成归纳总结1．柱体、锥体、台体展开图及表面积公式1.2．柱体、锥体、台体表面积公式的关系.学生总结，老师补充、完善作业1.3第一课时习案学生独立完成固化知识提升能力备用例题例1直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q1，Q2，求直平行六面体的侧面积.【分析】解决本题要首先正确把握直平行六面体的结构特征，直平行六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体，它的两个对角面是矩形.【解析】如图所示，设底面边长为a，侧棱长为l，两条底面对角线的长分别为c，d，即BD=c，AC=d，则\n由（1）得，由（2）得，代入（3）得，∴，∴.∴S侧=.例2一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积.【解析】由三视图知正三棱柱的高为2mm.由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为mm.设底面边长为a，则，∴a=4.∴正三棱柱的表面积为S=S侧+2S底=3×4×2+2×(mm2).例3有一根长为10cm，底面半径是0.5cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕8圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.01cm）【解析】如图，把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形ABCD.由题意知，BC=10cm，AB=2cm，点A与点C就是铁丝的起止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.∴AC=(cm).所以，铁丝的最短长度约为27.05cm.【评析】此题关键是把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面几何问题.\n探究几何体表面上最短距离，常将几何体的表面或侧面展开，化折（曲）为直，使空间图形问题转化为平面图形问题.空间问题平面化，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.图4—3—2例4．粉碎机的下料是正四棱台形如图，它的两底面边长分别是80mm和440mm，高是200mm.计算制造这一下料斗所需铁板是多少？【分析】问题的实质是求四棱台的侧面积，欲求侧面积，需求出斜高，可在有关的直角梯形中求出斜高.【解析】如图所示，O、O1是两底面积的中心，则OO1是高，设EE1是斜高，在直角梯形OO1E1E中，EE1==∵边数n=4，两底边长a=440，a′=80，斜高h′=269.∴S正棱台侧==（mm2）答：制造这一下料斗约需铁板2.8×105mm2.第二课时柱体、锥体、台体的体积（一）教学目标1．知识与技能（1）了解几何体体积的含义，以及柱体、锥体与台体的体积公式.（不要求记忆公式）（2）熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系.（3）培养学生空间想象能力和思维能力.2．过程与方法（1）让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体之间的体积关系.（2）通过相关几何体的联系，寻找已知条件的相互转化，解决一些特殊几何体体积的计算.3．情感、态度与价值观通过柱体、锥体、台体体积公式之间的关系培养学生探索意识.（二）教学重点、难点\n重点：柱体、锥体、台体的体积计算.难点：简单组合体的体积计算.（三）教学方法讲练结合教学环节教学内容师生互动设计意图新课导入1．复习柱体、锥体、台体表面积求法及相互关系.教师设问，学生回忆师：今天我们共同学习柱体、锥体、台体的另一个重要的量：体积.复习巩固点出主题探索新知柱体、锥体、台体的体积1．柱体、锥体、台体的体积公式：V柱体=Sh(S是底面积，h为柱体高)V锥体=(S是底面积，h为锥体高)V台体=(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体的高)2．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系S=S′S=0V柱体=ShV锥体=师：我们已经学习了正方体，长方体以及圆柱的体积公式，它们的体积公式是什么？生：V=Sh(S为底面面积，h为高)师：这个公式推广到一般柱体也成立，即一般柱体体积.公式：V=Sh(S为底面面积，h为高)师：锥体包括圆锥和棱锥，锥体的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离(投影或作出).锥体的体积公式都是V=(S为底面面积，h为高)师：现在请对照柱体、锥体体积公式你发现有什么结论.生：锥体体积同底等高的柱体体积的.师：台体的结构特征是什么？柱体、锥体、台体的体积公式只要求了解，故采用讲授式效率会更高.\n生：台体是用平行于锥体底面的平面去截锥体，截得两平行平面间的部分.师：台体的体积大家可以怎样求？生：台体的体积应该等于两个锥体体积的差.师：利用这个原理我们可以得到台体的体积公式V=其中S′、S分别为上、下底面面积，Q为台体的高(即两底面之间的距离)师：现在大家计论思考一下台体体积公式与柱体、锥体的体积公式有什么关系？生：令S′=0，得到锥体体积公式.令S′=S，得到柱体体积公式.因台体的体积公式的推导需要用到后面知识，故此处不予证明，只要学生了解公式及公式的推导思路.培养探索意识，加深对空间几何体的了解和掌握.典例分析例1有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8g/cm3)六角螺帽(如图)共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12cm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个(取3.14，可用计算器)？解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即≈2956(mm3)=2.956(cm3)所以螺帽的个数为5.8×1000÷(7.8×2.956)≈252(个)师：六角螺帽表示的几何体的结构特征是什么？你准备怎样计算它的体积？生：六角螺帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.学生分析，教师板书过程.师：求组合体的表面积和体积时，要注意组合体的结构特征，避免重叠和交叉等.空间组合体的体积计算关键在于弄清它的结构特征.\n答：这堆螺帽大约有252个.典例分析例2已知等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的全面积为S，求其内接正四棱柱的体积.【解析】如图，设等边圆柱的底面半径为r，则高h=2r，∵S=S侧+2S底=2+，∴.∴内接正四棱柱的底面边长a=2rsin45°=.∴V=S底·h==4·，即圆柱的内接正四棱柱的体积为.教师投影例2并读题师：要解决此题首先要画出合适的轴截面图来帮助我们思考，要求内接正四棱柱的体积，只需求出等边圆柱的底面圆半径r，根据已知条件可以用S表示它.大家想想，这个轴截面最好选择什么位置.生：取内接正四棱柱的对角面.师：有什么好处？生：这个截面即包括圆柱的有关量，也包括正四棱柱的有关量.学生分析，教师板书过程.师：本题是正四棱柱与圆柱的相接问题.解决这类问题的关键是找到相接几何体之间的联系，如本例中正四棱柱的底面对角线的长与圆柱的底面直径相等，正四棱柱的高与圆柱的母线长相等，通过这些关系可以实现已知条件的相互转化.旋转体类组合体体积计算关键在于找好截面，找到这个截面，就能迅速搭好已知和未知的桥梁.随堂练习1．下图是一个几何体的三视图(单位：cm)，画出它的直观图，并求出它的表面积和体积.学生独立完成培养学生理解能力，空间想象能力.\n答案：2325cm2.2．正方体中，H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点，现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块体积是原正方体体积的几分之几？答案：.归纳总结1．柱体、锥体、台体的体积公式及关系.2．简单组合体体积的计算.3．等积变换学生归纳，教师补充完善.巩固所学，提高自我整合知识能力.课后作业1.3第二课时习案学生独立完成固化知识提升能力备用例题例1：三棱柱ABC–A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1:V2=7:5.【分析】不妨设V1对应的几何体AEF–A1B1C1是一个棱台，一个底面的面积与棱柱的底面积相等，另一个底面的面积等于棱柱底面的；V2对应的是一个不规则的几何体，显然这一部分的体积无法直接表示，可以考虑间接的办法，用三棱柱的体积减去V1来表示.【解析】设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V=V1+V2=Sh.∵E、F分别为AB、AC的中点∴.\n∴V1:V2=7:5.【评析】本题求不规则的几何体C1B1—EBCF的体积时，是通过计算棱柱ABC—A1B1C1和棱台AEF—A1B1C1的体积的差来求得的.例2：一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的一个圆锥形铅锤，当铅锤从中取出后，杯里的水将下降几厘米？(=3.14)【解析】因为圆锥形铅锤的体积为(cm3)设水面下降的高底为x，则小圆柱的体积为(20÷2)2x=100x(cm3)所以有60=100x，解此方程得x=0.6(cm).答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6cm.第三课时球的表面积与体积（一）教学目标1．知识与技能（1）了解球的表面积与体积公式（不要求记忆公式）.（2）培养学生空间想象能力和思维能力.2．过程与方法通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系.3．情感、态度与价值让学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学生学习的兴趣.（二）教学重点、难点重点：球的表面积与体积的计算难点：简单组合体的体积计算（三）教学方法讲练结合教学过程教学内容师生互动设计意图新课引入复习柱体、锥体、台体的表面积和体积，点出主题.师生共同复习，教师点出点题（板书）复习巩固探索新知1．球的体积：师：设球的半径为R\n2．球的表面积：，那么它的体积：，它的面积现在请大家观察这两个公式，思考它们都有什么特点？生：这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R惟一确定.其中球的体积是半径R的三次函数，球的表面积是半径R的二次函数.师(肯定)：球的体积公式和球的表面积公式以后可以证明.这节课主要学习它们的应用.加强对公式的认识培养学生理解能力典例分析例1如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：（1）球的体积等于圆柱体积的；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.证明：（1）设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R，高为2R.因为，，所以，.（2）因为，，所以，S球=S圆柱侧.例2教师投影例1并读题，学生先独立完成.教师投影答案并点评（本题联系各有关量的关键性要素是球的半径）教师投影例2并读题，师：请大家思考一下这道题中组合体的结构特征.生：球内切于圆台.本题较易，学生独立完成，有利于培养学生问题解决的能力.\n球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3:4，则球的体积与圆台的体积之比为（）A．6:13B．5:14C．3:4D．7:15【解析】如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD，球的大圆O内切于梯形ABCD.设球的半径为R，圆台的上、下底面半径分别为r1、r2，由平面几何知识知，圆台的高为2R，母线长为r1+r2.∵∠AOB=90°，OE⊥AB(E为切点)，∴R2=OE2=AE·BE=r1·r2.由已知S球∶S圆台侧=4R2∶(r1+r2)2=3∶4(r1+r2)2=V球∶V圆台==故选A.例3在球面上有四个点P、师：你准备怎样研究这个组合体？生：画出球和圆台的轴截面.师：圆台的高与球的哪一个量相等？生：球的直径.师：根据球和圆台的体积公式，你认为本题解题关键是什么？生：求出球的半径与圆台的上、下底面半径间的关系.师投影轴截面图，边分析边板书有关过程.师：简单几何体的切接问题，包括简单几何体的内外切和内外接，在解决这类问题时要准确地画出它们的图形，一般要通过一些特殊点，如切点，某些顶点，或一些特殊的线，如轴线或高线等，作几何体的截面，在截面上运用平面几何的知识，研究有关元素的位置关系和数量关系，进而把问题解决.通过师生讨论，突破问题解决的关键，培养学生空间想象能力和问题解决的能力.\nA、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA=PB=PC=a，求这个球的体积.解：∵PA、PB、PC两两垂直，PA=PB=PC=a.∴以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体.又∵P、A、B、C四点是球面上四点，∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径.∴.∴教师投影例3并读题，学生先思考、讨论，教师视情况控制时间，给予引导，最后由学生分析，教师板书有关过程.师：计算球的体积，首先必须先求出球的半径.由于PA、PB、PC是两两垂直的而且相等的三条棱，所以P–ABC可以看成一个正方体的一角，四点P、A、B、C在球上，所以此球可视为PA、PB、PC为相邻三条棱的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线.本题有两种解题方法，此处采用构造法解题，目标培养学生联想，转化化归的能力.另一种方法，因要应用球的性质，可在以后讨论.随堂练习1．（1）将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的几倍？（2）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是acm，求球的体积.（3）一个球的体积是100cm2，试计算它的表面积(取3.14，结果精确到1cm2，可用计算器).参考答案：1．（1）8倍；（2）（3）104.学生独立完成巩固所学知识归纳总结1．球的体积和表面积2．等积变换3．轴截面的应用学生独立思考、归纳，然后师生共同交流、完善归纳知识，提高学生自我整合知识的能力.\n课后作业1.3第三课时习案学生独立完成固化练习提升能力备用例题例1．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，求球面面积与球的体积．【分析】可以用球的截面性质。即截面小圆的圆心到球心的线段垂直于截面小圆平面．【解析】如图，设球心为O，球半径为R，作OO1⊥平面ABC于O1，由于OA=OB=OC=R，则O1是△ABC的外心．设M是AB的中点，由于AC=BC，则O1∈CM．设O1M=x，易知O1M⊥AB，则O1A=，O1C=CM–O1M=–x又O1A=O1C∴．解得则O1A=O1B=O1C=．在Rt△OO1A中，O1O=，∠OO1A=90°，OA=R，由勾股定理得．解得．故．图4—3—9例2．如图所示棱锥P–ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC=，且PD是四棱锥的高．（1）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径；（2）求四棱锥外接球的半径．【分析】（1）当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球心到各个面的距离均相等，联想到用体积分割法求解．（2）四棱锥的外接球的球心到P、A、B、C、D\n五点的距离均为半径，只要找出球心的位置即可．球心O在过底面中心E且垂直于底面的垂线上．【解析】（1）设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连结SA、SB、SC、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R．，，，S□ABCD=a2．VP–ABCD=VS–PDA+VS–PDC+VS–ABCD+VS–PAB+Vs–PBC，，BACDPF图4—3—10，所以，，即球的最大半径为．（2）法一：设PB的中点为F．因为在Rt△PDB中，FP=FB=FD，在Rt△PAB中，FA=FP=FB，在Rt△PBC中，FP=FB=FC，所以FP=FB=FA=FC=FD．所以F为四棱锥外接球的球心，则FP为外接球的半径．法二：球心O在如图EF上，设OE=x，EA=，又\n即球心O在PB中点F上．【评析】方法二为求多面体（底面正多面边形）外接球半径的通法；求多面体内切球半径经常采用体积分割求和方法．第一课时平面（一）教学目标1．知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力.2．过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识.3．情感、态度与价值观使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.（二）教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.难点：平面基本性质的掌握与运用.（三）教学方法师生共同讨论法教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入日常生活中有哪些东西给我们以平面的形象？师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面，平静的湖面等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多的例子吗？引导学生观察、思考、举例和相交交流，教师对学生活动给予评价，点出主题.培养学生感性认识探索新知1．平面的概念随堂练习\n判定下列命题是否正确：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50m，宽是20m；④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念.师：刚才大家所讲的一些物体都给我们以平面的印象，几何里所说的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是向四周无限伸展的，现在请大家判定下列命题是否正确？生：平面是没有厚度，无限延展的；所以①②③错误；④正确.加深学生对平面概念的理解.探索新知2．平面的画法及表示（1）平面的画法通常我们把水平的平面画成平行四边形，用平行四边形表示平面，其中平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住.我们常把被遮挡的部分用垂线画出来.（2）平面的表示法1：平面，平面.法2：平面ABCD，平面AC或平面BD.（3）点与平面的关系平面内有无数个点，平面可看成点的集合.点A在平面内，记作：A.点B在平面外，记作：B.师：在平面几何中，怎样画直线？(一学生上黑板画)师：这位同学画的实质上是直线的部分，通过想象两端无限延伸而认为是一条直线，仿照直线的画法，我们可以怎样画一个平面？生：画出平面的一部分，加以想象，四周无限延展，来表示平面.师：大家画一下.学生动手画平面，将有代表性的画在黑板上，教师给予点评，并指出一般画法及注意事项(作图)加深学生对平面概念的理解，培养学生知识迁移能力，空间想象能力和发散思想能力.探索新知3．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（1）公理1的图形如图（2）符号表示为：师：我们下面学习平面的基本性质的三个公理.所谓公理，就是不必证明而直接被承认的真命题，它们是进一步推理的出发点和根据.先研究下列问题：将直线上的一点固定在平面上，调整直线上另一点的位置，观察其变化，指出直线在何时落在平面内.通过实验，培养学生观察、归纳能力.加深学生对公理的理解与记忆.\n（3）公理1的作用：判断直线是否在平面内.公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面.（1）公理2的图形如图（2）符号表示为：C直线AB存在惟一的平面，使得注意：（1）公理中“有且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形惟一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面.“有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面.”（2）过A、B、C三点的平面可记作“平面ABC”生：当直线上两点在一个平面内时，这条直线落在平面内.师：这处结论就是我们要讨论的公理1（板书）师：从集合的角度看，公理1就是说，如果一条直线（点集）中有两个元素（点）属于一个平面（点集），那么这条直线就是这个平面的真子集.直线是由无数个点组成的集合，点P在直线l上，记作P∈l；点P在直线l外，记作Pl；如果直线l上所有的点都在平面内，就说直线l在平面内，或者说平面经过直线l，记作l，否则就说直线l在平面外，记作.下面请同学们用符号表示公理1.学生板书，教师点评并完善.大家回忆一下几点可以确定一条直线生：两点可确定一条直线.师：那么几点可以确定上个平面呢？学生思考，讨论然后回答.生1：三点可确定一个平面师：不需要附加条件吗？生2：还需要三点不共线师：这个结论就是我们要讨论的公理2加强学生对知识的理解，培养学生语言（符号图形）的表达能力.\n公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（1）公理3的图形如图（2）符号表示为：（3）公理3作用：判断两个平面是否相交.师投影公理2图示与符号表示，分析注意事项.师：下面请同学们观察教室的天花板与前面的墙壁，思考这两个平面的公共点有多少个？它们有什么特点.生：这两个平面的无穷多个公共点，且所有这些公共点都在一条直线上.师：我们把这条直线称为这两个平面的公共直线.事实上，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（板书）这就是我们要学的公理3.学生在观察、实验讨论中得出正确结论，加深了对知识的理解，还培养了他们思维的严谨性.典例分析例1如图，用符号表示下图图形中点、直线、平面之间的位置关系.分析：根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.解：在（1）中，，，.在（2）中，，，，，.学生先独立完成，让两个学生上黑板，师生给予点评巩固所学知识随堂练习1．下列命题正确的是（）A．经过三点确定一个平面学生独立完成答案：1．D\nB．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面2．（1）不共面的四点可以确定几个平面？（2）共点的三条直线可以确定几个平面？3．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.（1）平面与平面相交，它们只有有限个公共点.（）（2）经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.（）（3）经过两条相交直线，有且只有一个平面.（）（4）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合.（）4．用符号表示下列语句，并画出相应的图形：（1）点A在平面内，但点B在平面外；（2）直线a经过平面外的一点M；（3）直线a既在平面内，又在平面内.2．（1）不共面的四点可确定4个平面.（2）共点的三条直线可确定一个或3个平面.3．（1）×（2）√（3）√（4）√4．（1）A，B.（2）M，M.（3）a，a.巩固所学知识归纳总结1．平面的概念，画法及表示方法.2．平面的性质及其作用3．符号表示4．注意事项学生归纳、总结教学、补充完善.\n回顾、反思、归纳知识，提升自我整合知识的能力，培养思维严谨性固化知识，提升能力.课后作业2.1第一课时习案学生独立完成备选例题例1已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．证明1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A，但AÏd，如图1．∴直线d和A确定一个平面α．又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，αbadcGFEAabcdαHK图1图2则A，E，F，G∈α．∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα．同理可证bα，cα．∴a，b，c，d在同一平面α内．2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2．∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α．又H，K∈c，∴c,则cα．同理可证dα．∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．例2正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，求证：点C1、O、M共线.\nMOB1C1D1A1DCBA分析：要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可.解答：如图所示A1A∥C1C确定平面A1CO∈平面A1CA1C平面A1C又O∈A1C平面BC1D∩直线A1C=OO∈平面BC1DO在平面A1C与平面BC1D的交线上.AC∩BD=MM∈平面BC1D且M∈平面A1C平面BC1D∩平面A1C=C1MO∈C1M，即O、C1、M三点共线.评析：证明点共线的问题，一般转化为证明这些点同是某两个平面的公共点.这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上.第二课时空间中直线与直线之间的位置关系（一）教学目标1．知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角公理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。2．过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3．情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.（二）教学重点、难点重点：1、异面直线的概念；2、公理4及等角定理.难点：异面直线所成角的计算.\n（三）教学方法师生的共同讨论与讲授法相结合；教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入问题：在同一平面内，两条直线有几种位置关系？空间的两条直线还有没有其他位置关系？师投影问题，学生讨论回答生1：在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行与相交.生2：空间的两条直线除平行与相交外还有其他位置关系，如教室里的电灯线与墙角线……师（肯定）：这种位置关系我们把它称为异面直线，这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系.以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的积极性.探索新知相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点1．空间的两条直线位置关系：共面直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.师：根据刚才的分析，空间的两条直线的位置关系有以下三种：①相交直线—有且仅有一个公共点②平行直线—在同一平面内，没有公共点.③异面直线—不同在任何一个平面内，没有公共点.随堂练习：如图所示P50-16是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有对.答案：现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类生：按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：一类是平行直线和相交直线，它们是共面直线.一类是异面直线，它们不同在任何一个平面内.师（肯定）所以异面直线的特征可说成“既不平行，也不相交”那么“不同在任何一个平面内”是否可改为“培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直线位置关系的理解\n4对，分别是HG与EF，AB与CD，AB与EF，AB与HG.不在一个平面内呢”学生讨论发现不能去掉“任何”师：“不同在任何一个平面内”可以理解为“不存在一个平面，使两异面直线在该平面内”（1）公理4，平行于同一条直线的两条直线互相平行（2）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补例2如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.证明：连接BD，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且.同理FG∥BD，且.因为EH∥FG，且EH=FG，所以四边形EFGH为平行四边形.师：现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.师：我们把上述规律作为本章的第4个公理.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.师：现在请大家思考公理4是否可以推广，它有什么作用.生：推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行.它可以用来证明两条直线平行.师（肯定）下面我们来看一个例子观察图，在长方体ABCD–A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：从图中可以看出，∠ADC=∠A′D′C′，∠ADC+∠A′B′C′=180°师：一般地，有以下定理：……培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.通过分析和引导，培养学生解题能力.\n这个定理可以用公理4证明，是公理4的一个推广，我们把它称为等角定理.师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.师：在图中EH、FG有怎样的特点？它们有直接的联系吗？引导学生找出证明思路.探索新知3．异面直线所成的角（1）异面直线所成角的概念.已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).（2）异面直线互相垂直如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a、b，记作a⊥b.例3如图，已知正方体ABCD–A′B′C′D′.（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？（3）哪此棱所在的直线与直线AA′垂直？解：（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.（2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线B′A与CC师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分析，得出如下结论.①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；②两条异面直线所成的角；③因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上；④找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；⑤当两条异面直线所成的角是直线时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a和b互相垂直，也记作a⊥b；⑥以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.加深对平面直线所成角的理解，培养空间想象能图力和转化化归以能力.\n′的夹角，∠B′BA′=45°.（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.然后师生共同分析例题随堂练习1．填空题：（1）如图，AA′是长方体的一条棱，长方体中与AA′平行的棱共有条.（2）如果OA∥O′A′，OB∥O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′.答案：（1）3条.分别是BB′，CC′，DD′；（2）相等或互补.2．如图，已知长方体ABCD–A′B′C′D′中，AB=，AD=，AA′=2.（1）BC和A′C′所成的角是多少度？（2）AA′和BC′所成的角是多少度？学生独立完成答案：.2．（1）因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角.在Rt△A′B′C′中，A′B′=，B′C′=，所以∠B′C′A′=45°.（2）因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BB′所成的角.在Rt△BB′C′中，B′C′=AD=，BB′=AA′=2，所以BC′=4，∠B′BC′=60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.归纳总结1．空间中两条直线的位置关系.2．平行公理及等角定理.3．异面直线所成的角.学生归纳，教师点评并完善培养学生归纳总结能力，加深学生对知识的掌握，完善学生知识结构.\n作业2.1第二课时习案学生独立完成固化知识提升能力附加例题例1“a、b为异面直线”是指：①a∩b=，且a∥b；②a面，b面，且a∩b=；③a面，b面，且∩=；④a面，b面；⑤不存在面，使a面，b面成立.上述结论中，正确的是（）A．①④⑤正确B．①③④正确C．仅②④正确D．仅①⑤正确【解析】①等价于a和b既不相交，又不平行，故a、b是异面直线；②等价于a、b不同在同一平面内，故a、b是异面直线.故选D例2如果异面直线a与b所成角为50°，P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有条.abAa′b′OPA′B′【解析】如图所示，过定点P作a、b的平行线a′、b′，因a、b成50°角，∴a′与b′也成50°角.过P作∠A′PB′的平分线，取较小的角有∠A′PO=∠B′PO=25°.∵∠APA′＞A′PO，∴过P作直线l与a′、b′成30°角的直线有2条.例3空间四边形ABCD，已知AD=1，BD=，且AD⊥BC，对角线BD=，AC=，求AC和BD所成的角。\n【解析】取AB、AD、DC、BD中点为E、F、G、M，连EF、FG、GM、ME、EG.∥＝∥＝则MGEM∵AD⊥BC∴EM⊥MG在Rt△EMG中，有在RFG中，∵EF=∴EF2+FG2=EG2∴EF⊥FG，即AC⊥BD∴AC和BD所成角为90°.【点评】根据异面直线成角的定义，异面直线所成角的求法通常采用平移直线，转化为相交直线所成角，注意角的范围是.第三课时空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系（一）教学目标1．知识与技能（1）了解空间中直线与平面的位置关系；（2）了解空间中平面与平面的位置关系；（3）培养学生的空间想象能力.2．过程与方法（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.（二）教学重点、难点重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系.难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系.\n（三）教学方法借助实物，让学生观察事物、思考等，讲练结合，较好地完成本节课的教学目标.教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入问题1：空间中直线和直线有几种位置关系？问题2：一支笔所在的直线和一个作业本所在平面有几种位置关系？生1：平行、相交、异面生2：有三种位置关系：（1）直线在平面内（2）直线与平面相交（3）直线与平面平行师肯定并板书，点出主题.复习回顾，探索求真，激发学习兴趣.探索新知1．直线与平面的位置关系.（1）直线在平面内——有无数个公共点.（2）直线与平面相交——有且仅有一个公共点.（3）直线在平面平行——没有公共点.其中直线与平面相交或平行的情况，统称为直线在平面外，记作a.直线a在面内的符号语言是a.图形语言是：直线a与面相交的a∩=A.图形语言是符号语言是：直线a与面平行的符号语言是a∥.图形语言是：师：有谁能讲出这三种位置有什么特点吗？生：直线在平面内时二者有无数个公共点.直线与平面相交时，二者有且仅有一个公共点.直线与平面平行时，三者没有公共点（师板书）师：我们把直线与平面相交或直线与平面平行的情况统称为直线在平面外.师：直线与平面的三种位置关系的图形语言、符号语言各是怎样的？谁来画图表示一个和书写一下.学生上台画图表示.师；好.应该注意：画直线在平面内时，要把直线画在表示平面的平行四边形内；画直线在平面外时，应把直线或它的一部分画在表示平面的平行四边形外.加强对知识的理解培养，自觉钻研的学习习惯.数形结合，加深理解.探索新知2．平面与平面的位置关系\n（1）问题1：拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？（2）问题2：如图所示，围成长方体ABCD–A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？（2）平面与平面的位置关系平面与平面平行——没有公共点.平面与平面相交——有且只有一条公共直线.平面与平面平行的符号语言是∥.图形语言是：师：下面请同学们思考以下两个问题（投影）生：平行、相交.师：它们有什么特点？生：两个平面平行时二者没有公共点，两个平面相交时，二者有且仅有一条公共直线（师板书）师：下面请同学们用图形和符号把平面和平面的位置关系表示出来……师：下面我们来看几个例子（投影例1）通过类比探索，培养学生知识迁移能力.加强知识的系统性.典例分析例1下列命题中正确的个数是（B）①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥.②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行.③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线没有公共点.A．0B．1C．2D．3例2已知平面∥，直线学生先独立完成，然后讨论、共同研究，得出答案.教师利用投影仪给出示范.师解：如图，我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；A1B1∥AB，A1B1例1\na，求证a∥.证明：假设a∥，则a在内或a与相交.∴a与有公共点.又a.∴a与有公共点，与面∥面矛盾.∴∥.所在直线平行于平面ABCD，但直线AB平面ABCD，所以命题③不正确；l与平面平行，则l与无公共点，l与平面内所有直线都没有公共点，所以命题④正确，应选B.师投影例2，并读题，先学生尝试证明，发现正面证明并不容易，然后教师给予引导，共同完成，并归纳反证法步骤和线面平行、面面平行的理解.教师通过示范传授学生一个通过模型来研究问题的方法，同时加深对概念的理解.例2目标训练学生思维的灵活，并加深对面面平行、线面平行的理解.随堂练习1．如图，试根据下列条要求，把被遮挡的部分改为虚线：（1）AB没有被平面遮挡；（2）AB被平面遮挡.答案：略2．已知，，直线a，b，且∥，a，a，则直线a与直线b具有怎样的位置关系？答案：平行或异面3．如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.答案：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条.4．空间的三个平面的位置关系有几种情形？请画图表示所有情形.答案：5种图略学生独立完成培养识图能力，探索意识和思维的严谨性.归纳总结\n1．直线与平面、平面与平面的位置关系.2．“正难到反”数学思想与反证法解题步骤.3．“分类讨论”数学思想学生归纳总结、教师给予点拨、完善并板书.培养学生归纳整合知识能力，培养学生思维的灵活性与严谨性.作业2.1第一课时习案学生独立完成固化知识提升能力备用例题例1　直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．任意一条直线都不相交D．无数条直线都不相交【解析】直线与平面平行，那么直线与平面内的任意直线都不相交，反之亦然；故应选C.例2　“平面内有无穷条直线都和直线l平行”是“”的（）.A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【解析】如果直线在平面内，直线可能与平面内的无穷条直线都平行，但直线不与平面平行，应选B.例3求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内.已知：l∥，点P∈，P∈m，m∥l求证：.证明：设l与P确定的平面为，且=m′，则l∥m′.\n又知l∥m，，由平行公理可知，m与m′重合.所以.第一课时直线与平面平行、平面与平面平行的判定（一）教学目标1．知识与技能（1）理解并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理；（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；2．过程与方法学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理.3．情感、态度与价值观（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；（2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想.（二）教学重点、难点重点、难点：直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理及应用.（三）教学方法借助实物，让学生通过观察、思考、交流、讨论等理解判定定理，教师给予适当的引导、点拔.教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入1．直线和平面平行的重要性2．问题（1）怎样判定直线与平面平行呢？（2）如图，直线a与平面平行吗？教师讲述直线和平面的重要性并提出问题：怎样判定直线与平面平行？生：直线和平面没有公共点.师：如图，直线和平面平行吗？生：不好判定.师：直线与平面平行，可以直接用定义来检验，但“没有公共点”复习巩固点出主题\n不好验证所以我们来寻找比较实用又便于验证的判定定理.探索新知一．直线和平面平行的判定1．问题2：如图，将一本书平放在桌面上，翻动收的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？2．问题3：如图，如果在平面内有直线b与直线a平行，那么直线a与平面的位置关系如何？是否可以保证直线a与平面平行？2．直线和平面平行的判定定理.平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.符号表示：教师做实验，学生观察并思考问题.生：平行师：问题2与问题1有什么区别？生：问题2增加了条件：平面外.直线平行于平面内直线.师投影问题3，学生讨论、交流教师引导，要讨论直线a与平面有没有公共点，可转化为下面两个问题：（1）这两条直线是否共面？（2）直线a与平面是否相交？生1：直线a∥直线b，所以a、b共面.生2：设a、b确定一个平面，且，则A为的公共点，又b为面的公共直线，所以A∈b，即a=A，但a∥b矛盾∴直线a与平面不相交.师：根据刚才分析，我们得出以下定理………师：定理告诉我们，可以通过直线间的平行，推证直线与平面平行.这是处理空间位置关系一种常用方法，即将直线与平面平行关系（空间问题）转化为直线间平行关系（平面问题）.通过实验，加深理解.通过讨论，培养学生分析问题的能力.画龙点睛，加深对知识理解完善知识结构.典例分析例1已知：空间四边形ABCD，E、F分别是AB、AD师：下面我们来看一个例子（投影例1）师：EF在面BCD\n的中点.求证EF∥平面BCD.证明：连结BD.在△ABD中，因为E、F分别是AB、AD的中点，所以EF∥BD.又因为BD是平面ABD与平面BCD的交线，平面BCD，所以EF∥平面BCD.外，要证EF∥面BCD，只要证明EF与面BCD内一条直线平行即可，EF与面BCD内哪一条直线平行？生：连结BD，BD即所求师：你能证明吗？学生分析，教师板书启发学生思维，培养学生运用知识分析问题、解决问题的能力.探索新知二．平面与平面平行的判定例2给定下列条件①两个平面不相交②两个平面没有公共点③一个平面内所有直线都平行于另一个平面④一个平面内有一条直线平行于另一个平面⑤一个平面内有两条直线平行于另一个平面以上条件能判断两个平面平行的有①②③2．平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行符号表示：教师投影例2并读题，学生先独立思考，再讨论最后回答.生：由两个平面的位置关系知①正确；由两个平面平行的定义知②③正确；两个平面相交，其中一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，故④⑤错误，选①②③师（表扬），如果将条件⑤改为两条相交直线呢？如图，借助长方体模型，平面ABCD内两条相交直线AC，BD分别与平面A′B′C′D′内两条相交直线A′C′，B′D′平行，由直线与平面平行的判定定理可知，这两条直交直线AC，BD都与平面A′B′C′D′平行.此时，平面ABCD平行于平面A′B′C′D′.一方面复习巩固已学知识，另一方面通过开放性题目培养学生探索知识的积极性.借助模型解决，一方面起到示范作用，另一方面给学生直观感受，有利定理的掌握.典例分析例3已知正方体ABCD–A1B1C1D1证：平面AB1D1∥平面教师投影例题3，并读题\nC1BD.证明：因为ABCD–A1B1C1D1为正方体，所以D1C1∥A1B1，D1C1=A1B1又AB∥A1B1，AB=A1B1所以D1C1BA为平行四边形.所以D1A∥C1B.又平面C1BD，平面C1BD由直线与平面平行的判定定理得D1A∥平面C1BD同理D1B1∥平面C1BD又所以平面AB1D1∥平面C1BD.点评：线线平行线面平行面面平行.师：根据面面平行的判定定理，结论可转化为证面AB1D内有两条相交直线平行于面C1BD，不妨取直线D1A、D1B1，而要证D1A∥面C1BD，证AD1∥BC1即可，怎样证明？学生分析，老师板书，然后师生共同归纳总结.巩固知识，培养学生转化化归能力随堂练习1．如图，长方体ABCD–A′B′C′D′中，（1）与AB平行的平面是.（2）与AA′平行的平面是.（3）与AD平行的平面是.2．如图，正方体，E为DD1的中点，试判断BD1与平面AEC的位置关系并说明理由.3．学生独立完成答案：1．（1）面A′B′C′D′，面CC′DD′；（2）面DD′C′C，面BB′C′C；（3）面A′D′B′C′，面BB′C′C.2．直线BD1∥面AEC.3．（1）命题不正确；（2）命题正确.4．提示：容易证明MN∥EF，NA∥EB，进而可证平面AMN∥平面EFDB.5．D巩固所学知识\n判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的举例说明：（1）已知平面，和直线m，n，若则；（2）一个平面内两条不平行直线都平行于另一平面，则；4．如图，正方体ABCD–A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点.求证：平面AMN∥平面EFDB.5．平面与平面平行的条件可以是（）A．内有无穷多条直线都与平行.B．直线a∥，a∥，E且直线a不在内，也不在内.C．直线，直线，且a∥，b∥D．内的任何直线都与平行.归纳总结1．直线与平面平行的判定2．平面与平面平行的判定3．面面平行线面平行线线平行4．借助模型理解与解题学生归纳、总结、教师点评完善反思、归纳所学知识，提高自我整合知识的能力.作业2.2第一课时习案学生独立完成固化知识提升能力备选例题\n例1在正方体ABCD–A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BB1D1D．【证明】连接AC交BD于O，连接OE，则OE∥DC，OE=．∵DC∥D1C1，DC=D1C1，F为D1C1的中点，∴OE∥D1F，OE=D1F，四边形D1FEO为平行四边形．∴EF∥D1O．又∵EF平面BB1D1D，D1O平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D．例2已知四棱锥P–ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M、N、Q分别在PA、BD、PD上，且PM:MA=BN:ND=PQ:QD．求证：平面MNQ∥平面PBC．【证明】∵PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.∴MQ∥AD，NQ∥BP，而BP平面PBC，NQ平面PBC，∴NQ∥平面PBC．又∵ABCD为平行四边形，BC∥AD，∴MQ∥BC，而BC平面PBC，MQ平面PBC，∴MQ∥平面PBC．由MQ∩NQ=Q，根据平面与平面平行的判定定理，∴平面MNQ∥平面PBC．【评析】由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行．一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行．\n第二课时直线与平面平行的性质（一）教学目标1．知识与技能掌握直线与平面平行的性质定理及其应用.2．过程与方法学生通过观察与类比，借助实物模型性质及其应用.3．情感、态度与价值观（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力.（2）进一步体会类比的作用.（3）进一步渗透等价转化的思想.（二）教学重点、难点重点：直线和平面平行的性质.难点：性质定理的证明与灵活运用.（三）教学方法讲练结合教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入1．直线与平面平行的判定定理2．直线与平面的位置关系3．思考：如果直线和平面平行、那么这条直线与这个平面内的直线是有什么位置关系？投影幻灯片，师生共同复习，并讨论思考题.复习巩固探索新知直线与平面平行的性质1．思考题：一条直线与一个平面平行，那么在什么条件下，平面内的直线与这条直线平行？2．例1如图a∥a，=b.求证：a∥b.证明：因为=b，所以.因为a∥，所以a与b师：投影问题，学生回答.生：当平面内的直线与这条直线共面时两条直线平行.师：为什么？生：由条件知两条直线没有公共点，如果它们共面，那么它们一定平行.师投影例1并读题，学生分析，教师板书，得出定理.通过讨论板书加深对知识的理解.培养学生书写的能力.\n无公共点.又因为，所以a∥b.3．定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简证为：线面平行则线线平行.符号表示：师：直线与平面平行的性质定理揭示了直线与平面平行中蕴含直线与直线平行.通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的重要方法.典例剖析例2如图所示的一块林料中，棱BC平行平面A′C′.（1）要经过面A′C′内一的点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？（2）所画的线与平面AC是什么位置关系？解：（1）如图，在平面A′C′，过点P作直线EF，使EF∥B′C′，并分别交棱A′B′，C′D′于点E，F.连接BE，CF.则EF、BE、CF就是应画的线.（2）因为棱BC平行于平面A′C′，平面BC′与平面A′C′交于B′C′，所以，BC∥B′C′.由（1）知，EF∥BC，因此师投影例2并读题，学生思考.师分析：经过木料表面A′C′内一点P和棱BC将木锯开，实际上是经过BC及BC外一点P作截面，也就是作出平面与平面的交线，现在请大家思考截面与平面A′C′的交线EF与BC的位置关系如何？怎样作？生：由直线与平面平行的性质定理知BC∥EF，又BC∥B′C′，故只须过点P作EF∥B′C′即可.教师板书第一问，学生完成第二问，教师给予点评.巩固所学知识培养学生空间想象能力，转化化归能力及书写表达能力.\n.BE、CF显然都与平面AC相交.例题剖析例3已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面.如图，已知直线a、b，平面，且a∥b，a∥，a、b都在平面外.求证：b∥证明：过a作平面，使它与平面相交，交线为c.因为a∥，，=c，所以a∥c因为a∥b，所以b∥c又因为，所以b∥.教师投影例3并读题，师生共同画出图形，写出已知，求证.师：要证，可转证什么问题.生：转证直线b与平面内的一条直线平行.师：但这种直线在已知图线中不存在，怎么办呢？生：利用条件，先作一平面与相交c，则a与交线c平行，又a∥b∴b∥c师表扬，并共同完成板书过程巩固所学知识培养学生空间想象能力，转化化归能力及书写表达能力.随堂练习1．如图，正方体的棱长是a，C，D分别是两条棱的中点.（1）证明四边形ABCD（图中阴影部分）是一个梯形；（2）求四边形ABCD的面积.2．如图，平面两两相交，a，b，c为三条交线，且a∥b.那么，a与c，b与c有什么关系？为什么？学生独立完成1．答案：（1）如图，CD∥EF，EF∥AB，CD∥AB.又CD≠AB，所以四边形ABCD是梯形.（2）2．答案：因为且a∥b，由，得；又得a∥c，所以a∥b∥c.巩固所学知识\n归纳总结判定定理性质定理1．线线平行线面平行2．在学习性质定时注意事项学生归纳后教师总结完善构建知识系统思维的严谨性.课后作业2.2第二课时习案学生独立完成提高知识整合能力备选例题例1如图，a∥，A是另一侧的点，B、C、D∈a，线段AB、AC、AD交a于E、F、G点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.解：∴A、a确定一个平面，设为.∵B∈a，∴B∈，又A∈，∴AB同理∵点A与直线a在的异侧∴与相交，∴面ABD与面相交，交线为EG∵BD∥，BD面BAD，面BAD=EG∴BD∥EG，∴△AEG∽△ABD.∴ (相似三角形对应线段成比例)∴.第三课时平面与平面平行的性质一、教学目标：1、知识与技能掌握两个平面平行的性质定理及其应用2、过程与方法学生通过观察与类比，借助实物模型理解及其应用3、情感、态度与价值观（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力；（2）进一步体会类比的作用；（3）进一步渗透等价转化的思想。二、教学重点、难点\n重点：平面与平面平等的性质定理难点：平面与平面平等的运用三、教学方法讲录结合教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入1．直线和平面平行的性质2．平面和平面平行的性质3．线线平等线面平行→面面平行师生共同复习.教师点出主题.复习巩固探索新知平面和平面平行的性质1．思考：（1）两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个面具有什么关系？（2）两个平面平行，其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么关系？（2）两个平面平行，其中一个平面内的直线与另一平面内的直线在什么条件下不平行？2．例1如图，已知平面，，满足，，，证：a∥b.证明：因为，，所以，.又因为，所以a、b没有公共点，又因为a、b同在平面内，所以a∥b.3．定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.师：请同学们思考：两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一面具有什么关系？生：借助长方体模型可以发现，若平面AC和平面A′C′平行，则两面无公共点，那么出就意味着平面AC内任一直线BD和平面A′C′也无公共点，即直线BD和平面A′C′平行.师：用式子可表示为，.用语言表述就是：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一平面.（板书）生：由问题知直线BD与平面A′C′平行.BD与平面A′C′没有公共点.也就是说，BD与平面A′C′内的所有直线没有公共点.因此，直线BD与平面A′C′内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线.生：由问题2知要两条直线平行，只要他们共面即可.师：我们把刚才这个结论用符号表示，即是例5的证明.新教材常常要将面面平行转化为线面平行讨论，但没有给出结论，故补充，只是不作太多强调.加深对知识的理解\n上述定理告诉我们，可以由平面与平面平行得出直线与直线平行.师生共同完成并得出性质定理.师引导学生得出结论：两个平行平面的判定定理与性质定理的作用，要害都集中在“平行”二字上，判定定理解决的问题是：在什么样的条件下两个平面平行.性质定理说明的问题是：在什么样的条件下两条直线平行，前者给出了判定两个平面平行的一种方法，后者给出了判定两条直线平行的一种方法.师下面以例题说明性质定理在解决问题时作用.典例分析例2夹在两个平行平面间的平行线段相等，如图∥，AB∥CD，且A∈，C∈，B∈，D∈，求证：AB=CD.证明：如图，AB∥CD，AB、CD确定一个平面，例3如图，已知平面，AB、CD是异面直线，且AB分别交于A、B两点，CD分别交于C、D两点.M、N分别在AB、CD上，且.求证：MN∥师投影例2并读题，学生写出已知求证并作图（师投影）师生共同讨论，边分析边板书.师：要证两线段相等，已知给的条件又是平行关系，那么证两线段所在四边形是平行四边形，进而说明两线段相等是解决问题常选用的一条途径.师投影例3并读题分析：满足怎样的条件的直线与平面平行（线线平行或面面平），我们能在平面内找到一条直线与MN平行吗？能找一个过MN且与平行的平面吗？这样的直线和平面有何特征！证明二：利用过MN的平面AMN在平面找与MN平行的直线（如图）巩固所学知识，培养学生书写表达能力和分析问题解决问题的能力.构建知识体系，培养学生思维的灵活性.\n证明：如图，过点A作AD′∥CD，交于D′，再在平面ABD′内作ME∥BD′，交AD′于E.则，又∴.连结EN、AC、D′D，平行线AD′与CD确定的平面与、的交线分别是AC、D′D.∵，∴AC∥D′D又∴EN∥AC∥D′D∵，∴EN∥，又MN∥.∴平面MEN∥∴MN∥.连AN设交于E，连结DE，AC为相交直线AE、DC确定的平面与、的交线.∵∴AC∥DE∴又∴∴在△ABC中MN∥BE又，∴MN∥证明三：利用过MN的平面CMN在平面中找出MN平行的直线.随堂练习1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”号，错误的画“×”号.（1）如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面.（）（2）如果直线a和平面满足a∥，那么a与内的任何直线平行.（）（3）如果直线a，b和平面满足a∥，b∥，那么a∥b.（）学生独立完成参考答案：1.（1）×（2）×（3）×（4）√2.提示:连结EE1，FF1，证明四边形EFF1E1为平行四边形即可.巩固所学知识\n（4）如果直线a，b和平面满足a∥b，a∥，，那么b∥.（）2．如图，正方体ABCD–A′B′C′D′中，AE=A1E1，AF=A1F1，求证EF∥E1F1，且EF=E1F1.归纳总结1．平面和平面平行的性质2．线线平行线面平行面面平行学生先归纳，教师给予补充完善回顾、反思、归纳知识，提高自我整合知识能力.课后作业2.2第三课时习案学生独立完成固化知识提升能力备选例题例1如图，设平面a∥平面，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C，B、D．求证：MN∥.【证明】连接BC，取BC的中点E，分别连接ME、NE，则MN∥AC，∴ME∥平面，又NE∥BD，∴NE∥，又ME∩NE=E，∴平面MEN∥平面，∵MN平面MEN．∴MN∥．【评析】要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证“线面平行”，只要证“线线平面”，故问题最终转化为证线与线的平行．例2ABCD是矩形，四个顶点在平面内的射影分别为A′、B′、C′、D′，直线A′B′与\nC′D′不重合，求证：A′B′C′D′是平行四边形．【证明】如图．∵A′、B′、C′、D′分别是A、B、C、D在平面内的射影．∴BB′⊥，CC′⊥，∴BB′∥CC′．≠≠∵CC′平面CC′D′D，BB′平面CC′D′D，∴BB′∥平面CC′D′D.又∵ABCD是矩形，≠∴AB∥CD，CD平面CC′D′D，∴AB∥平面CC′D′D∵AB，BB′是平面ABB′A′内的两条相交直线，∴平面ABB′A′∥平面CC′D′D．又∩平面ABB′A′=A′B′，∩平面CC′D′D=C′D′，∴A′B′∥C′D′．同理，B′C′∥A′D′，∴A′B′C′D′是平行四边形．【评析】在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后，空间平等问题的证明，紧紧抓住“线线平行线面平行面面平行”之间的互相转化而完成证明．第一课时直线与平面垂直的判定（一）教学目标1．知识与技能（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）使学生掌握直线和平面所成的角求法；（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论.2．过程与方法（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；\n（2）探究判定直线与平面垂直的方法.3．情态、态度与价值观培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.（二）教学重点、难点重点：（1）直线与平面垂直的定义和判定定理；（2）直线和平面所成的角.难点：直线与平面垂直判定定理的探究.教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入问题：直线和平面平行的判定方法有几种？师投影问题，学生回答.生：可用定义可判断，也可依判定定理判断.复习巩固探索新知一、直线和平面垂直的定义、画法如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足.画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表不平面的平行四边形的一边垂直，如图.师：日常生活中我们对直线与平面垂直有很多感性认识，如旗杆与地面，桥柱与水面等，你能举出更多的例子来吗？师：在阳光下观察，直立于地面的旗杆及它在地面的影子，它们的位置关系如何？生：旗杆与地面内任意一条经B的直线垂直.师：那么旗杆所在直线与平面内不经过B点的直线位置关系如何，依据是什么？（图）生：垂直，依据是异面直线垂直的定义.师：你能尝试给线面垂直下定义吗？……师：能否将任意直线改为无数条直线？学生找一反例说明.培养学生的几何直观能力使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论.探索新知二、直线和平面垂直的判定1．试验如图，过△师：下面请同学们准备一块三角形的小纸片，我们一起来做一个实验，（投影问题）.\nABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）.（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直？2．直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.思考：能否将直线与平面垂直的判定定理中的“两条相交直线”改为一条直线或两条平行直线？学生动手实验，然后回答问题.生：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面垂直.师：此时AD垂直上的一条直线还是两条直线？生：AD垂直于桌面两条直线，而且这两条直线相交.师：怎么证明？生：折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD……师：直线和平面垂直的判定定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.培养学生的几何直观能力使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论.典例剖析例1如图，已知a∥b，a⊥，求证：b⊥.证明：在平面内作两条相交直线m、n.因为直线a⊥，根据直线与平面垂直的定义知a⊥m，a⊥n.又因为b∥a，所以b⊥m，b⊥n.又因为，m、n是两条相交直线，b⊥.师：要证b⊥，需证b与内任意一条直线的垂直，又a∥b，问题转化为a与面内任意直线m垂直，这个结论显然成立.学生依图及分析写出证明过程.……师：此结论可以直接利用，判定直线和平面垂直.巩固所知识培养学生转化化归能力、书写表达能力.探索新知二、直线和平面所成的角如图，一条直线PA和一个平面教师借助多媒体直接讲授，注意直线和平面所成的角是分三种情况定义的.借助多媒体讲授，提高上课效率.\n相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线的平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角.典例剖析例2如图，在正方体ABCD–A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.分析：找出直线A1B在平面A1B1CD内的射影，就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角.解：连结BC1交B1C于点O，连结A1O.设正方体的棱长为a，因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面BCC1B1.所以A1B1⊥BC1.又因为BC1⊥B1C，所以B1C⊥平面A1B1CD.所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角.在Rt△A1BO中，师：此题A1是斜足，要求直线A1B与平面A1B1CD所成的角，关键在于过B点作出（找到，面A1B1CD的垂线，作出（找到）了面A1B1CD的垂线，直线A1B在平面A1B1CD内的射影就知道了，怎样过B作平面A1B1CD的垂线呢？生：连结BC1即可.师：能证明吗？学生分析，教师板书，共同完成求解过程.点拔关键点，突破难点，示范书写及解题步骤.\n，，所以，∠BA1O=30°因此，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°.随堂练习1．如图，在三棱锥V–ABC中，VA=VC，AB=BC，求证：VB⊥AC.2．过△ABC所在平面外一点P，作PO⊥，垂足为O，连接PA ，PB，PC.（1）若PA=PB=PC，∠C=90°，则点O是AB边的心.（2）若PA=PB=PC，则点O是△ABC的心.（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PB⊥PA，则点O是△ABC的.心.3．两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定平行吗？4．如图，直四棱柱A′B′C′D′–ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A′C⊥B′D′？学生独立完成答案：1．略2．（1）AB边的中点；（2）点O是△ABC的外心；（3）点O是△ABC的垂心.3．不一定平行.4．AC⊥BD.巩固所学知识\n归纳总结1．直线和平面垂直的定义判定2．直线和平面所成的角定义与解答步骤、完善.3．线线垂直线面垂直学生归纳总结教师补充巩固学习成果，使学生逐步养成爱总结，会总结的习惯和能力.课后作业2.7第一课时习案学生独立完成强化知识提升能力备选例题例1如图，在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，M为BD中点，作AO⊥MC，交MC于O．求证：AO⊥平面BCD．【解析】连结AM∵AB=AD，CB=CD，M为BD中点．∴BD⊥AM，BD⊥CM．又AM∩CM=M，∴BD⊥平面ACM．≠≠∵AO平面ACM，∴BD⊥AO．又MC⊥AO，BD∩MC=M，∴AO⊥平面貌BCD．【评析】本题为了证明AO⊥平面BCD，先证明了平面BCD内的直线垂直于AO所在的平面．这一方法具有典型性，即为了证明线与面的垂直，需要转化为线与线的垂直；为了解决线与线的垂直，又需转化为另一个线与面的垂直，再化为新的线线垂直．这样互相转化，螺旋式往复，最终使问题得到解决．例2已知棱长为1的正方体ABCD–A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值．\n【解析】取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连AO．由已知正方体，易知EO⊥ABC1D1，所以∠EAO为所求．在Rt△EOA中，，，sin∠EAO=．所以直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为．【评析】求直线和平面所成角的步骤：（1）作——作出斜线和平面所成的角；（2）证——证明所作或找到的角就是所求的角；（3）求——常用解三角形的方法（通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角形）（4）答．第二课时平面与平面垂直的判定（一）教学目标1．知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用.2．过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理.3．情态、态度与价值观通过揭示概念的形成、发展和应有和过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力.（二）教学重点、难点\n重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小.（三）教学方法实物观察、类比归纳、语言表达，讲练结合.教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？学生自由发言，教师小结，并投影两个平面所成角的实际例子：公路上的表面与水平面，打开的门与门椎所在平面等，怎样定义两个平面所成的角呢？复习巩固，以旧导新探索新知一、二面角1．二面角（1）半平面平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.（2）二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedralangle）.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.（3）二面角的求法与画法棱为AB、面分别为、的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P–AB–Q.如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角或P–l–Q.2．二面角的平面角教师结合二面角模型，类比以上几个问题，归纳出二面角的概念及记法表示（可将角与二面角从图形、定义、构成、表示进行列表对比）.师生共同实验(折纸)思考二面角的大小与哪一个角的大小相同？这个角的边与二面角的棱有什么关系？生：过二面角棱上一点O在二面角的面上分别作射线与二面角的棱垂直，得到的角与二面角大小相等.师：改变O的位置，这个角的大小变不变.生：由等角定理知不变.通过模型教学，培养学生几何直观能力，通过类比教学，加深学生对知识的理解.通过实验，培养学生学习兴趣和探索意识，加深对知识的理解与掌握.\n如图（1）在二面角的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.（2）二面角的平面角的大小与O点位置无关.（3）二面角的平面角的范围是[0，180°]（4）平面角为直角的二面角叫做直二面角.探索新知二、平面与平面垂直1．平面与平面垂直的定义，记法与画法.一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.两个互相垂直的平面通常画成此图的样子，此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.平面与垂直，记作⊥.2．两个平面互相垂直的判定定理，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.学生自学，教师点拔一下注意事项.师：以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面，即，请同学给出面面垂直的判定定理.培养学生自学能力,通过实验，培养学生观察能力，归纳能力，语言表达能力.典例分析例3如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O师：平面与平面垂直的判定方法有面面垂直的定义和面面垂直的判定定理，而本题二面角A–PC–B\n所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.证明：设⊙O所在平面为，由已知条件，PA⊥，BC在内，所以PA⊥BC.因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，AB是⊙O的直径，所以，∠BCA是直角，即BC⊥AC.又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条直线.所以BC⊥平面PAC.又因为BC在平面PBC内，所以，平面PAC⊥平面PBC.的平面角不好找，故应选择判定定理，而应用判定定理正面面垂直的关键是在其中一个平面内找 (作)一条直线与另一平面垂直，在已有图形中BC符合解题要求，为什么？学生分析，教师板书巩固所学知识，培养学生观察能力，空间想象能力，书写表达能力.随堂练习1．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S–EFG中必有（A）A．SG⊥EFG所在平面B．SD⊥EFG所在平面C．GF⊥SEF所在平面D．GD⊥SEF所在平面2．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？学生独立完成巩固知识提升能力\n答：面ABC⊥面BCD面ABD⊥面BCD面ACD⊥面ABC.归纳总结1．二面角的定义画法与记法.2．二面角的平面角定义与范围.3．面面垂直的判定方法.4．转化思想.学生总结、教师补充完善回顾、反思、归纳知训提高自我整合知识的能力课后作业2.3第二课时习案学生独立完成固化知识提升能力备选例题例1如图，平面角为锐角的二面角，A∈EF，，∠GAE=45°若AG与所成角为30°，求二面角的平面角.【分析】首先在图形中作出有关的量，AG与所成的角(过G到的垂线段GH，连AH，∠GAH=30°)，二面角的平面角，注意在作平面角是要试图与GAH建立联系，抓住GH⊥这一特殊条件，作HB⊥EF，连接GB，利用相关关系即可解决问题.【解析】作GH⊥于H，作HB⊥EF于B，连结GB，则CB⊥EF，∠GBH是二面角的平面角.又∠GAH是AG与所成的角，设AG=a，则，.所以∠GBH=45°反思研究：本题的成功之处在于作图时注意建立各量之间的有效联系.BSC例2如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD．【分析】要证面面垂直，需证线面垂直．这里需要寻找已知条件“SC⊥平面ABCD”与需证结论\n“平面EDB⊥平面ABCD”之间的桥梁．【证明】连结AC、BD，交点为F，连结EF，∴EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC．∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD．又EF平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD．【评析】将面面垂直转化为线面垂直是证明此类题的关键．例3如图，四棱锥P–ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD．证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°．【分析】由△PAD≌△PCD，可利用定义法构造二面角的平面角，证明所成角的余弦值恒小于零即可．【解析】不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形．作AE⊥DP,垂足为E，连接EC，则△ADE≌△CDE．∴AE=CE，∠CED=90°．故∠CEA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角．设AC与BD相交于点O．连接EO，则EO⊥AC．∴，在△AEC中，=，∴∠AEC＞90°．所以面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°．\n【评析】求二面角的大小应注意作（找）、证、求、答．第三课时直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质（一）教学目标1．知识与技能（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；（2）能运用性质定理解决一些简单问题；（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系.2．过程与方法（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；3．情感、态度与价值观通过“直观感知、操作确认、推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.（二）教学重点、难点两个性质定理的证明.（三）教学方法学生依据已有知识和方法，在教师指导下，自主地完成定理的证明、问题的转化.教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入问题1：判定直线和平面垂直的方法有几种？问题2：若一条直线和一个平面垂直，可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？师投影问题.学生思考、讨论问题，教师点出主题复习巩固以旧带新探索新知一、直线与平面垂直的性质定理1．问题：已知直线a、b和平面，如果，那么直线a、b一定平行吗？已知求证：b∥a.生：借助长方体模型AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间相互平行，所以结论成立.师：怎么证明呢？由于无法把两条直线a、b归入到一个平面内，故无法应用平行直线的判定知识，也无法应用公理4，有这种情况下，我们采用“\n证明：假定b不平行于a，设=0b′是经过O与直线a平行的直线∵a∥b′，∴b′⊥a即经过同一点O的两线b、b′都与垂直这是不可能的，因此b∥a.2．直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行简化为：线面垂直线线平行反证法”师生边分析边板书.借助模型教学，培养几何直观能力.，反证法证题是一个难点，采用以教师为主，能起到一个示范作用，并提高上课效率.探索新知二、平面与平面平行的性质定理1．问题黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？2．例1设，=CD，，AB⊥CD，AB⊥CD=B求证AB证明：在内引直线BE⊥CD，垂足为B，则∠ABE是二面角的平面角.由知，AB⊥BE,又AB⊥CD,BE与CD是教师投影问题，学生思考、观察、讨论，然后回答问题生：借助长方体模型，在长方体ABCD–A′B′C′D′中，面A′ADD′⊥面ABCD，A′A⊥AD，AB⊥A′A∵∴A′A⊥面ABCD故只需在黑板上作一直线与两个平面的交线垂直即可.师：证明直线和平面垂直一般都转化为证直线和平面内两条交线垂直，现AB⊥CD，需找一条直线与AB垂直，有条件还没有用，能否利用构造一条直线与AB垂直呢？生：在面内过B作BE⊥CD即可.师：为什么呢？本例题的难点是构造辅助线，采用分析综合法能较好地解决这个问题.\n内的两条相交直线，所以AB⊥3．平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直简记为：面面垂直线面垂直.学生分析，教师板书典例分析例2如图，已知平面，，直线a满足，，试判断直线a与平面的位置关系.解：在内作垂直于与交线的直线b，因为，所以因为，所以a∥b.又因为，所以a∥.即直线a与平面平行.例3设平面⊥平面，点P作平面的垂线a，试判断直线a与平面的位置关系？证明：如图，设=c，过点P在平面内作直线b⊥c，根据平面与平面垂直的性质定理有.因为过一点有且只有一条直线与平面垂直，所以直线a与直线b垂合，因此.师投影例2并读题生：平行师：证明线面平行一般策略是什么？生：转证线线平行师：假设内一条直线b∥a则b与的位置关系如何？生：垂直师：已知，怎样作直线b？生：在内作b垂直于、的交线即可.学生写出证明过程，教师投影.师投影例3并读题，师生共同分析思路，完成证题过程，然后教师给予评注.师：利用“同一法”证明问题主要是在按一般途径不易完成问题的情形下，所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线不易想到，二是证直线b与直线a重合，相对容易一些，本题注意要分类讨论，其结论也可作性质用.巩固所学知识，训练化归能力.巩固所学知识，训练分类思想化归能力及思维的灵活性.\n随堂练习1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”错误的画“×”.（1）a．垂直于同一条直线的两个平面互相平行.（√）b．垂直于同一个平面的两条直线互相平行.（√）c．一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.（√）（2）已知直线a，b和平面，且a⊥b，a⊥，则b与的位置关系是.答案：b∥或b.2．（1）下列命题中错误的是（A）A．如果平面⊥平面，那么平面内所有直线垂直于平面.B．如果平面⊥平面，那么平面内一定存在直线平行于平面.C．如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面.D．如果平面⊥平面，平面⊥平面，，那么.（2）已知两个平面垂直，下列命题（B）①一个平面内已积压直线必垂直于另一平面内的任意一条直线.②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.学生独立完成巩固、所学知识\n③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面.④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确命题的个数是（）A．3B．2C．1D．03．设直线a，b分别在正方体ABCD–A′B′C′D′中两个不同的面所在平面内，欲使a∥b，a，b应满足什么条件？答案：不相交，不异面4．已知平面，，直线a，且，，a∥，a⊥AB，试判断直线a与直线的位置关系.答案：平行、相交或在平面内归纳总结1．直线和平面垂直的性质2．平面和平面垂直的性质3．面面垂直线面垂直线线垂直学生归纳总结，教材再补充完善.回顾、反思、归纳知识提高自我整合知识的能力.课后作业2.3第三课时习案学生独立完成固化知识提升能力备选例题例1把直角三角板ABC的直角边BC放置桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直，a是内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直？【解析】\n【评析】若BC与垂直，同理可得AB与也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法：“线线垂直→线面垂直→线线垂直”．例2求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．已知⊥r，⊥r，∩=l，求证：l⊥r．【分析】根据直线和平面垂直的判定定理可在r内构造两相交直线分别与平面、垂直．或由面面垂直的性质易在、内作出平面r的垂线，再设法证明l与其平行即可．【证明】法一：如图，设∩r=a，∩r=b，在r内任取一点P．过点P在r内作直线m⊥a，n⊥b．∵⊥r，⊥r，∴m⊥a，n⊥（面面垂直的性质）．又∩=l，∴l⊥m，l⊥n．又m∩n=P，m，nr∴l⊥r．法二：如图，设∩r=a，∩r=b，在内作m⊥a，在内作n⊥b．∵⊥r，⊥r，∴m⊥r，n⊥r．∴m∥n，又n，m，∴m∥，又∩=l，m，∴m∥l，又m⊥r，∴l⊥r．\n【评析】充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键．证法一充分利用面面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化；证法二涉及垂直关系与平行关系之间的转化．此题是线线、面面垂直转化的典型题，通过一题多解，对沟通知识和方法，开拓解题思路是有益的．3.1.1倾斜角与斜率（一）教学目标1．知识与技能（1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.（2）理解直线倾斜角的唯一性.（3）理解直线斜率的存在性.（4）斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.2．过程与方法引导帮助学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法.3．情感、态度与价值观（1）通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力.（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.（二）教学重点与难点直线的倾斜角、斜率的概念和公式.（三）教学方法教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题引入我们知道，经过两点有且只有（确定）一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图，过一点P可作无数多条直线a，b，c，…易见，答案是否定的，这些直线有什么联系呢？直线的倾斜角的概念.学生回答（不能确定）（1）它们都经过点P.（2）它们的倾斜程度不同.接着教师提出：怎样描述这种倾斜程度的不同？由此引入课题.设疑激趣导入课题概念形成1．直线倾斜角的概念当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l教师提问：倾斜角的取值范围是什么？\n向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定.当直线l与x轴重合时（由学生结合图形回答）概念深化因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，引入直线的倾斜角之后，我们就可以用倾斜角来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.yabcxO确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角.教师提问：如左图，直线a∥b∥c，那么它们的倾斜角相等吗？学生回答后作出结论.一个倾斜角不能确定一条直线，进而得出.确定一条直线位置的几何要素.通过这种师生互动引导学生明确确定一条直线位置的两个几何要素概念形成2．直线的斜率一条直线的倾斜角（≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即.由此可知，一条直线l的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.例如=45°时k=tan45°=1=135°时k=tan135°=–1教师提问：（由学生讨论后回答）（1）当直线l与x轴平行或重合时，k为多少？k=tan0°=0（2）当直线l与x轴垂直时，k还存在吗？=90°，k不存在设疑激发学生思考得出结论概念形成3．直线的斜率公式对于上面的斜率公式要注意下面四点：（1）当x1=x2教师提出问题：给定两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，如何用两点的坐标来表示直线P1、P2的斜率？可用计算机作动画演示：直线P1P2借助多媒体演示让学生亲自体会斜率公式的推导过程.\n时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角=90°，直线与x轴垂直；（2）k与P1、P2的顺序无关，即y1、y2和x1、x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；（3）斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；（4）当y1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角=0°，直线与x轴平行或重合.（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.的四种情况，并引导学生如何作辅助线，共同完成斜率公式的推导.应用举例例1已知A(3，2)，B(–4，1)，C(0，–1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.（用计算机作直线，图略）分析：已知两点坐标，而且x1≠x2，由斜率公式代入即可求得k的值；而当时，倾斜角是钝角；而当时，倾斜角是锐角；而当时，倾斜角是0°.例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，–1，2及–3的直线a，b，c，1.分析：要画出经过原点的直线a，只要再找出a学生分析求解，教师板书例1略解：直线AB的斜率k1=1/7＞0，所以它的倾斜角是锐角.直线BC的斜率k2=–0.5＜0，所以它的倾斜角是锐角.例2略解：设直线a上的另个一点M的坐标为(x，y)，根据斜率公式有1=(y–0)/(x–0)所以x=y可令x=1，则y=通过应用进一步理解倾斜角，斜率的有关定义\n上的另个一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定；或者k=tan=1是特殊值，所以也可以以原点为角的顶点，x轴的正半轴为角的一边，在x轴的上方作45°的角，再把所作的这一边反向延长成直线即可.1，于是点M的坐标为(1，1).此时过原点和点M(1，1)，可作直线a.同理，可作直线b，c，1.（用计算机作动画演示画直线过程）课堂练习：P911题、2题、3题、4题.归纳总结（1）直线的倾斜角和斜率的概念.（2）直线的斜率公式.师生共同总结——交流——完善引导学生学会自己总结课后作业布置作业见习案3.1第一课时由学生独立完成巩固深化备选例题例1求下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.（1）(1，1)，(2，4)；（2）(–3，5)，(0，2)；（3）(2，3)，(2，5)；（4）(3，–2)，(6，–2)【解析】（1），所以倾斜角是锐角；（2），所以倾斜角是钝角；（3）由x1=x2=2得：k不存在，倾斜角是90°（4），所以倾斜角为0°例2已知点P点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则Q点的坐标为.【解析】因为点Q在y轴上，则可设其坐标为(0，6)直线PQ的斜率k=tan120°=∴∴b=–2，即Q点坐标为3.1.2两条直线平行与垂直的判定（一）教学目标1．知识与技能理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.2．过程与方法\n通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力.3．情感、态度与价值观通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.（二）教学重点、难点重点：两条直线平行和垂直的条件.难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合，通过提出问题，观察实例，引导学生理解掌握两条直线平行与垂直的判定方法.教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入上一节课，我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念，而且知道，可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度，并推导出了斜率的坐标计算公式.现在，我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直.由学生回忆上节课内容，再由老师引入新课.设置情境引入新课概念形成1．特殊情况下，两条直线平行与垂直.两条直线中有一条直线没有斜率，（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直.由学生讨论得出答案概念深化2．两条直线的斜率都存在时，两直线的平行与垂直.设直线l1和l2的斜率分别为k1和k2借助计算机，让学生通过度量，感知的关系.\n.我们知道，两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的，而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的，所以我们下面要研究的问题是：两条互相平行或垂直的直线，它们的斜率有什么关系？首先研究两条直线互相平行（不重合）的情形.如果l1∥l2（图），那么它们的倾斜角相等；a1=a2.（借助计算机，让学生通过度量，感知a1，a2的关系）∴tga1=tga2.即k1=k2.反过来，如果两条直线的斜率相等：即k1=k2，那么tga1=tga2.由于0°≤a1＜180°，0°≤a＜180°，∴a1=a2又∵两条直线不重合，∴l1∥l2.结论：两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即l1∥l2k1=k2.注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果k1=k2那么一定有l1∥l2；反之则不一定.通过斜率相等判定两直线平行，是通过代数方法得到几何结论，体现了用代数方法研究几何问题的思想.下面我们研究两条直线垂直的情形.如果l1⊥l2，这时借助计算机，让学生通过度量，感知k1，k2的关系，并使l1(或l2\n，否则两直线平行.设（图）甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有.因为l1、l2的斜率分别是k1、k2，即，所以.∴.即或k1k2=–1，反过来，如果即k1·k2=–1不失一般性，设k1＜0.k2＞0，那么.可以推出a1=90°+.l1⊥l2.结论：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即注意：结论成立的条件，即如果k1·k2=–1，那么一定有l1⊥l2；反之则不一定.)转动起来，但仍保持l1⊥l2，观察k1，k2的关系，得到猜想，再加以验证，可使为锐角，钝角等.通过计算机的演示，培养学生的观察、猜想，归纳的数学思想方法.应用举例借助计算机作图，使学生通过观察猜想：BA∥PQ\n例1已知A(2,3)，B(–4,0)，P（–3，1），Q（–1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.，再通过计算机加以验证.（图略）例1解：直线BA的斜率k1=(3–0)/(2–(–4))=0.5，直线PQ的斜率k2=(2–1)/(–1–(–3))=0.5，因为k1=k2=0.5，所以直线BA∥PQ.通过例题的讲解，使学生进一步理解掌握直线平行与垂直的条件.例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2,–1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.例3已知A(–6,0)，B(3,6)，P(0,3)，Q(–2,6)，试判断直线AB与PQ的位置关系.例4已知A(5,–1)，B(1,1)，C(2,3)，试判断三角形ABC的形状.分析：借助计算机作图，通过观察猜想：三角形ABC是直角三角形，其中AB⊥BC，再通过计算加以验证.（图略）课堂练习P94练习1、2.借助计算机作图，使学生通过观察猜想：四边形ABCD是平行四边形，再通过计算加以验证.例2解：直线BA的斜率k1=(3–0)/(2–(–4))=0.5，直线PQ的斜率k2=(2–1)/(–1–(–3))=0.5，因为k1=k2=0.5，所以直线BA∥PQ.例3解：直线AB的斜率k1=(6–0)/(3–(–6))=2/3，直线PQ的斜率k2=(6–3)(–2–0)=3/2，因为k1·k2=–1，所以AB⊥PQ.归纳总结（1）两条直线平行或垂直的真实等价条件；（2）应用条件，判定两条直线平行或垂直.由学生归纳，教师再补充完善.培养学生的概括能力\n（3）应用直线平行的条件，判定三点共线.课后作业见习案3.1的第二课时由学生独立完成巩固深化新学知识备选例题例1试确定M的值，使过点A(m+1，0)，B(–5，m)的直线与过点C(–4，3)，D(0，5)的直线平行.【解析】由题意得：由于AB∥CD，即kAB=kCD，所以，所以m=–2.例2已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求第四个顶点D的坐标.【解析】设第四个顶点D的坐标为(x，y)因为AD⊥CD，AD∥BC所以kAD·kCD=–1，且kAD=kBC，所以第四个顶点D的坐标为(2，3).例3已知定点A(–1，3)，B(4，2)，以A、B为直径的端点，作圆与x轴有交点C，求交点C的坐标.【解析】以线段AB为直径的圆与x轴交点为C.则AC⊥BC，设C(x，0)则所以所以x=1或2，所以C(1，0)或(2，0)3.2.1直线的点斜式方程（一）教学目标1．知识与技能\n（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.2．过程与方法在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程，学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别.3．情态与价值观通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题.（二）教学重点、难点：（1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程.（2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用.（三）教学设想教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1．在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？学生回顾，并回答.然后教师指出，直线的方程，就是直线上任意一点的坐标(x,y)满足的关系式.使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知.概念形成2．直线l经过点P0(x0,y0)，且斜率为k.设点P(x,y)是直线l上的任意一点，请建立x，y与k，x0,y0之间的关系.学生根据斜率公式，可以得到，当x≠x0时，，即y–y0=k(x–x0)（1）老师对基础薄弱的学生给予关注、引导，使每个学生都能推导出这个方程.培养学生自主探索的能力，并体会直线的方程，就是直线上任意一点的坐标(x,y)满足的关系式，从而掌握根据条件求直线方程的方法.3．（1）过点P0(x0,y0)，斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足方程（1）吗？学生验证，教师引导.使学生了解方程为直线方程必须满足两个条件.（2）坐标满足方程（1）的点都在经过P0(x0,y0学生验证，教师引导.\n)，斜率为k的直线l上吗？然后教师指出方程（1）由直线上一定点及其斜率确定，所以叫做直线的点斜式方程，简称点斜式(pointslopeform).使学生了解方程为直线方程必须满足两个条件.概念深化4．直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？学生分组互相讨论，然后说明理由.使学生理解直线的点斜式方程的适用范围.5．（1）x轴所在直线的方程是什么？Y轴所在直线的方程是什么？（2）经过点P0(x0,y0)且平行于x轴(即垂直于y轴)的直线方程是什么？（3）经过点P0(x0,y0)且平行于y轴(即垂直于x轴)的直线方程是什么？教师引导学生通过画图分析，求得问题的解决.进一步使学生理解直线的点斜式方程的适用范围，掌握特殊直线方程的表示形式.应用举例6．例1.直线l经过点P0(–2，3)，且倾斜角=45°.求直线l的点斜式方程，并画出直线l.教师引导学生分析要用点斜式求直线方程应已知哪些条件？题目那些条件已经直接给予，那些条件还有待已去求.在坐标平面内，要画一条直线可以怎样去画.xy6421–1–20P0P1例1解析：直线l经过点P0(–2，3)，斜率k=tan45°=1代入点斜式方程得y–3=x+2画图时，只需再找出直线l上的另一点P1(x1，y1)，例如，取x1=学生会运用点斜式方程解决问题，清楚用点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件：（1）一个定点；（2）有斜率.同时掌握已知直线方程画直线的方法.\n–1，y1=4，得P1的坐标为（–1，4），过P0，P1的直线即为所求，如右图.概念深化7．已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0,b)，求直线l的方程.学生独立求出直线l的方程：y=kx+b（2）再此基础上，教师给出截距的概念，引导学生分析方程（2）由哪两个条件确定，让学生理解斜截式方程概念的内涵.引入斜截式方程，让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程，是点斜式方程的一种特殊情形.8．观察方程y=kx+b，它的形式具有什么特点？学生讨论，教师及时给予评价.深入理解和掌握斜截式方程的特点？9．直线y=kx+b在x轴上的截距是什么？学生思考回答，教师评价.使学生理解“截距”与“距离”两个概念的区别.方法探究10．你如何从直线方程的角度认识一次函数y=kx+b？一次函数中k和b的几何意义是什么？你能说出一次函数y=2x–1，y=3x，y=–x+3图象的特点吗？学生思考、讨论，教师评价.归纳概括.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.应用举例11．例2已知直线l1：y=k1+b1，l2：y2=k2x+b2.试讨论：（1）l1∥l2的条件是什么？（2）l1⊥l2的条件是什么？教师引导学生分析：用斜率判断两条直线平行、垂直结论.思考（1）l1∥l2时，k1，k2；b1，b2有何关系？（2）l1⊥l2时，k1，k2；b1，b2有何关系？在此由学生得出结论；l1∥l2k1=k2，且b1≠b2；l1⊥l2k1k2=–1.例2解析：（1）若l1∥l2，则k1=k2，此时l1、l2与y轴的交点不同，即b1=b2；反之，k1=k2，且b1=b2时，l1∥l2.于是我们得到，对于直线l1：y=k1x+b1，l2：y=kx+b2l1∥l2k1=k2，且b1≠b2；l1⊥掌握从直线方程的角度判断两条直线相互平行，或相互垂直；进一步理解斜截式方程中k，b的几何意义.\nl2k1k2=–1.12．课堂练习第100页练习第1，2，3，4题.学生独立完成，教师检查反馈.巩固本节课所学过的知识.归纳13．小结教师引导学生概括：（1）本节课我们学过哪些知识点；（2）直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么？（3）求一条直线的方程，要知道多少个条件？使学生对本节课所学的知识有一个整体性的认识，了解知识的来龙去脉.课后作业见习案3.2的第一课时学生课后独立完成.巩固深化备选例题例1求倾斜角是直线的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程是.（1）经过点；（2）在y轴上的截距是–5.【解析】∵直线的斜率，∴其倾斜角=120°由题意，得所求直线的倾斜角.故所求直线的斜率.（1）∵所求直线经过点，斜率为，∴所求直线方程是，即.（2）∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为–5，∴所求直线的方程为，即【点评】（1）由于点斜式与斜截式方程中都是用斜率k来表示的，故这两类方程不能用于垂直于x轴的直线.如过点(1，2)，倾斜角为90°的直线方程为x–1=0.（2）截距和距离是两不同的概念，y轴上的截距是指直线与y轴交点的纵坐标，x轴上的截距是指直线与x轴交点的横坐标.若求截距可在方程中分别令x=0或y=0求对应截距.例2直线l过点P(–2，3)且与x轴，y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB的中点，求直线l的方程.【解析】设直线l的斜率为k，∵直线l过点(–2，3)，∴直线l的方程为y–3=k[x–(–2)]，令x=0，得y=2k+3；令y=0得.∴A、B两点的坐标分别为A，B(0，2k+3).∵AB的中点为(–2，3)\n∴∴直线l的方程为，即直线l的方程为3x–2y+12=0.3.2.2直线的两点式方程(一)教学目标1．知识与技能（1）掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。2．过程与方法让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点.3．情态与价值观（1）认识事物之间的普通联系与相互转化；（2）培养学生用联系的观点看问题。（二）教学重点、难点：1．重点：直线方程两点式。2．难点：两点式推导过程的理解。（三）教学设想教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题引入课题得出概念1．利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l经过两点P1(1，2)，P2(3，5)，求直线l的方程.（2）已知两点P1(x1，x2)，P2(x1，x2)其中(x1≠x2，y1≠y2).求通过这两点的直线方程.教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化已经解决的问题？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：（1）y–2=(x–1)（2）y–y1=遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律。使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的。\n教师指出：当y1≠y2时，方程可写成由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-pointform）.概念深入2．若点P1(x1，x2)，P2(x2，y2)中有x1=x2，或y1=y2，此时这两点的直线方程是什么？教师引导学生通过画图、观察和分析，发现x1=x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为：x=x1；当y1=y2时，直线与y轴垂直，直线方程为：y=y1.使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.应用举例3、例3已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a≠0，b≠0.求直线l的方程.教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l的方程？那种方法更为简捷？然后求出直线方程：教师指出：a,b的几何意义和截距方程的概念.使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.4、例4已知三角形的三个顶点A(–5,0),B(3,–3),C(0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择适当方法求出边BC所在的直线方程和该边上中线所在直线方程.在此基础上，学生交流各自的作法，并进行比较.例4解析：如图，过B(3，–3)，C(0，2)的两点式方程为让学生学会根据题目中所给的条件，选择恰当的直线方程解决问题.\n整理得5x+3y–6=0.这就是BC所在直线的方程.BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为()，即().过A(–5，0)，M()的直线的方程为，整理得，即x+13y+5=0.这就是BC边上中线所在直线方程.5、课堂练习第102页第1、2、3题学生独立完成，教师检查、反馈.归纳总结6、小结教师提出：（1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？（2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？增强学生对直线方种四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）互相之间的联系的理解.课后作业布置作业见习案3.2的第二课时.学生课后完成\n巩固深化，培养学生的独立解决问题的能力.备选例题例1求经过点A(–3，4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程.【解析】当直线l在坐标轴上截距都不为零时，设其方程为.将A(–3，4)代入上式，有，解得a=–7.∴所求直线方程为x–y+7=0.当直线l在坐标轴上的截距都为零时，设其方程为y=kx.将A(–3，4)代入方程得4=–3k，即k=.∴所求直线的方程为x，即4x+3y=0.故所求直线l的方程为x–y+7=0或4x+3y=0.【评析】此题运用了直线方程的截距式，在用截距时，必须注意适用条件：a、b存在且都不为零，否则容易漏解.例2如图，某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费y（元）与行李重量x(kg)的关系用直线AB的方程表示，试求：（1）直线AB的方程；（2）旅客最多可免费携带多少行李？【解析】（1）由图知，A(60，6)，B(80，10)代入两点式可得AB方程为x–5y–30=0（2）由题意令y=0，得x=30即旅客最多可免费携带30kg行李.3.2.3直线的一般式方程（一）教学目标1．知识与技能（1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.2．过程与方法学会用分类讨论的思想方法解决问题.3．情态与价值观\n（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题.（二）教学重点、难点：1．重点：直线方程的一般式；2．难点：对直线方程一般式的理解与应用.（三）教学设想教学环节教学内容师生互动设计意图引入课题形成概念1．（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？（2）每一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)都表示一条直线吗?教师引导学生用分类讨论的方法思考探究问题(1),即直线存在斜率和直线不存在斜率时求出的直线方程是否都为二元一次方程.对于问题(2),教师引导学生理解要判断某一个方程是否表示一条直线,只需看这个方程是否可以转化为直线方程的某种形式.为此要对B分类讨论，即当B≠0时和当B=0时两种情形进行变形.然后由学生去变形判断，得出结论：关于x，y的二元一次方程，它都表示一条直线.教师概括指出：由于任何一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示；同时，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式(generalform).使学生理解直线和二元一次方程的关系.概念深化2．直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？学生通过相比、讨论，发现直线方程的一般式与其他形式的直线方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线.使学生理解直线方程的一般式的与其他形式的不同点.\n3．在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线（1）平行于x轴；（2）平行于y轴；（3）与x轴重合；（4）与y重合.教师引导学生回顾前面所学过的与x轴平行和重合，与y轴平行和重合的直线方程的形式.然后由学生自主探索得到问题的答案.使学生理解二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响.应用举例4．例5已知直线经过点A(6,–4)，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.学生独立完成.然后教师检查、评价、反馈.指出：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数项一般不出现分数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式.使学生体会把直线方程的点斜式转化为一般式，把握直线方程一般式的特点.5．例6把直线l的一般式方程x–2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.先由学生思考解答，并让一个学生上黑板板书.然后教师引导学生归纳出由直线方程的一般式，求直线的斜率和截距的方法：把一般式转化为斜截式可求出直线的斜率的和直线在y轴上的截距.求直线与x轴的截距，即求直线与x轴交点的横坐标，为此可在方程中令y=0，解出x值，即为与直线与x轴的截距.在直角坐标系中画直线时，通常找出直线下两个坐标轴的交点.例6解：将直线l的一般式方程化成斜截式y=x+3.因此，直线l的斜率k=，它在y轴上的截距是3.在直线l的方程x–2y+6=0中，令y=0，得x=–6，即直线l在x轴上的截距是–6.由上面可得直线l与x轴、y使学生体会直线方程的一般式化为斜截式，和已知直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法.\n轴的交点分别为A(–6，0)，B(0，3)，过点A，B作直线，就得直线l的图形.6．二元一次方程的每一个解与坐标平面中点的有什么关系？直线与二元一次方程的解之间有什么关系？学生阅读教材第105页，从中获得对问题的理解.使学生进一步理解二元一次方程与直线的关系，体会直角坐标系把直线与方程联系起来.7．课堂练习第105练习第2题和第3（2）学生独立完成，教师检查、评价.巩固所学知识和方法.归纳总结8．小结（1）请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系.（2）比较各种直线方程的形式特点和适用范围.（3）求直线方程应具有多少个条件？（4）学习本节用到了哪些数学思想方法？使学生对直线方程的理解有一个整体的认识.课后作业布置作业见习案3.2的第3课时.学生课后独立思考完成.巩固课堂上所学的知识和方法.备选例题例1已知直线mx+ny+12=0在x轴，y轴上的截距分别是–3和4，求m，n.解法一：将方程mx+ny+12=0化为截距式得：，\n解法二：由截距意义知，直线经过A(–3，0)和B(0,4)两点，例2已知A(2，2)和直线l：3x+4y–20=0求：（1）过点A和直线l平行的直线方程；（2）过点A和直线l垂直的直线方程【解析】（1）将与l平行的直线方程设为3x+4y+C1=0，又过A(2，2)，所以3×2+4×2+C1=0，所以C1=–14.所求直线方程为：3x+4y–14=0.（2）将与l垂直的直线方程设为4x–3y+C2=0，又过A(2，2)，所以3×2+4×2+C2=0，所以C2=–2所求直线方程为：4–3–2=0.例3设直线l的方程为(m2–2m–3)x+(2m2+m–1)y=2m–6，根据下列条件分别确定实数m的值.（1）l在x轴上的截距为–3；（2）斜率为1.【解析】（1）令y=0，依题意，得：①②由①得：m≠3，且m≠–1，由②得：3m2–4m–15=0，解得m=3或，所以综合得.由题意得：③④由③得：m≠–1且m≠，由④得：m=–1或，所以3.3.1两直线的交点坐标（一）教学目标1．知识与技能（1）直线和直线的交点.（2）二元一次方程组的解.\n2．过程和方法（1）学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法.（2）掌握数形结合的学习法.（3）组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程.3．情态和价值（1）通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在的联系.（2）能够用辩证的观点看问题.（二）教学重点、难点重点：判断两直线是否相交，求交点坐标.难点：两直线相交与二元一次方程的关系.（三）教学方法：启发引导式在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的相互关系.引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题.由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决.教具：用POWERPOINT课件的辅助式数学.教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系.课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？设置情境导入新课概念形成与深化1．分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系已知两直线L1：A1x+B1y+C1=0，L2：A2x+B2y+C2=0如何判断这两条直线的关系？教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空.几何元素及关系代数表示点AA(a，b)直线LL：Ax+By+C=0点A在直线上师：提出问题生：思考讨论并形成结论通过学生分组讨论，使学生理解掌握判断两直线位置的方法.\n直线L1与L2的交点A课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？（1）若二元一次方程组有唯一解，L1与L2相交.（2）若二元一次方程组无解，则L1与L2平行.（3）若二元一次方程组有无数解，则L1与L2重合.课堂设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什么关系？学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？应用举例例1求下列两直线交点坐标L1：3x+4y–2=0L2：2x+y+2=0例2判断下列各对直线的位置关系。如果相交，求出交点坐标。（1）L1：x–y=0，L2：3x+3y–10=0（2）L1：3x–y=0，L2：6x–2y=0（3）L1：3x+4y–5=0，L2：6x+8y–10=0.教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后才进行讲解.同类练习：书本110页第1，2题.例1解：解方程组得x=–2，y=2.所以L1与L2的交点坐标为M(–2，2)，如图：xy842–2–4–55例2解：（1）解方程组，得所以，l1与l2相交，交点是M().训练学生解题格式规范条理清楚，表达简洁.\n这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系.（2）解方程组①②①×②–②得9=0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2.（3）解方程组①②①×2得6x+8y–10=0.因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合.方法探究课堂设问一.当λ变化时，方程3x+4y–2+λ(2x+y+2)=0表示何图形，图形有何特点？求出图形的交点的坐标，（1）可以用信息技术，当取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点。（2）找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论。（3）结论，方程表示经过这两直线L1与L2的交点的直线的集合。培养学生由特殊到一般的思维方法.应用举例例3已知a为实数，两直线l1：ax+y+1=0，l2：x+y–a=0相交于一点.求证交点不可能在第一象限及x轴上.分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围.例3解：解方程组若，则a＞1.当a＞1时，–，此时交点在第二象限内.又因为a引导学生将方法拓展与廷伸\n为任意实数时，都有a2+1≥1＞0，故.因为a≠1(否则两直线平行，无交点)，所以，交点不可能在x轴上，得交点（）.归纳总结小结：直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决，并能进行应用.师生共同总结形成知识体系课后作业布置作业见习案3.3第一课时由学生独立完成巩固深化新学知识备选例题例1求经过点(2，3)且经过l1：x+3y–4=0与l2：5x+2y+6=0的交点的直线方程.解法1：联立，所以l1，l2的交点为(–2,2).由两点式可得：所求直线方程为即x–4y+10=0.解法2：设所求直线方程为：x+3y–4+(5x+2y+6)=0.因为点(2，3)在直线上，所以2+3×3–4+(5×2+2×3+6)=0，所以，即所求方程为x+3y–4+()(5x+2y+6)=0，即为x–4y+10=0.例2已知直线l1：x+my+6=0，l2：(m–2)x+3y+2m=0，试求m为何值时，l1与l2：（1）重合；（2）平行；（3）垂直；（4）相交.【解析】当l1∥l2(或重合)时：A1B2–A2B1=1×3–(m–2)·m=0，解得：m=3，m=–1.（1）当m=3时，l1：x+3y+6=0，l2：x+3y+6=0，所以l1与l2重合；（2）当m=–1时，l1：x–y+6=0，l2：–3x+3y–2=0，所以l1∥l2；（3）当l1⊥l2时，A1A2+B1B2=0，m–2+3m=0，即；（4）当m≠3且m≠–1时，l1与l2相交.例3若直线l：y=kx–与直线2x+3y–6=0的交点位于第一象限，则直线l\n的倾斜角的取值范围是：A．B．C．D．【解析】直线l1：2x+3y–6=0过A(3，0)，B(0，2)而l过定点C由图象可知所以l的倾斜角的取值范围是(30°，90°)，故选B.3.3.2两点间的距离（一）教学目标1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。2．过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。；3．情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。（二）教学重点、难点重点，两点间距离公式的推导；难点，应用两点间距离公式证明几何问题。（三）教学方法启发引导式教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习数轴上两点的距离公式.设问一：同学们能否用以前所学知识解决以下问题：已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求|P1P2|设置情境导入新课概念形成过P1、P2分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为N1(0，y)，M2(x2，0)直线P1N1与P2M2相交于点Q.在直角△ABC中，|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2，为了计算其长度，过点P1向x轴作垂线，垂足为M1(x1，0)过点P2向y轴作垂线，垂足为N2(0，y2)，于是有|P1Q|2=|M2M1|2=|x2–x1|2，|QP2|2=|N1N2|2=|y2–y1|2.由此得到两点间的距离公式在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到.通过提问思考教师引导，使学生体会两点间距离公式形成的过程.\n应用举例例1已知点A(–1，2)，在x轴上求一点，使|PA|=|PB|，并求|PA|的值.解：设所求点P(x，0)，于是有∴x2+2x+5=x2–4x+11解得x=1∴所求点P(1，0)且同步练习，书本112页第1、2题.教师讲解思路，学生上台板书.教师提问：还有其它的解法，由学生思考，再讨论提出解法二：由已知得，线段AB的中点为，直线AB的斜率为线段AB的垂直平分线的方程是在上述式子中，令y=0，解得x=1.所以所求点P的坐标为(1，0).因此通过例题讲解，使学生掌握两点间的距离公式及其应用.例2证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系.证明：如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0).设B(a，0)，D(b，c此题让学生讨论解决，再由学生归纳出解决上述问题的基本步骤：第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量.第二步：进行有关代数运算.第三步：把代数结果“翻译”成几何关系.\n)，由平行四边形的性质的点C的坐标为(a+b，c)，因为|AB|2=a2，|CD|2=a2，|AD|2=b2+c2=|BC|2|AC|2=(a+b)2+c2，|BD|2=(b–a)2+c2所以，|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=2(a2+b2+c2)|AC|2–|BD|2=2(a2+b2+c2)所以，|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=|AC|2+|BD|2因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.思考：同学们是否还有其它的解决办法？还可用综合几何的方法证明这道题.让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤.归纳总结主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性.师生共同总结让学生更进一步体会知识形成过程课后作业布置作业见习案3.3的第二课时.由学生独立完成巩固深化备选例题例1已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标【解析】设点P的坐标为(x，0)，由|PA|=10，得：解得：x=11或x=–5.所以点P的坐标为(–5，0)或(11，0).例2在直线l：3x–y–1=0上求一点P，使得：（1）P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；（2）P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小.【解析】（1）如图，B关于l的对称点B′(3，3).AB′：2x+y–9=0由解得P(2，5).（2）C关于l对称点由图象可知：|PA|+|PC|≥|AC′|\n当P是AC′与l的交点时“=”成立，∴.例3如图，一束光线经过P(2，1)射到直线l：x+y+1=0，反射后穿过点Q(0，2)求：（1）入射光线所在直线的方程；（2）沿这条光线从P到Q的长度.【解析】（1）设点Q′(a，b)是Q关于直线l的对称点因为QQ′⊥l，k1=–1，所以又因为Q′Q的中点在直线l上，所以所以得，所以Q′(–3，–1)因为Q′在入射光线所在直线l1上，设其斜率为k，所以l1：即2x–5y+1=0（2）设PQ′与l的交点M，由（1）知|QM|=|Q′M|所以|PM|+|MQ|=|PM|+|MQ′|=|PQ′|=所以沿这光线从P到Q的长度为.入射光所在直线方程为2x–5y+1=0.3.3.3点到直线的距离（一）教学目标1．知识与技能理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式.2．过程和方法会用点到直线距离公式求解两平行线距离.3．情感和价值认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.（二）教学重点、难点教学重点：点到直线的距离公式.教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.\n（三）教学方法学导式教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程求点P到直线l的距离.用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学.要求学生思考点到直线的距离的计算？能否用两点间距离公式进行推导？设置情境导入新课概念形成1．点到直线距离公式点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离为推导过程方案一：设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为(A≠0)，根据点斜式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标：由此根据两点距离公式求出|PQ|，得到点P到直线l的距离为d.（1）教师提出问题已知P(x0，y0)，直线l：Ax+By+C=0，怎样用点的坐标和直线方程直接求点P到直线l的距离呢？学生自由讨论（2）数形结合，分析问题，提出解决方案.把点到直线l的距离转化为点P到l的垂线段的长，即点到点的距离.画出图形，分析任务，理清思路，解决问题.寻找最佳方案，附方案二.方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R(x1，y0)；作y轴的平行线，交l于点S(x0，y2)，由得所以通过这种转化，培养学生“化归”的思想方法.\n此方法虽思路自然，但运算较繁，下面我们探讨另一种方法.由三角形面积公式可知d·|RS|=|PR|·|PS|.所以可证明，当A=0时仍适用.这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识、能力、意志品质等方面得到了提高.应用举例例1求点P=(–1，2)到直线3x=2的距离.解：例2已知点A(1，3)，B(3，1)，C(–1，0)，求三角形ABC的面积.学生分析求解，老师板书例2解：设AB边上的高为h，则AB边上的高h就是点C到AB的距离.AB边所在直线方程为即x+y–4=0.点C到x+y–4=0的距离为h，因此，通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.\n概念深化2．两平行线间的距离d已知l1：Ax+By+C1=0l2：Ax+By+C2=0证明：设P0(x0，y0)是直线Ax+By+C2=0上任一点，则点P0到直线Ax+By+C1=0的距离为.又Ax0+By0+C2=0即Ax0+By0=–C2，∴教师提问：能不能把两平行直线间距离转化为点到直线的距离呢？学生交流后回答.再写出推理过程进一步培养学生化归转化的思想.应用举例例3求两平行线l1：2x+3y–8=0l2：2x+3y–10=0的距离.解法一：在直线l1上取一点P(4,0)，因为l1∥l2，所以P到l2的距离等于l1与l2的距离，于是解法二：直接由公式课堂练习：已知一直线被两平行线3x+4y–7=0与3x+4y+8=0所截线段长为3，且该直线过点(2，3)，求该直线方程.在教师的引导下，学生分析思路，再由学生上台板书.开拓学生思维，培养学生解题能力.归纳总结老师和学生共同总结——交流——完善\n小结：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式.培养学生归纳、概括能力，构建知识网络.课后作业布置作业见习案3.3的第三课时独立完成巩固深化备选例题例1求过点M(–2，1)且与A(–1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线的方程.解法一：当直线斜率不存在时，直线为x=–2，它到A、B两点距离不相等.所以可设直线方程为：y–1=k(x+2)即kx–y+2k+1=0.由，解得k=0或.故所求的直线方程为y–1=0或x+2y=0.解法二：由平面几何知识：l∥AB或l过AB的中点.若l∥AB且，则l的方程为x+2y=0.若l过AB的中点N(1，1)则直线的方程为y=1.所以所求直线方程为y–1=0或x+2y=0.例2（1）求直线2x+11y+16=0关于点P(0，1)对称的直线方程.（2）两平行直线3x+4y–1=0与6x+8y+3=0关于直线l对称，求l的方程.【解析】（1）当所求直线与直线2x+11y+16=0平行时，可设直线方程为2x+11y+C=0由P点到两直线的距离相等，即，所以C=–38.所求直线的方程为2x+11y–38=0.（2）依题可知直线l的方程为：6x+8y+C=0.则它到直线6x+8y–2=0的距离，到直线6x+8y+3=0的距离为所以d1=d2即，所以.即l的方程为：.\n例3等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x+3y–6=0上，顶点A的坐标是(1，–2).求边AB、AC所在直线方程.【解析】已知BC的斜率为，因为BC⊥AC所以直线AC的斜率为，从而方程即3x–2y–7=0又点A(1，–2)到直线BC：2x+3y–6=0的距离为，且.由于点B在直线2x+3y–6=0上，可设，且点B到直线AC的距离为所以或，所以或所以或所以直线AB的方程为或即x–5y–11=0或5x+y–3=0所以AC的直线方程为：3x–2y–7=0AB的直线方程为：x–5y–11=0或5x+y–3=0.4.1.1圆的标准方程（一）教学目标1．知识与技能（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.（2）会用待定系数法求圆的标准方程.2．过程与方法\n进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力.3．情感态度与价值观通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.（二）教学重点、难点重点：圆的标准方程难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.（三）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程具有什么特征？由学生回答，然后引入课题设置情境引入课题概念形成确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a，b)，半径为r(其中a、b、r都是常数，r＞0)设M(x，y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P={M|MA|=r}，由两点间的距离公式让学生写出点的坐标适合的条件①化简可得：(x–a)2+(y–b)2=r2②引导学生自己证明(x–a)2+(y–b)2=r2为圆的方程，得出结论.方程②就是圆心为A(a，b)半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.通过学生自己证明培养学生的探究能力.\n6––4––2––––2–––4––––55AM应用举例例1写出圆心为A(2，–3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5，–7)，是否在这个圆上.分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手.探究：点M(x0，y0)与圆(x–a)2+(y–b)2=r2的关系的判断方法：（1）(x0–a)2+(y0–b)2＞r2，点在圆外.（2）(x0–a)2+(y0–b)2=r2，点在圆上.（3）(x0–a)2+(y0–b)2＜r2，点在圆内.引导学生分析探究从计算点到圆心的距离入手.例1解：圆心是A(2，–3)，半径长等于5的圆的标准方程是(x+3)22+(y+3)2=25.把M1(5，–7)，M2(，–1)的坐标代入方程(x–2)2+(y+3)2=25，左右两边相等，点M1的坐标适合圆的方程，所以点M2在这个圆上；把M2(，–1)的坐标代入方程(x–2)2+(y+3)22=25，左右两边不相等，点M2的坐标不适合圆的方程，所以M2不在这个圆上通过实例引导学生掌握求圆的标准方程的两种方法.例2△ABC的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，–3)，C(2，–8).求它的外接圆的方程.例2解：设所求圆的方程是(x–a)2+(y–b)2=r2.①因为A(5，1)，B(7，–3)，C师生共同分析：从圆的标准方程(x–a)2+(y–b)2=r2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数，(学生自己运算解决)\n(2，–8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①.于是解此方程组，得所以，△ABC的外接圆的方程是(x–2)2+(y+3)2=25.22222例3已知圆心为C的圆C.经过点A(1，1)和B(2，–2)，且圆心在l:x–y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程.比较例(2)、例（3）可得出△ABC外接圆的标准方程的两种求法：①根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组得到a、b、r得值，写出圆的根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.练习：课本P127第1、3、4题师生共同分析：如图确定一个图只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，–2)，由于圆心C与A、B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于|CA|或|CB|.(教师板书解题过程)BmAC例3解：因为A(1，1)，B(2，–2)，所以线段AB的中点D的坐标为(，)，直线AB的斜率kAB==–3，因为线段AB\n的垂直平分线l′的方程是y+，即x–3y–3=0.圆心C的坐标是方程组的解.解此方程组，得所以圆心C的坐标是(–3，–2).圆心为C的圆的半径长r=|AC|==5.所以，圆心为C的圆的标准方程是(x+3)22+(y+2)2=25.归纳总结1．圆的标准方程.2．点与圆的位置关系的判断方法.3．根据已知条件求圆的标准方程的方法.教师启发，学生自己比较、归纳.形成知识体系课外作业布置作业：见习案4.1第一课时学生独立完成巩固深化备选例题例1写出下列方程表示的圆的圆心和半径（1）x2+(y+3)2=2；（2）(x+2)2+(y–1)2=a2(a≠0)【解析】（1）圆心为(0，–3)，半径为；（2）圆心为(–2，1)，半径为|a|.例2圆心在直线x–2y–3=0上，且过A(2，–3)，B(–2，–5)，求圆的方程.解法1：设所求的圆的方程为(x–a)2+(y–b)2=r2由条件知\n解方程组得即所求的圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10解法2：，AB的中点是(0，–4)，所以AB的中垂线方程为2x+y+4=0由得因为圆心为(–1,–2)又.所以所求的圆的方程是(x+1)2+(y+2)2=10.例3已知三点A(3，2)，B(5，–3)，C(–1，3)，以P(2，–1)为圆心作一个圆，使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.【解析】要使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是|PA|、|PB|、|PC|中的中间值..因为|PA|＜|PB|＜|PC|所以圆的半径.故所求的圆的方程为(x–2)2+(y+1)2=13.4.1.2圆的一般方程（一）教学目标1．知识与技能（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.2．过程与方法通过对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.3．情感态度与价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.（二）教学重点、难点\n教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F.教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.（三）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图课题引入问题：求过三点A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程.让学生带着问题进行思考设疑激趣导入课题.概念形成与深化请同学们写出圆的标准方程：(x–a)2+(y–b)2=r2，圆心(a，b)，半径r.把圆的标准方程展开，并整理：x2+y2–2ax–2by+a2+b2–r2=0.取D=–2a，E=–2b，F=a2+b2–r2得x2+y2+Dx+Ey+F=0①这个方程是圆的方程.反过来给出一个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？（1）当D2+E2–4F＞0时，方程②表示以为圆心，为半径的圆；（2）当D2+E2–4F整个探索过程由学生完成，教师只做引导，得出圆的一般方程后再启发学生归纳.圆的一般方程的特点：（1）①x2和y2的系数相同，不等于0.②没有xy这样的二次项.（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.（3）与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显.通过学生对圆的一般方程的探究，使学生亲身体会圆的一般方程的特点，及二元二次方程表示圆所满足的条件.\n=0时，方程只有实数解，即只表示一个点；（3）当D2+E2–4F＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.综上所述，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆.只有当D2+E2–4F＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的表示圆的方程称为圆的一般方程.应用举例例1判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.（1）4x2+4y2–4x+12y+9=0（2）4x2+4y2–4x+12y+11=0解析：（1）将原方程变为x2+y2–x+3y+=0D=–1，E=3，F=.∵D2+E2–4F=1＞0∴此方程表示圆，圆心（，），半径r=.（2）将原方程化为x2+y2–x+3y+=0D=–1，E=3，F=.D2+E2–4F=–1＜0∴此方程不表示圆.学生自己分析探求解决途径：①用配方法将其变形化成圆的标准形式.②运用圆的一般方程的判断方法求解.但是，要注意对于（1）4x2+4y2–4x+12y+9=0来说，这里的D=–1，E=3，而不是D=–4，E=12，F=9.通过例题讲解使学生理解圆的一般方程的代数特征及与标准方程的相互转化更进一步培养学生探索发现及分析解决问题的能力.例2求过三点A(0，0)，B(1，1)，例2讲完后\nC(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.解：设所求的圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0∵A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D、E、F的三元一次方程组：即解此方程组，可得：D=–8，E=6，F=0∴所求圆的方程为：x2+y2–8x+6y=0；.得圆心坐标为(4，–3).或将x2+y2–8x+6y=0左边配方化为圆的标准方程，(x–4)2+(y+3)2=25，从而求出圆的半径r=5，圆心坐标为(4，–3).学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：1．根据题设，选择标准方程或一般方程.2．根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；3．解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程.例3已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆上(x+1)2+y2=4运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.解：设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)由于点B的坐标是(4，3)且M是线段AB中重点，所以教师和学生一起分析解题思路，再由教师板书.分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4.建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M\n，①于是有x0=2x–4，y0=2y–3因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，所以点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4，即(x0+1)2+y02=4②把①代入②，得(2x–4+1)2+(2y–3)2=4，整理得所以，点M的轨迹是以为圆心，半径长为1的圆.MAxyOB课堂练习：课堂练习P130第1、2、3题.的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程.归纳总结1．圆的一般方程的特征2．与标准方程的互化3．用待定系数法求圆的方程4．求与圆有关的点的轨迹教师和学生共同总结让学生更进一步（回顾）体会知识的形成、发展、完善的过程.课后作业布置作业：见习案4.1的第二课时学生独立完成巩固深化备选例题例1下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心和半径.（1）x2+y2+x+1=0；（2）x2+y2+2ac+a2=0(a≠0)；（3）2x2+2y2+2ax–2ay=0(a≠0).【解析】（1）因为D＝1，E＝0，F＝1，所以D2+E2–4F＜0方程（1）不表示任何图形；\n（2）因为D＝2a，E＝0，F＝a2，所以D2+E2–4F＝4a2–4a2=0，所以方程（2）表示点(–a，0)；（3）两边同时除以2，得x2+y2+ax–ay=0，所以D=a，E=–a，F=0.所以D2+E2–4F＞0，所以方程（3）表示圆，圆心为，半径.点评：也可以先将方程配方再判断.例2已知一圆过P(4，–2)、Q(–1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为，求圆的方程.【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时，为简化运算，则利用垂径直径定理和由半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之.【解析】法一：设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0①将P、Q的坐标分别代入①得②③令x=0，由①，得y2+Ey+F=0④由已知|y1–y2|=，其中y1，y2是方程④的两根.∴(y1–y2)2=(y1+y2)–4y1y2=E2–4F=48⑤解②③⑤联立成的方程组，得故所求方程为：x2+y2–2x–12=0或x2+y2–10x–8y+4=0.法二：求得PQ的中垂线方程为x–y–1=0①∵所求圆的圆心C在直线①上，故设其坐标为(a，a–1)，又圆C的半径②由已知圆C截y轴所得的线段长为，而圆C到y轴的距离为|a|.代入②并将两端平方，得a2–5a+5=0，解得a1=1，a2=5.∴故所求的圆的方程为：(x–1)2+y2=13或(x–5)2+(y–4)2=37.【评析】(1)在解本题时，为简化运算，要避开直接去求圆和y轴的两个交点坐标，否则计算要复杂得多.\n（2）涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之，以简化运算.例3已知方程x2+y2–2(t+3)x+2(1–t2)y+16t4+9=0表示一个圆，求（1）t的取值范围；（2）该圆半径r的取值范围.【解析】原方程表示一个圆的条件是D2+E2–4F=4(t+3)2+4(1–t2)2–4(16t4+9)＞0即7t2–6t–1＜0，∴（2）∴4.2.1直线与圆的位置关系（一）教学目标1．知识与技能（1）理解直线与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.（二）过程与方法设直线l：ax+by+c=0，圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当d＞r时，直线l与圆C相离；（2）当d＝r时，直线l与圆C相切；（3）当d＜r时，直线l与圆C相交；3．情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.（二）教学重点、难点重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.难点：用坐标法判定直线与圆的位置关系.（三）教学过程设想教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入\n1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？师；让学生之间进行讨论、交流，引导学生观察图形，导入新课.生：看图，并说出自己的看法.启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课.概念形成2．直线与圆的位置关系有哪几种呢？三种（1）直线与圆相交，有两个公共点.（2）直线与圆相切，只有一个公共点.（3）直线与圆相离，没有公共点.师：引导学生利用类比、归纳的思想，总结直线与圆的位置关系的种类，进一步深化“数形结合”的数学思想.生：观察图形，利用类比的方法，归纳直线与圆的位置关系.得出直线与圆的位置关系的几何特征与种类.概念深化3．在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？师：引导学生回忆初中判断直线与圆的位置关系的思想过程.生：回忆直线与圆的位置关系的判断过程.使学生回忆初中的数学知识，培养抽象概括能力.4．你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗？方法一：利用圆心到直线的距离d.方法二：利用直线与圆的交点个数.师：引导学生从几何的角度说明判断方法和通过直线与圆的方程说明判断方法.生：利用图形，寻找两种方法的数学思想.抽象判断直线与圆的位置关系的思路与方法.应用举例5．你能用两种判断直线与圆的位置关系的数学思想解决例1的问题吗？例1如图，已知直线l：3x+y–6=0和圆心为C的圆x2+y2–2y–4=0，判断直线l师：指导学生阅读教科书上的例1.生：仔细阅读教科书上的例1，并完成教科书第140页的练习题2.例1①②解法一：由直线l与圆的方程，得消去y，得x2–3x+2=0，体会判断直线与圆的位置关系的思想方法，关注量与量之间的关系.\n与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标.分析：方法一：由直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系.6．通过学习教科书的例1，你能总结一下判断直线与圆的位置关系的步骤吗？例2已知过点M(–3，–3)的直线l被圆x2+y2+4y–21=0所截得的弦长为，求直线l的方程.因为△=(–3)2–4×1×2=1＞0所以，直线l与圆相交，有两个公共点.解法二：圆x2+y2–2y–4=0可化为x2+(y–1)2=5，其圆心C的坐标为（0，1），半径长为，点C(0，1)到直线l的距离d=＜.所以，直线l与圆相交，有两个公共点.由x2–3x+2=0，解得x1=2，x2=1.把x1=2代入方程①，得y1=0；把x2=1代入方程①，得y2=0；所以，直线l与圆有两个交点，它们的坐标分别是A(2，0)，B(1，3).生：阅读例1.师：分析例1，并展示解答过程；启发学生概括判断直线与圆的位置关系的基本步骤，注意给学生留有总结思考的时间.生：交流自己总结的步骤.师：展示解题步骤.例2解：将圆的方程写成标准形式，得x2+(y2+2)2=25，所以，圆心的坐标是(0，–2)，半径长r=5.如图，因为直线l的距离为，所以弦心距为使学生熟悉判断直线与圆的位置关系的基本步骤.\n，即圆心到所求直线l的距离为.因为直线l过点M(–3，–3)，所以可设所求直线l的方程为y+3=k(x+3)，即kx–y+3k–3=0.根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的距离d=.因此，，即|3k–1|=，两边平方，并整理得到2k2–3k–2=0，解得k=，或k=2.所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为y+3=(x+3)，或y+3=2(x+3).即x+2y=0，或2x–y+3=0.\n7．通过学习教科书上的例2，你能说明例2中体现出来的数学思想方法吗？8．通过例2的学习，你发现了什么？半弦、弦心距、半径构成勾股弦关系.师：指导学生阅读并完成教科书上的例2，启发学生利用“数形结合”的数学思想解决问题.生：阅读教科书上的例2，并完成137页的练习题.师：引导并启发学生探索直线与圆的相交弦的求法.生：通过分析、抽象、归纳，得出相交弦长的运算方法.进一步深化“数形结合”的数学思想.明确弦长的运算方法.9．完成教科书第136页的练习题1、2、3、4.师：引导学生完成练习题.生：互相讨论、交流，完成练习题.巩固所学过的知识，进一步理解和掌握直线与圆的位置关系.归纳总结10．课堂小结：教师提出下列问题让学生思考：（1）通过直线与圆的位置关系的判断，你学到了什么？（2）判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？（3）如何求出直线与圆的相交弦长？师生共同回顾回顾、反思、总结形成知识体系课外作业布置作业：见习题4.2第一课时学生独立完成巩固所学知识备选例题例1已知圆的方程x2+y2=2，直线y=x+b，当b为何值时，（1）圆与直线有两个公共点；（2）圆与直线只有一个公共点；（3）圆与直线没有公共点.解法1：圆心O(，0)到直线y=x+b的距离为，圆的半径.\n（1）当d＜r，即–2＜b＜2时，直线与圆相交，有两个公共点；（2）当d=r，即b=时，直线与圆相切，有一个公共点；（3）当d＞r，即b＞2或b＜–2时，直线与圆相离，无公共点.解法2：联立两个方程得方程组.消去y2得2x2+2bx+b2–2=0，=16–4b2.（1）当＞0，即–2＜b＜2时，直线与圆有两个公共点；（2）当＝0，即时，直线与圆有一个公共点；（3）当＜0即b＞2或b＜–2时，直线与圆无公共点.例2直线m经过点P(5，5)且和圆C：x2+y2=25相交，截得弦长l为，求m的方程.【解析】设圆心到直线m的距离为d，由于圆的半径r=5，弦长的一半，所以由勾股定理，得：，所以设直线方程为y–5=k(x–5)即kx–y+5–5k=0.由，得或k=2.所以直线m的方程为x–2y+5=0或2x–y–5=0.例3已知圆C：x2+y2–2x+4y–4=0.问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得弦AB满足：以AB为直径的圆经过原点.【解析】假设存在且设l为：y=x+m，圆C化为(x–1)2–(y+2)2=9，圆心C(1，–2).解方程组得AB的中点N的坐标，由于以AB为直径的圆过原点，所以|AN|=|ON|.又，所以解得m=1或m=–4.所以存在直线l，方程为x–y+1=0和x–y–4=0，并可以检验，这时l与圆是相交于两点的.4.2.2圆与圆的位置关系\n（一）教学目标1．知识与技能（1）理解圆与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；（3）会用连心线长判断两圆的位置关系.2．过程与方法设两圆的连心线长为l，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当l＞r1+r2时，圆C1与圆C2相离；（2）当l=r1+r2时，圆C1与圆C2外切；（3）当|r1–r2|＜l＜r1+r2时，圆C1与圆C2相交；（4）当l=|r1–r2|时，圆C1与圆C2内切；（5）当l＜|r1–r2|时，圆C1与圆C2内含.3．情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.（二）教学重点、难点重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系.（三）教学设想教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1．初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？教师引导学生回忆、举例，并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时，可互相交流.结合学生已有知识以验，启发学生思考，激发学生学习兴趣.概念形成2．判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？利用连心线的长与两圆半径和、差的关系.教师引导学生阅读教科书中的相关内容，注意个别辅导，解答学生疑难，并引导学生自己总结解题的方法.学生观察图形并思考，发表自己的解题方法.引导学生明确两圆的位置关系，并发现判断和解决两圆的位置关系的方法.应用举例3．例3你能根据题目，在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？你从中发现了什么？教师应该关注并发现有多少学生利用“图形”求，对这些学生应该给矛表扬.同时强调，解析几何是一门数与形结合的学科.培养学生“数形结合”的意识.\n应用举例4．根据你所画出的图形，可以直观判断两个圆的位置关系.如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？师：启发学生利用图形的特征，用代数的方法来解决几何问题.生：观察图形，并通过思考，指出两圆的交点，可以转化为两个圆的方程联立方程组后是否有实数根，进而利用判别式求解.进一步培养学生解决问题、分析问题的能力.利用判别式来探求两圆的位置关系.5．从上面你所画出的图形，你能发现解决两个圆的位置的其它方法吗？师：指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置.生：互相探讨、交流，寻找解决问题的方法，并能通过图形的直观性，利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻找解题的途径.进一步激发学生探求新知的精神，培养学生.6．如何判断两个圆的位置关系呢？师：对于两个圆的方程，我们应当如何判断它们的位置关系呢？引导学生讨论、交流，说出各自的想法，并进行分析、评价，补充完善判断两个圆的位置关系的方法.从具体到一般总结判断两个圆的位置关系的一般方法.7．阅读例3的两种解法，解决第137页的练习题.师：指导学生完成练习题.生：阅读教科书的例3，并完成第137页的练习题.巩固方法，并培养学生解决问题的能力.方法拓展延伸8．若将两个圆的方程相减，你发现了什么？师：引导并启发学生相交弦所在直线的方程的求法.生：通过判断、分析，得出相交弦所在直线的方程.得出两个圆的相交弦所在直线的方程.9．两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系呢？师：引导学生验证结论.生：互相讨论、交流，验证结论.进一步验证相交弦的方程.\n归纳总结10．课堂小结：教师提出下列问题让学思考：（1）通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？（2）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？（3）如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系？回顾、反思、总结，构建知识体系.课外作业布置作业：见习案4.2第二课时学生独立完成巩固深化所学知识.备选例题例1已知圆C1：x2+y2–2mx+4y+m2–5=0，圆C2：x2+y2+2x–2my+m2–3=0，m为何值时，（1）圆C1与圆C2相外切；（2）圆C1与圆C2内含.【解析】对于圆C1，圆C2的方程，经配方后C1：(x–m)2+(y+2)2=9，C2：(x+1)2+(y–m)2=4.（1）如果C1与C2外切，则有，所以m2+3m–10=0，解得m=2或–5.（2）如果C1与C2内含，则有，所以m2+3m+2＜0，得–2＜m＜–1.所以当m=–5或m=2时，C1与C2外切；当–2＜m＜–1时，C1与C2内含.例2求过直线x+y+4=0与圆x2+y2+4x–2y–4=0的交点且与y=x相切的圆的方程.【解析】设所求的圆的方程为x2+y2+4x–2y–4+(x+y+4)=0.联立方程组得：.因为圆与y=x相切，所以=0.即故所求圆的方程为x2+y2+7x+y+8=0.例3求过两圆x2+y2+6x–4=0求x2+y2+6y–28=0的交点，且圆心在直线x–y–4=0上的圆的方程.【解析】依题意所求的圆的圆心，在已知圆的圆心的连心线上，又两已知圆的圆心分别为(–3，0)和(0，–3).则连心线的方程是x+y+3=0.由解得.\n所以所求圆的圆心坐标是.设所求圆的方程是x2+y2–x+7y+m=0由三个圆有同一条公共弦得m=–32.故所求方程是x2+y2–x+7y–32=0.4.2.3直线与圆的方程的应用（一）教学目标1．知识与技能（1）理解掌握，直线与圆的方程在实际生活中的应用.（2）会用“数形结合”的数学思想解决问题.2．过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.3．情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力.（二）教学重点、难点重点与难点：直线与圆的方程的应用.教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入你能说出两点间的距离公式直线方程的四种形式及圆的方程的两种形式吗？学生思考后作答教师再引入课题现在我们通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用.启发并引导学生回顾，从而引入新课.应用举例3．阅读并思考教科书上的例4，你将选择什么方法解决例4的问题？例4图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB=20m，拱高OP=师：指导学生观察教科书上的图形特征，利用平面坐标系求解.生：自学例4，并完成练习题1、2.师：分析例4并展示解题过程，启发学生利用坐标法求，注意给学生留有总结思考的时间.指导学生从直观认识过渡到数学思想方法的选择.\n4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01m).解析：建立图所示的直角坐标系，使圆心在y轴上.设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2+(y–b)2=r2.下面确定b和r的值.因为P、B都在圆上，所以它们的坐标(0，4)，(10，0)都满足方程x2+(y–b)2=r2.于是，得到方程组解得b=–10.5，r2=14.52所以，圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.把点P2的横坐标x=–2代入圆的方程，得(–2)2+(y+10.5)2=14.52，取(P2的纵坐标y＞0平方根取正值).所以≈14.36–10.5=3.86(m)4．你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？教师引导学生分析圆的方程中，若横坐标确定，如何求出纵坐标的值.\n使学生加深对圆的方程的认识.5．你能利用“坐标法”解决例5吗？例5已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.师：引导学生建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题.生：建立适当的直角坐标系，探求解决问题的方法.证明：如图，以四边形ABCD互直垂直的对角线CA，DB所在直线分别为x轴，y轴，建立直角坐标系.设A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)，D(0，d).过四边形ABCD外接圆的圆心O′分别作AC、BD、AD的垂线，垂足分别为M、N、E分别是线段AC、BD、AD的中点.由线段的中点坐标公式，得所以又所以.巩固“坐标法”，培养学生分析问题与解决问题的能力.6．完成教科书第140页的练习题2、3、4.教师指导学生阅读教材，并解决课本第140页的练习题2、3、4，教师要注意引导学生思考平面几何问题与代数问题相互转化的依据.使学生熟悉平面几何问题与代数问题的转化，加深\n练习2赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程.练习3某圆拱桥的水面跨度20m，拱高4m.现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？练习4等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且，|CE|=|CA|，AD、BE相交于点P.求证AP⊥CP.练习2解：建立如图所示的直角坐标系.|OP|=7.2m，|AB|=37.4m.即有A(–18.7，0)，B(18.7，0)，C(0，7.2).设所求圆的方程是(x–a)2+(y–b)2=r2.于是有解此方程组，得a=0，b=–20.7，r=27.9.所以这这圆拱桥的拱圆的方程是x2+(y+20.7)2=27.92(0≤y≤7.2)练习3解：建立如图所示的坐标系.依题意，有A(–10，0)，B(10，0)，P(0，4)，D(–5，0)，E(5，0).设所求圆的方程是(x–a)2+(y–b)2=r2.于是有解此方程组，得a=0，b=–10.5，r=14.5.所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52(0≤y≤4).把点D的横坐标x=–5代入上式，得y=3.1.“坐标法”的解题步骤.\n由于船在水面以上高3m，3＜3.1，所以该船可以从桥下穿过.练习4解：以B为原点，BC边所在直线为x轴，线段BC长的为单位长，建立如图所示的坐标系.则.由已知，得D(2,0)，.直线AD的方程为.直线BE的方程为.解以上两方程联立成的方程组，得.所以，点P的坐标是.直线PC的斜率.因为，所以，AP⊥CP.练习题直角△ABC的斜边为定长m，以斜边的中点O为圆心作半径为长定长n的圆，BC的延长线交此圆于P、Q两点，求证|AP|2+|AQ|2+|PQ|2为定值.7．你能说出练习题蕴含了什么思想方法吗？学生独立解决练习题，教师组织学生讨论交流.证明：如图，以O为原点，分别以直线PQ为x轴，建立直角坐标系.于是有，，设A(x，y)，由已知，点A反馈学生掌握“坐标法”解决问题的情况，巩固所学知识.\n在圆上.AP2+AQ2+PQ2==(定值)归纳总结8．小结：（1）利用“坐标法”解决问题的需要准备什么工作？（2）如何建立直角坐标系，才能易于解决平面几何问题？（3）你认为学好“坐标法”解决问题的关键是什么？（4）建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有什么直接的影响呢？师：指导学生完成练习题.生：阅读教科书的例3，并完成.教师引导学生自己归纳总结所学过的知识，组织学生讨论、交流、探究.对知识进行归纳概括，体会利用“坐标法”解决实际问题的作用.课后作业布置作业习案4.2第2课时学生独立完成巩固所学知识备选例题例1一圆形拱桥，现时的水面宽为22米，拱高为9米，一艘船高7.5米，船顶宽4米的船，能从桥下通过吗？【解析】建立坐标系如图所示：C(–11，0)，D(11，0)，M(0，9)可求得过C、D、M三点的圆的方程是故A点坐标是(2，y1)，则得y1≈8.82，(取y1＞0)∴y1＞7.5，因此船不能从桥下通过.例2设半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东，B向北，A出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度一定，其比为3:1，问A、B\n两人在何处相遇.【解析】由题意以村中心为原点，正东方向为x轴的正方向，正北为y轴的正方向，建立直角坐标系，设A、B两人的速度分别的为3vkm/h，vkm/h，设A出发ah，在P处改变方向，又经过bh到达相遇点Q，则P(3av，0)Q (0，(a+b)v)，则|PQ|=3bv，|OP|=3av，|OQ|=（a+b）v在Rt△OPQ中|PQ|2=|OP|2+|OQ|2得5a=4b∴设直线PQ方程为由PQ与圆x2+y2=9相切，解得故A、B两人相遇在正北方离村落中心km.例3有一种商品，A、B两地均有售且价格相同，但某居住地的居民从两地往回运时，每单位距离A地的运费是B地运费的3倍.已知A、B相距10km，问这个居民应如何选择A地或B地购买此种商品最合算？(仅从运费的多少来考虑)【解析】以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系.|AB|=10，所以A(–5，0)，B(5，0)设P(x，y)是区域分界线上的任一点，并设从B地运往P地的单位距离运费为a，即从B地运往P地的运费为|PB|·a，则运住A地的运费|PA|·3a当运费相等时，就是|PB|·a=3a·|PA|，即整理得①所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在A或B地购买，在圆内的居民应选择在A地购买，在圆外的居民应选择在B地购买.4.3.1空间直角坐标系（一）教学目标\n1．知识与技能（1）使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景（2）使学生理解掌握空间中点的坐标表示2．过程与方法建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示3．情态与价值观通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数列结合的思想.（二）教学重点和难点空间直角坐标系中点的坐标表示.（三）教学设计教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入（1）我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数x表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M都可用对应一对有序实数(x，y)表示。那么假设我们对立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x，y，z)表示出来呢？师：启发学生联想思考，生：感觉可以师：我们不能仅凭感觉，我们要对它的认识从感性化提升到理性化.让学生体会到点与数（有序数组）的对应关系.概念形成（2）空间直角坐标系该如何建立呢？[1]师：引导学生看图[1]，单位正方体OABC–D′A′B′C′，让学生认识该空间直角系O–xyz中，什么是坐标原点，坐标轴以及坐标平面.师：该空间直角坐标系我们称为右手直角坐标系.体会空间直角坐标系的建立过程.（3）建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M如何用坐标表示呢？师：引导学生观察图[2]，生：点M对应着唯一确定的有序实数组(x，y，z)，x、y、z分别是P、Q、R在x、y、z轴上的坐标.学生从（1）中感性向理性过渡.\n[2]师：如果给定了有序实数组(x，y，z)，它是否对应着空间直角坐标系中的一点呢/生：（思考）是的师：由上我们知道了空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组(x，y，z)来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M(x，y，z)，x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.师：大家观察一下图[1]，你能说出点O，A，B，C的坐标吗？生：回答应用举例（4）例1如图，在长方体OABC–D′A′B′C′中，|OA|=3，|OC|=4，|OD′|=2.写出D′、C、A′、B′四点的坐标.解：D′在z轴上，且OD′=2，它的竖坐标是2；它的横坐标x与纵坐标y都是零，所以点D′的坐标是(0，0，2).点C在y轴上，且OD′=4，它的纵坐标是4；它的横坐标x与竖坐标z都是零，所以点C的坐标是(0，4，0).同理，点A′的坐标是(3，0，2).点B′在xOy平面上的射影是B，因此它的横坐标x与纵坐标y同点师：让学生思考例一一会，学生作答，师讲评。师：对于例二的讲解，主要是引导学生先要学会建立合适的空间直角坐标系，然后才涉及到点的坐标的求法。生：思考例一、例二的一些特点。总结如何求出空间中的点坐标的方法。学生在教师的指导下完成，加深对点的坐标的理解，例2更能体现出建立一个合适的空间直角系的重要性\nB的横坐标x与纵坐标y相同.在xOy平面上，点B横坐标x=3，纵坐标y=4；点B′在z轴上的射影是D′，它的竖坐标与点D′的竖坐标相同，点D′的竖坐标z=2.所点B′的坐标是(3，4，2)例2结晶体的基本单位称为晶胞，图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体)，其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子.如图，建立空间直角坐标系O–xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标.解：把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.下层的原子全部在xOy平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是(0，0，0)，(1，0，0)，(1，1，0)，(0，1，0)，；中层的原子所在的平面平行于xOy平面，与z轴交点的竖坐标为，所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是，\n；上层的原子所在的平面平行于xOy平面，与z轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是(0，0，1)，(1，0，1)，(1，1，1)，(0，1，1)，（5）练习2如图，长方体OABC–D′A′B′C′中，|OA|=3，|OC|=4，|OD′|=3，A′C′于B′D′相交于点P.分别写出点C、B′、P的坐标.师：大家拿笔完成练习2然后上黑板来讲解生：完成解：C、B′、P各点的坐标分别是(0，4，0)，(3，4，3)，学生在原有小结的经验的基础上，动手操作，并且锻炼学生的口才归纳总结（6）今天通过这堂课的学习，你能有什么收获？生：谈收获师：总结让学生的自信心得到增强课外练习布置作业见习案4.3的第一课时学生独立完成巩固所学知识备选例题例1如图，长方体OABC–D′A′B′C′中，OA=3，OC=4，OD′=3，A′B与AB′相交于点P，分别写出点C、B′、P的坐标.【解析】C在y轴正半轴上，坐标C(0，4，0)，B′的横坐标与A点相同，纵坐标与C点相同，竖坐标与D′点相同，所以B′（3，4，3）.P为正方形的对角线交点，坐标为.例2如图，正方体ABCD–A1B1C1D1，E、F分别是BB1，D1B1的中点，棱长为1，求点E、F的坐标和B1关于原点D的对称点坐标.【解析】由B(1，1，0)，B1(1，1，1)则中点E为，由B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，则中点.设B1关于点D的对称点M(x0，y0，z0)，\n即D为B1M的中点，因为D(0，0，0)，所以，所以M(–1，–1，–1).4.3.2空间两点间的距离公式（一）教学目标1．知识与技能使学生掌握空间两点间的距离公式2．过程与方法由平面上两点间的距离公式，引入空间两点距离公式的猜想先推导特殊情况下空间两点间的距离公式推导一般情况下的空间两点间的距离公式3．情态与价值观通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程（二）教学重点、难点重点：空间两点间的距离公式；难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。（三）教学设计教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入在平面上任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离的公式为|AB|=，那么对于空间中任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之间的距离的公式会是怎样呢？你猜猜？师：只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要。生：踊跃回答通过类比，充分发挥学生的联想能力。\n概念形成（2）空间中任间一点P(x，y，z)到原点之间的距离公式会是怎样呢？师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成学生：在教师的指导下作答得出|OP|=.从特殊的情况入手，化解难度概念深化（3）如果|OP|是定长r，那么x2+y2+z2=r2表示什么图形？师：注意引导类比平面直角坐标系中，方程x2+y2=r2表示的图形中，方程x2+y2=r2表示图形，让学生有种回归感。生：猜想说出理由任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学生可以通过类比在平面直角系中，方程x2+y2=r2表示原点或圆，得到知识上的升华，提高学习的兴趣。（4）如果是空间中任间一点P1(x1，y1，z1)到点P2(x2，y2，z2)之间的距离公式是怎样呢？师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。得出结论：|P1P2|=人的认识是从特殊情况到一般情况的\n巩固练习1．先在空间直角坐标系中标出A、B两点，再求它们之间的距离：（1）A(2，3，5)，B(3，1，4)；（2）A(6，0，1)，B(3，5，7)2．在z轴上求一点M，使点M到点A(1，0，2)与点B(1，–3，1)的距离相等.3．求证：以A(10，–1，6)，B(4，1，9)，C(2，4，3)三点为顶点的三角形是等腰三角形.4．如图，正方体OABD–D′A′B′C′的棱长为a，|AN|=2|CN|，|BM|=2|MC′|.求MN的长.教师引导学生作答1．解析（1），图略（2），图略2．解：设点M的坐标是(0，0，z).依题意，得=.解得z=–3.所求点M的坐标是(0，0，–3).3．证明：根据空间两点间距离公式，得，.因为7+7＞，且|AB|=|BC|，所以△ABC是等腰三角形.4．解：由已知，得点N的坐标为，点M的坐标为，于是培养学生直接利用公式解决问题能力，进一步加深理解课外练习布置作业见习案4.3的第二课时学生独立完成巩固深化所学知识备选例题\n例1已知点A在y轴，点B(0，1，2)且，则点A的坐标为.【解析】由题意设A(0，y，0)，则，解得：y=0或y=2，故点A的坐标是(0，0，0)或(0，2，0)例2坐标平面yOz上一点P满足：（1）横、纵、竖坐标之和为2；（2）到点A (3，2，5)，B(3，5，2)的距离相等，求点P的坐标.【解析】由题意设P(0，y，z)，则解得：故点P的坐标为(0，1，1)例3在yOz平面上求与三个已知点A(3，1，2)，B(4，–2，–2)，C(0，5，1)等距离的点的坐标.【解析】设P(0，y，z)，由题意所以即，所以，所以P的坐标是(0，1，–2).