苏教版高中数学必修5全部教案 159页

苏教版高中数学必修5全部教案【精美整理版】目录第一章解三角形1第1课时正弦定理（1）1第2课时正弦定理（2）3第3课时正弦定理（3）7第4课时余弦定理（1）10第5课时余弦定理（2）13第6课时余弦定理（3）16第7课时正、余弦定理的应用（1）20第8课时正、余弦定理的应用（2）24第9课时解三角形复习课27(1)、(2)27第二章数列34第1课数列的概念及其通项公式34第2课时数列的概念及其通项公式37第3课时等差数列的概念和通项公式40第4课时等差数列的概念和通项公式44第5课时等差数列的概念和通项公式47第6课时等差数列的前n项和（1）50第7课时等差数列的前n项和（2）54第8课时等差数列的前n项和（3）59第9课时等比数列的概念和通项公式63第10课时等比数列的概念和通项公式67第11课时等比数列的概念和通项公式70第12课时等比数列的74前n项和(1)74第13课时等比数列的77前n项和(2)77第14课时等比数列的82前n项和(3)82第15、16课时数列复习课(2课时)86第三章不等式99第1课时不等关系100第2课时一元二次不等式(1)103第3课时一元二次不等式(2)109第4课时一元二次不等式(3)113第5课时一元二次不等式应用题117第6课时二元一次不等式表示的平面区域119第7课时二元一次不等式组表示的平面区域123第8课时　简单的线性规划问题127第9课时　线性规划应用题130第10课时基本不等式的证明(1)134第11课时基本不等式的证明(2)138\n第12课时不等式的证明方法141第13课时基本不等式的应用（1）144第14课时基本不等式的应用(2)147第15课时不等式复习课150本站资源汇总［优秀资源，值得收藏］156\n第一章解三角形【知识结构】【重点难点】听课随笔　　重点：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。难点：（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题第1课时正弦定理（1）【学习导航】知识网络直角三角形的边角关系→任意三角形的边角关系→正弦定理学习要求1．正弦定理的证明方法有几种，但重点要突出向量证法；2．正弦定理重点运用于三角形中“已知两角一边”、“已知两边一对角”等的相关问题【课堂互动】自学评价1．正弦定理：在△ABC中，,2．正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角【精典范例】【例1】在中，，，，求，．分析：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题．【解】因为，，所以．因为，所以，．因此，，的长分别为和．【例2】根据下列条件解三角形：（1）；（2）．分析：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题．【解】（1），∴，，∴，∴为锐角，∴，∴．（2），∴，∴，第152页共159页\n∴当∴当所以，．追踪训练一1．在△ABC中，，，，则的值为（A）ABC10D2．在△ABC中，已知，，，则=（C）ABCD13．（课本P9练习第2题）在△ABC中，（1）已知，，，求，；（2）已知，，，求，。略解：（1），；（2），（可以先判断是等腰三角形再解）4．（课本P9练习第3题）根据下列条件解三角形：（1），，；（2），，。略解：（1）由题意知：或，或，（要注意两解的情况）（2）由题意知：【选修延伸】【例3】在锐角三角形ABC中，A=2B，、、所对的角分别为A、B、C，试求的范围。分析：本题由条件锐角三角形得到B的范围，从而得出的范围。听课随笔【解】在锐角三角形ABC中，A、B、C<900，即：，由正弦定理知：，故所求的范围是：。【例4】在△ABC中，设第152页共159页\n，求的值。【解】由正弦定理得：又，。追踪训练二（1）在中，已知，，，则，．（2）在中，如果，，，那么，的面积是．（3）在中，，，则．【师生互动】学生质疑教师释疑第2课时正弦定理（2）【学习导航】知识网络正弦定理→测量问题中的应用学习要求1．正弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；2．学会用计算器，计算三角形中数据。【课堂互动】自学评价1．正弦定理：在△ABC中，,变形：（1），，（2），，2．三角形的面积公式：第152页共159页\n（1）==（2）s=（3）【精典范例】【例1】如图，某登山队在山脚Ａ处测得山顶Ｂ的仰角为３５°，沿倾斜角为２０°的斜坡前进１０００ｍ后到达Ｄ处，又测得山顶的仰角为６５°，求山的高度ＢＣ（精确到１ｍ）．分析：要求ＢＣ，只要求ＡＢ，为此考虑解△ＡＢＤ．【解】听课随笔过点Ｄ作ＤＥ∥ＡＣ交ＢＣ于Ｅ，因为∠ＤＡＣ＝２０°，所以∠ＡＤＥ＝１６０°，于是∠ＡＤＢ＝３６０°－１６０°－６５°＝１３５°．又∠ＢＡＤ＝３５°－２０°＝１５°，所以∠ＡＢＤ＝３０°．在△ＡＢＤ中，由正弦定理，得（ｍ）．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＢＣ＝ＡＢｓｉｎ３５°＝１000ｓｉｎ３５°≈８１１（ｍ）．答　山的高度约为８１１ｍ．【例2】在埃及，有许多金字塔形的王陵，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了，考古人员在研究中测得一座金字塔的横截面如图（顶部已经坍塌了），∠A=，∠B=，AB=120m，如何求得它的高？（）分析：本题可以转化成：（1）解三角形，确定顶点C；（2）求三角形的高。【解】（1）先分别沿A、B延长断边，确定交点C，∠C=1800-∠A-∠B，用正弦定理算出AC或BC；（2）设高为h，则【例3】一座拦水坝的横断面为梯形，如图所示，求拦水坝的横断面面积。（请用计算器解答，精确到）【解】连接BD，设∠BDC=，则由正弦定理知第152页共159页\n，即，从而有，，由于，即，而梯形的高所以有注：本题也可以构造直角三角形来解，过C作CE⊥AB于E，过D作DF⊥AB于F即可。【例4】已知、、是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，是△ABC的面积，若=4，=5，=，求的长度。【解】由三角形的面积公式得：，听课随笔追踪训练一1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是(D)A.10海里B.海里C.5海里D.5海里第152页共159页\n2．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长(A)A.1公里B.sin10°公里C.cos10°公里D.cos20°公里3．如图：在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45°，假设建筑物高50m，求此山对于地平面的斜度q【解】在△ABC中，AB=100m,ÐCAB=15°,ÐACB=45°-15°=30°由正弦定理：∴BC=200sin15°在△DBC中，CD=50m,ÐCBD=45°,ÐCDB=90°+q由正弦定理：Þcosq=,∴q=4294°【选修延伸】【例5】在湖面上高h处，测得云彩仰角为a，而湖中云彩影的俯角为b，求云彩高.【解】C、C’关于点B对称，设云高CE=x，则CD=x-h，C’D=x+h，在Rt△ACD中，在Rt△AC’D中，,∴解得.追踪训练二1．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时(C)A.5海里B.5海里C.10海里D.10海里2．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为(C)A.B.C.D.不能确定大小第152页共159页\n听课随笔【师生互动】学生质疑教师释疑第3课时正弦定理（3）知识网络学习要求1．掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形；2．熟记正弦定理及其变形形式；3．判断△ＡＢＣ的形状.【课堂互动】自学评价1．正弦定理：在△ABC中，,为的外接圆的半径2．三角形的面积公式：（1）s===（2）s=（3）s=【精典范例】【例1】在△ＡＢＣ中，已知＝＝，试判断△ＡＢＣ的形状．【解】令＝ｋ，由正弦定理，得代入已知条件，得＝＝　　，即tanＡ＝tanＢ＝tanＣ．又Ａ，Ｂ，Ｃ∈（０，π），第152页共159页\n所以Ａ＝Ｂ＝Ｃ，从而△ＡＢＣ为正三角形．听课随笔点评:　通过正弦定理，可以实现边角互化．【例2】在△ＡＢＣ中，ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分线，用正弦定理证明＝．【证】　设∠ＢＡＤ＝α，∠ＢＤＡ＝β，则∠ＣＡＤ＝α，∠ＣＤＡ＝１８０°－β．在△ＡＢＤ和△ＡＣＤ中分别运用正弦定理，得＝，＝．又ｓｉｎ（１８０°－β）＝ｓｉｎβ，所以＝，即＝．【例3】根据下列条件，判断有没有解？若有解，判断解的个数．（1），，，求；（2），，，求；（3），，，求；（4），，，求；（5），，，求．【解】（1）∵，∴只能是锐角，因此仅有一解．（2）∵，∴只能是锐角，因此仅有一解．（3）由于为锐角，而，即，因此仅有一解．（4）由于为锐角，而，即，因此有两解，易解得．（5）由于为锐角，又，即，∴无解．追踪训练一1.在△ABC中，已知b=6，c=10，B=30°，则解此三角形的结果是（　C　）A.无解B.一解C.两解D.解的个数不能确定2.在△ABC中，若，则等于（D）A．B．C．D．3.在△ABC中，若，则△ABC的形状是（D）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形【选修延伸】【例4】如图所示，在等边三角形中，为三角形的中心，过的直线交于，交于，第152页共159页\n求的最大值和最小值．【解】由于为正三角形的中心，∴，，设，则，在中，由正弦定理得：，听课随笔∴，在中，由正弦定理得：，∴，∵，∴，故当时取得最大值，所以，当时，此时取得最小值．追踪训练二1.在中，，则(D)A．B．C．D．2.在中，若，且，则4，5，6．3.已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶∶2，则A∶B∶C等于(　A)A．1∶2∶3B．2∶3∶1C．1∶3∶2D．3∶1∶24.如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为(C)A.75°B.60°C.50°D.455．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(1-2k)∶3k(k≠0)，则k的取值范围为(B　)听课随笔A．(2，＋∞)B．(，)C．D．6．在△ABC中，证明：.证明：第152页共159页\n由正弦定理得：【师生互动】学生质疑教师释疑第4课时余弦定理（1）知识网络三角形中的向量关系→余弦定理学习要求1．掌握余弦定理及其证明；2．体会向量的工具性；3．能初步运用余弦定理解斜三角形．【课堂互动】自学评价1．余弦定理：(1)，，.(2)变形：，，2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）已知三边，求三个角；（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．【精典范例】【例1】在中，（1）已知，，，求；（2）已知，，，求（精确到）．第152页共159页\n【解】（1）由余弦定理，得，所以．（2）由余弦定理，得，所以，．听课随笔点评:利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）已知三边，求三个角；（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．【例2】两地之间隔着一个水塘，现选择另一点，测得，求两地之间的距离（精确到）．【解】由余弦定理，得所以，答两地之间的距离约为．【例3】用余弦定理证明：在中，当为锐角时，；当为钝角时，．【证】当为锐角时，，由余弦定理，得，即．同理可证，当为钝角时，点评:余弦定理可以看做是勾股定理的推广．追踪训练一１．在△ＡＢＣ中，（１）已知Ａ＝６０°，ｂ＝４，ｃ＝７，求a；（２）已知a＝７，ｂ＝５，ｃ＝３，求Ａ．略解：（1）a略解：（2）２．若三条线段的长为５，６，７，则用这三条线段（　Ｂ　）　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．能组成直角三角形Ｂ．能组成锐角三角形Ｃ．能组成钝角三角形　Ｄ．不能组成三角形３．在△ＡＢＣ中，已知，试求∠Ｃ的大小．略解：第152页共159页\n４．两游艇自某地同时出发，一艇以１０ｋｍ／ｈ的速度向正北行驶，另一艇以７ｋｍ／ｈ的速度向北偏东４５°的方向行驶，问：经过４０ｍｉｎ，两艇相距多远？略解：两艇相距4.71km【选修延伸】【例4】在△ABC中，=，=，且，是方程的两根，。（1）求角C的度数；（2）求的长；（3）求△ABC的面积。解：(1)（2）因为，是方程的两根，所以听课随笔（3）【例5】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，，，证明：。证明：由余弦定理知：，则，整理得:，又由正弦定理得:，，第152页共159页\n追踪训练二1．在△ABC中，已知，，B=，则（B）A2B听课随笔CD2．在△ABC中，已知AB=5，AC=6，BC=，则A=（A）ABCD3．在△ABC中，若，，C=，则此三角形有一解。提示：由余弦定理得：负值不合题意，舍去。4、△ABC中，若，则A=。【师生互动】学生质疑教师释疑第5课时余弦定理（2）【学习导航】知识网络学习要求1．能把一些简单的实际问题转化为数学问题；2．余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；第152页共159页\n3．初步利用定理判断三角形的形状。【课堂互动】自学评价1．余弦定理：(1)，，.(2)变形：，，2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）已知三边，求三个角；（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．【精典范例】听课随笔【例1】在长江某渡口处，江水以的速度向东流，一渡船在江南岸的码头出发，预定要在后到达江北岸码头，设为正北方向，已知码头在码头的北偏东，并与码头相距．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到，速度精确到）？【解】如图，船按方向开出，方向为水流方向，以为一边、为对角线作平行四边形，其中．在中，由余弦定理，得所以．因此，船的航行速度为．在中，由正弦定理，得所以所以答：渡船应按北偏西的方向，并以的速度航行．【例2】在中，已知，试判断该三角形的形状．【解】由正弦定理及余弦定理，得，所以，整理得因为，所以．因此，为等腰三角形．【例3】如图，是中边上的中线，求证：．【证明】设，则．在中，由余弦定理，得第152页共159页\n．在中，由余弦定理，得因为，所以，因此，．追踪训练一1.在△ＡＢＣ中，如果＝２∶３∶４，那么ｃｏｓＣ等于（　Ｄ　）．Ａ．　Ｂ．　Ｃ．　Ｄ．2.如图，长７ｍ的梯子ＢＣ靠在斜壁上，梯脚与壁基相距１．５ｍ，梯顶在沿着壁向上６ｍ的地方，求壁面和地面所成的角α（精确到０.１°）．略解：3.在△ＡＢＣ中，已知ａ＝２，ｂ＝３，Ｃ＝６０°，试证明此三角形为锐角三角形．【选修延伸】听课随笔【例4】在△ABC中，设，且，请判断三角形的形状。【解】由,即而，得而由得而，∴三角形为等边三角形。追踪训练二第152页共159页\n1．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则等于(B　)A．B．C．D．2．在△ＡＢＣ中，设，，且｜｜＝２，｜｜＝，·＝－，求ＡＢ的长．略解：听课随笔3.用余弦定理证明：在△ＡＢＣ中，　　（１）ａ＝ｂｃｏｓＣ＋ｃｃｏｓＢ；　　（２）ｂ＝ｃｃｏｓＡ＋ａｃｏｓＣ；（３）ｃ＝ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ．【师生互动】学生质疑教师释疑第6课时余弦定理（3）【学习导航】知识网络学习要求1．余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；2．能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3．进一步运用余弦定理解斜三角形．【课堂互动】自学评价1．余弦定理：(1)，，.(2)变形：，，第152页共159页\n2．判断该三角形的形状一般都有角化边或边化角两种思路.【精典范例】【例1】在ABC中，求证：（1）（2）分析：【解】（1）根据正弦定理，可设===k显然k0，所以左边===右边（2）根据余弦定理的推论，右边=2(bc+ca+ab)=(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c=左边【例2】在中，已知acosA=bcosB用两种方法判断该三角形的形状.听课随笔分析：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”。【解】方法1o（余弦定理）得a=bc=是等腰三角形或直角三角形.方法2o（正弦定理）得sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,2A=2B,或2A+2B=180A=B或A+B=90第152页共159页\n是等腰三角形或直角三角形.点评:判断该三角形的形状一般都有“走边”或“走角”两条路。【例3】在四边形ABCD中，ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，DC=，求：（1）AB的长（2）四边形ABCD的面积【解】（1）因为BCD=75，ACB=45，所以ACD=30，又因为BDC=45，所以DAC=180-（75+45+30）=30，所以，AD=DC=在BCD中，CBD=180-（75+45）=60，所以=，BD==在ABD中，AB=AD+BD-2ADBDcos75=5,所以，AB=（3）S=ADBDsin75=同理，S=所以四边形ABCD的面积S=追踪训练一听课随笔1.在△ABC中，，，则下列各式中正确的是（D）A.B.C.D.2.在△ABC中，若,则△ABC的形状是____直角三角形_____第152页共159页\n3.如图，已知圆内接四边形ＡＢＣＤ的边长分别为ＡＢ＝２，ＢＣ＝６，ＡＤ＝ＣＤ＝４，如何求出四边形ＡＢＣＤ的面积？答案：S=8【选修延伸】【例4】如图：在四边形ABCD中，∠B=∠D=750，∠C=，AB=3，AD=4，求对角线AC的长。分析：此题涉及两个三角形，AC是公共边。【解】设∠DCA=，AC=，则听课随笔追踪训练二1．在△ABC中，若c4-2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，则∠C等于(D)A．90°B．120°C．60°D．120°或60°2．在锐角中，若，则边长的取值范围是3．已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S.答案：a=6,S=9;a=12,S=18第152页共159页\n【师生互动】学生质疑教师释疑第7课时正、余弦定理的应用（1）【学习导航】知识网络学习要求1．综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题2．分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念3．将实际问题转化为解三角形问题【课堂互动】自学评价1．正弦定理、余弦定理及其变形形式，（1）正弦定理、三角形面积公式：；（2）正弦定理的变形：；；．（3）余弦定理：1）变形：2）2．运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是：①分析：理解题意，弄清清与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；②建模：根据书籍条件与求解目标，把书籍量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；③求解：利用正弦定理、余弦定理理解这些三角形，求得数学模型的解；④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。【精典范例】听课随笔【例1】为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边取点，测得，，，，.设第152页共159页\n在同一平面内，试求之间的距离（精确到）.【解】在中，，，则.又，由正弦定理，得.在中，，，则.又，由正弦定理，得在中，由余弦定理，得，所以答两点之间的距离约为.【例2】某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为，距离为的处，并测得渔轮正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到，时间精确到）.【解】设舰艇收到信号后在处靠拢渔轮，则，，又，.由余弦定理，得，即化简，得，解得（负值舍去）.由正弦定理，得所以，方位角为.答舰艇应沿着方向角的方向航行，经过就可靠近渔轮.【例3】某海岛上一观察哨在上午时测得一轮船在海岛北偏东的处，时第152页共159页\n分测得轮船在海岛北偏西的处，时分轮船到达海岛正西方的港口.如果轮船始终匀速前进，求船速.【解】设，船的速度为，则，.在中，，.听课随笔在中，，.在中，，，，船的速度.追踪训练一1．曲柄连杆机构示意图如图所示．当曲柄ＯＡ在水平位置ＯＢ时，连杆端点Ｐ在Ｑ的位置．当ＯＡ自ＯＢ按顺时针方向旋转α角时，Ｐ和Ｑ之间的距离是xｃｍ．已知ＯＡ＝２５ｃｍ，ＡＰ＝１２５ｃｍ，根据下列条件，求ｘ的值（精确到０．１ｃｍ）：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）α＝５０°；　（２）α＝１３５°.答案：（１）ｃｍ（２）ｃｍ2．如图，货轮在海上以４０ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度由Ｂ向Ｃ航行，航行的方位角∠ＮＢＣ＝１４０°，Ａ处有灯塔，其方位角∠ＮＢＡ＝１１０°，在Ｃ处观察灯塔Ａ的方位角∠Ｎ′ＣＡ＝３５°，由Ｂ到Ｃ需航行０．５ｈ，求Ｃ到灯塔Ａ的距离．　答案：ｎｍｉｌｅ第152页共159页\n3．如图，某人在高出海面６００ｍ的山上Ｐ处，测得海面上的航标Ａ在正东，俯角为３０°，航标Ｂ在南偏东６０°，俯角为４５°，求这两个航标间的距离．　　答案：这两个航标间的距离是600m.【选修延伸】【例4】三角形ABC中有两个角分别为300和450，，求⊿ABC的面积。【解】由条件知三角形的第三个角为1050，设三角形外接圆半径为，则.追踪训练二1．在⊿ABC中，已知A=，且，则C的值为（C）A4B9C4或9D无解2．有一广告气球，直径为6m，放在公司大楼的上空，当行人仰望气球中心的仰角为300时，测得气球的视角，若很小时可取，则估算该气球离地高度为（B）听课随笔A72mB86mC102mD118m3．在锐角三角形ABC中，，，则边的取值范围是（C）ABCD提示：分边是最大边和不是最大边两种情况讨论，用余弦定理。4．在⊿ABC中，若，则B=600。提示：由条件知，，第152页共159页\n【师生互动】学生质疑教师释疑第8课时正、余弦定理的应用（2）【学习导航】知识网络学习要求1．利用正弦定理和余弦定理解决有关测量问题时，要注意分清仰角、俯角、张角和方位角等概念。2.在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过这些三角形，得出实际问题的解。【课堂互动】自学评价运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是：①分析：理解题意，弄清清与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；②建模：根据书籍条件与求解目标，把书籍量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；③求解：利用正弦定理、余弦定理理解这些三角形，求得数学模型的解；④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。【精典范例】【例1】作用在同一点的三个力平衡.已知，，与之间的夹角是，求的大小与方向（精确到）.【解】应和合力平衡，所以和在同一直线上，并且大小相等，方向相反.如图1-3-3，在中，由余弦定理，得再由正弦定理，得，所以，从而.听课随笔答为，与之间的夹角是.【例2】半圆的直径为，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以第152页共159页\n为一边作等边三角形.问：点在什么位置时，四边形面积最大？分析：四边形的面积由点的位置唯一确定，而点由唯一确定，因此可设，再用的三角函数来表示四边形的面积.【解】设.在中，由余弦定理，得.于是，四边形的面积为.因为，所以当时，，即时，四边形的面积最大.追踪训练一1.如图，用两根绳子牵引重为Ｆ１＝１００Ｎ的物体，两根绳子拉力分别为Ｆ２，Ｆ３，保持平衡．如果Ｆ２＝８０Ｎ，Ｆ２与Ｆ３夹角α＝１３５°．（１）求Ｆ３的大小（精确到１Ｎ）；（２）求Ｆ３与Ｆ１的夹角β的值（精确到０.１°）．答案：（１）（２）2.从２００ｍ高的电视塔顶Ａ测得地面上某两点Ｂ，Ｃ的俯角分别为３０°和４５°，∠ＢＡＣ＝４５°，求这两个点之间的距离．答案：第152页共159页\n3．在△ABC中，若，B=450，△ABC的面积为2，那么，△ABC的外接圆直径为【选修延伸】【例3】中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，①求最大角的余弦值；②求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.【解】①设三边，且，∵为钝角，∴，解得，∵，∴或，但时不能构成三角形应舍去，当时，；②设夹角的两边为，，听课随笔所以，，当时，．追踪训练二1．我国潜艇外出执行任务，在向正东方向航行时，测得某国的雷达站在潜艇的东偏北300方向的100nmile处，已知该国的雷达扫描半径为70nmile，若我国潜艇不改变航向，则行驶多少路程后会有暴露目标？（B）A50BCD2．在△ABC中，若，则与的大小关系是（A）A大于B大于等于C小于D小于等于解：3．两艘快艇在水面上一前一后前进，后一艘快艇的速度是前一艘的两倍，前一艘快艇突然向与原前进方向成300角行驶，若后一快艇需想在最短的时间内赶上前艇，则它行驶的方向应与原方向的夹角为【师生互动】学生质疑教师释疑第152页共159页\n第9课时解三角形复习课(1)、(2)学习要求1．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形；2．能利用计算器解决三角形的计算问题。【课堂互动】自学评价1．正弦定理：txjy(1)形式一：=2R；形式二：；；；（角到边的转换）形式三：，，；（边到角的转换）形式四：；（求三角形的面积）(2)解决以下两类问题：1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解）2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。(3)若给出那么解的个数为：若，则无解；若，则一解；若，则两解；2．余弦定理：txjy(1)形式一：，，听课随笔形式二：，，，（角到边的转换）(2)解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们得夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）【精典范例】一、判定三角形的形状【例1】根据下列条件判断三角形ABC的形状：(1)若a2tanB=b2tanA；(2)b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC;(3)(3)(sinA+sinB+sinC)–(cosA+cosB+cosC)=1.【解】(1)由已知及正弦定理得第152页共159页\n(2RsinA)2=(2RsinB)22sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B2cos(A+B)sin(A–B)=0∴A+B=90o或A–B=0所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.(2)由正弦定理得sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC∵sinBsinC≠0,∴sinBsinC=cosBcosC,即cos(B+C)=0,∴B+C=90o,A=90o,故△ABC是直角三角形.(3)(sinA+sinB+sinC)–(cosA+cosB+cosC)=1[2sincos+sin(A+B)]–[2coscos+2cos2-1]=0[2sincos+sin(A+B)]–2coscos-2sin2=0(sin-cos)(cos-sin)=0sin(-)sinsin=0△ABC是Rt△.二、三角形中的求角或求边长问题【例2】△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB、BC、CA上取点D、E、F，使△DEF是等边三角形.设∠FEC=α，问sinα为何值时，△DEF的边长最短？并求出最短边的长。分析：要求最短边的长，需建立边长关于角α的目标函数。【解】设△DEF的边长为x，显然∠C=90°，∠B=60°，故EC=x·cosα。因为∠DEC=∠DEF+α=∠EDB+∠B，所以∠EDB=α。在△BDE中，由正弦定理得，第152页共159页\n听课随笔所以，因为BE+EC=BC，所以，所以当，。注：在三角形中，已知两角一边求其它边，自然应联想到正弦定理。【例3】在△ABC中，已知sinB=,cosA=,试求cosC的值。【解】由cosA=，得sinA=,∵sinB0,a7<0.（1）求公差d的值;（2）求通项an.【解】第152页共159页\n（1）d=-4;（2）an=-4n+27【例5】甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡．乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．请您根据提供的信息说明：⑴第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；⑵到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；⑶哪一年的规模最大？请说明理由．【解】【答案】(1)第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了(3)第2年的规模最大听课随笔【追踪训练二】：1.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（D）A.d＞B.d＜3C.≤d＜3D.＜d≤32.在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8等于（C）A.45B.75C.180D.3003.如果等差数列{an}的第5项为5，第10项为－5，那么此数列的第一个负数项是第__8_项.4.已知等差数列的第10项为23，第25项为－22，则此数列的通项公式为an＝－3n＋53_.5.已知数列{an}满足an+12=an2+4，且a1=1,an＞0，求an.【解】由an+12=a2n+4即an+12－an2=4∴数列{an2}构成等差数列.an2=a12+(n－1)d=12+(n－1)·4=4n－3又an＞0∴an=8.若x≠y，两个数列：x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差数列，求的值.【解】设两个等差数列的公差分别为d1、d2，即求，由已知得即解得，即【师生互动】学生质疑教师释疑第152页共159页\n第5课时等差数列的概念和通项公式【学习导航】知识网络学习要求1．体会等差数列与一次函数的关系；2．初步通过数列的下标研究数列。【自学评价】1．是等差数列2．已知是等差数列，若，则【精典范例】【例1】已知等差数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ＝２ｎ－１，求首项ａ１和公差ｄ，并画出图像。【解】【答案】等差数列的通项公式ａｎ＝２ｎ－１是关于ｎ的一次式，从图象上看，表示这个数列的各点（ｎ，ａｎ）均在直线ｙ＝２ｘ－１上。【例2】（１）在等差数列｛ａｎ｝中，是否有（ｎ≥２）？（２）在数列｛ａｎ｝中，如果对于任意的正整数ｎ（ｎ≥２），都有，那么数列｛ａｎ｝一定是等差数列吗？【解】【例3】如图，三个正方形的边ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长组成等差数列，且ＡＤ＝２１ｃｍ，这三个正方形的面积之和是１７９ｃｍ２．（１）求ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长；听课随笔（２）以ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长为等差数列的前三项，以第１０项为边长的正方形的面积是多少？第152页共159页\n【解】　（１）设公差为ｄ（ｄ＞０），ＢＣ＝x，则ＡＢ＝x－ｄ，ＣＤ＝x＋ｄ．由题意得解得或（舍去）ＡＢ＝３（ｃｍ），ＢＣ＝７（ｃｍ），ＣＤ＝１１（ｃｍ）（２）正方形的边长组成首项是３，公差是４的等差数列｛ａｎ｝，所以ａ１０＝３＋（１０－１）×４＝３９．ａ２１０＝３９２＝１５２１（ｃｍ２）．所求正方形的面积为１５２１ｃｍ２．【追踪训练一】：1．已知等差数列的通项公式为，求它的首项和公差，并画出它的图象．【答案】略2.已知ａ１，ａ２，ａ３，…，ａｎ，ａｎ＋１，…，ａ２ｎ是公差为ｄ的等差数列．（１）ａｎ，ａｎ－１，…，ａ２，ａ１也成等差数列吗？如果是，公差是多少？（２）ａ２，ａ４，ａ６，…，ａ２ｎ也成等差数列吗？如果是，公差是多少？【答案】（1）（2）３．已知等差数列｛ａｎ｝的首项为ａ１，公差为ｄ．（１）将数列｛ａｎ｝中的每一项都乘以常数ａ，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？（２）由数列｛ａｎ｝中的所有奇数项按原来的顺序组成新数列｛ｃｎ｝是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？【答案】（1）是等差数列，公差是（2）是等差数列，首项是，公差是４．一个直角三角形三边的长组成等差数列，求这个直角三角形三边长的比．【答案】三边长的比为５．某货运公司的一种计费标准是：１ｋｍ以内收费５元，以后每１ｋｍ收２.５元．如果运输某批物资８０ｋｍ，那么需支付多少元运费？第152页共159页\n【答案】需支付运费202.5元【选修延伸】【例4】在等差数列｛ａｎ｝中，已知ａｐ＝ｑ，ａｑ＝ｐ（ｐ≠ｑ），求ａｐ＋ｑ【解】【答案】ａｐ＋ｑ=0【例5】如图（１）是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点，将原三角形剖分成４个三角形（如图（２）），再分别连结图（２）中间的小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成７个三角形（如图（３））．依此类推，第ｎ个图中原三角形被剖分为ａｎ个三角形．（１）求数列｛ａｎ｝的通项公式；（２）第１００个图中原三角形被剖分为多少个三角形？【解】【答案】（1）（2）298个三角形【追踪训练二】：听课随笔1.若｛an｝是等差数列，a3,a10是方程x2-3x-5=0的两根，则a5+a8=3.2.若关于的方程和的四个根组成首项为的等差数列，则（D）A.B.C.D.3.若三个数a-4,a+2,26-2a，适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列.【解】a=6，相应的数列为：2，8，14a=9，相应的数列为：5，8，11a=12，相应的数列为：2，8，144.已知，，求【解】【师生互动】学生质疑教师释疑第152页共159页\n第6课时等差数列的前n项和（1）【学习导航】知识网络学习要求1．掌握等差数列前n项和公式及其推导过程．2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题【自学评价】1.等差数列的前项和：公式1：公式2：；2.若数列｛an｝的前n项和Sn＝An2＋Bn，则数列｛an｝为等差数列.3.若已知等差数列{an}的前n项和为Sn,则an可用Sn表示:【精典范例】【例1】　在等差数列｛an｝中，（１）已知，，求；（２）已知，，求．【解】（１）根据等差数列前ｎ项和公式，得（２）根据等差数列前ｎ项和公式，得【例2】在等差数列｛an｝中，已知，，，求及n.【解】由已知，得第152页共159页\n由②，得代入①后化简，得听课随笔点评:　在等差数列的通项公式与前ｎ项和公式中，含有，ｄ，ｎ，，五个量，只要已知其中的三个量，就可以求出余下的两个量．【例3】在等差数列｛an｝中，已知第１项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和．【解】即解得思维点拔数列{an}是等差数列,前项和是,那么仍成等差数列,公差为(为确定的正整数)【例4】根据数列｛an｝的前n项和公式，判断下列数列是否是等差数列.(1)Sn＝2n2－n(2)Sn＝2n2－n＋1【解】(1)a1＝S1＝1当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－n)－［2(n－1)2－(n－1)］＝2(2n－1)－1＝4n－3∵n=1时也成立，∴an＝4n－3an＋1－an＝［4(n＋1)－3］－［4n－3］＝4∴｛an｝成等差数列(2)a1＝S1＝2第152页共159页\na2＝S2－S1＝5a3＝S3－S2＝9∵a2－a1≠a3－a2∴｛an｝不是等差数列.点评：已知Sn，求an，要注意a1＝S1，当n≥2时an＝Sn－Sn－1，因此an＝.【追踪训练一】：1.在等差数列｛an｝中，若S12=8S4,则等于(A)A.B.C.2D.2.在等差数列｛an｝和｛bn｝中，a1=25,b1=75,a100+b100=100,则数列｛an+bn｝的前100项的和为(D)A.0B.100C.1000D.100003.一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么(A)A.它的首项是－2，公差是3B.它的首项是2，公差是－3C.它的首项是－3，公差是2D.它的首项是3，公差是－24.在等差数列｛an｝中，已知a11=10,则S21=___210___5.已知数列{an}的前n项和为Sn=4n2－n+2,则该数列的通项公式为(B)A.an=8n+5(n∈N*)B.an=C.an=8n+5(n≥2)D.an=8n－5(n≥1).【选修延伸】【例5】设是等差数列，求证：以为通项公式的数列是等差数列。【证明】设等差数列的公差为，前项的和为，则。听课随笔（常数）（）。是等差数列。【例6】已知等差数列｛an｝满足：Sp＝q，Sq＝p，求Sp＋q(其中p≠q).【解】由已知Sp＝q，Sq＝p得第152页共159页\npa1＋①qa1＋②①－②整理得＝－1∴＝(p＋q)＝－(p＋q)点评：本问题即是在a1、d、n、an、Sn中知三求二问题，但在解方程的过程中体现出了较高的技巧；本题有多种解法，也可考虑设Sn＝An2＋Bn或成等差数列去求解.【追踪训练二】1.等差数列{an}的前n项和Sn=2n2+n，那么它的通项公式是(C)A.an=2n－1B.an=2n+1C.an=4n－1D.an=4n+12.数列1，，…的前100项的和为(A)A.13B.13C.14D.143.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+5,则a6+a7+a8=__45____.4.一个等差数列，前项的和为25，前项的和为100，求前项的和.听课随笔【解】【答案】前项的和为225【师生互动】学生质疑教师释疑第7课时等差数列的前n项和（2）【学习导航】知识网络学习要求1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.第152页共159页\n2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题【自学评价】1.等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，那么数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k……(k∈N*)成等差数列，公差为k2d.2.在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值.若a1＜0,d＞0，则Sn存在最小值.3.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:(1)利用:当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值(2)利用：由二次函数配方法求得最值时n的值【精典范例】【例1】已知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前项和为286，求数列的项数。分析条件中的8项可分为4组，每组中的两项与数列的首、尾两项等距。【解】，，。听课随笔【例2】已知两个等差数列｛an｝、｛bn｝，它们的前n项和分别是Sn、Sn′，若,求.【解法一】∵2a9=a1+a17,2b9=b1+b17,∴S17==17a9,S17′==17b9,∴.【解法二】∵｛an｝、｛bn｝是等差数列，∴可设Sn=An2+Bn,Sn′=A’n2+B′n(A、B、A′、B′∈R),∵,进而可设Sn=(2n2+3n)t,Sn′=(3n2－n)t(t∈R,t≠0),∴an=Sn－Sn－1=(2n2+3n)t－［2(n－1)2+3(n－1)t］=(4n+1)t,∴a9＝37t.同理可得bn=Sn′－Sn－1′=(3n2－n)t－［3(n－1)2－(n－1)］t=(6n－4)t,∴b9=50t,∴.【例3】数列｛an｝是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.(1)求数列的公差.(2)求前n项和Sn的最大值.第152页共159页\n(3)当Sn＞0时，求n的最大值.【解】(1)由已知a6=a1+5d=23+5d＞0,a7=a1+6d=23+6d＜0,解得:－＜d＜－,又d∈Z,∴d=－4(2)∵d＜0，∴{an}是递减数列，又a6＞0，a7＜0∴当n=6时，Sn取得最大值，S6=6×23+(－4)=78(3)Sn=23n+(－4)＞0，整理得：n(50－4n)＞0∴0＜n＜,又n∈N*,所求n的最大值为12.点评：可将本题中的公差为整数的条件去掉，再考虑当n为何值时，数列{an}的前n项和取到最大值.【例4】等差数列中，该数列的前多少项和最小？思路1：求出的函数解析式（n的二次函数,），再求函数取得最小值时的n值.思路2：公差不为0的等差数列等差数列前n项和最小的条件为：思路3：由s9=s12得s12-s9=a10+a11+a12=0得a11=0.思维点拔：说明：根据项的值判断前项和的最值有以下结论：①当时，，则最小；②当时，，则最大；③当时，，则最小；④当时，，则最大【追踪训练一】1.已知在等差数列｛an｝中，a1＜0，S25＝S45，若Sn最小，则n为（B）A.25B.35C.36D.452.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项的和为（C）A.130B.170C.210D.2603.两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比，则的值是（B）A．B．C．D．第152页共159页\n4.在等差数列｛an｝中，已知a14＋a15＋a17＋a18＝82，则S31＝.5.在等差数列{an}中，已知前4项和是1，前8项和是4，则a17+a18+a19+a20等于___9__.6.在等差数列{an}中，an=n－,当n为何值时，前n项和Sn取得最小值？听课随笔【解法一】由可解得6≤n≤7，可知前6项都是正数，第7项为0，因此S6=S7为Sn的最小值.【解法二】由an=知Sn=a1+a2+…+an==∴当n=6或n=7时,Sn取得最小值.【选修延伸】【例5】已知数列的前项和，求数列的前项和。分析：由知是关于的无常数项的二次函数（），可知为等差数列，可求出，然后再判断哪些项为正，那些项为负，求出。【解】当时，；当，。时适合上式，的通项公式为。由，得，即当时，；当时，。（1）当时，（2）当时，第152页共159页\n.。【追踪训练二】1.在等差数列{an}中，已知S15=90,那么a8等于（C）A.3B.4C.6D.122.在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（B）A.9B.10C.11D.123.等差数列{an}的通项公式是an=2n+1,由bn=(n∈N*)确定的数列{bn}的前n项和是（A）A.n(n+5)B.n(n+4)C.n(2n+7)D.n(n+2)4.一个等差数列的前12项的和为354，前12项中，偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d等于___5___.【解析】由已知，又S偶+S奇=354∴S偶=(S偶+S奇)=192S奇=162d==5【答案】55.已知数列｛an｝的前n项和是Sn=32n－n2,求数列｛｜an｜｝的前n项和Sn′.【解】∵a1=S1=32×1－12=31,当n≥2时，an=Sn－Sn－1=33－2n,又由an＞0，得n＜16.5,即｛an｝前16项为正，以后皆负.∴当n≤16时，Sn′=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜=a1+a2+…+an=33n－n2.当n＞16时，Sn′=a1+a2+…+a16－a17－a18－…－an=S16－(Sn－S16)＝2S16－Sn＝512－32n＋n2.∴听课随笔第152页共159页\n【师生互动】学生质疑教师释疑第8课时等差数列的前n项和（3）【学习导航】知识网络学习要求1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；3．利用等差数列解决相关的实际问题。【自学评价】等差数列的性质：1．当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的常数项为0的二次函数.2．若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。3．当时,则有，特别地，当时，则有第152页共159页\n4．在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列是等差数列．5．若、是等差数列，，…也成等差数列6．在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，，（这里即）；。7．若等差数列、的前和分别为、，且，则.听课随笔8．如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究.【精典范例】【例1】某剧场有２０排座位，后一排比前一排多２个座位，最后一排有６０个座位，这个剧场共有多少个座位？【解】　这个剧场各排的座位数组成等差数列，其中公差ｄ＝２，项数ｎ＝２０，且第２０项是ａ２０＝６０由等差数列的通项公式，得所以由等差数列的求和公式，得答　这个剧场共有820个座位.【例2】某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径４０ｍｍ，满盘时直径１２０ｍｍ已知卫生纸的厚度为０．１ｍｍ，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到１ｍ）？【解】卫生纸的厚度为０．１ｍｍ，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看做是一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再求总和．由内向外各圈的半径分别为20.05，20.15，…，59.95．因此，各圈的周长分别为因为各圈半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，设圈数为ｎ，则59.95＝20.05＋（ｎ－１）×0.1，所以ｎ＝４００．显然，各圈的周长组成一个首项为４０．１π，公差为０．２π第152页共159页\n，项数为４００的等差数列．根据等差数列的求和公式，得答　满盘时卫生纸的长度约为１００ｍ．【例3】）教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税．教育储蓄的对象为在校小学四年级（含四年级）以上的学生．假设零存整取３年期教育储蓄的月利率为2.1‰．（１）欲在３年后一次支取本息合计２万元，每月大约存入多少元？（２）零存整取３年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时３年后本息合计约为多少？（精确到１元）【解】（１）设每月存Ａ元，则有Ａ（１＋2.1‰）＋Ａ（１＋２×2.1‰）＋…＋Ａ（１＋３６×2.1‰）=20000利用等差数列求和公式，得解得A≈535(元)（２）由于教育储蓄的存款总额不超过２万元，所以３年期教育储蓄每月至多可存入≈５５５（元）．这样，３年后的本息和为答　欲在３年后一次支取本息２万元，每月大约存入535元．３年期教育储蓄每月至多存入555元，３年后本息合计约20756元．追踪训练一1.已知an=(n∈N*),则数列{an}的最大项是（C）A．第12项B．第13项C．第12项或第13项D．不存在2.已知等差数列｛ａｎ｝满足ａ１＋ａ２＋…＋ａ１０１＝０，则有（　Ｃ　）．Ａ．＞０　Ｂ．＜０Ｃ．＝０　Ｄ．听课随笔3.已知一个凸多边形的内角度数组成公差为５°的等差数列，且最小角为１２０°，问它是几边形．【答案】9边形4．某钢材库新到２００根相同的圆钢，要把它们堆放成正三角形垛（如图），并使剩余的圆钢尽可能地少，那么将剩余多少根圆钢？第152页共159页\n【答案】将剩余10根圆钢5．时钟在１点钟的时候敲一下，在２点钟的时候敲２下……在１２点钟的时候敲１２下，中间每半点钟也敲一下．一昼夜内它一共敲多少下？【答案】一昼夜内它一共敲180下【选修延伸】【例4】已知数列的通项公式为＝，求它的前项和．分析：我们先看通项＝，然后将其分裂成，再求和．【解】∵=∴=点评:如果数列的通项公式可转化为形式，常采用裂项求和的方法．特别地，当数列形如，其中是等差数列，可尝试采用此法．常用裂项技巧如：，等．【例5】已知数列满足，，求.【解】由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，第152页共159页\n追踪训练二1．在等差数列中，前n项的和为Sn,若Sm=2n,Sn=2m,(m、n∈N且m≠n)，则公差d的值为（A）A.－B.－C.－D.－2．三角形三个边长组成等差数列，周长为36，内切圆周长为6π，则此三角形是（D）A．正三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形，但不是直角三角形D．直角三角形，但不是等腰三角形3．设，利用课本中推导等差数列前项和方法，求…的值为5.4．已知数列满足，，求.听课随笔【解】由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，5．已知，，求.【解】【师生互动】学生质疑教师释疑第9课时等比数列的概念和通项公式【学习导航】知识网络第152页共159页\n学习要求1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念，2.类比等差数列的通项公式,探索发现等比数列的通项公式,掌握求等比数列通项公式的方法,3.掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题.【自学评价】1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）注:1°“从第二项起”与“前一项”之比为常数q｛｝成等比数列=q（,q≠0）2°隐含：任一项3°q=1时，{an}为常数列.2.等比数列的通项公式①②3．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．4.等比中项的定义：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.且5．证明数列为等比数列：①定义：证明=常数，②中项性质：；【精典范例】【例1】判断下列数列是否为等比数列：（１）１，１，１，１，１；（２）０，１，２，４，８；（３）1，，，，.【解】听课随笔（１）所给数列是首项为１，公比为１的等比数列．（２）因为０不能作除数，所以这个数列不是等比数列．第152页共159页\n（３）所给数列是首项为１，公比为的等比数列．【例2】求出下列等比数列中的未知项：（１）２，ａ，８；（２）－４，ｂ，ｃ，．【解】（１）根据题意，得所以ａ＝４或ａ＝－４．（２）根据题意，得解得所以ｂ＝２，ｃ＝－１．【例3】在等比数列{an}中，（１）已知ａ１＝３，ｑ＝－２，求ａ６；（２）已知ａ３＝20，ａ６＝160，求ａｎ．【解】（１）由等比数列的通项公式，得（２）设等比数列的公比为ｑ，那么所以【例4】在243和３中间插入３个数，使这５个数成等比数列．【解】设插入的三个数为，，，由题意知243，，，，3成等比数列．设公比为ｑ，则因此，所求三个数为８１，２７，９，或－８１，２７，－９．追踪训练一第152页共159页\n1.求下列等比数列的公比、第５项和第ｎ项：（1）２，６，１８，５４，…；　（2）7，，，（3）0.3，－0.09，0.027，－0.0081，…；（4）5，　，，.【答案】(1)(2)(3)(4)2.数列m,m,m,…m,(C)A.一定是等比数列B.既是等差数列又是等比数列C.一定是等差数列不一定是等比数列D.既不是等差数列，又不是等比数列3.已知数列{an}是公比q≠±1的等比数列，则在{an+an+1},{an+1－an}，{}{nan}这四个数列中，是等比数列的有(C)A.1个B.2个C.3个D.4个【选修延伸】【例5】成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数.【解】设这三个数分别为解得这三个数为【师生互动】学生质疑教师释疑故由题意又可得解得这三个数为3，5，7【例6】已知数列｛an｝满足：lgan＝3n＋5，试用定义证明｛an｝是等比数列.听课随笔【证明】由lgan＝3n＋5，得an＝103n+5＝1000∴数列｛an｝是公比为1000的等比数列.【点评】若｛an｝是等差数列，bn＝ban可以证明数列｛bn｝为等比数列，反之若｛an｝为等比数列且an＞0，则可证明｛lgan｝为等差数列.追踪训练二1．在等比数列｛an｝中，a3·a4·a5＝3，a6·a7·a8＝24，则a9·a10·a11的值等于(D)A.48B.72C.144D.192第152页共159页\n2．在等比数列中，已知首项为，末项为,公比为，则项数n等于___4___.3．已知等比数列{an}的公比q=－,则=___－3___.4．已知数列｛an｝为等比数列，(1)若an＞0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5.(2)a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.【解】(1)由已知an＞0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25知a12q4＋2a12q6＋a12q8＝25即a12q4(1＋q2)2＝25∴a1q2(1＋q2)＝5因此a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝5(2)由已知a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8知①②①÷②得即2q2－5q＋2＝0解得q＝2或q＝当q＝2时，a1＝1∴an＝2n－1当q＝时，a1＝4∴an＝23－n第10课时等比数列的概念和通项公式【学习导航】知识网络学习要求1.进一步体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念，2.掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题.【自学评价】1．如果an≠0，且an+12=anan+2对任意的n∈N*都成立，则数列{an}是等比数列.2．等比数列的递增和递减性.在等比数列{an}中(1)若a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1则数列递增，(2)若a1＞0,0＜q＜1,或a1＜0，q＞1,则数列递减；(3)若q=1，则数列为常数列；(4)若q＜0，则数列为摆动数列.第152页共159页\n3．对于k、l、m、n∈N*，若，则akal=aman.；【选修延伸】【例1】　（１）在等比数列{an}中，是否有a2n＝an-1an+1（ｎ≥２）？（２）如果数列{an}中，对于任意的正整数ｎ（ｎ≥２），都有a2n＝an-1an+1，那么，{an}一定是等比数列吗？【解】（１）因为{an}是等比数列，所以∴成立．（2）不一定．例如对于数列０，０，０，…，总有a2n＝an-1an+1，但这个数列不是等比数列．【例2】如图，一个边长为１的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（２），如此继续下去，得图（３）……试求第ｎ个图形的边长和周长．【解】听课随笔这序列图形的边数构成的数列为：它们的边长构成的数列为：.∴第个图形的周长为追踪训练一１．三个数成等比数列，它们的积等于２７，它们的平方和等于９１，求这三个数．【答案】这三个数为1，3，9或-1，3，-9或9，3，1或-9，3，-1２．如图，在边长为１的等边三角形ＡＢＣ中，连结各边中点得△Ａ１Ｂ１Ｃ１，再连结△Ａ１Ｂ１Ｃ１各边中点得△Ａ２Ｂ２Ｃ２……如此继续下去，试证明数列Ｓ△ＡＢＣ，Ｓ△Ａ１Ｂ１Ｃ１，Ｓ△Ａ２Ｂ２Ｃ２，…是等比数列．第152页共159页\n【答案】以为首项，为公比的等比数列3．在等比数列{an}中，如果a6=6,a9=9，那么a3等于(A)A.4B.C.D.24.等比数列{an}的公比为2，则的值为(A)A.B.C.D.1【选修延伸】【例3】数列满足，①求证是等比数列；②求数列的通项公式。【解】①证明：又故是等比数列②解：是等比数列，且故【例4】在等比数列｛an｝中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，求a10.【解】由a4a7＝－512知，a3a8＝－512解方程组且q为整数得(舍去)q＝∴a10＝a3q7＝－4(－2)7＝512.【点评】充分地利用等比数列的性质，灵活地使用等比数列的通项公式，能使解题的过程简捷明快.追踪训练二1．已知等比数列中a3=－4,a6=54,则a9=－729.2．将20，50，100这三个数加上相同的常数，使它们成为等比数列，则其公比是3．在等比数列{an}中各项都是正数，a6a10+a3a5=41，a4a8=4,则a4+a8=__7____.第152页共159页\n4．在和n+1之间插入n个正数，使这n+2个数依次成等比数列，求所插入的n个数之积.【解】设等比数列｛an｝的公比为q，∵a1=,an+2=n+1,∴=n+1,qn+1=n(n+1),听课随笔∵a2·a3·…·an＋1＝a1nq1＋2＋3＋…＋n＝a1n=(=，即插入的n个数之积为.5．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a1a5－2a3a5+a3a7=36，a2a4+2a2a6+a4a6=100，求数列的通项公式.【解】由已知条件a1a5－2a3a5+a3a7=36,a2a4+2a2a6+a4a6=100知∴即①或②解①得a3=8,a5=2∴q==,an=a3()n－3=()n－6解②得:a3=2,a5=8q==2,an=a3(2)n－3=2n－2【师生互动】学生质疑教师释疑第11课时等比数列的概念和通项公式【学习导航】知识网络第152页共159页\n学习要求1．灵活应用等比数列的定义及通项公式；2．熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法；3．灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题.【自学评价】1.等比数列的性质：（1）（）；(2）对于k、l、m、n∈N*，若，则akal=aman.；（3）每隔项（）取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列为等比数列；4）在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。2.(1)若{an}为等比数列，公比为q，则{a2n}也是等比数列，公比为q2.(2)若{an}为等比数列，公比为q(q≠－1),则{a2n－1+a2n}也是等比数列，公比为q2.(3)若{an}、{bn}是等比数列，则{anbn}也是等比数列.(4)三个数a、b、c成等比数列的，则【精典范例】【例1】已知四个数前3个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，前后两数之积为－128，求这四个数.【解】设所求四个数为－aq，，aq，aq3听课随笔①②则由已知由①得a2＝16∴a＝4或a＝－4由②得2a2q2－a2q4＝－128将a2＝16代入整理得q4－2q2－8＝0解得q2＝4∴q＝2或q＝－2因此所求的四个数为－4，2，8，32或4，－2，－8，－32.【点评】根据四个数前3个成等差，后三个成等比，列方程可利用a、q表示四个数，根据中间两数之积为16，将中间两个数设为，aq这样既可使未知量减少，同时解方程也较为方便.【例2】若a、b、c成等比数列，试证：a2＋b2，ac＋bc，b2＋c2也成等比数列.【证明】由a、b、c成等比数列，则a·b·c≠0且b2＝ac(a2＋b2)(b2＋c2)＝(a2＋ac)(ac＋c2)＝ac(a＋c)2＝b2(a＋c)2＝(ab＋bc)2显然a2＋b2、b2＋c2都不等零，且ab＋bc≠0∴a2＋b2，ab＋bc，b2＋c2成等比数列.【点评】证明数列成等比数列，可利用等比数列的定义，而证明三个数a，b，c成等比，可证明b2＝ac，要注意说明a、b、c全不为零.第152页共159页\n追踪训练一1．在等比数列{an}中，a1=,q=2,则a4与a8的等比中项是(B)A.±4B.4C.±D.2．在等比数列{an}中，已知a5=－2,则这个数列的前9项的乘积等于(B)A.512B.－512C.256D.－2563．2，x,y,z,162是成等比数列的五个正整数，则z的值等于(A)A.54B.27C.9D.34．已知｛an｝是等比数列，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于(A)A.5B.10C.15D.205．已知等差数列｛an｝的公差d≠0,且a1，a3，a9成等比数列，则的值为.【选修延伸】【例3】在中，，试求的通项【解】设则可得＝1，为等比数列，首项为=2,公比为3，【例4】在中，，试求的通项【解】原式可变为：，可构造为为等比数列，首项，公比3，【例5】在中，求｛｝的通项【解】法一：原式变形为：，设，即，，第152页共159页\n即，为等比数列，首项＝，公比，听课随笔　法二：设，即即，为等比数列，首项＝，公比，，追踪训练二1．在等比数列｛an｝中，若a2·a8=36,a3＋a7＝15，则公比q值的可能个数为(D)A.1B.2C.3D.42．在各项都为正数的等比数列｛an｝中，若a5·a6＝9，则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a10等于(B)A.8B.10C.12D.2＋log353．已知一个直角三角形三边的长成等比数列，则(C)A.三边边长之比为3∶4∶5B.三边边长之比为1∶∶3C.较小锐角的正弦为D.较大锐角的正弦为4．公差不为0的等差数列第二、三、六项构成等比数列，则公比为(C)A.1B.2C.3D.45．已知数列满足a1=,且an+1=an+,n∈N*(1)求证{an－}是等比数列.(2)求数列{an}的通项公式.【解】第152页共159页\n(1)【证明】由an+1=an+得听课随笔an+1－又an－≠0∴即，数列{an－}构成等比数列.(2)由(1)知an－=(a1－)（）n－1,且a1=即an=(a1－n－1+==【师生互动】学生质疑教师释疑第12课时等比数列的前n项和(1)【学习导航】知识网络第152页共159页\n学习要求1．掌握用“错位相减”的方法推导等比数列的前n项和公式，掌握等比数列的前n项和公式2．会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题【自学评价】1.等比数列｛an｝的前n项和为Sn当时，①或②当q=1时，当已知,q,n时用公式①；当已知,q,时，用公式②.2.若数列｛an｝的前n项和Sn＝p(1－qn)，且p≠0，q≠1，则数列｛an｝是等比数列.【精典范例】【例1】在等比数列｛an｝中，（１）已知＝－4，＝12，求；（２）已知＝１，＝243，＝3，求．【解】（1）根据等比数列的前ｎ项和公式，得（2）根据等比数列的前ｎ项和公式，得【例2】在等比数列｛an｝中，，求an.听课随笔【解】若ｑ＝１，则Ｓ６＝２Ｓ３，这与已知是矛盾的，所以ｑ≠１．从而将上面两个等式的两边分别相除，得第152页共159页\n所以ｑ＝２，由此可得，因此点评:等比数列中五个基本量a1、q、an、n、Sn，知三可求二.【例3】在等比数列｛an｝中，a1+an=66,a2·an－1=128,且前n项和Sn=126,求n及公比q.【解】∵a1an=a2an－1=128,又a1+an=66,∴a1、an是方程x2－66x+128=0的两根，解方程得x1=2,x2=64,∴a1=2,an=64或a1=64,an=2,显然q≠1.若a1=2,an=64,由=126得2－64q=126－126q,∴q=2,由an=a1qn－1得2n－1=32,∴n=6.若a1=64,an=2,同理可求得q=,n=6.综上所述，n的值为6，公比q=2或.点评:等比数列中五个基本量a1、q、an、n、Sn，知三可求二，列方程组是求解的常用方法.解本题的关键是利用a1an＝a2an－1，进而求出a1、an，要注意a1、an是两组解.追踪训练一1．某厂去年的产值记为１，计划在今后五年内每年的产值比上年增长１０％，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（Ｃ）．Ａ．　Ｂ．Ｃ．　Ｄ．2．求下列等比数列的各项和：（１）１，３，９，…，2187；（２）１，，，，…，.【答案】（1）3280；（2）3．等比数列｛an｝的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和是（B）A.179B.211C.243D.2754．若等比数列｛an｝的前n项之和Sn=3n+a,则a等于（D）A.3B.1C.0D.－15．已知等比数列的公比为2，若前4项之和等于1，则前8项之和等于（B）A.15B.17C.19D.21【选修延伸】【例4】是等比数列，是其前n项和，数列（）是否仍成等比数列？第152页共159页\n【解】设首项是，公比为q,①当q=－1且k为偶数时，不是等比数列.∵此时，=0.例如：数列1,－1,1,－1,…是公比为－1的等比数列，S2=0,②当q≠－1或k为奇数时，＝＝＝（）成等比数列追踪训练二1.在等比数列｛an｝中，Sn表示前n项和，若a3=2S2＋1，a4=2S3+1,则公比q等于（A）A.3B.－3C.－1D.12.等比数列｛an｝中，a3=7,前3项之和S3=21,则公比q的值为（C）A.1B.－C.1或－D.－1或3.在公比为整数的等比数列｛an｝中，已知a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么a5＋a6＋a7＋a8等于（A）A.480B.493C.495D.4984.在14与之间插入n个数，使这n+2个数组成等比数列，若各项的和为,则此数列的项数为（B）听课随笔A.4B.5C.6D.75.在等比数列｛an｝中，公比q=2,log2a1+log2a2+…+log2a10=25,则a1+a2+…+a10=.6.已知等比数列｛an｝的各项均为正数，Sn＝80，S2n＝6560，且在前n项中最大项为54，求此数列的公比q和项数n.【解】由S2n≠2Sn知，q≠1根据已知①②②÷①得：1＋qn＝82，即qn＝81③∴q＞1则a1qn－1＝54④③÷④得:，即a1＝q⑤将③、⑤代入①得q＝3∴n＝47.一个有穷等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比及项数.第152页共159页\n【解】设此数列的公比为q,项数为2n.由题意得：q=2,2n=8故此数列的公比为2，项数为8.【师生互动】学生质疑教师释疑第13课时等比数列的前n项和(2)【学习导航】知识网络学习要求1.进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式；2.了解杂数列求和基本思想，解决简单的杂数列求和问题。【自学评价】1．常见的数列的前n项的和：（１）=　　即=（2）（3）2．有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列．若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即能分别求和，然后再合并这种方法叫做分组求和法．3．错位相减法：适用于{}的前项和，其中是等差数列，是等比数列；第152页共159页\n4．裂项法：求的前项和时，若能将拆分为=－，则5．倒序相加法6.在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，【精典范例】【例1】求数列，，，．．．的前n项和.分析：这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，因此可以分组求和法．【解】听课随笔（）+（）+．．．+（）＝（１＋２＋３＋．．．＋ｎ）　　＋（）=【例2】设数列为,,求此数列前项的和.分析：这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的积，因此可以用错项相减法．【解】①②由①-②得，当时，当时，追踪训练一第152页共159页\n1．求和【答案】20762．求和【答案】3．若数列的通项公式为，则前项和为(B)A.B.C.D.4．数列1，，，…，的前项和为(B)A.B.C.D.5．求和1－2+3－4+5－6+…+(－1)n+1n.【解】设n=2k,则(1－2)+(3－4)+…+［(2k－1)－(2k)］=－k=－设n=2k－1,则(1－2)+(3－4)+…+［(2k－3)－(2k－2)］+2k－1=－(k－1)+2k－1=k=∴1－2+3－4+5－6+…+(－1)nn+1=【选修延伸】【例3】已知数列｛an｝中，an＋1＝an＋2n，a1＝3，求an.【解】由an＋1＝an＋2n第152页共159页\n得an＝an－1＋2n－1即∴an－a1＝＝2n－2因此an＝2n－2＋a1＝2n＋1听课随笔点评:利用数列的求和,可求出一些递推关系为an＋1＝an＋f(n)的数列的通项公式.【例4】已知{}为等比数列，且=a，=b，（ab≠0），求.【解】设等比数列的公比为q.若q=1（此时数列为常数列），则=n=a，=b，从而有2a=b∴（或）若q≠1（即2a≠b），由已知＝a①＝b②  又ab0, ②/①得,③将③代入①，得∴＝＝＝＝追踪训练二1．等比数列｛an｝的首项为1，公比为q,前n项和为S，则数列｛｝的前n项之和为（C）第152页共159页\nA.B.SC.D.2．在等比数列｛an｝中，已知a1=,前三项的和S3=,则公比q的值为___1或－2___.3．在等比数列｛an｝中，a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则S6=___140___.听课随笔4．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列，且，公和为5，求的值及这个数列的前项和.【解】是等和数列，，公和为5，，则知，。数列形如，。答3；当为偶数时；当为奇数时，.【师生互动】学生质疑教师释疑第14课时等比数列的前n项和(3)【学习导航】知识网络第152页共159页\n学习要求1．进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式；2．提高分析、解决问题能力，能用等比数列的知识解决某些实际问题。【自学评价】1．对于分期付款，银行有如下规定：（１）分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；（２）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和．2．若是等比数列，且公比，则数列，…是等比数列;当，且为偶数时，数列，…是常数数列0，它不是等比数列.3.当时，，这里，但，这是等比数列前项和公式特征，据此判断数列是否为等比数列【精典范例】【例1】水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题．全国9100万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占７０％．国家确定2000年西部地区退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增１２％，那么从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？【解】根据题意，每年退耕还林的面积比上一年增长的百分比相同，所以从2000年起，每年退耕还林的面积（单位：万亩）组成一个等比数列，其中听课随笔＝515，ｑ＝１＋１２％＝1.12，ｎ＝６，则答　从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有4179万亩．【例2】某人2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，月利率3.375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清，那么每月应还贷多少元？分析：对于分期付款，银行有如下规定：（１）分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；（２）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和．为解决上述问题，我们先考察一般情形．设某商品一次性付款的金额为ａ元，以分期付款的形式等额地分成ｎ次付清，每期期末所付款是ｘ元，则分期付款方式可表示为：第152页共159页\n从而有运用等比数列求和公式，化简得这就是分期付款的数学模型．【解】　设每月应还贷ｘ元，共付款12×10=120次，则有化简得答　每月应还贷款2029.66元．追踪训练一1．回答我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？【答案】塔顶3盏灯2．我国1980年底人口以十亿计算．（１）若我国人口年增长率为1.2％，则到2005年底我国约有多少人口？（２）要使我国到2010年底人口不超过14亿，那么人口的年平均增长率最高是多少？【答案】（1）2005年底我国约有13.5亿人口（2）人口的年平均增长率最高是1.1％3．顾客采用分期付款的方式购买一件5000元的商品，在购买一个月后第一次付款，且每月等额付款一次，在购买后的第12个月将货款全部付清，月利率0.5％．按复利计算，该顾客每月应付款多少元？【答案】顾客每月应付款430元4．某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使年资金平均增长率达到50%，但每年底都要扣除消费基金x万元，余下资金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？第152页共159页\n【解】设逐年扣除消费基金后的资金数组成一个数列，则a1=1000×（1+50%）－x=1000×－x；a2=(1000×－x)(1+50%)－x=1000×()2－(1+)x;依次类推得a5=1000×()5－[1++()2+()3+()4]x.由题意知：1000×()5－[1++()2+()3+()4]x听课随笔=2000解得x≈424万元【选修延伸】【例3】设数列的首项a1=1,前n项的和Sn满足关系式3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t为常数,且t>0,n=2,3,4,……)。(1)求证：数列是等比数列；(2)设的公比为f(t)，作数列，使得b1=1,bn=f()(n=2,3,4,…)，求的通项公式。(3)求和：b1b2－b2b3+b3b4－…+b2n－1b2n－b2nb2n+1【解】(1)求得a1=S1=1S2=a1+a2=1+a2,代入关系式，得,又3tSn－(2t+3)Sn－1=3t,3tSn－1－(2t+3)Sn－2=3t,两式相减得3tan－(2t+3)an－1=0,∴(2)由f(t)=得bn=f由此可得(3)原式=b2(b1－b3)+b4(b3－b5)+…+b2n(b2n－1－b2n+1)第152页共159页\n=【例4】在数列中，求数列的前n项和Sn.分析：要分成偶数项和奇数项之和分别求解。【解】当n=2k(k∈N+)时，a1,a3,a5,…，a2k－1，…，成等差数列，公有效差为4，首项为1；而a2,a4，…，a2k，…成等比数列，公比为q，首项为a2=9,.将k=代入得当n=2k－1时，由S2k－1=S2k－a2k，得.追踪训练二1．已知等比数列｛an｝中，前n项和Sn=54,S2n=60,则S3n等于（C）A.64B.66C.60D.662．已知｛an是公比为的等比数列｝，若a1+a4+a7+…+a97=100,则a3+a6+a9+…+a99的值是（A）A.25B.50C.75D.1253.数列1，1+2,1+2+22，…，(1+2+22+…+2n－1)，…，前n项和等于（B）A.2n+1－nB.2n+1－n－2C.2n－nD.2n4．等比数列｛an｝共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q=___2___.5．若等比数列｛an｝中，S4＝2，S8＝6，则a17＋a18＋a19+a20的值等于__32____.听课随笔【师生互动】学生质疑教师释疑第152页共159页\n第152页共159页\n听课随笔第15、16课时数列复习课(2课时)一、二、数列知识回顾（一）数列的概念数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法。数列的通项公式。求数列通项公式的一个重要方法：对于任一数列,其通项和它的前n项和之间的关系是（二）等差数列和等比数列1.等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质等差数列等比数列定义通项公式=+（n-1）d=+（n-k）d=+-d求和公式中项公式A=推广：2=。推广：性质1若m+n=p+q则若m+n=p+q，则。2若成A.P（其中）则也为A.P。若成等比数列（其中），则成等比数列。3成等差数列。成等比数列。第152页共159页\n4听课随笔2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证都成立。3.在等差数列｛｝中,有关Sn的最值问题：(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值。(2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。（三）、数列求和的常用方法：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等。1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2.裂项相消法:适用于其中{}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。3.错位相减法:适用于其中{}是等差数列，是各项不为0的等比数列。4.倒序相加法:类似于等差数列前n项和公式的推导方法。5.常用结论1）:1+2+3+...+n=2）1+3+5+...+(2n-1)=3）4）5）6）【精典范例】一函数方程思想在研究数列问题中的运用第152页共159页\n听课随笔函数作为高中数学最重要的内容，几乎贯穿中学数学的始终，数列作为特殊的函数，与函数有着千丝万缕的联系：数列的通项公式及前n项和公式都是关于n的函数，当d≠0时，等差数列的通项是关于n的一次函数，前n项和是关于n的一元二次函数；等比数列的通项公式及前n项和公式都与指数函数有关。在解决数学问题的过程中，把变量之间的制约关系用函数关系反映出来，便形成了函数思想；把众多待求量通过列方程、解方程来确定，便形成了方程思想，函数与方程之间的辩证思维便形成了函数方程思想。因此，我们可以借助于函数的有关性质来研究数列问题。例1（1）首项为正数的等差数列｛a｝，其中S=S，问此数列前几项和最大？（2）等差数列｛a｝中，S=100，S=300，求S。（3）等差数列的公差不为0，a=15,a,a,a成等比数列，求S。分析（1）等差数列前n项和S=n+(a－)n(d≠0)是关于n的二次函数且常数项为0，故可设S=An+B,运用配方法求最值；（2）由S=An+B及S=100，S=300，求出A、B后再求S。（3）求S的关键，在于求a,由a=dn+(a－d)(d≠0)知，它是关于n的一次函数，故可设a=An+B，由条件列出方程组求A、B。【解】（1）设S=An+B（A≠0），∵S=S，∴9A+3B=121A+11B，即14A+B=0。又∵S=An+B=A（n+）－,∴当n=－=7时，S有最大值S。另解由S=S，得a+a+a+a+a+a+a+a=0,又∵a+a=a+a=a+a=a+a,∴4(a+a)=0,a+a=0.由于a＞0,据题意知a=－a＞0，a＜0因此，前7项和最大。听课随笔（2）设S=An+Bn(A≠0)∵S=100，S=300,第152页共159页\n∴∴S=900×+30×5=600。另解∵S=100，S=300，又S，S－S，S－S成等差数列。∴S－S=2（S－S）－S∴S=600（3）设a=An+B(A≠0)∵a=15,a=a·a,∴∴a=2n－1∴S=(2×1－1)+(2×2－1)+…+（2×n－1）=2×(1+2+…+n)－n=n(n+1)－n=n.评析从函数角度考察等差数列中的通项公式，前n项和公式，从而把数列问题转化为函数解决，体现了函数的思想和方法的应用。二求数列的通项公式数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究其性质等；而有了数列的通项公式便可求出任一项及前n项和等，看来，求数列的通项往往是解题的突破口、关键点，现将求数列通项公式的几种题目类型及方法总结如下。1.观察法观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式。例2写出下面各数列的一个通项公式听课随笔（1），…；（2）1，－…；第152页共159页\n（3）…；（4）21，203，2005，20007，…；（5）0.2,0.22,0.222,0.2222,…；（6）1，0，1，0，…；（7）1，…【解】（1）注意各项的分子分别是1，2，3，4，…，分母比分子大1，∴数列的通项公式为a=.(2)奇数项为正，偶然项为负，各项分母可看作2－1=1，2－1=3，2－1=7，2－1=15，2－1=31，…，各项分子均为1。∴数列的通项公式为a=（－1）·（3）各项的分母分别是2，2，2，2，…分子比分母小1。∴数列的通项公式为a=（4）各项可看作21=2×10+1203=2×100+32005=2×1000+520007=2×10000+7，∴数列的通项公式为a=2×10+（2n－1）.(5)把各项适当变形0.2=2×0.1=×0.9=×(1－),0.22=2×0.11=×0.99=×(1－),0.222=×(1－),0.222=×(1－),…，∴数列的通项公式为a=·（1－）。（6）奇数项皆为1，偶然项为0，∴数列的通项公式为a=听课随笔（7）各项可看作1=1+0，=+1，=+0，=+1，=+0，=+1，…，∴数列的通项公式为a=+.评析用观察法写数列的通项公式，一般考虑如下几点：（1）观察数列各项符号变化，考虑通项公式中是否有（－1）或者（－1）部分，如本例中（2），（6），（7）也有所涉及。第152页共159页\n（1）分解分子分母的因数（式），考虑其变化规律与序号的关系，应注意根据某些变化规律较明显的项，“猜”出某些因式约分后规律表现得不那么明显的项，同时要特别注意等差，等比关系，如本例（2），（3），（4）等。（2）考虑分子、分母与一些特殊数列如2，3，n,n等的关系，如本例（1），（2），（3）等。1.已知S求a或已知S与a的关系求a已知数列｛a｝的前n项和S求a时，要注意运用a和S的关系，即例3已知下列各数列｛a｝的前n项和S的公式，求｛a｝的通项公式。（1）S=10－1；（2）S=10+1；【解】（1）当n=1时，a=S=9,当n≥2时，a=S－S=（10－1）－（10－1）=10－10=9·10，且n=1时，a=9也适合上式，∴a=9·10（n）.(2)当n=1时，a=S=10+1=11,当n≥2时，a=S－S=（10+1）－（10+1）=9·10，而n=1时，a=11，不适合上式，∴评析已知｛a｝的前n项和S求a时应注意以下三点：（1）应重视分类类讨论的应用，要先分n=1和n≥2两种情况讨论，特别注意由S－S=a推导的通项a中的n≥2。听课随笔（2）由S－S=a，推得的a且当n=1时，a也适合“a式”，则需统一“合写”。（3）由S－S=a推得的a，当n=1时，a不适合“a式”，则数列的通项应分段表示（“分号”），即如本例中（2），（3）。请观察本例中（1）与（2）的差异及联系。2.累差法第152页共159页\n若数列｛a｝满足a－a=f(n)(n),其中｛f(n)｝是易求和数列，那么可用累差法求a。（请你复习求等差数列通项公式的部分）例4求数列1，3，7，13，21，…的一个通项公式。【解】∵a－a=3－1=2,a－a=7－3=4,a－a=13－7=6,…a－a=2(n－1)以上n－1个等式左右两边分别相加，得a－a=2[1+2+3+…+（n－1）]=（n－1）n，∴a=n－n+1.且n=1时，a=1适合上式。∴a=n－n+1.评析我们应验证n=1时a=1适合a=n－n+1式，这是什么原因。1.累商法若数列｛a｝满足=f(n)(n),其中数列｛f(n)｝前n项积可求，则可用累商法求a.例5在数列｛a｝中，a=2，a=a,求通项a。【解】∵a=2，a=a,听课随笔∴=，=，……=。以上n－1个等式左右两边分别相乘得=n,a=2n.第152页共159页\n且n=1时，a=2也适合上式。∴a=2n.1.构造法直接求通项a较难求，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差或等比数列，从而将问题转化为较易求解的问题，进一步求出通项a。例6各项非零的数列｛a｝，首项a=1,且2S=2aS－a,n≥2,求数列的通项a。【解】∵a=1，2S=2aS－a,n≥2,又a=S－S.∴2S=2S－2SS－S+S，∴－=2（n≥2）（怎么得到的？）∴数列｛｝是以=1为首项，以2为公差的等差数列，∴=1+（n－1）·2=2n－1,S=.∴a=S－S=－=(n≥2)又a=S=1,不适合上式，听课随笔∴有些求通项的题目可能要综合应用几种方法和技巧；当然了，有些题可能有多种解法。评析构造法解决问题希大家尽量掌握，这对于提高我们的数学素质大有帮助。注意求数列通项公式的问题是最为常见的试题，特别要注意已知S求a的问题。三数列求和数列求和是数列部分的重要内容，求和问题也是很常见的试题，对于等差数列，等比数列的求和主要是运用公式；某些既不是等差数，也不是等比数列的求和问题，一般有以下四种常用求和技巧和方法。1.公式法能直接应用等差数列或等比数列的求和公式以及正整数平方和，立方和公式寻求和的方法。例7数列｛a｝的通项a=n－n，求前n项和S。【解】S=（1－1）+（2－2）+…+（n－n）第152页共159页\n=（1+2+…+n）－（1+2+…+n）=－=。2.倒序求和法3.错项求和法【例2】求和S=+++…+。请你独立完成，相信你会有更深的体会。答案S=3－。4.裂拆项法例8在数列｛a｝中，a=10+2n－1,求S【解】S=（10+2×1－1）+（10+2×2－1）+…（10+2n－1）=（10+10+…+10）+2×（1+2+…+n）－n=+n(n+1)－n=(10－1)+n.听课随笔注意把通项进行合理地分拆与组合，转化为易求和的数列的求和问题。练习：求数列1，1+2，1+2+3，…的前n项的和。答案S=。例9已知数列｛a｝：，，，…，…，求它的前n项和。分析我们先看通项a==，然后想什么办法求S呢？将通项分裂成两项之差如何？【解】∵a==2（），（为什么呢？）∴S=a+a+a+…+a=2[(1－)+(－)+(－)+…+（）]=2（1－）=。（成功了！）评析如果数列的通项公式可转化为f(n+1)－f(n)形式，常采用裂项求和的方法，特别地，当数列的通项公式是关于n的分式形式时，可尝试采用此法。第152页共159页\n常用的裂项技巧如：=（）；=（－）等。使用裂项法时要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；你是否注意到由于数列｛a｝中每一项a均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项。四、等差、等比数列的综合问题例10已知数列的前n项和=4+2(n∈N＋)，a=1.(1)设=-2,求证：数列为等比数列，(2)设Cn=,求证：是等差数列.选题意图：本题考查等差、等比数列的定义及逻辑推理能力.证明：(1)=4+2,=4+2,相减得=4-4,听课随笔∴是以3为首项，2为公比的等比数列，∴=3×２.(2)∵∴是以为首项，为公差的等差数列. 说明：一个表达式中既含有又含有Ｓｎ，一般要利用＝－（ｎ≥２），消去或，这里是消去了.例11在等比数列中，，求的范围.第152页共159页\n解：∵，∴又∵，且，∴，∴解之：当时，，∴（∵）当时，，∵且必须为偶数∴，（∵）例12设{},{}都是等差数列，它们的前n项和分别为,,已知,求⑴；⑵听课随笔⑴解法1：＝＝＝.⑴解法2：∵{},{}都是等差数列∴可设＝kn(5n+3),=kn(2n-1)∴=-=k[n(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)]=kn(10n-2),=-=k[n(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1)]=kn(4n-3),∴==⑵解：由⑴解法2，有=-=k[n(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)]=kn(10n-2),=-=k[n(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1)]=kn(4n-3),第152页共159页\n∴＝k5(105-2)=240k＝k8(48-3)=232k∴=【追踪训练】1．一等差数列共有9项，第1项等于1，各项之和等于369，一等比数列也有9项，并且它的第1项和最末一项与已知的等差数列的对应项相等，求等比数列的第7项。解：设等差数列为｛an｝，公差为d，等比数列为｛bn｝,公比为q.由已知得：a=b=1,又b＝ａ，∴ｑ＝81，∴ｑ＝３，∴b＝ｂｑ＝27，即等比数列的第7项为27.听课随笔说明：本题涉及的量较多，解答要理清关系，以免出错.2．已知,a,,…,,…构成一等差数列，其前n项和为＝n,设＝,记{}的前n项和为,(1)求数列{}的通项公式；(2)证明：<1.解：(1)＝＝1,当n≥2时,＝－＝2n－1;由于n＝1时符合公式，∴＝2n－1(n≥1).(2)＝,∴＝,两式相减得＝＋＝＋(1－)－,∴＝＋(1－)－<1.3．已知等差数列{}的前n项和为，＝,且＝,＋＝21,(1)求数列{bn}的通项公式；(2)求证：＋＋＋……＋<2.解：(1)设等差数列{}的首项为,公差为d,则＝(＋2d)·＝,第152页共159页\n＋＝8＋13d＝21,解得＝1,d＝1,∴＝n,＝,＝;(2)＋＋＋……＋＝2·[(1－)＋(－)＋……＋()]<2.4．已知数列，，（1）求通项公式；（2）若，求数列的最小项的值；（3）数列的前项和为，求数列前项的和．听课随笔5．等差数列中，，，依次抽出这个数列的第项，组成数列，求数列的通项公式和前项和公式．6．已知函数f(x)＝(x－1),数列{}是公差为d的等差数列，数列{}是公比为q的等比数列(q∈R,q≠1,q≠0),若＝f(d－1),＝f(d＋1),＝f(q－1),＝f(q＋1),(1)求数列{},{}的通项公式；(2)设数列{}对任意的自然数n均有成立，求＋＋＋……＋的值.解：(1)＝f(d－1)＝(d－2),＝f(d＋1)＝d,∴－＝2d,即d－(d－2)＝2d,解得d＝2,∴＝0,＝2(n－1),又＝f(q－1)＝(q－2),＝f(q＋1)＝q,＝q,∴＝q,第152页共159页\n∵q≠1,∴q＝3,∴＝1,＝3(2)设＝(n∈N),数列{}的前n项和为,则＝＝2n,＝＝2(n－1),∴－＝2,即＝2,∴＝2＝2·3∴＋＋＋……＋＝2＋2·3＋……＋2·3＝＝听课随笔第三章不等式一、知识结构与另两个＂二次＂的关系不等式的解法一元二次不等式不等式的应用表示的平面区域二元一次不等式(组）不等式(组)不等关系线性规划证明不等式求函数最值基本不等式实际应用二、重点难点重点：一元二次不等式的解法；二元一次不等式组表示的平面区域及线性规划问题；利用基本不等式进行不等式证明与求函数的最值．难点：含参不等式的解法，线性规划中最优整数解的求法，不等式证明．第1课时不等关系【学习导航】知识网络实际问题寻找不等关系第152页共159页\n二次不等式用不等式表示一元二次不等式二元一次不等式组学习要求1．通过具体情境,感受在观察现实世界时和日常生活中存在着的大量不等关系,了解不等式(组)的实际背景．2．经历由实际问题建立数学模型的过程,体会其基本方法.3．总结建立不等式模型的基本思路．4．提高观察、抽象的能力．【课堂互动】自学评价1．不等号有哪些？【答】><≤≥≠2．不等关系的含义：【答】见书。【精典范例】例1：某博物馆的门票每位10元,20人以上(含20人)的团体标8折优惠,那么不足20人时,应该选择怎样的购票策略?【解】见书．点评:列式的前提是：设自变量，找不等关系.例2：某杂志以每本2元的价格发行时,发行量为10万册,经过调查,若价格每提高0.2元,发行量就减少5000册,要使杂志社的销售收入大于22.4万元,每本杂志的价格应定在怎样的范围内.【解】见书．点评：若设每本杂志价格为x元，则有第152页共159页\nx[10-(x-2)]>22.4，化简略．例３.下表给出了X、Y、Z三种食物的维生素的含量及成本:维生素A(单位/kg)维生素B(单位/kg)成本(元/kg)X3007005Y5001004Z3003003某人欲将这三种食物混合成100kg的食品,要使混合食品中至少含35000单位的维生素A及40000单位的维生素B,设X,Y这两种食物各取xkg,ykg,那么x,y应满足怎样的关系?见书．【师生互动】学生质疑教师释疑点评：列出的是二元一次不等式组，事实上，这里的x，y与100–x-y还都应该大于等于０．思维点拔：１．不等式(组)是刻画不等关系的数学模型．第152页共159页\n听课随笔１．建立不等式模型的基本思路：(1)找出不等关系(2)语言化不等关系(3)设变量后，数量化不等关系(列出不等式(组))追踪训练1.b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再添上m克糖(m>0),则糖水变甜了,还是变淡了?答：变甜。其中隐含不等关系式．2.时代超市将进货单价为80元的商品按90元一个出售时能卖400个,经过调查,己知这种商品每个涨价1元,其销售量就减少20个,要使时代超市销售此商品的收入大于4320元,商品价格应定在怎样的范围内?解：设商品价格为x元／个，则椐题意得即听课随笔第152页共159页\n第2课时一元二次不等式(1)【学习导航】知识网络解法(不含字母的)简单应用学习要求1．通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系2．会解简单的一元二次不等式及简单应用．【课堂互动】自学评价1．一元二次不等式：只含一个未知数且未知数最高次数是2的不等式叫之。．2．当a>0时，填写下表：.△=b2－4ac△>0△=0△<0y=ax2+bx+c的图象见书．ax2+bx+c=0的根的情况ax2+bx+c>0的解集ax2+bx+c<0的解集３．思考：当a<0时，怎么办呢？答：转化为a＞0的情形或直接画出开口向下的二次函数图象求解．【精典范例】例1.解下列不等式(1)x2－7x+12>0(2)－x2－2x+3≥0(3)x2－2x+1<0第152页共159页\n(4)x2－2x+2<0【解】答案：（１）（２）（３）（４）点评:不等式的解与方程的根是密切相关的．例2：解下列不等式(1).10(3)(x2+4x-5)(x2-4x+4)>0(4)x4-x2-6≥０第152页共159页\n(5)>0(6)≤0【解】答案：（１）（２）（３）（４）（５）（６）听课随笔点评：“”符号的使用可使表达简洁，另外端点是否包含在内特别要小心谨慎．思维点拔：１．当a>0时ax2+bx+c>0的解集为两根之外或R，ax2+bx+c<0解集为两根之内或第152页共159页\nφ。１．解一元二次不等式的方法：图象法，结论法。２．解一元二次不等式的步骤：一看x2系数，二求方程的根，三写出结论。３．不等式的解要写成解集的形式，即用集合或区间表示。４．学会用化归的思想解决一些可化为一元二次不等式的问题。追踪训练一1.函数y=的定义域为_____________2.函数y=lg(2x2+3x-1)的定义域为_____________３.函数y=lg(-x2+5x+24)的值小于１，则x的取值范围为_____________４．设k∈R,x1,x2是方程x2－2kx+1－k2=0的两个实数根,则x+x的最小值为（　Ｃ　）A.—2　B.0　　C.1D.2【选修延伸】高次不等式的解法解下列不等式：（1）（2）答案：（３）（４）第152页共159页\n思维点拨解高次不等式的方法步骤：方法：序轴标根法．步骤：①化一边为零且让最高次数系数为正；②把根标在数轴上；③右上方向起画曲线，让曲线依次穿过标在数轴上的各个根；④根据“大于0在上方，小于0在下方”写出解集。注：①重根问题处理方法：“奇过偶不过”．②分式不等式转化为高次不等式求解．追踪训练一设（为实常数），且方程有两个实数根为，，（1）求函数的解析式．（２）设，解关于的不等式．略解：（１）（２）原式变为可化为即当时，解集为第152页共159页\n当时，解集为当时，解集为听课随笔第152页共159页\n第3课时一元二次不等式(2)【学习导航】逆向问题知识网络一元二次不等式含参数不等式的解法学习要求1．进一步理解三个一元二次之间的关系，掌握一元二次不等式解的逆向问题。2．会解一些简单的含参数的一元二次不等式．【课堂互动】自学评价1．不等式a(x-1)(x-2)<0的解集为{x|x<1或x>2}则a与0的关系为：a1时,(1,a).当a<1时,(a,1).当a=1时,φ。【精典范例】例1已知不等式x2+ax+b<0的解集为{x|－11},求不等式x2+ax+b<0的解集．答案：（１，２）．思维点拔：１．不等式与方程的关系是关键．从不等式的解方程的根韦达定理(或将根代入)新不等式的解．追踪训练一１．不等式ax2+bx+2<0的解集为{x|－3},求a的值．答案：a=－例２.解关于x的不等式x2－(a+1)x+a>0解：原式变为：（x－1）(x－a)>0当a>1时，x<1或x>a当a1时，x1当a<1时，x1所以原式解集为：略．例3：解关于x的不等式ax2－x+1>0【解】当a=0时，x<1当a<0时，当a=时，x2当a>时，xR综述：略．第152页共159页\n思维点拔：1.分类讨论标准的确定(1).x2系数的正负或者为零的讨论(2).与０的大小比较(3).两根大小的比较．２．分类讨论不要重复和遗漏听课随笔追踪训练二1.解关于x的不等式ax2－(a+1)x+1>0答案：a=0：a<0：00第152页共159页\n答案：当时，或当时，xR当时，．【师生互动】学生质疑教师释疑听课随笔第152页共159页\n第4课时一元二次不等式(3)【学习导航】恒成立问题知识网络一元二次不等式简单实根分布问题法学习要求1．学会处理含字母系数的一元二次不等式恒成立问题2．学会处理含字母系数的一元二次不等式实根分布问题【课堂互动】自学评价1．不等式x2+2x+m2>0恒成立，则m取值范围为　　m<－1或m>1　　　　　　2．方程x2+(m-3)x+m=0的解集为，则m取值范围为　10恒成立(即解集为R)，则或2。若ax2+bx+c>0解集为φ，则第152页共159页\n或追踪训练一１．当a为何值时,不等式(a2－3a+2)x2+(a－1)x+2>0恒成立．解：或　解得：2．已知函数f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1,0)是否存在常数a,b,c使不等式x≤f(x)≤对切实数x都成立？若存在，求出a,b,c的值，若不存在，说明理由．解：易知f(1)=1.于是由得所以所以恒成立．所以．例２.分别求m的取值范围,使方程x2－mx－m+3=0的两根满足下列条件:(1)两根都大于－5;(2)一根大于0小于1,一根大于1小于2.解：设作草图后得．（１）进而得第152页共159页\n（２）得例3：已知A={x|x2+(P+2)x+4=0},M={x|x>0},若A∩M=φ,求实数P的取值范围.【解】分Ａ＝与Ａφ两情况，最终可求出．思维点拔：１．实根分布问题解题步骤(1)化方程一边为零;(2)设非零一边为函数f(x);(3)画函数f(x)的符合题意的草图；(4)根据草图列不等式组；(5)解不等式组．２．分类讨论不要重复和遗漏．追踪训练二方程x2－mx-m+3=0的两根均在(-4,0)内，求m的取值范围．答案：【师生互动】学生质疑教师释疑听课随笔【选修延伸】不等式区间[a,b]上恒成立问题若不等式x2－２ax+a+６>0在x∈[-2,2]上时总成立，求实数a的取值范围．思路：令，则椐题意知由得．思维点拔：对于不等式f(x)≥M在x[a,b]上恒成立，只需将其转化为f(x)在[a,b]上的最小值f(x)min≥M即可．因此解决此题的关键是求f(x)在区间[a,b]上的最小值．类似地，对于不等式f(x)≤M在x[a,b]上恒成立，只需将其转化为f(x)在[a,b]上的最大值f(x)max≤M即可．因此解决此题的关键是求f(x)在区间[a,b]上的最大值追踪训练三１．已知不等式1≤－x2＋x+a≤在x[-１,１]上时总成立，求实数a的取值范围．第152页共159页\n答案：２．设不等式mx2－2x－m+1<0对满足|m|≤2的一切m都成立，求实数x的取值范围答案：设，结合图象知，可解出听课随笔第152页共159页\n第5课时一元二次不等式应用题【学习导航】知识网络建立一元二次不等式模型实际问题解一元二次不等式模型学习要求1．学会建立一元二次不等式及二次函数模型解决实际问题2．体会由实际问题建立数学模型的过程和方法【课堂互动】精典范例例1．用一根长为100m的绳子能围成一个面积大于600m2的矩形吗?当长、宽分别为多少米时,所围成矩形的面积最大?【解】见书．例２.某小型服装厂生产一种风衣,日销货量x件与货价P元/件之间的关系为P=160－2x,生产x件所需成本为C=500+30x元.问:该厂日产量多大时,日获利不少于1300元？见书．第152页共159页\n例3：汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”,刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速为40km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了,事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m,乙车的刹车距离略超过10m,又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2,问甲、乙两车有无超速现象?【解】见书．思维点拔：解应用题的步骤：1．审题2．解题（设，列，解，答）3．回顾（变量范围与实际情况要一致）追踪训练1．制作一个高为20cm的长方体容器，其底面矩形的长比宽多10cm，并且容器的容积不得少于4000，则底面矩形的宽至少应为　　　10　　　　　　㎝．２．某工厂的三年产值的年增长率情况依次为：第一年至少为a%,第二年至少为b%,第三年至少为c%,则这三年的年平均增长率至少为．３．某渔业分司年初用98万元购买一艘捕鱼船,第一年各种费用12万元,以后每年都增加4万元,每年捕鱼收益50万元.第152页共159页\n(1)问第几年开始获利?(2)若干年后,有两种处理方案:①年平均获利最大时,以26万元出售该渔船;②总纯收入获利最大时,以8万元出售该渔船,问哪种方案最合算?(提供公式:a>0,x>0时,x+≥2(当且仅当x=时取等号)略解:（１）设第n年开始获利,则可得到：,解后知第３年开始获利．（２）方案一：７年净获利110元．方案二：10年净获利110元．故方案一最合算．【选修延伸】分段函数模型听课随笔某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元,但每生产100台时又需可变成本0.25万元,市场对此商品的年需求量为500台,销售收入函数为R(x)=5x－x2(万元)(0≤x≤5).其中x是产品售出的数量(单位:百台)(1)把利润表示为年产量的函数;(2)年产量为多少时,企业所得的利润最大?(3)年产量为多少时,企业才不亏本?略解：（１）设利润为，则（２）当且仅当时，的最大值为万元．（３）由，解得即答：略．思维点拔：【师生互动】学生质疑教师释疑不要忽视对x>5的讨论，故建立的是一个分段函数的模型。第152页共159页\n听课随笔第6课时二元一次不等式表示的平面区域【学习导航】知识网络作平面区域步骤含义二元一次不等式表示的平面区域逆向问题定侧方法学习要求1．了解二元一次不等式的几何意义，会作出二元一次不等式表示的平面区域．2．由二元一次不等式表示的平面区域能写出对应的不等式3．进一步体会数形结合的思想方法，开拓数学视野．【课堂互动】自学评价１．二元一次方程表示的图形　一条直线　　　２．二元一次不等式表示平面区域的含义：　　　　二元一次不等式解对应点构成的图形．3.不等式x+y-1>0表示的平面区域：是直线x+y-1=0右上方的平面区域．【精典范例】例1．画出下列不等式所表示的平面区域(1)y>－2x+1(2)x－y+2>0(3)y≤－2x+3【解】略．例2.已知P(x0,y0)与点A(1,2)在直线l:3x+2y－8=0两侧,则(Ｃ)第152页共159页\nA.3x0+2y0>0B.3x0+2y0<0C.3x0+2y0>8D.3x0+2y0<8思维点拔：1.画平面区域的步骤：(1)先画不等式对应的方程所表示的直线（包括直线时，把直线画成实线，不包括直线时，把直线画成虚线）简称＂画线＂．(2)再通过选点法判定在直线的哪一侧．选点法中所选点常常为(0,0),(1,0)或(0,1)等，简称＂定侧＂2.规律揭示(1)直线y=kx+b把平面分成两个区域：y>kx+b表示直线上方的平面区域；y＜kx+b表示直线下方的平面区域．(2)对于Ａx+Ｂy+Ｃ＞０（或＜０）表示的区域：当B>0时，Ａx+Ｂy+Ｃ＞０表示直线Ａx+Ｂy+Ｃ＝０上方的平面区域；当B>0时，Ａx+Ｂy+Ｃ＜０表示直线Ａx+Ｂy+Ｃ＝０下方的平面区域．追踪训练1．判断下列命题是否正确(1)点(0,0)在平面区域x+y≥0内　(是)(2)点(0,0)在平面区域x+y+1<0内（否）(3)点(1,0)在平面区域y>2x内（否）(4)点(0,1)在平面区域x-y+1>0内　（否）2.不等式x+4y-9≥0表示直线x+4y-9=0　　　　　　　（　Ｃ）A.上方的平面区域　B.下方的平面区域C.上方的平面区域(包括直线)D.下方的平面区域(包括直线)３．用＂上方＂或＂下方＂填空若Ｂ＜０，不等式Ａx+Ｂy＋Ｃ＞０表示的区域在直线Ａx+Ｂy＋Ｃ＝０的　下方　；不等式Ａx+Ｂy＋Ｃ＜０表示的区域在直线Ａx+Ｂy＋Ｃ＝０的　上方　　．4.画出下列不等式表示的平面区域(1)y≤x-1　　　　　(2)y<0(3)3x-2y+6>0　　　　(4)x>2图略．5.已知两个点Ａ(-3，-1)和Ｂ(4，-6)分布在直线-3x+2y+a=0的两侧，则a的取值范围为（－７，２４）　　　　　．第152页共159页\n例２.将下列各图中的平面区域(阴影部分)用不等式表示出来.(图(1)中不包括y轴)yxO6x+5y=22y(1)(2)OxyxOy=x(3)听课随笔解：（１）（２）（３）思维点拔：有关画平面区域的逆向问题．需要注意如下两方面问题：　(1)注意边界是虚线还是实线以确定不等式是否有＂＝＂．(2)选点法或用结论定侧，以确定不等式中的符号方向．追踪训练将下列各图中的平面区域(阴影部分)用不等式表示出来.(图(1)中不包括y轴)x-1y1(1)yx2x+y=0Oyx-y-2=0(2)Ox(3)　　　　解：（１）　　　　　　（２）第152页共159页\n（３）第152页共159页\n听课随笔第7课时二元一次不等式组表示的平面区域【学习导航】知识网络作作平面区域步骤含义二元一次不等式(组)表示的平面区域整点问题逆向问题学习要求1.理解二元一次不等式组表示平面区域的含义，并能准确地作出二元一次不等式组表示的平面区域，还能处理一些逆向问题．2.学会解决一些简单的整点问题．【课堂互动】自学评价１．不等式组表示的平面区域　各不等式表示平面区域的公共部分．　.２．整点：　坐标都是整数的点　.【精典范例】例1．画出下列不等式组所表示的区域(1)(2)【解】图略（见书）．yxA4BC2-2O例2.如图,△ABC三个顶点A(0,4),B(－2,0),C(2,0),求△ABC内任一点(x,y)所满足的条件.第152页共159页\n见书．思维点拔：1.二元一次不等式组表示平面区域的画图步骤：画线(注意虚线还是实线)，定侧，求交．2.由平面区域写不等式组，一要注意是否有等号，二要注意不要少写不等式．追踪训练1.画出下列不等式组所表示的区域(1)(2)(3)(x-y+1)(x+2y-2)>0图略．2.如图所示阴影部分可用二元一次不等式组表示(Ｃ)A.B.第152页共159页\nC.D.yx2-1-2y=-2【师生互动】学生质疑教师释疑例3利用平面区域求不等式组的整数解.解：法一：画区域后作网格线而知其解为（１，－２），（２，０），（２，－１），（３，－１）．法二：画区域后求最左最右边界点的横坐标得，故整数x=0,1,2,3.将x=0,1,2,3分别代人原不等式组求出整数y即可．（以下略）．听课随笔思维点拔：方法一：(1)画区域(2)求交点(3)通过定x的范围来确定整数x(4)再通过x的整数值来定y的整数值．方法二：(1)画区域(2)打网格线(3)特殊点验证．追踪训练在坐标平面上,不等式组所表示的平面区域内整数点个数为(Ｄ)A.１B.２C.３　D.４第152页共159页\n听课随笔第152页共159页\n第8课时　简单的线性规划问题【学习导航】知识网络线性约束条件，目标函数，可行域等相关概念简单的线性规划问题线性规划求解整数线性规划求解一般线性规划求解学习要求1.了解线性规划相关概念，掌握简单线性规划求解方法.2.培养学生的数学应用意识和数形结合的能力．【课堂互动】自学评价１．线性条件与线性约束条件　　见书　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２．目标函数与线性目标函数：　　　　　　　　　　　见书　　　　　　　　　　　３．可行域：　　　　　　　　　　　　见书４．线性规划：　　　　　　　　　　　见书【精典范例】例1．在约束条件下,求P=2x+y的最大值与最小值.【解】见书．变式１．在例１条件下，求P=2x+y+20的最大值与最小值变式２．在例１条件下，求P=2x-y的最大值与最小值变式3．在例１条件下，求P=4x+3y的最大值与最小值解：变式１：设：，平移类同例１，得Ｐ最大值为27.5,Ｐ最小值为2０．第152页共159页\n变式２：设：，平移类同例１，得Ｐ最大值为５,Ｐ最小值为．变式３：设：，平移类同例１，得Ｐ最大值为２０，Ｐ最小值为０．思维点拔：1.在线性约束条件下求目标函数z=ax+by+c的最大值或最小值的求解步骤：(1)作出可行域；(2)作出直线l0:ax+by=0；(3)平移l0使其过最优解对应点；(4)解相关方程组，求出最优解从而求出目标函数最值．2.线性规划问题主要借助于图形求解，故作图要尽可能地准确，尤其对于l0的斜率与平面区域边界线的斜率大小关系要搞清．从而准确地确定最优解对应点的位置．３.最优解有时会有无数个．追踪训练一1.已知,则目标函数Z=x+2y的最大值是_____６______.２．已知,则4a－2b取值范围是_［－１，10］３．给出平面区域如图所示,若使目标函数Z=ax+y(a>0),取得最大值的最优解有无数个,则a值为(B)A.B.C.4D.yxOB(1,1)C(1,225)A(5,2)第152页共159页\n【师生互动】学生质疑教师释疑例2.设变量x,y满足条件,求S=5x+4y的最大值.略解:因可行域内只有3个整点(1,1),(2,1),(1,2)，显然当x=2,y=1时，Ｓ的最大值为14．听课随笔思维点拔：求整点最优解的方法：(1)作网格线法(特殊点可验证处理)求出的整数点逐一代入目标函数，求出目标函数的最值．(2)作网格线，确定整点，然后设作l0让其平移确定最优整点解，再求最值．追踪训练二设变量x,y满足条件,求S=3x+2y的最值.略解:作平面区域后，再作网格线，定出整点，然后设作l0：3x+2y=0,平移l0使其过点（１，２）时，Ｓ的最大值为14．平移l0使其过点（０，０）时，Ｓ的最小值为０．听课随笔第152页共159页\n第9课时　线性规划应用题【学习导航】知识网络线性规划的实际应用审题分析建立模型解题步骤画图求解还原作答学习要求　1.能够将实际问题抽象概括为线性规划问题，明确解题步骤与整点最优解的求法2.培养应用线性规划的知识解决实际问题的能力.【课堂互动】【精典范例】例1．投资生产A产品时,每生产100t需要资金200万元,需场地200m2,可获利润300万元;投资生产B产品时,每生产100米需资金300万元,需场地100m2,可获利润200万元,现某单位可使用资金1400万元,场地900m2,问:应作怎样的组合投资,可使获利最大?【解】见书．例2.某运输公司向某地区运送物资,每天至少运送180t,该公司有8辆载重为6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车,有10名驾驶员每辆卡车每天往返次数为A型车4次,B型车3次,每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元,B型车为504元,试为该公司设计调配车辆方案,使公司花费的成本最低.见书．第152页共159页\n思维点拔：1.线性规划应用题的解题步骤：　　　(1)分析后将题中数据整理成一个表格；　　　(2)设自变量（通常为x,y,z等）；(3)列式(约束条件和目标函数)；(4)作可行域；(5)作直线l0:ax+by=0平移l0使其过最　　　　　　优解的点；(6)解相关方程组得最优解(根据需要可求出最值)；(7)作答．2.整点最优解的求法：　(1)网格线法(2)先求非整点最优解，然后定出目标函数的取值范围，再改变目标函数取值，定出整点最优解．追踪训练1.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品１t，需矿石4t，煤3t，生产乙种产品１t，需矿石5t，煤10t，每1t甲种产品的利润是7万元，每1t乙种产品的利润是12万元，工厂在生产这两种产品的计划中，要求消耗矿石不超过200t，煤不超过300t，则甲、乙两种产品应各生产多少，能使利润总额达到最大？略解：设甲、乙两种产品分别生产xt,yt,则约束条件为　　，第152页共159页\n利润目标函数为，利用现性规划知识求解，可得当时，取得最大值．答略．【师生互动】学生质疑教师释疑听课随笔规格类型2.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板块数如下表示:钢板类型A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123今需A、B、C三种规格的成品分别为15,18,27块,问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品,且使所用钢板张数最少？略解：设需要第一种钢板x张,需要第二种钢板y张L,钢板总数z张则约束条件为：　．目标函数为，利用现性规划知识求解，可得当或时，取得最小值12．答略．3．已知函数，若第152页共159页\n，，求的取值范围．答案：．听课随笔第152页共159页\n第10课时基本不等式的证明(1)【学习导航】知识网络内容及证法算术平均数和几何平均数基本不等式变形及证明其它不等式几何解释学习要求　1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系.2.探究并了解基本不等式的证明过程,会用多种方法证明基本不等式.　　　　3.理解基本不等式的意义,并掌握基本不等式中取等号的条件是:当且仅当这两个数相等.【课堂互动】自学评价１．算术平均数：　　　　　　　　　　　　　　　　　见书　　　　　　　　　　２．几何平均数　　　　　　　　　　　　　　　　　见书　　　　　　　　　　３．设a≥0,b≥0则与的关系为　　　　　　≥　　　　　　　４．基本不等式的证明方法：　比较法　　　　　　分析法，综合法．　　　　　　　　　　　　　　　【精典范例】例1．.设a、b为正数,求证明：见书（共有三个方法）．第152页共159页\n点评：１．不等式证明的方法：(1)作差比较法(2)分析法(3)综合法２．本题对a≥0,b≥０时仍成立，且题中等号当且仅当a=b时成立．３．把不等式(a≥0,b≥0)称为基本不等式4.由本题可知，两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当两数相等时两者相等5.基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．例2.利用基本不等式证明下列不等式：(1)已知a>0,求证a+(2).已知a,b,c∈R,求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ac.(3).已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,求证:(证明：因为题目简单，证略．第152页共159页\n点评：1..基本不等式的变形公式：(1)(2)(3)(4)【师生互动】学生质疑教师释疑2.学会多次运用和创造条件运用基本不等式证题，尤其是不等式两边均为三项，可将一边变成六项，分成三组．对每一组用基本不等式．３．注意严格不等式的证明方法．思维点拔：听课随笔1.上面两例在于：(1)揭示基本不等式的内容与证法．(2)举例说明利用基本不等式证题的方法技巧，以让学生初步领会不等式证明的基本方法．２．基本不等式的推广：n个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若ai≥0(i=1,2,…,n),则(n>1,nN)追踪训练１．设Ｐ为正数，求下列各组数的算术平均数与几何平均数．（１）２与８　　　　　答案：５，４（２）３与１２　　　　答案：７.５，6（３）Ｐ与９Ｐ　　　　答案：５p，3p（４）２与２　　　答案：p2+1，2p２．已知a>1求证a+≥3略证．３．已知a+b+c=1,求证a2+b2+c2≥提示：只要证3(a2+b2+c2）≥1即可．第152页共159页\n４．已知a,b,c不全相等的三个正数,且abc=1,求证:注意：利用基本不等式证明时要交代等号为何不能成立．听课随笔第152页共159页\n第11课时基本不等式的证明(2)【学习导航】知识网络基本不等式内容证明最值定理使用条件：一正二定三相等作用：求最值学习要求1.理解最值定理的使用条件：一正二定三相等．2.运用基本不等式求解函数最值问题．【课堂互动】自学评价１．最值定理：若x、y都是正数，(1)如果积xy是定值P,那么当且仅当x=y时,和x+y有最小值　　　　　．.(2)如果和x+y是定值S,那么当且仅当x=y时,积xy有最大值　　　　　．２．最值定理中隐含三个条件：　一正二定　　　　　　三相等　　　　　　　．【精典范例】例1．(1).已知函数y=x+(x>－2),求此函数的最小值.(2)已知x<,求y=4x－1+的最大值;(3)已知x>0,y>0,且5x+7y=20,求xy的最大值;(4)已知x,y∈R+且x+2y=1,求的最小值.【解】答案：（1）的最小值为6（x=2）．（２）的最大值为２(x=1)．第152页共159页\n（３）的最大值为(x=2,y=)．（4）的最小值为()．例2.错在哪里?（１）求y=(x∈R)的最小值.解∵y=∴y的最小值为2..（２）已知x,y∈R+且x+４y=1，求　的最小值．法一：由１＝得所以．所以原式最小值为８．法二：由（当且仅当x=y时等号成立）．于是有得x=y=0.2．所以的最小值为5+5=10.第152页共159页\n思维点拔：１．利用基本不等式求最值问题时，一定要交代等号何时成立，只有等号成立了，才能求最值，否则要用其它方法了．而在证明不等式时，不必要交代等号何时成立．２．例2是常见典型错误，它违背了最值定理使用前提：“一正二定三相等”中的后两条。追踪训练一1.求函数y=4x2+的最小值；2.已知x<0,求y=的最大值；【师生互动】学生质疑教师释疑3.已知x,y∈R+,且+=1,求x+y的最小值;4.已知x>-2,求y=的最大值；5.已知x>1,00）,每批购入x台，则．由于当时，解得．所以元．第152页共159页\n此为所需最低费用．当且仅当x=120时，取得等号．因此只需每批购入120台,可使资金够用.思维点拔：先建目标函数，再用基本不等式求最值，这是一种很常见题型，加以理解和掌握．追踪训练１．建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池,如果池底的造价为每平方米120元,池壁的造价为每平方米80元,求这个水池的最低造价.略解：类似于例２，可求得当水池为正方体时，造价最低，为1760元.听课随笔２．巨幅壁画画面与地面垂直,且最高点离地面14米,最低点离地面2米,若从离地面1.5米处观赏此画,问离墙多远时,视角最大?略解:设离墙x米,视角为ψ,则=(当x=2.5时等号成立)答：略．第152页共159页\n【师生互动】学生质疑教师释疑听课随笔第14课时基本不等式的应用(2)【学习导航】知识网络实际问题数学建模利用基本不等式求最值学习要求1．进一步会用基本不等式解决简单的最大（小）值的实际问题。2.通过对实际问题的研究，进一步体会数学建模的思想。3．进一步开拓视野，认识数学的科学价值和人文价值．【课堂互动】自学评价第152页共159页\n1.设x>0时,y=3－3x－的最大值为2.已知a>b>c,n∈N*,且,则n的最大值为_____4_____.3.已知x>0且x1,y>0且y1,则logyx+logxy的取值范围是【精典范例】例１．过点(1,2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,当△AOB的面积最小时,求直线l的方程【解】见书（但设直线方程可有两种方法）．例２．如图(见书P93),一份印刷品的排版面积(矩形)为A,它的两边都留有宽为a的空白,顶部和底部都留有宽为b的空白,如何选择纸张的尺寸,才能使纸的用量最小?见书．第152页共159页\n思维点拔：先建立目标函数，然后创造条件利用基本不等式求解。追踪训练1.某汽车运输公司,购买一批豪华大客车投人客运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y万元与营运年数n(n的关系为y=－n2+12n－25,则每辆客车营运(Ｃ)年,使其营运年平均利润最大.A3B4C5D62.过第一象限内点P(a,b)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,当取最小值时,求直线l的方程.解：设则．所以＝＝（等号当且仅当时成立）所以取最小值2ab时,直线l的方程为：．3.汽车行驶中,由于惯性作用,刹车后还要向前滑行一段距离才能停住,我们把这段距离叫做“刹车距离”,在某公路上,“刹车距离”S(米)与汽车车速v(米/秒)之间有经验公式:S=+,为保证安全行驶,要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米,现假设行驶在这条公路上的汽车在平均车身长5米,每辆车均以相同的速度v行驶,并且每两辆之间的间隔均是“安全距离”.听课随笔(1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v函数关系式;(2)问v为多少时,经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大?第152页共159页\n解：（１）　　　　　　＝　（２）车流量＝　　　　　　　＝（时取等号）【师生互动】学生质疑教师释疑　　答：略．听课随笔第15课时不等式复习课一、【学习导航】知识网络与另两个＂二次＂的关系听课随笔不等式的解法一元二次不等式不等式的应用表示的平面区域二次不等式组不等式组不等关系线性规划证明不等式求函数最值基本不等式实际应用第152页共159页\n学习要求1．温故本章内容，使知识系统化，条理化．分清重点，明确难点，再现注意点，达到巩固与知新的效果。2.体会分类讨论，等价转化，数形结合，函数方程四种数学思想的应用.【课堂互动】自学评价1.不等式组的解集为（1，2）∪(4,5)．2.已知，则的最大值为　　　14　　　　　　．3.已知，，则的最小值为　　15　　　　　．4.已知,则下列四个平均数:,,,的大小关系为≤≤≤.【精典范例】例1：解关于的不等式：【解】,,，,,第三章不等式第156页共159页\n例2：设，关于的一元二次方程有两个实根且，求的取值范围．【解】设则解出例３.某工厂生产Ａ，Ｂ两种产品，已知生产１千克Ａ产品要用煤９吨，电力４千瓦时，劳动力３个，创造利润７万元，生产１千克Ｂ产品要用煤４吨，电力５千瓦时，劳动力１０个，创造利润１２万元，在这种条件下，应该生产Ａ，Ｂ两种产品各多少千克，才能使所创造的总的经济价值最高？答案：容易解得当x=20,y=24时，目标函数z=7x+12y取得最大值428万元。例4数列由下列条件确定：，当时，求证：（１）　　　（２）听课随笔证明：（1）先说明，然后用基本不等式易证．（2）作差比较法易证．第三章不等式第156页共159页\n例5.要使不等式对所有正数都成立，求的最小值．解：可解出：令u=.则（当且仅当时取等号）所以当时，的最大值为，所以，所以的最小值为．本章总结回顾：1．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，会用函数思想来研究方程和不等式．２．二元一次不等式(组)表示平面区域与线性规划问题是数形结合思想的运用。画平面区域是线性规划的基础，常用选点法定侧，注意边界是否在区域内。解线性规划应用题时要注意规范解题，写全解题步骤。３．利用基本不等式求最值或证明不等式，运用时往往需作适当的变形，创造条件应用基本不等式，常用变换技巧是“拆添项”“配凑因子”和“平方”等。应用基本不等式求最值时，要注意考虑三要素，即“一正二定三相等”。【选修延伸】柯西不等式内容：第三章不等式第156页共159页\n≥．证明：设．当＝０，即时，柯西不等式显然成立．当≠０，即＞０时，由于恒成立．于是,　　化简变形即得听课随笔≥．【精典范例】已知，且，求证：证明：由＝而得，代入上式并变形知原式成立．追踪训练已知，且，求证：证明略．类似于范例的证明．【师生互动】学生质疑教师释疑第三章不等式第156页共159页\n本站资源汇总［优秀资源，值得收藏］一、中小学数学资源汇总【推荐】1、中小学数学教材、教参电子书大全［PDF版］［人教版｜北师大版］2、中学数学教案、试卷大全［人教版｜北师大版］［精品整理］3、［优质数学资源下载汇总］4、新课标人教版高中数学(必修1-必修5)全部课件免费下载5、中小学精彩趣味数学题集6、十年高考全国卷精美整理打包下载（附答案）二、中小学教育管理资源汇总1、主题班会教案设计集：一   二   三2、新学生评语、优秀班主任评语3、【精编】中国教育法律法规大全4、【精品】经典德育小故事150则三、［软件介绍］精品小软件下载  ［免费］ 四、百科知识精彩文档1、服务礼仪、规范及演练2、【精品】PPT制作技巧3、基本商务礼仪---怎样让自己成为一个受欢迎的人..4、50个经典心理测试5、股民基民常备手册_怎样看盘五、营销策划、管理培训类精品文档1、某公司人力资源管理制度2、【精品】市场营销精美讲义16讲3、市场营销学基础知识4、如何成为营销高手5、某大型酒店《安全部工作手册》及《洒店岗位职责》6、酒店英语+酒店常见问题处理本站资源汇总［优秀资源，值得收藏］159