高中数学不等式教案二 8页

第四教时教材：极值定理目的：要求学生在掌握平均不等式的基础上进而掌握极值定理，并学会初步应用。过程：一、复习：算术平均数与几何平均数定义，平均不等式二、若，设求证：加权平均；算术平均；几何平均；调和平均证：∵∴即：（俗称幂平均不等式）由平均不等式即：综上所述：例一、若求证证：由幂平均不等式：三、极值定理已知都是正数，求证：1°如果积是定值，那么当时和有最小值2°如果和是定值，那么当时积有最大值\n证：∵∴1°当(定值)时，∴∵上式当时取“=”∴当时有2°当(定值)时，∴∵上式当时取“=”∴当时有注意强调：1°最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）2°用极值定理求最值的三个必要条件：一“正”、二“定”、三“相等”一、例题1．证明下列各题：⑴证：∵∴于是⑵若上题改成，结果将如何？解：∵于是从而⑶若则解：若则显然有若异号或一个为0则∴2．①求函数的最大值②求函数的最大值解：①∵∴∴当即时即时\n②∵∴∴∴当时3．若，则为何值时有最小值，最小值为几？解：∵∴∴=当且仅当即时一、小结：1．四大平均值之间的关系及其证明2．极值定理及三要素二、作业：P12练习3、4习题6.24、5、6补充：下列函数中取何值时，函数取得最大值或最小值，最值是多少？1°时2°3°时第五教时教材：极值定理的应用目的：要求学生更熟悉基本不等式和极值定理，从而更熟练地处理一些最值问题。过程：三、复习：基本不等式、极值定理四、例题：1．求函数的最大值，下列解法是否正确？为什么？解一：\n∴解二：当即时答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在使得；解二错在不是定值（常数）正确的解法是：当且仅当即时2．若，求的最值解：∵∴从而即3．设且，求的最大值解：∵∴又\n∴即4．已知且，求的最小值解：当且仅当即时一、关于应用题1．P11例（即本章开头提出的问题）（略）2．将一块边长为的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？解：设剪去的小正方形的边长为则其容积为当且仅当即时取“=”即当剪去的小正方形的边长为时，铁盒的容积为二、作业：P12练习4习题6.27补充：1．求下列函数的最值：1°(min=6)\n2°()2．1°时求的最小值，的最小值2°设，求的最大值(5)3°若,求的最大值4°若且，求的最小值3．若，求证：的最小值为34．制作一个容积为的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料）第六教时教材：不等式证明一（比较法）目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。过程：一、复习：1．不等式的一个等价命题2．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断——结论二、作差法：（P13—14）1．求证：x2+3>3x证：∵(x2+3)-3x=∴x2+3>3x2．已知a,b,m都是正数，并且a0,b-a>0\n∴即：变式：若a>b，结果会怎样？若没有“aa2b3+a3b2证：(a5+b5)-(a2b3+a3b2)=(a5-a3b2)+(b5-a2b3)=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)∵a,b都是正数，∴a+b,a2+ab+b2>0又∵a¹b，∴(a-b)2>0∴(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0即：a5+b5>a2b3+a3b22．甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m¹n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为S，甲乙两人走完全程所需时间分别是t1,t2，则：可得：∴∵S,m,n都是正数，且m¹n，∴t1-t2<0即：t1b>0时，\n当b>a>0时，∴（其余部分布置作业）作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。四、小结：作差、作商五、作业：P15练习P18习题6.31—4