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- 2022-08-17 发布
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第七教时教材：不等式证明二（比较法、综合法）目的：加强比商法的训练，以期达到熟练技巧，同时要求学生初步掌握用综合法证明不等式。过程：一、比较法：1．复习：比较法，依据、步骤比商法，依据、步骤、适用题型2．例一、证明：在是增函数。证：设2≤x10,x1+x2-4>0∴又∵y1>0，∴y1>y2∴在是增函数二、综合法：定义：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。例二、已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc证：∵b2+c2≥2bc,a>0,∴a(b2+c2)≥2abc同理：b(c2+a2)≥2abc,c(a2+b2)≥2abc∴a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)≥6abc当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号，而a,b,c是不全相等的正数∴a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc例三、设a,b,cÎR，1°求证：2°求证：3°若a+b=1,求证：\n证：1°∵∴∴2°同理：，三式相加：3°由幂平均不等式：∴例二、a,b,cÎR,求证：1°2°3°证：1°法一：,,两式相乘即得。法二：左边≥3+2+2+2=92°∵两式相乘即得3°由上题：∴\n即：三、小结：综合法四、作业：P15—16练习1，2P18习题6.31，2，3补充：1．已知a,bÎR+且a¹b，求证：（取差）2．设aÎR，x,yÎR，求证：（取商）\n1．已知a,bÎR+，求证：证：∵a,bÎR+∴∴∴∴∴∴2．设a>0,b>0，且a+b=1，求证：证：∵∴∴∴第八教时教材：不等式证明三（分析法）目的：要求学生学会用分析法证明不等式。过程：一、介绍“分析法”：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。二、例一、求证：证：∵综合法：只需证明：∵21<25展开得：∴\n即：∴∴∴即：21<25（显然成立）∴∴∴例二、设x>0，y>0，证明不等式：证一：（分析法）所证不等式即：即：即：只需证：∵成立∴证二：（综合法）∵∵x>0，y>0，∴例三、已知：a+b+c=0，求证：ab+bc+ca≤0证一：（综合法）∵a+b+c=0∴(a+b+c)2=0展开得：∴ab+bc+ca≤0证二：（分析法）要证ab+bc+ca≤0∵a+b+c=0故只需证ab+bc+ca≤(a+b+c)2即证：即：（显然）∴原式成立证三：∵a+b+c=0∴-c=a+b∴ab+bc+ca=ab+(a+b)c=ab-(a+b)2=-a2-b2-ab\n=例四、（课本例）证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。证：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为，周长为l的正方形边长为，截面积为问题只需证：>即证：>两边同乘，得：因此只需证：4>p（显然成立）∴>也可用比较法（取商）证，也不困难。一、作业：P18练习1—3及习题6.3余下部分补充作业：1．已知00故只需证：即证：∵1+cosq>0只需证：即只需证：即：（成立）2．已知a>b>0，q为锐角，求证：略证：只需证：\n即：（成立）1．设a,b,c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：略证：正弦、余弦定理代入得：即证：即：即证：（成立）第九教时教材：不等式证明四（换元法）目的：增强学生“换元”思想，能较熟练地利用换元手段解决某些不等式证明问题。过程：一、提出课题：（换元法）二、三角换元：例一、求证：证一：（综合法）∵即：∴证二：（换元法）∵∴令x=cosq,qÎ[0,p]则∵∴例二、已知x>0,y>0，2x+y=1，求证：证一：即：证二：由x>0,y>0，2x+y=1，可设\n则例三：若，求证：证：设，则例四：若x>1，y>1，求证：证：设则例五：已知：a>1,b>0,a-b=1，求证：证：∵a>1,b>0,a-b=1∴不妨设则∵,∴00，则证：设则（当a=1时取“=”）∴即∴原式成立二、小结：还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法，有兴趣的课后还可进一步学习。三、作业：1．若，求证：2．若|a|<1，|b|<1，则3．若|x|≤1，求证：4．若a>1,b>0,a-b=1，求证：5．求证：6．已知|a|≤1，|b|≤1，求证：
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