苏教版高中数学必修2全部教案 126页

苏教版高中数学必修2全部教案【精美整理版】目录第一章立体几何初步1第一课时棱柱、棱锥、棱台2第二课时圆柱、圆锥、圆台、球4第三课时中心投影和平行投影6第四课时直观图画法9第五课时平面的基本性质11第六课时平面的基本性质14第7课时空间两条直线的位置关系18第8课时异面直线22第9课时直线与平面的位置关系25第10课时直线与平面垂直29第11课时直线与平面垂直(2)33第12课时平面与平面位置关系38第13课时二面角42第14课时平面与平面垂直44第15课时平面与平面的位置关系习题课48第16课时空间几何体的表面积(1)52第17课时空间几何体的表面积(2)55第18课时空间几何体的体积(1)58第19课时空间几何体的体积(2)61第20课时立体几何体复习64第二章平面解析几何初步68第1课直线的斜率（1）69第2课直线的斜率（2）71第3课直线的方程（1）74第4课直线的方程（2）77第5课直线的方程（3）80第6课两条直线的平行与垂直(1)83第7课两条直线的平行与垂直(２)86第8课两直线的交点90第9课平面上两点间的距离93第10课2.1.6第一节点到直线的距离（１）98第11课2.1.6第二节点到直线的距离（２）101第12课第一节圆的方程（1）106第13课第二节圆的方程（2）109第14课时直线与圆的位置关系113第15课时圆与圆的位置关系117第16课时空间直角坐标系121第17课时空间两点间的距离123本站资源汇总［优秀资源，值得收藏］125第120页共126页\n听课随笔第一章立体几何初步一、知识结构空间几何体简单的空间几何体基本元素(点、线、面)关系多面体(棱柱、棱锥、棱台)旋转体（圆柱、圆锥、圆台）直线与直线直线与平面平面与平面结构特征，图形表示，侧面积，体积平行、垂直、夹角、距离三视图，直观图，展开图判定、性质综合应用二、重点难点重点：空间直线，平面的位置关系。柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。平行、垂直的定义，判定和性质。难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。文字语言，图形语言和符号语言的转化。平行，垂直判定与性质定理证明与应用。第120页共126页\n第一课时棱柱、棱锥、棱台【学习导航】棱柱的结构特征知识网络棱锥的结构特征棱柱、棱锥、棱台棱台的结构特征学习要求1．初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。掌握它们的形成特点。2．了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义。3．了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何体简单作图方法4．了解多面体的概念和分类．【课堂互动】自学评价1．棱柱的定义：表示法：思考:棱柱的特点：.【答】2．棱锥的定义：表示法：思考:棱锥的特点：.【答】3．棱台的定义：表示法：思考:棱台的特点：.【答】4．多面体的定义：5．多面体的分类：⑴棱柱的分类⑵棱锥的分类⑶棱台的分类听课随笔【精典范例】例1：设有三个命题：甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱；第120页共126页\n乙：有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥；丙：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台。以上各命题中，真命题的个数是（A）A．0B.1C.2D.3例2：画一个四棱柱和一个三棱台。【解】四棱柱的作法：⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形；⑵画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段；⑶画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点见书７页例１⑷画一个三棱锥，在它的一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个侧面画出与底面平行的线段，将多余的线段檫去．见书７页例１点评：(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得思维点拔：解柱、锥、台概念性问题和画图需要：(1).准确地理解柱、锥、台的定义(2).灵活理解柱、锥、台的特点：例如：棱锥的特点是：⑴两个底面是全等的多边形；⑵多边形的对应边互相平行；⑶棱柱的侧面都是平行四边形。反过来，若一个几何体，具有上面三条，能构成棱柱吗？或者说，上面三条能作为棱柱的定义吗？答：不能．点评:就棱柱来验证这三条性质，无一例外，能不能找到反例，是上面三条能作为棱柱的定义的关键。追踪训练一1.如图，四棱柱的六个面都是平行四边形。这个四棱柱可以由哪个平面图形按怎样的方向平移得到？D1C1A1B1DCBA第120页共126页\n答由四边形ABCD沿AA1方向平移得到．2.右图中的几何体是不是棱台？为什么？答：不是，因为四条侧棱延长不交于一点．3．多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的几何体。答：４个面，四面体．第二课时圆柱、圆锥、圆台、球【学习导航】圆柱的结构特征圆锥的结构特征圆台的结构特征圆柱、圆锥、圆台、球球的结构特征知识网络学习要求　　1．初步理解圆柱、圆锥、圆台和球　　　　　　的概念。掌握它们的生成规律。2．了解圆柱、圆锥、圆台和球中一些常用名称的含义。3．了解一些复杂几何体的组成情况，学会分析并掌握它们由哪些简单几何体组合而成。4．结合日常生活中的一些具体实例，体会客观世界中事物与事物之间内在联系的辨证唯物主义观点，初步学会用类比的思想分析问题和解决问题．【课堂互动】自学评价1．圆柱的定义：　　　　　　　　　　　　　　母线　　　　　　　　　　　　底面　　　　　　　　　　　　　　轴2．圆锥的定义：3．圆台的定义：4．球的定义：5．旋转面的定义：　　　　　　　　　　６．旋转体的定义：　　　　　　　　　　７．圆柱、圆锥、圆台和球的画法。第120页共126页\n听课随笔【精典范例】例1：给出下列命题：甲：圆柱两底面圆周上任意两点的连线是圆柱的母线乙：圆台的任意两条母线必相交丙：球面作为旋转面，只有一条旋转轴，没有母线。其中正确的命题的有　　（Ａ）A．0B.1C.2D.3例2：如图，将直角梯形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？。ABCD【解】见书９页例１例３：指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的？。甲乙【解】见书９页例２第120页共126页\n思维点拨：如何解答一个复杂几何体的组成情况，主要是将原几何体分割成柱、锥、台和球后再解答。如：以正六边行的一边所在直线为轴旋转一周，所得几何体由哪些简单几何体组成的？解：是由一个圆柱，两个圆台挖去两个圆锥所得几何体。追踪训练1.指出下列几何体分别由哪些简单几何体构成？答：略2.如图，将平行四边形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？DCAB答：圆锥和圆柱3．充满气的车轮内胎可以通过什么图形旋转生成？答：圆【师生互动】第三课时中心投影和平行投影【学习导航】知识网络中心投影和平行投影第120页共126页\n空间几何体的三视图柱、锥、台、球的三视图简单组合体的三视图学习要求1．初步理解投影的概念。掌握中心投影和平行投影的区别和联系。2．了解并掌握利用正投影鉴别简单组合体的三视图。3．初步理解由三视图还原成实物图的思维方法．【课堂互动】自学评价1．投影的定义：.2．中心投影的定义：平行投影的定义：平行投影的分类：3．主视图（或正视图）的定义：俯视图的定义：左视图的定义：【精典范例】一、如何画一个实物的三视图？例1：画出下列几何体的三视图。听课随笔第120页共126页\n解答：见书12页例1点评：1.画三视图的方法和步骤(1)选择确定正前方，确定投影面，正前方应垂直于投影面，然后画出这时的正投影面------主视图(2)自左到右的方向垂直于投影面，画出这时的正投影------左视图⑶自上而下的方向是固定不变的。在物体下方确定一个水平面作为投影-----俯视图2.作图规律：长对正，宽相等，高平齐例2：设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图。解答：见书13页例２听课随笔二、如何由三视图还原成实物图。例3.根据下面的三视图,画出相应空间图形的直观图.主视图左视图第120页共126页\n俯视图解略．点评:解决这类问题，需要充分发挥空间想象能力。一般的从主视图出发，然后是左视图、俯视图，画图后检验。追踪训练一根据下列的主视图和俯视图，找出对应的物体，填在下列横线上。(1)B(2)D(3)A(4)C主视图俯视图(4)(3)(2)(1)DCBA第四课时直观图画法【学习导航】知识网络空间几何体的直观图斜二测画法学习要求1．初步了解中心投影和平行投影的区别。2．初步掌握水平放置的平面图形的直观图的画法和空间几何体的直观图的画法3．初步了解斜二测画法【课堂互动】第120页共126页\n自学评价1．消点的定义：.2．斜二测画法步骤⑴⑵　　　　　　　　　　　　　　　⑶　　　　　　⑷　　　　　　　　　　　　　　　【精典范例】一、怎样画水平放置的正三角形的直观图例1：画水平放置的正三角形的直观图。解答：见书14页例1听课随笔点评：在条件“平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半”之下，正三角形的直观图为斜三角形。追踪训练一画水平放置的正五边形的直观图。第120页共126页\n解答：略例2.画棱长为2cm的正方体的直观图.解答：见书15页例2点评：空间图形的直观图的画法。规则是：已知图形中平行于x轴，y轴和z轴的线段，在直观图中保持平行性不变；平行于x轴，z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度为原来的一半。听课随笔追踪训练二用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm,3cm,2cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图仿照例２作图第五课时平面的基本性质【学习导航】知识网络平面的表示平面的概念平面平面的基本性质公里3公里2公里１学习要求1.初步了解平面的概念.第120页共126页\n2.了解平面的基本性质(公理1-3)3.能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系.4.能运用平面的基本性质解决一些简单的问题【课堂互动】自学评价1．平面的概念：.2．平面的表示法　　３．公里１：　　　　　　　　　　　　　符号表示　　　　　　　　　　　　　4.公里2：　　　　　　　　　　　　　　符号表示　　　　　　　　　　　　　５．公里３：符号表示　　　　　　　　　　　　　问题：举出日常生活中不共线的三点确定一个平面的例子．【精典范例】听课随笔例1：已知E、F、G、H分别为空间四边形(四个顶点不共面的四边形)ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且直线EF和GH交于点P,求证:B、D、P在同一条直线上.AEFDBGHCP证明：∵P∈EF,而E∈AB,F∈AD∴EF平面ABD∴P∈平面ABD同理，P∈平面BDC∴P∈平面ABD∩平面BDC∴B、D、P在同一条直线上第120页共126页\n思维点拔：证明多点共线，通常利用公里2，即两相交平面交线的唯一性；证明点在相交平面的交线上，必须证明这些点分别在两个平面内。追踪训练如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为AB,AA1中点，求证CE,D1F,DA三条直线交于一点。ABCDD1C1B1A1EF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　证略．例2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列命题是否正确?并说明理由.①AC1在平面CC1B1B内;②若O、O1分别为面ABCD、A1B1C1D1的中心,则平面AA1C1C与平面B1BDD1的交线为OO1.③由点A、O、C可以确定平面;④由点A、C1、B1确定的平面与由点A、C1、D确定的平面是同一个平面.ABCDOO1A1B1C1D1解（１）不正确　（２）正确　（３）不正确　（４）正确．第120页共126页\n听课随笔追踪训练1.为什么许多自行车后轮旁装一只撑脚？2.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”正确的是　　　　　（　Ｂ　）Ａ．Ａl,lαB．Ａl,lαC．Ａl,lαD．Ａl,lα3.下列叙述中，正确的是　　　　（　Ｄ　）Ａ．因为Ｐα，Ｑα，所以ＰＱαＢ．因为Ｐα,Ｑβ，所以αβ＝ＰＱＣ．因为ＡＢα,ＣＡＢ，ＤＡＢ，所以ＣＤαＤ．因为ＡＢα,ＡＢβ，所以Ａαβ，且Ｂαβ第六课时平面的基本性质【学习导航】知识网络公里３推论3推论2推论１学习要求1.了解平面基本性质的3个推论,了解它们各自的作用.2.能运用平面的基本性质解决一些简单的问题.【课堂互动】自学评价1．推论１：.第120页共126页\n已知：求证：解答：见书22页推论１2．推论２：　　已知：求证：听课随笔３．推论３：　　　　　　　　　　　　　符号表示：仿推论1、推论2的证明方法进行证明。【精典范例】一、如何证明共面问题．ABDClα例1：已知:如图A∈l,B∈l,C∈l,Dl,求证:直线AD、BD、CD共面.解答：见书22页例１第120页共126页\n思维点拔：简单的点线共面的问题，一般是先由部分点或线确定一个平面，然后证明其他的点线也在这个平面内，这种证明点线共面的方法称为＂落入法＂例2.如图:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱BB1的中点,画出由A1,C1,P三点所确定的平面α与长方体表面的交线.ABCDD1C1B1A1P解答：见书2３页例２追踪训练一证明空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内．已知：求证：证明：（１）如图，设直线a,b，c相交于点Ｏ，直线d和a,b，c分别交于M,N,P直线d和点Ｏ确定平面α，证法如例１MNoPdαcbaNGPαdcMabR(2)设直线a,b，c,d两两相交，且任意三条不共线，交点分别为M,N,P,Q,R,G∵直线a和b确定平面α∴a∩c=N,b∩c=Q∵N,Q都在平面α内∴直线c平面α，同理直线d平面α∴直线a,b，c,d共面于α【选修延伸】第120页共126页\n如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为D1C1、B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,求证:(1)D、B、F、E四点共面’ABCDD1C1B1A1(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P、Q、R三点共线.证明略听课随笔追踪训练二1.空间四点中,如果任意三点都不共线,那么由这四点可确定___１或４____个平面?2.已知四条不相同的直线,过其中每两条作平面,至多可确定____６____个平面.3.已知l与三条平行线a,b,c都相交，求证：l与a,b,c共面．证明略第120页共126页\n听课随笔第7课时空间两条直线的位置关系一、【学习导航】判定及性质知识网络判定及性质平行直线空间两条直线位置关系异面直线异面直线所成角的计算方法相交学习要求1.了解空间两条直线的位置关系2.掌握平行公理及其应用3.掌握等角定理，并能解决相关问题．【课堂互动】自学评价１.空间两直线的位置关系位置关系　　共面情况　公共点个数相交直线平行直线异面直线２.公里４：符号表示：思考：经过直线外一点，有几条直线和这条直线平行答：３．等角定理【精典范例】ABEFCDA1D1C1B1例1：.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E、F分别是AB、BC的中点,求证:EF//A1C1应用第120页共126页\n解答：见书２５页例１思维点拔：证两直线平行的方法：(1)利用初中所学的知识　　　(2)利用平行公理．追踪训练已知：棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为CD,AD的中点，求证：四边形MNAC是梯形．C1D1M　　　　　　　NB1A1DCBA证明略点评：要证梯形，必须证明有两边平行且相等，平行的证明要善于联想平面几何知识．例2：如图.已知E、E1分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD、A1D1的中点,求证:∠C1E1B1=∠CEB.ABCEDA1D1E1C1B1第120页共126页\n分析：设法证明E1C1//EC,E1B1//EB证明：解答：见书２６页例２等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。等角定理的证明已知:∠BAC和∠B1A1C1的边AB//A1B1,AC//A1C1,并且方向相同.求证:∠BAC=∠B1A1C1解答：见书２５页听课随笔点评：平几中的定义，定理等，对于非平面图形，需要经过证明才能应用。追踪训练1.设AA１是正方体的一条棱，这个正方体中与AA1平行的棱共有　　（　C　）Ａ.１条　　　　　　　Ｂ.２条第120页共126页\nＣ.３条　　　　　　　Ｄ.４条2.若OA//O1A1,OB//O1B1,则∠AOB与∠A1O1B1关系　　　　　（　C　）A.相等　B.互补C.相等或互补D.以上答案都不对３．如图，已知AA′，BB′，CC′，不共面，且AA′//BB′,AA′=BB′,BB′//CC′,BB′=CC′.求证：△ABC≌△A′B′C′A′AB′BC′C用平行四边形性质证明思维点拔：凡“有且只有”的证明，丢掉“有”即存在性步骤，或丢掉“只有”即唯一性的证明都会导致错误发生，即证明不全面，思维不严谨所致。求证：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行．已知：点P直线a求证：过点P和直线a平行的直线b有且仅有一条．证明：∵Pa，∴点P和直线a确定平面α在平面α内过点Ｐ作直线b直线a平行（由平面几何知识）假设过点Ｐ还有一条直线c与a平行，则∵a//b,a//c∴b//c,这与b，c共点Ｐ矛盾．∴直线b唯一∴过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行总结：(1)凡上述两类问题型的证明应有两步，即先证明事实存在，再证明它是唯一的(2)解答文字命题必须将文字语言“译”成符号语言，然后写出“已知和求证”需要作图时，要把图形作出来，最后给出“解答（证明）”第120页共126页\n听课随笔第8课时异面直线一、【学习导航】知识网络定义画法判定(证明)异面直线异面直线所成角的求法学习要求1.掌握异面直线的定义．２．理解并掌握异面直线判定方法．.3.掌握异面直线所成的角的计算方法．【课堂互动】自学评价１.异面直线的定义２．异面直线的特点b３．画法：平面衬托法baaba４．异面直线的判定方法(1)定义法(2)判定定理(3)反证法５．异面直线所成的角(1)定义：(2)范围：６．异面直线的垂直【精典范例】例1：已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体.第120页共126页\n(1)正方体的哪些棱所在的直线与直线BC1是异面直线;(2)求异面直线AA1与BC所成的角;(3)求异面直线BC1和AC所成的角.ABCDA1D1C1B1见书２７理１思维点拔：(1)证两直线异面的方法①定义法②反证法③判定定理(2)求两条异面直线所成的角的方法：①作②证③求追踪训练１．指出下列命题是否正确，并说明理由：(1)过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线；(2)过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直．答：（１）正确，（２）错２．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，那些棱所在直线与直线AA1是异面直线且互相垂直．C1D1第120页共126页\nB1A1DCAB答：ＣＤ，Ｃ１Ｄ１，ＢＣ，Ｂ１Ｃ１３．在两个相交平面内各画一条直线，使它们成为：(1)平行直线；(2)相交直线；(3)异面直线．bababa４．在空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD中点,且EF=5,又AD=6,BC=8.求AD与BC所成角的大小.听课随笔BCADEFH解析：取BD的中点Ｈ，利用中位线性质，有EH//AD,FH//BC,∠EHF或其补角为AD与BC所成角，可以求得∠EHF＝９０°【选修延伸】已知A是△BCD所在平面一点，AB=AC=AD=BC=CD=DB，E是BC的中点，(1)求证直线AE与BD异面第120页共126页\n(2)求直线AE与BD所成角的余弦值ADBC(1)反证法(2)取ＣＤ的中点Ｆ，连接ＥＦ，可达到平移的目的．直线AE与BD所成角的余弦值听课随笔第9课时直线与平面的位置关系直线和平面相交一、【学习导航】知识网络直线在平面内直线和平面平行的定义直线和平面的位置关系直线和平面平行的判定直线和平面平行学习要求1.掌握直线与平面的位置关系.２．掌握直线和平面平行的判定与性质定理．.3.应用直线和平面平行的判定和性质定理证明两条直线平行等有关问题．【课堂互动】自学评价１.直线和平面位置关系位置关系　　　　　符号表示　图形表示直线a在平面α内直线a在平面α相交第120页共126页\n直线a在平面α相交２．直线在平面内是指：３．直线和平面平行的判定定理符号表示说明：本章中出现的判定定理的证明不作要求４．直线和平面平行的性质定理已知：求证：见书31页直线和平面平行的判定与性质定理的应用直线和平面平行的性质证明：【精典范例】例1：如图,已知E、F分别是三棱锥A-BCD的侧棱AB、AD中点,求证:EF//平面BCD.AEFBCD第120页共126页\n见书31页例１追踪训练一已知正方形ABCD所在的平面和正方形ABEF所在的平面相交与AB，M、N分别是AC、BF上的点且AM=FN求证：MN//平面BCEFENBAMDC证明：作NP//AB交BE于点P作NQ//AB交BC于点Q而AC=BF,AM=FN,∴MC=NB,有AB=EF∴MQ//NP,有MQ=NP∴四边形MQNP是平行四边形．∴MN//PQ,而PQ平面BCE∴MN//平面BCEABCDA1D1C1B1P·例2.一个长方体木块如图所示,要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开,应怎样画线?第120页共126页\n见书31页例２听课随笔例3.求证:如果三个平面两两相交于直线,并且其中两条直线平行,那么第三条直线也和它们平行.已知：求证：见书31页例３[思考]:如果三个平面两两相交于三条直线,并且其中的两条直线相交,那么第三条直线和这两条直线有怎样的位置关系?第120页共126页\n听课随笔追踪训练二1.指出下列命题是否正确，并说明理由：(1).如果一条直线不在平面内，那么这条直线就与这个平面平行；错(2).过直线外一点有无数个平面与这条直线平行；正确(3).过平面外一点有无数个直线与这条平面平行。正确2.已知直线a,b和平面α，下列命题正确的是　　　　　　　　（Ｄ　）A.若a//α,bα则a//bB.若a//α,b//α则a//bC.若a//b,bα则a//αD.若a//b,bα则a//α或bα3.在长方体ABCD-A1B1C1D1的面中：(1)与直线AB平行的平面是：面A1C1,面DC1　　　　(2)与直线AA1平行的平面是：面BC1,面DC1　　　　(3)与直线AD平行的平面是：面BC1,面A1C1　C1D1B1A1D听课随笔第10课时直线与平面垂直一、【学习导航】直线和平面垂直的定义知识网络直线和平面垂直的判定直线和平面垂直直线和平面垂直的性质直线和平面垂直的判定与性质定理的应用学习要求1.掌握直线与平面的位置关系.２．掌握直线和平面平行的判定与性质定理．.3.应用直线和平面平行的判定和性质定理证明两条直线平行等有关问题．【课堂互动】自学评价１.直线和平面垂直的定义:符号表示：垂线：垂面：垂足：第120页共126页\n思考：在平面中，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，那么在空间。(1)过一点有几条直线与已知平面垂直？答：(2)过一点有几条平面与已知直线垂直？答：２．定理：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直３．点到平面的距离：４．直线与平面垂直的判定定理：符号表示５．直线和平面垂直的性质定理：已知：求证：证明：见书34６．直线和平面的距离：【精典范例】例1：.求证:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.证明：见书34例1第120页共126页\n思维点拔：要证线面垂直，只要证明直线与平面内的两条相交直线垂直，或利用定义进行证明。Rt△ABC所在平面外一点Ｓ，且SA=SB=SC(1)求证：点Ｓ在斜边中点Ｄ的连线SD⊥面ABC(2)若直角边BA=BC，求证：BD⊥面SAC追踪训练如图,已知PA⊥α,PB⊥β,垂足分别为A、B,且α∩β=l,求证:AB⊥l.ABPαβl证明：略例2.已知直线l//平面α,求证:直线l各点到平面α的距离相等.证明：见书34例2第120页共126页\n听课随笔例3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)求证:A1C⊥B1D1;(2)若M、N分别为B1D1与C1D上的点,且MN⊥B1D1,MN⊥C1D,求证:MN//A1C.ABDCD1=C1=B1=A1=M=N分析：(1)可先证B1D1⊥面A1CC1，从而证出结论．(2)可证MN和A1C都垂直于面BDC1,从而利用性质证出结论点评：要证线线平行均可利用线面垂直的性质。追踪训练1.已知直线l,m,n与平面α，指出下列命题是否正确，并说明理由：(1)若l⊥α,则l与α相交；(2)若mα,nα,l⊥m,l⊥n,则l⊥α；(3)若l//m,m⊥α,n⊥α,则l//m第120页共126页\n2.某空间图形的三视图如图所示，试画出它的直观图，并指出其中的线面垂直关系．听课随笔3.在△ABC中，∠Ｂ＝90°，SA⊥面ABC，AM⊥SC，AN⊥SB垂足分别为N、M，求证：AN⊥BC，MN⊥SC学生质疑教师释疑BANMCS略证：BC⊥面SABBC⊥AN再证AN⊥面SBCAN⊥SCAM⊥SCSC⊥面ANMMN⊥SC听课随笔第11课时直线与平面垂直(2)一、【学习导航】斜线在平面内射影的定义知识网络直线和平面所成角直线和平面所成角的定义直线和平面所成角的求法学习要求1.了解直线和平面所成角的概念和范围;第120页共126页\n2.能熟练地运用直线和平面垂直的判定定理和性质定理.【课堂互动】自学评价１.斜线的定义:斜足定义:斜线段定义:２．直线和平面所成角的定义：　　线面角的范围：【精典范例】例1：.如图，已知AC，AB分别是平面α的垂线和斜线，C，B分别是垂足和斜足，aα，求证：a⊥BCABCαa证明：见书3６例3例2.求证:如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线就和这条直线在这个平面内的射影垂直.已知：求证：证明：证明：略点评：上述两题是三垂线定理及其逆定理，今后在证明其它问题时可直接使用。例３.如图,∠BAC在平面α内,点Pα,∠PAB=∠PAC.求证:点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上.APOCEFBα第120页共126页\n证明：见书3６例４思考：你能设计一个四个面都是直角的四面体吗?思维点拨：要证线面垂直，通常是从线线垂直来证明，而要证明线面垂直，通常又是从线线垂直来证明，即线线垂直和线面垂直互相转化．追踪训练1.如图，∠BCA=90°，PC⊥面ABC，则在三角形ABC，三角形PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有AC,AB,BC(2)与AP垂直的直线有BC　PACB2.若直线a与平面α不垂直，那么在平面内α与直线a垂直的直线(B)A.只有一条　B.有无数条C.是平面α内的所有直线D.不存在3.从平面外一点向平面引斜线段，如果斜线段长相等，那么它们在平面内的射影相等吗？答：相等4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，Ｐ为DD１的中点，O为底面ABCD的中心，第120页共126页\n求证：B１O⊥平面PAC点拨：使B１O垂直与平面ABC内的两条相交直线．听课随笔【选修延伸】Ｒt△ABC的斜边ＢＣ在平面Ｍ内，两直角边和平面Ｍ所成的角分别是４５°和３０°，求斜边的高ＡＤ和平面Ｍ所成的角AOBCM答：ＡＤ和平面Ｍ所成的角60°第120页共126页\n总结：要求斜线AD与平面M所成的角，找出斜线ＡＤ在平面Ｍ内的射影是关键．解题步骤：①作，②证，③求。听课随笔追踪训练在正方体ABCD-A1B1C1D1中，①求ＡＤ１与平面ABCD所成的角，学生质疑第120页共126页\n教师释疑①求ＡＤ１与平面A1D1CB所成的角(1)45°(2)30°听课随笔第12课时平面与平面位置关系一、【学习导航】两平面的判定知识网络两平面平行两平面的性质平面与平面的位置关系两平行平面的距离第120页共126页\n两平面相交学习要求1.理解并掌握两平面平行,两平面相交的定义.2.会画平行或相交平面的空间图形,并会用符号表示.3.掌握两个平面平行的判定定理和性质定理,并能运用其解决一些具体问题.【课堂互动】自学评价１.两个平面的位置关系位置关系　　　两平面平行　两平面相交公共点符号表示图形表示２．两个平面平行的判定定理：符号表示：３．两个平面平行的性质定理：已知：求证：证明：４．思考：(1)一个平面内的直线是否平行于另一个平面第120页共126页\n(2)分别在两个平行平面内的两条直线是否平行？５．两个平行平面间的距离６．直线和平面的距离：【精典范例】例1：如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:平面C1DB//平面AB1D1.ABCDD1A1B1C1证明：见书40例1例2.求证:如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.证明：见书40例2例3.求证:如果一条直线垂直于两个平面,那么这两个平面平行．.已知求证：证明：仿例2证第120页共126页\n思维点拨：两个平面平行的判定定理和性质定理体现了在一定条件下，线线平行，线面平行，面面平行之间可以互相转化．追踪训练1.判断下列命题是否正确，并说明理由：(1).若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则α与β平行；(2)若平面α内的有无数条直线与平面β平行，则α与β平行；(3)平行于同一条直线的两个平面平行；听课随笔(4)过已知平面外一点，有且仅有一个平面与已知平面平行；(5)过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面。2.六棱柱的表面中，互相平行的面最多有多少对？3.如图，设E,F,E1,F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,CD,A1B1,C1D1的中点，求证：平面ED1//平面BF1F1C1D1E1B1FA1DCEBA证明：略4.求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等。证明：略第120页共126页\n听课随笔第13课时二面角一、【学习导航】知识网络定义定义二面角定义法垂面法三垂线定理二面角的平面角确定方法学习要求1.理解二面角及其平面角的概念2.会在具体图形中作出二面角的平面角，并求出其大小．【课堂互动】自学评价１.二面角的有关概念(1)．半平面：(2).二面角：(3).二面角的平面角：(4).二面角的平面角的表示方法：(5).直二面角：(6).二面角的范围：2.二面角的作法：(1)定义法(2)垂面法(3)三垂线定理【精典范例】例1：下列说法中正确的是　（D　）A.二面角是两个平面相交所组成的图形B.二面角是指角的两边分别在两个平面内的角C.角的两边分别在二面角的两个面内,则这个角就是二面角的平面角D.二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱.例２如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中:(1)求二面角D1-AB-D的大小;(2)求二面角A1-AB-D的大小第120页共126页\nBCB1C1ADD1A1见书43例1(1)45°(2)90思维点拨要求二面角的平面角，关键是根据图形自身特点找出二面角的平面角，主要方法有：定义法，垂面法，三垂线定理法．步骤为作，证，求．听课随笔例３在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1BD与平面C1BD的夹角的正弦值．点拨：本题可以根据二面角的平面角的定义作出二面角的平面角．ABCDD1C1B1A1分析：取BD的中点O，连接A1O,C1O，则∠A1OC1为平面A1BD与平面C1BD的二面角的平面角．第120页共126页\n答：平面A1BD与平面C1BD的夹角的正弦值追踪训练1.从一直线出发的三个半平面，两两所成的二面角均等于θ，则θ=60°2.矩形ABCD中，AB=3,AD=4,PA⊥面ABCD，且PA=，则二面角A-BD-P的度数为30°　3.点A为正三角形BCD所在平面外一点，且A到三角形三个顶点的距离都等于正三角形的边长，求二面角A-BC-D的余弦值.答：听课随笔第14课时平面与平面垂直一、【学习导航】知识网络α⊥β的判定和性质α⊥β的判定α⊥β的性质性质１性质２α⊥β的判定α⊥β的定义第120页共126页\n学习要求1.掌握两平面垂直的定义2.掌握两个平面垂直的判定与性质定理，并会用这两个定理证明一些问题．【课堂互动】自学评价1.两个平面互相垂直的定义：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2.两个平面互相垂直的判定定理：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　符号表示：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３.两个平面互相垂直的性质定理：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　已知：求证：证明：【精典范例】例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:平面A1C1CA⊥面B1D1DB.D1C1A1B1DCBA证明：见书44例2第120页共126页\n思维点拨证明面面垂直的方法：(1).利用两平面垂直的定义，作出两相交平面所成二面角的平面角，并求其大小为90°(2).利用判定定理，在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面．例２.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内.已知：求证：证明：见书45例3例３：如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形，∠ＤＡＢ＝60°,PD⊥平面ABCD，PD=AD,点E为AB中点，点F为PD中点，求证：(1)平面PED⊥平面PAB;(2)求二面角F-AB-D的正切值．PFDCAEB证明：（１）略．（２）第120页共126页\n听课随笔追踪训练1.判断下列命题是否正确，并说明理由：①若α⊥γ,β⊥γ,则α//β；错②若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ；错③若α//α1,β//β1,α⊥β,则α1⊥β1，正确OABPC2.已知PA⊥平面ABC,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的任一点.求证:平面PAC⊥平面PBC.证明：略．第120页共126页\n听课随笔第15课时平面与平面的位置关系习题课一、【学习导航】知识网络两平面的位置关系两平面的判定与性质综合应用面面垂直的判定与性质二面角的求法学习要求1.掌握面面平行与垂直的判定与性质定理及其应用；2.掌握求二面角的方法；3.能够进行线线、线面、面面之间的平行（或垂直）的相互转化。【课堂互动】【精典范例】例1：如果三个平面两两垂直,求证：它们的交线也两两垂直。已知：求证：证明：略第120页共126页\n例２．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点求证:平面A1C1CA⊥面B1D1DB.(1).求证：AD⊥D1F(2).求AE与D1F所成的角(3).求证：面AED⊥面A1FD1ABCDA1B1D1C1FE证明：（１）略（２）９０°（３）略．思维点拨解立体几何综合题，要灵活掌握线线，线面，面面平行与垂直关系的证明方法,以及它们之间的相互转化;求线面角,面面角关键是利用线面垂直、面面垂直的性质作出所求角。【选修延伸】1.如果直角三角形的斜边与平面α平行,两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为θ1和θ2,则（Ｄ）第120页共126页\nA.sin2θ1+sin2θ2≥1B.sin2θ1+sin2θ2≤1C.sin2θ1+sin2θ2>1D.sin2θ1+sin2θ2<1２.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC中点.(1)证明:PA//平面EDB;(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值；(3).求二面角E-BD-C的正切值。ADCBEP(1)略证:连ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，证OE//PA(2)(3)听课随笔第120页共126页\n追踪训练1.给出四个命题:①AB为平面α外线段,若A、B到平面α的距离相等,则AB//α;②若一个角的的两边分别平行于另一个角的两边,则这两个角相等;③若直线a//直线b,则a平行于过b的所有平面;④若直线a//平面α,直线b//平面α,则a//b,其中正确的个数是　（A　）A.0B.1C.2D.32.a,b是异面直线,P为空间一点,下列命题:①过P总可以作一条直线与a、b都垂直;②过P总可以作一条直线与a、b都垂直相交;③过P总可以作一条直线与a、b之一垂直与另一条平行;④过P总可以作一平面与a、b同时垂直;.其中正确的个数是(A）A.0　　B.1C.2D.33.如图，PA⊥平面ABCD,AB//CD,BC⊥AB,且AB=BC=PD=CD,(1)求PB与CD所成的角;(2)求E在PB上，当Ｅ在什么位置时，PD//平面ACE；(3).求二面角E-AC-B的正切值。解答：（１）４５°（２），即Ｅ为ＢＰ的三等份点．第120页共126页\n（３）听课随笔PCBAD听课随笔第16课时空间几何体的表面积(1)一、【学习导航】知识网络空间多面体正棱锥关系正棱台定义及侧面积公式定义及侧面积公式直棱柱定义及侧面积公式学习要求1.理解棱柱棱锥棱台的侧面积公式的推导。2.会求一些简单多面体的表面积.【课堂互动】自学评价1.侧面展开图:见书中（以下同）．2.直棱柱：第120页共126页\n3.直棱柱侧面积公式：4.正棱柱：5.正棱锥：6.正棱锥侧面积公式：7.正棱台：8.正棱台侧面积公式：9.三个公式之间的关系：【精典范例】例1：一个正六棱柱的侧面都是正方形,底面边长为a,求它的表面积.【解】侧面积＝底面积＝所以表面积为．例2：设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶,高是0.85m,底面的边长是1.5m,制造这种塔顶需要多少平方米铁板?(保留两位有效数字)【解】见书中．第120页共126页\n思维点拨记清记准各种侧面积公式，然后结合几何体性质解题．追踪训练1．下列图形中，不是正方体的展开图的是　　　　　　　　　　　　（　Ｃ　）Ａ　　　　　　　　　　ＢＣ　　　　　　　　　　　Ｄ２．如图，Ｅ，Ｆ分别为正方形ＡＢＣＤ的边ＢＣ，ＣＤ的中点，沿图中虚线折起来，它能围成怎样的几何体？ＤＡＦＥＣＢ答案：三棱锥（其中有一条侧棱垂直于底面）．３．已知正四棱柱的底面边长为３，侧面的对角线长为，则这个正四棱柱的侧面积为　72．４．一个正三棱锥的侧面都是直角三角形,底面边长为a,求它的表面积.第120页共126页\n略解:侧面积=,底面积=所以表面积为.听课随笔５．一个正六棱台的两个底面的边长分别等于8cm和18cm,侧棱长等于13cm,求它的侧面积.略解:侧面积==936听课随笔第17课时空间几何体的表面积(2)一、【学习导航】空间旋转体圆锥关系圆台定义及侧面积公式定义及侧面积公式圆柱定义及侧面积公式知识网络第120页共126页\n学习要求1．理解圆柱圆锥圆台的侧面积公式的推导。2.会求一些简单旋转体的表面积.【课堂互动】自学评价1.圆柱侧面积公式：见书中（以下同）．２.圆锥侧面积公式：３.圆台侧面积公式：４.三个公式之间的关系：【精典范例】例1：有一根长为5cm,底面半径为1cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕4圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为多少厘米?(精确到0.1cm)【解】见书．例2：(1)等边圆柱的母线长为4,则其等边圆柱的表面积为．(2)等边圆锥的母线长为4,则其等边圆锥的表面积为．(3)圆台上、下底面的半径分别为１和３，圆台高为２，则其圆台的表面积为．例3.已知一个圆锥的底面半径为R,高为h,在其中有一个高为x的内接圆柱.(1)求圆柱的侧面积;(2)x为何值时,圆柱的侧面积最大?并求出最大值.解：（１）设圆锥底面半径为r,则第120页共126页\n　　得所以侧面积＝　　　　＝（２）由（１）知，当时，侧面积最大，为．思维点拨1．空间问题平面化，会用侧面展开图解题．２．记清记准圆柱圆锥圆台的侧面积公式．追踪训练1．△ABC的三边长分别为AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直线为轴,将此三角形旋转一周,求所得旋转体的表面积.答案：表面积＝．２．圆锥形烟囱帽的底半径是40cm,高是30cm,已知每平方米需要油漆150g,油漆50个这种烟囱帽(两面都漆),共需油漆多少千克?(精确到1kg)简答：一个圆锥侧面积＝50个双面的面积为共用油漆=答共需10kg.３．圆台的侧面积为Ｓ，其上底面、下底面的半径分别为r和R,　求证：截得这个圆台的圆锥的侧面积为．法基本量证略.第120页共126页\n【选修延伸】侧面积综合题选讲听课随笔四棱锥P—ABCD的底面是面积为9的矩形，PA⊥平面ABCD，侧面PBC、侧面PDC与底面所成的角分别是60°和30°，求四棱锥的全面积。思路：:先证后算．把四个侧面三角形的面积求出后再与底面积相加即可．答案：全面积＝．思维点拨在综合题中，遇到的不一定就是能直接套用公式的几何体．于是要利用几何体的性质与线面关系来解决问题．这就要求我们不但要发展定势思维，而且还要发展发散思维．本题中所用方法就是比较原始的方法，即把几何体各个面的面积求出后相加来求出几何体的表面积．追踪训练正三棱台上、下底面边长分别为1，3，侧面积为，求它的侧面与下底面所成二面角的大小．答案；听课随笔第18课时空间几何体的体积(1)棱柱及圆柱体积公式柱体一、【学习导航】知识网络关系棱锥及圆锥体积公式锥体空间几何体棱台及圆台体积公式台体第120页共126页\n球体积公式球体学习要求1.理解柱体锥体台体的体积公式的推导．2.会求一些简单几何体的体积.【课堂互动】自学评价1.长方体的体积公式:见书中（以下同）．2.柱体体积公式3.锥体体积公式4.台体体积公式5.柱体,锥体,台体体积公式之间的关系:6.球体体积公式(祖暅原理:两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等)【精典范例】例1：有一堆相同规格的六角螺帽毛坏共重5.8kg,已知底面六边形长是12mm,高是10mm,内孔直径是10mm,那么约有毛坯多少个?(铁的比重是7.8g/cm3)【解】见书．（251个）第120页共126页\n例2：例2.（P56例2.）如图（见书中）是一个奖杯的三视图（单位：cm），试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积（精确到0.01cm3）【解】见书．(1826.76cm3)追踪训练1．正三棱锥底面边长为２，侧面均为直角三角形，此三棱锥的体积为　（　C　）Ａ　　　　　Ｂ　　　　Ｃ　　　　　　Ｄ　２．已知正三棱台的两个底面的边长分别等于１和３,侧面积为,求它的体积.。解:设棱台斜高为,棱台高为．则＝　　第120页共126页\n得＝又得＝所以　　　＝．听课随笔３．三个球的半径的比是1:2:3,求证:其中最大的一个球的体积是另两个球的体积之和的3倍.证明：设三个球半径分别为．则最大球体积＝．中等球体积＝最小球体积＝．于是知:最大球体积＝3(中等球体积+最小球体积)听课随笔第19课时空间几何体的体积(2)一、【学习导航】知识网络空间几何体多面体综合运用旋转体体积公式体积公式球表面积、体积公式第120页共126页\n学习要求１．理解球的表面积公式的推导。2.会求一些球的组合体中的面积与体积的问题.【课堂互动】自学评价球的表面积公式：．　【精典范例】例1：已知一个正四面体内接在一个表面积为36π的球内,求这个四面体的表面积和体积.【解】设球半径为Ｒ，正四面体棱长为．则Ｒ＝３，且得所以表面积＝４体积＝．注：棱长为a的正四面体的外接球的半径Ｒ＝，内切球的半径r=.例2：已知上、下底半径分别为r、R的圆台有一内切球,第120页共126页\n(1)求这圆台的侧面积S1;(2)求这圆台的体积V.(3)求球的表面积与体积．【解】(1)S1=(2)由于圆台高所以体积＝（３）球的表面积＝球的体积＝．听课随笔思维点拨一些重要结论要是能记住那将是非常好的事情．如正四面体外接球半径、内切球半径与正四面体棱长的关系式。　　追踪训练1.P、A、B、C为球面上的四个点,若PA、PB、PC两两互相垂直,且PA=3cm、PB=4cm、PC=6cm,求这个球的表面积.答案：球半径Ｒ＝所以球的表面积为第120页共126页\n2.正方体,等边圆柱(底面直径和高相等的圆柱),球的体积相等,则哪一个表面积最小?思路：设三种几何体的体积为Ｖ．则正方体棱长a=所以正方体的表面积＝6=等边圆柱的底面半径.等边圆柱的表面积＝球半径R=球的表面积＝所以:正方体的表面积等边圆柱的表面积球的表面积.听课随笔第20课时立体几何体复习一、【学习导航】知识网络空间几何体多面体平面与平面旋转体(包括球)基本元素(点,线,面)侧面积与体积直线与直线直线与平面第120页共126页\n学习要求1.温故本章内容，使知识系统化，条理化．分清重点，明确难点，再现注意点，达到巩固与知新的效果。2.会证线线、线面、面面的平行与垂直的问题,会求简单的线线、线面、面面间的角与距离以及简单几何体的面积与体积的问题.【课堂互动】自学评价1.空间几何体(柱锥台球,三视图)的概念：2.平面的基本性质(3个公理与3个推论)：.3.空间两直线的位置关系(3种关系)：4.直线和平面的位置关系(3种关系)：5.平面和平面的位置关系(2种关系)：6.空间几何体的表面积和体积公式.7.三种角与六种距离的简单计算方法：8.物体按正投影向投影面投射所得到的图形叫　视图　　　．光线自物体的前面向后投射所得的投影称为　　主视图　　　，自上向下的称为　俯视图　　　．自左向右的称为　　左视图　　　　．【精典范例】例1：已知平面外两平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条直线也平行于这个平面．略证．先写已知，求证，再进行证明．突出使用线面平行的性质与判定定理．例2：已知直线AC,DF被三个平行平面α,β,γ所截,交点为A,B,C及D,E,F.求证：　证明：连ＡＦ交β于Ｋ．连ＢＫ，ＫＥ，ＣＦ，ＡＤ．由β∥γ得ＢＫ∥ＣＦ．因α∥β得ＡＤ∥ＫＥ．所以　ＡＢ／ＢＣ＝ＡＫ／ＫＦ．ＡＫ／ＫＦ＝ＤＥ／ＥＦ第120页共126页\n所以　ＡＢ／ＢＣ＝ＤＥ／ＥＦ．例3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC和BD的交点，G为CC1中点，求证：A1O⊥面GBD．略证：连ＯＧ．易证：．又易证为直角三角形．所以　　所以面GBD．例4.四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，且AB＝BC＝2，E是AC的中点，异面直线AD与BE所成角的余弦值为,求四面体ABCD的体积．思路：用作证求角法或建空间直角坐标系的方法可求出ＢＤ＝４，所以四面体ABCD的体积＝．例5.设P、A、B、C是球O表面上的四点,PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC=1,则球的体积为,球的表面积为.例6．平面四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝a,∠Ｂ＝90°，∠ＤＣＢ＝135°，沿对角线ＡＣ将四边形折成直二面角，求证：（１）求证：ＡＢ⊥面ＢＣＤ（２）求面ＡＢＤ与面ＡＣＤ成的角．略证：（１）易证略（２）作ＣＨ⊥ＤＢ于Ｈ，作ＣE⊥ＤA于E，连ＨＥ，可证得∠ＣＥＨ为所求二面角的平面角．在直角三角形ＣＥＨ中可求得sin∠ＣＥＨ=,所以∠ＣＥＨ＝所以所求二面角的大小为.听课随笔追踪训练1.已知a//b,且c与a,b都相交，求证：a,b,c共面．易证略第120页共126页\n2.空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB与CD成60°角,E、F分别为AC、BD的中点,则EF与AB所成角的度数为.3.设长方体三棱长分别为a,b,c,若长方体所有棱长的和为24,一条对角线长为5,体积为2,则(A)ABCD4.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5:2:8,体积为14,则棱台的高为　　(B)A3B2C5D45.一个正四面体的所有棱长都为，四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为(A)A3π　B4π　C5π　D6π第120页共126页\n听课随笔第二章平面解析几何初步直线直线方程的一般式两直线位置关系：：平行于坐标轴的直线方程平行于轴平行于轴直线方程的几种形式点斜式斜截式两点式截距式垂直k1k2=-1平行k1=k2相交k1≠k2求交点点到直线的距离公式一、知识结构圆的方程标准方程：一般方程：直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系相交、相切、相离相离、相交、外切、内切、内含空间直角坐标系空间直角坐标系中点的坐标表示空间两点间的距离公式二、重点难点重点：直线的斜率和倾斜角的概念，过两点的直线的斜率的计算公式；直线的方程的几种形式，会根据已知条件选择恰当的形式表示直线；两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离；根据斜率判定两直线的平行或垂直关系，会求两直线的交点坐标；圆的标准方程与一般方程的概念，会根据条件选择恰当的形式求圆的方程；能根据给定直线与圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；会用空间直角坐标系刻画点的位置，会用距离公式求空间两点间的距离．难点：第120页共126页\n几种形式的直线方程的推导；圆的标准方程的推导；直线与圆、圆与圆的位置关系中有关问题的探索．第1课直线的斜率（1）【学习导航】知识网络直线的斜率计算公式概念学习要求1．理解直线的斜率的概念；2．掌握过两点的直线斜率的计算公式．【课堂互动】自学评价1．直线的斜率：已知两点，如果,那么，直线的斜率为；此时，斜率也可看成是．【精典范例】例1：如图，直线都经过点，又分别经过点，，试计算直线的斜率．【解】设的斜率分别为，则，由图可知，（1）当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜（），此时直线倾斜角为锐角；听课随笔（2）当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜（），此时直线倾斜角为钝角；（3）当直线的斜率为0时，直线与轴平行或重合（），此时直线倾斜角为．例2：已知直线经过点、，求直线的斜率．【解】当时，直线的斜率不存在，此时倾斜角为；当时，直线的斜率．第120页共126页\n点评:运用斜率公式求直线斜率时，一定要注意公式中的条件．例3：经过点画直线，使直线的斜率分别为：（1）；（2）．分析：根据两点确定一条直线，只需再确定直线上另一个点的位置．【解】（1）根据斜率，斜率为表示直线上的任一点沿轴方向向右平移4个单位，再沿轴方向向上平移3个单位后仍在此直线上，将点沿轴方向向右平移4个单位，再沿轴方向向上平移3个单位后得点，即可确定直线．（2）∵，∴将点沿轴方向向右平移5个单位，再沿轴方向向下平移4个单位后得点，即可确定直线．【选修延伸】一、直线斜率与三点共线例4：已知三点在一条直线上，求实数的值．【解】由题意，，∴，∴或．点评：共线三点中任意两点确定的直线斜率相等．思维点拔：任何直线都有倾斜角和斜率吗？根据直线倾斜角和斜率的概念，任何直线都有倾斜角．特别地，当直线与轴平行或重合时，倾斜角为；当直线与轴垂直时，倾斜角为，此时直线斜率不存在．因此，除倾斜角为的直线外，其他直线都有斜率．追踪训练1.的三个顶点，，写出三边所在直线的斜率：，，．第120页共126页\n2.求证：三点共线．提示：∵，∴三点共线．3.已知过点，的直线的斜率为，则实数的值为.第2课直线的斜率（2）【学习导航】知识网络倾斜角和斜率的关系直线的倾斜角范围概念学习要求1．掌握直线的倾斜角的概念，了解直线倾斜角的范围；2．理解直线的斜率与倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率；3．通过操作体会直线的倾斜角变化时，直线斜率的变化规律．【课堂互动】自学评价1．直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把绕着交点按逆（顺、逆）时针旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与轴平行或重合的直线的倾斜角为．第120页共126页\n2.倾斜角的范围：．3.直线的倾斜角与斜率的关系：当直线的倾斜角不等于时，直线的斜率与倾斜角之间满足关系.【精典范例】例1：直线如图所示，则的斜率的大小关系为，倾斜角的大小关系为．答案：，．点评:当时，倾斜角越大，斜率越大，反之，斜率越大，倾斜角也越大；当时，上述结论仍成立．例2：（1）经过两点的直线的斜率为，倾斜角为；（2）经过两点的直线的倾斜角为，则．答案：（1），；（2）．例3：已知直线的倾斜角，直线和的交点，直线绕点按顺时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角为，求直线的斜率．分析：由几何图形可得直线倾斜角为，∴斜率为．点评:本题的关键在于弄清倾斜角的定义．例4：已知，（1）当为何值时，直线的倾斜角为锐角？（2）当为何值时，直线的倾斜角为钝角？（3）当为何值时，直线的倾斜角为直角？分析：当斜率大于0时，倾斜角为锐角；当斜率小于0时，倾斜角为钝角；当直线垂直于轴时直线倾斜角为直角．答案：（1）或；（2）；（3）．追踪训练一1.直线的倾斜角为．2.已知直线的倾斜角为，直线与关于轴对称，则直线的倾斜角为．第120页共126页\n3.已知直线的倾斜角的变化范围为，则该直线斜率的变化范围是．【选修延伸】一、直线与已知线段相交，求直线斜率的取值范围例5:若过原点的直线与连结的线段相交，求直线的倾斜角和斜率的取值范围．分析：结合图形可知，直线介于直线之间，即可得倾斜角范围；再根据倾斜角变化时，斜率变化规律可得斜率范围．答案：倾斜角范围，斜率范围．追踪训练二1．已知，则直线的倾斜角和斜率分别为（）2．设点，直线过点，且与线段相交，求直线的斜率的取值范围．答案：由直线过点，且与线段相交可得：直线的斜率的变化可以看作是以为旋转中心，直线逆时针旋转到直线的过程中斜率的变化，又∵，，结合图形（图略）可得：直线的斜率的取值范围是或．第120页共126页\n第3课直线的方程（1）【学习导航】直线的方程点斜式方程斜截式方程截距式方程两点式方程一般式方程知识网络学习要求1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程；了解直线方程的斜截式是点斜式的特例；2.能通过待定系数（直线上的一个点的坐标及斜率，或者直线的斜率及在轴上的截距）求直线方程；3.掌握斜率不存在时的直线方程，即．【课堂互动】自学评价1．求直线的方程，其实就是研究直线上任意一点的坐标和之间的关系．第120页共126页\n2.直线经过点，当直线斜率不存在时，直线方程为；当斜率为时，直线方程为，该方程叫做直线的点斜式方程.3.方程叫做直线的斜截式方程，其中叫做直线在轴上的截距．【精典范例】例1：已知一条直线经过点，斜率为，求这条直线的方程．【解】∵直线经过点，且斜率为，代入点斜式，得：，即．听课随笔点评:已知直线上一点的坐标和直线的斜率，可直接利用斜截式写出直线方程．例2：直线斜率为，与轴的交点是，求直线的方程．【解】代入直线的点斜式，得：，即．点评:（1）直线与轴交点，与轴交点，称为直线在轴上的截距，称为直线在轴上的截距（截距可以大于，也可以等于或小于）；（2）方程由直线斜率和它在轴上的截距确定，叫做直线方程的斜截式．例3：（1）求直线的倾斜角；（2）求直线绕点按顺时针方向旋转所得的直线方程．【解】（1）设直线的倾斜角为，则，又∵，∴；（2）∴所求的直线的倾斜角为，且经过点，所以，所求的直线方程为．例4：在同一坐标作出下列两组直线，分别说出这两组直线有什么共同特征？（1），，，，；（2），，，，【解】图略；（1）这些直线在轴上的截距都为，它们的图象经过同一点；（2）这些直线的斜率都为，它们的图象平行．追踪训练1.写出下列直线的点斜式方程：（1）经过点，斜率为；（2）经过点，倾斜角为；（3）经过点，倾斜角是；（4）经过点，倾斜角是．第120页共126页\n答案：（1）；（2）；（3）；（4）．2．写出下列直线的斜截式方程：（1）斜率是，在轴上的截距是；（2）斜率是，与轴交点坐标为．答案：（1）；（2）．3.方程表示（C）通过点的所有直线通过点的所有直线通过点且不垂直于轴的直线通过点且除去轴的直线听课随笔第120页共126页\n第4课直线的方程（2）【学习导航】学习要求（1）掌握直线方程的两点式、截距式，了解截距式是两点式的特殊情况；（2）能够根据条件熟练地求出直线的方程．【课堂互动】自学评价1．经过两点，的直线的两点式方程为．2.直线的截距式方程中，称为直线在轴上的截距，称为直线在轴上的截距．【精典范例】第120页共126页\n例1：已知直线与轴的交点，与轴的交点，其中，求直线的方程．【解】∵经过两点，，代入两点式得：，即．点评:（1）以上方程是由直线在轴与轴上的截距确定，叫做直线方程的截距式；（2）截距式方程适用范围是．例2：三角形的顶点是、、，求这个三角形三边所在直线方程．【解】∵直线过，两点，由两点式得：，整理得直线的方程：，∵直线过，斜率，由点斜式得：，整理得直线的方程：，∵直线过，两点，由截距式得：，整理得直线的方程：．追踪训练一1.直线的截距式方程为（C）2．根据下列条件，求直线的方程：（1）过点和；（2）在轴上、轴上的截距分别是2，；（3）过点，且在轴上的截距为3．答案：（1）；（2）；（3）．3.经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（）第120页共126页\n或【选修延伸】一、已知直线的横截距和纵截距间的关系，求直线的方程例3：求经过点且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程．分析：涉及直线在坐标轴上的截距时，可选择直线方程的截距式．【解】设直线在轴与轴上的截距分别为，①当时，设直线方程为，∵直线经过点，∴，∵，∴或，∴直线方程为或；②当时，则直线经过原点及，∴直线方程为，综上，所求直线方程为或或．点评:题设中涉及到了直线在两坐标轴上的截距，因此可考虑用截距式，但应注意到截距能否为零，这是应用截距式求直线方程最易出错和疏忽的地方．例4：直线与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为2，两截距之差为3，求直线的方程．分析：根据题意，直线在两坐标轴上截距都大于零，因此可以用截距式方程．【解】由题意，直线在两坐标轴上截距都大于零，故可设直线方程为，由已知得：，解得或或（舍）或（舍）∴直线方程为或．思维点拔：第120页共126页\n过两点的直线能写成两点式的条件是且，如果没有这个条件，就必须分类讨论，这点容易被忽略；只有当直线在坐标轴上的截距都不为零时，才可以用直线方程的截距式．追踪训练二1．求过点，在轴和轴上的截距分别为，且满足的直线方程．答案：分截距为零、不为零两种情况讨论，可得所求直线方程为或．第5课直线的方程（3）【学习导航】学习要求（1）掌握直线方程的一般式（不同时为），理解直线方程的一般式包含的两方面的含义：①直线的方程是都是关于的二元一次方程；②关于的二元一次方程的图形是直线；（2）掌握直线方程的各种形式之间的互相转化．【课堂互动】自学评价1．直线方程的一般式中，满足条件不全为零，当，时，方程表示垂直于轴的直线，当，时，方程表示垂直于轴的直线．【精典范例】例1：已知直线过点，斜率为，求该直线的点斜式和一般式方程及截距式方程．【解】经过点且斜率的直线方程的点斜式，化成一般式，得：，化成截距式，得：．例2：求直线的斜率及轴，轴上的截距，并作图．【解】直线的方程可写成，∴直线的斜率；轴上的截距为第120页共126页\n；当时，，听课随笔∴轴上的截距为．图略．例3：设直线根据下列条件分别确定的值：（1）直线在轴上的截距为；（2）直线的斜率为．【解】（1）令得，由题知，，解得．（2）∵直线的斜率为，∴，解得．例4:求斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为的直线方程．【解】设直线方程为，令，得，∴，∴，所以，所求直线方程为或．追踪训练一1.已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，求直线的点斜式、截距式、斜截式和一般式方程．答案：点斜式方程：斜截式方程：截距式方程：一般式方程：【选修延伸】一、直线经过象限问题例5:若直线不经过第二象限，求的取值范围．分析：可以从直线的斜率和直线在轴上的截距两方面来考虑．【解】直线方程可化为：，第120页共126页\n由题意得：，解得．二、直线过定点问题例6：求证：不论取什么实数，直线恒过定点，并求此定点坐标．【解】法1：令得；令得；两直线交点为，将点坐标代入原直线方程，得恒成立，因此，直线过定点．法2：将方程化为，当即时，以上方程恒成立，即定点的坐标恒满足原直线方程，因此，直线过定点．例7：在例5中，能证明“直线恒过第三象限”吗？提示：直线恒过定点，而点在第三象限．思维点拔：证明直线过定点问题，要找到一定点，证明其坐标始终满足直线方程即可，通常采用“例6”中的两种方法来寻求定点．听课随笔追踪训练二1．若，则直线不经过（）第一象限第二象限第三象限第四象限2．若直线经过第一、二、三象限，求实数满足的条件．答案：将直线方程化为：，由已知可得；第120页共126页\n当时，直线方程为，不满足条件，∴实数满足条件3．证明：不论取什么实数，直线恒过定点，并求出该定点坐标．提示：仿“例6”可证得直线过定点．第6课两条直线的平行与垂直(1)【学习导航】知识网络两条直线（斜率都存在）：：：两条直线位置关系（特殊）平行垂直学习要求1．掌握用斜率判定两条直线平行的方法，并会根据直线方程判断两条直线是否平行；2．通过分类讨论、数形结合等数学思想的应用，培养学生思维的严谨性和辨证性．【课堂互动】自学评价判定直线与平行的前提是：是不重合的两条直线；如果、斜率都存在，则直线平行能得到斜率相等，反之，斜率相等也能得到直线平行；如果、斜率都不存在，那么两直线都垂直于轴，故它们平行．【精典范例】例1：已知直线方程：：，证明：//．分析：在两条直线斜率都存在的情况下，若要证明两直线平行，即证斜率相等.【证明】把和的方程写成斜截式：，：，∵，，∴//．点评:(1)判定两直线平行的条件是直线的斜率和截矩，因此，要把方程化为斜截式；第120页共126页\n(2)判定两直线平行，首先判断斜率相等，若两直线斜率相等，则两直线可能平行也可能重合，还需再进一步判断截距不相等；如果两条直线斜率不存在，两条直线为，只需即可．(3)判定两直线重合，首先判断两条直线斜率相等，再判定截距相等．如果两条直线斜率都不存在，两直线，只需即可．例2：求证：顺次连结四点所得的四边形是梯形．分析：判断一个四边形是梯形，不仅要判断一组对边平行，还要判断另一组对边不平行．【证明】∵，，∴，从而．又∵，，∴，从而直线与不平行，∴四边形是梯形．点评：在判断哪组对边平行时，不妨先在坐标系中将各点画出，结合图形作判断，再进行证明．例3：（1）两直线和的位置关系是平行或重合．（2）若直线：与：互相平行，则的值为．分析：（1）若两直线斜率不等，必定相交；若两直线斜率相等，则平行或重合；（2）在两直线斜率存在的前提下，若两直线平行，则斜率相等，可以此来求直线方程中的字母系数.【解】(2)①当时，，∴，∴，即，解得或，当两方程化为与显然平行，当两方程化为与两直线重合，∴不符合，②当时，两直线不平行，∴．点评:1．已知两直线的方程，判断它们位置关系的方法；2．已知两直线的位置关系，求字母系数值的方法（注意：要对直线斜率不存在的情况进行讨论）．例4：求过点，且与直线平行的直线方程．分析：抓住题目中的有效信息，直线平行则斜率相等，然后结合点，利用点斜式便能求出直线方程．第120页共126页\n【解】已知直线的斜率，∵两直线平行，∴所求直线的斜率也为，所以，所求直线的方程为：，即．另解：设与直线平行的直线的方程为：，过点，∴，解之得，所以，所求直线的方程为．点评:（1）一般地与直线平行的直线方程可设为，其中待定；（2）把上题改为求与直线平行，且在两坐标轴上的截距之和为的直线的方程．（）追踪训练一1.若过两点和的直线与直线平行，则的值为（）5　4　902.直线和平行的条件是　　　　　　　　　　（）　　　　或3.平行于直线，且在轴上截距为的直线方程是．４.若直线与直线平行，则的值为．思维点拔：课本中是在两条直线的斜率都存在的前提下，得出两直线平行的等价条件的.在具体解题时，应注意考虑直线斜率不存在的情形(如例3(2)、追踪训练一第２题)．另外，在判定两直线平行时，还要注意出现两直线重合的情况．追踪训练二1．若直线mx+4y-1=0与直线x+my-3=0不平行,求实数m的取值范围是．2．与直线平行且在两坐标轴上截距之和为的直线的方程为.3．求与直线平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是24的直线方程．【解】∵直线的斜率为，∴设所求直线方程为，令，得；令，得，第120页共126页\n由题意，，∴，∴，∴，故所求直线方程为，即．点评：直线方程为可化为，令，即可得．因此，与平行的直线也可设为，但注意到两直线不重合，所以．第7课两条直线的平行与垂直(２)【学习导航】学习要求1．掌握两条直线垂直的判定方法，并会根据直线方程判断两条直线是否垂直；2．理解两条直线垂直条件的推导过程，注意解几思想的渗透和表述的规范性，培养学生的探索和概括能力．【课堂互动】自学评价（1）当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相垂直，那么它们的斜率的乘积等于，反之，如果它们的斜率的乘积等于，那么它们互相垂直.（2）若两条直线中的一条斜率不存在，则另一条斜率为时，.【精典范例】第120页共126页\n例1：（1）已知四点，求证：．（2）已知直线的斜率为，直线经过点，且，求实数的值．【证明】（1）由斜率公式得：，则，∴．（2）∵，∴，即，解得或，∴当或时，．点评:本题是两直线垂直判定的简单应用.例2：已知三角形的三个顶点为，求边上的高所在的直线方程．分析：由和垂直,求出的斜率,利用直线的点斜式便可求出高所在的直线方程．【解】直线的斜率为，∵，∴，根据点斜式，得到所求直线的方程为，即.点评：一般地，与直线垂直的直线的方程可设为，其中待定．例3：在路边安装路灯，路宽23，灯杆长，且与灯柱成角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？（精确到）【解】记灯柱顶端为，灯罩顶为，灯管为，灯罩轴线与道路中线交于点．以灯柱底端为原点，灯柱为轴，建立如图所示的直角坐标系．点的坐标为，点的坐标为，∵，∴直线的倾斜角为，则点的坐标为（），即（），∴，由直线的点斜式方程，得的方程为，第120页共126页\n灯罩轴线过点，∴，解得答：灯柱高约为．点评:读懂题意,画出示意图,建立直角坐标系,构造数学模型是关键.追踪训练一1.以为顶点的三角形是（）（）锐角三角形（）直角三角形（）钝角三角形２.（2000京皖春，6）直线（）x+y=3和直线x+（）y=2的位置关系是（）（）相交不垂直　　　（）垂直（）平行　　　（）重合３.过原点作直线的垂线，若垂足为，则直线的方程是．４.已知两直线，，求证：．【选修延伸】例4：（课本第91页习题第12题）直线和的方程分别是和，其中不全为0，也不全为0，试探究：（1）当时，直线方程中的系数应满足什么关系？（2）当时，直线方程中的系数应满足什么关系？分析：由于和的斜率可能不存在，因此分类讨论．【解】（1）①当两直线方程中的系数有一个为0时，不妨设，则必有，此时直线垂直于轴，其方程为，由知也垂直于轴，其方程可以为，此时满足；反之也成立．②当两直线方程中的系数均不为0时，直线和的斜率分别为，，由得，即．反之也成立．综合①②可知：当时，．（2）①当两直线方程中的系数有一个为0时，第120页共126页\n不妨设，则必有，此时直线垂直于轴，其方程为，由知，直线平行于轴，故其方程为，满足，；反之也成立．②当两直线方程中的系数均不为0时，直线和的斜率分别为，，由知，，∴．反之也成立．综合①②可知：当时，．点评：斜率是否存在的讨论是本题的难点所在．另外，分类讨论的数学思想也得到了充分的体现．思维点拔：1．求直线方程时，与或平行的直线可分别设为或（其中为待定系数）；与或垂直的直线可分别设为或（其中为待定系数）．2．在解有关两直线平行或垂直问题时,应注意它们的斜率是否存在,否则需分类讨论.追踪训练二1．若直线与互相垂直，则实数的值为．2．由四条直线：，，，围成的四边形是()等腰梯形梯形长方形正方形3．过点的所有直线中，距离原点最远的直线方程是．4．分别经过点A(1,2)、B(2,4)的两条直线互相平行，当它们之间的距离达到最大时，求这两条直线的方程．答案:经过的直线分别是及．第120页共126页\n第8课两直线的交点【学习导航】知识网络两条直线的方程分别是，．构成方程组．（＊）＊的解一组无数组无解两直线相交两直线重合两直线平行学习要求1．知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解；2．当两条直线相交时，会求交点坐标；3．学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力．【课堂互动】自学评价（1）求两直线的交点坐标只需将这两条直线的方程联立成方程组，方程组的解即为交点坐标.（2）在解由两直线的方程组成的方程组的时候可能出现的三种结果是：①方程组有一组解，该解为交点坐标；②方程组有无数组解，此时两直线的位置关系为重合，交点个数为无数个；③方程组无解，此时两直线的位置关系是平行，交点个数为0个．【精典范例】例1：分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点：（1）:，:；（2）:，:；（3）:，:．【解】（1）因为方程组的解为,因此直线相交，交点坐标为．（2）方程组有无数组解，这表明直线重合．第120页共126页\n（3）方程组无解，这表明直线没有公共点，故∥．点评:研究两条直线的位置关系（相交、重合、平行）可以转化为两条直线方程所得的方程组的解的个数问题．例2：直线经过原点，且经过另外两条直线，的交点，求直线的方程．分析：法一由两直线方程组成方程组，求出交点，再过原点，由两点求直线方程．法二设经过两条直线，交点的直线方程为，又过原点，由代入可求的值．点评:已知直线:，:相交，那么过两直线的交点的直线方程可设为例3：某商品的市场需求（万件）、市场供求量（万件）、市场价格（元/件）分别近似地满足下列关系：．当时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．（1）求市场平衡价格和平衡需求量；（2）若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？分析：市场平衡价格和平衡需求量实际上就是两直线交点的横坐标和纵坐标，即方程组的解．【解】（1）解方程组得，故平衡价格为30元/件，平衡需求量为40元/件．（2）设政府给予元/件补贴，此时的市场平衡价格（即消费者支付价格）元/件，则供货者实际每件得到元．依题意得方程组，解得．因此，政府对每件商品应给予6元补贴．点评:这是一道关于两直线交点的实际应用题,关键要读懂题目意思,而后通过解方程组解决问题.追踪训练一1.若一条直线过点(2,1)，且与另一条直线相交于点(1,2),则该直线的方程为．2.若三条直线相交于一点，则的值等于（）3.三条直线，，有且只有两个交点，则3或-6．【选修延伸】两直线的交点的其他应用例4:已知三条直线：，：，：，求分别满足下列条件的的值：（1）使这三条直线交于同一点；（2）使这三条直线不能构成三角形．分析：三条直线交于同一点的条件是两直线交点在第三条直线上；三条直线不能构成三角形的条件是三条直线交于一点或其中有两条直线平行．第120页共126页\n【解】要使三直线交于一点，则与不平行，∴，∴由得，即与交点为，代入方程得，解得或．（2）若、、交于一点，则或；若，则；若，则；若，则无解，综上可得：或或或．点评：三条直线要能构成三角形，只需两两不平行即可．听课随笔例5：求证：不论为何实数，直线：恒过一定点，并求出此定点的坐标．分析：证明直线过定点即证定点坐标始终满足直线方程．【解】（法一）将直线方程整理为，该方程表示过直线和交点的直线，由得交点，∴直线过定点．（法二）令得，得，两直线和交点为，将代入直线方程得恒成立，所以，直线过定点．点评：以上两种方法是处理直线过定点问题的常用方法．思维点拔：因为直线上点的坐标就是对应方程的解,所以两直线是否有交点,取决于它们对应方程组成的方程组是否有唯一解.体验“形”的问题怎样通过“数”的运算来解决,从而感悟到解析几何的本质(即用代数的方法来研究或解决几何问题).追踪训练二１．已知两直线和的交点是，则过两点的直线方程是（　　）2．（2002北京文，6）若直线l：y＝kx与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是　　　　（）　　　　　　　　解法一：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围∵交点在第一象限，第120页共126页\n∴∴∴k∈（，＋∞）∴倾斜角范围为（）解法二：如图，直线2x+3y－6=0过点A（3，0），B（0，2），直线l必过点（0，－），当直线过A点时，两直线的交点在x轴，当直线l绕C点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而得出结果.点评：解法一利用曲线与方程的思想，利用点在象限的特征求得，而解法二利用数形结合的思想，结合平面几何中角的求法，可迅速、准确求得结果.３．设（为非零常数），则直线恒过点．４．求证：不论为何实数，直线：恒过一定点，并求出此定点的坐标．答案：定点坐标为．第9课平面上两点间的距离【学习导航】知识网络中点坐标学习要求1．掌握平面上两点间的距离公式、中点坐标公式；2．能运用距离公式、中点坐标公式解决一些简单的问题．【课堂互动】自学评价第120页共126页\n（1）平面上两点之间的距离公式为．（2）中点坐标公式：对于平面上两点，线段的中点是，则．【精典范例】例1：（1）求A(-1,3)、B（2，5）两点之间的距离；（2）已知A（0，10），B（a，-5）两点之间的距离为17，求实数a的值．【解】(1)由两点间距离公式得AB=(2)由两点间距离公式得,解得a=．故所求实数a的值为8或-8．例2：已知三角形的三个顶点，试判断的形状．分析：计算三边的长，可得直角三角形．【解】,∵，∴为直角三角形.点评：本题方法多样，也可利用、斜率乘积为-1，得到两直线垂直.例3：已知的顶点坐标为，求边上的中线的长和所在的直线方程．分析：由中点公式可求出中点坐标,分别用距离公式、两点式就可求出的长和所在的直线方程．【解】如图，设点．∵点是线段的中点，∴第120页共126页\n，即的坐标为．由两点间的距离公式得．因此，边上的中线的长为．由两点式得中线所在的直线方程为，即．点评:本题是中点坐标公式、距离公式的简单应用.例4．已知是直角三角形，斜边的中点为，建立适当的直角坐标系，证明：．证：如图，以的直角边所在直线为坐标轴，建立适当的直角坐标系，设两点的坐标分别为，∵是的中点，∴点的坐标为，即．由两点间的距离公式得所以，．追踪训练一1.式子可以理解为()两点(a,b)与(1,-2)间的距离两点(a,b)与(-1,2)间的距离两点(a,b)与(1,2)间的距离两点(a,b)与(-1,-2)间的距离2.以A(3,-1),B(1,3)为端点的线段的垂直平分线的方程为()第120页共126页\n2x+y-5=02x+y+6=0x-2y=0x-2y-8=03.线段AB的中点坐标是(-2,3),又点A的坐标是(2,-1),则点B的坐标是．4．已知点，若点在直线上，求取最小值．解:设点坐标为,∵在直线上，∴，，∴的最小值为．【选修延伸】对称性问题例5:已知直线，（1）求点关于对称的点；（2）求关于点对称的直线方程．分析：由直线垂直平分线段，可设，有垂直关系及中点坐标公式可求出点；而关于点对称的直线必平行，因此可求出对称的直线方程．【解】（1）设，由于⊥，且中点在上，有，解得　∴（2）在上任取一点，如，则关于点对称的点为．∵所求直线过点且与平行，∴方程为，即．听课随笔例6：一条光线经过点,射在直线上，反射后，经过点，求光线的入射线和反射线所在的直线方程．分析：入射光线和反射光线所在直线都经过反射点，反射直线所在直线经过点关于直线的对称点．第120页共126页\n【解】入射线所在的直线和反射线所在的直线关于直线对称，设点关于直线对称点的坐标为，因此的中点在直线上，且所在直线与直线垂直，所以，解得．反射光线经过两点，∴反射线所在直线的方程为．由得反射点．入射光线经过、两点，∴入射线所在直线的方程为．点评:求点关于直线的对称点，通常都是根据直线垂直于直线，以及线段的中点在直线上这两个关系式列出方程组，然后解方程组得对称点的坐标．思维点拔：平面上两点间的距离公式为，线段中点坐标为.平面上两点间距离公式及中点坐标公式有着广泛的应用，如：计算图形面积，判断图形形状等.同时也要注意掌握利用中点坐标公式处理对称性问题.追踪训练二1．点(-1,2)关于直线x+y-3=0的对称点的坐标为()(1,4)(-1,4)(1,-4)(-1,-4)2．直线3x-y-2=0关于x轴对称的直线方程为．3．已知点,试求点的坐标,使四边形为等腰梯形．答案:点的坐标为或．4．已知定点，，，求的最小值．第120页共126页\n(数形结合:将看成是轴上的动点与两点的距离和,利用对称性,得到最小值为).第10课2.1.6第一节点到直线的距离（１）【学习导航】知识网络点到直线的距离点到直线的距离公式两条平行直线之间的距离公式学习要求1．掌握点到直线的距离公式，并能熟练运用这一公式解决一些简单问题；2．会通过方程的思想，根据已知若干点到直线的距离大小（或关系）求点的坐标或直线的方程；3．掌握两条平行直线之间的距离求法．【课堂互动】自学评价1．点到直线：的距离：．注意：（1）公式中的直线方程必须化为一般式；（2）分子带绝对值，分母是根式；思考：当或时公式成立吗？答：___成立___________．2.两条平行直线：，：（）之间的距离为，则．注意：两条平行直线与的形式必须是一般式，同时和前面的系数必须化为一致．【精典范例】例1：求点到下列直线的距离：（1）；（2）．分析：直接利用点到直线的距离公式求解【解】（1）由点到直线的距离公式，得：；（2）因为直线平行于轴，听课随笔所以=．第120页共126页\n点评:本题（1）直接利用点到直线的距离公式即可得到相应的距离（2）可以运用公式（），亦可利用该直线平行于轴的性质求解．例2：求过点，且与原点的距离等于的直线方程．分析：已知直线经过一个点的情况下通常可以设点斜式，然后利用点到直线的距离公式求出相应的斜率即可得出相应的直线方程．【解】当直线斜率不存在时，方程为，不合题意；当直线斜率存在时，设方程为：，即：，由题意：，解得：或，所以，所求的直线方程为：或．点评:本题设直线方程时一定要先考虑直线的斜率是否存在，体现数学思维的严密性与分类的思想．例3：求两条平行线和之间的距离．分析：两条平行直线之间的距离只要在其中一条上任意取一个点，算出该点到另一直线的距离即可，从而将平行直线之间的距离转化为点到直线的距离．【解】在直线上任取一点，例如取，则点到直线的距离就是两平行线之间的距离，∴．点评:本题将所学的点到直线的距离进行了灵活运用，使我们通过点到直线的距离公式算出了平行直线间的距离．通过本题将问题一般化，对于任意两条平行直线：，：（）之间的距离为．例4:若直线与直线平行且距离为，求直线的方程．分析：因为直线与平行，所以直线与的斜率相等，可以设直线为【解】设所求直线方程为，由题意可得，，解得：或者，所以，所求的直线方程为：或．点评:本题的关键是怎样设直线，充分利用了两条直线平行的性质，从而减少未知量，简化解题步骤．追踪训练一1.动点在直线上，为原点，则的最小值为；第120页共126页\n2.直线过点，且与原点的距离等于，则直线的方程为：或．3.：,：之间的距离为．４．已知平行线与，求与它们等距离的平行线的方程．【解】设所求直线方程为，由题意可得，，解得．所以，所求的直线方程为：思维点拔：１．点到直线：（，不同时为）的距离：．使用该公式时应该注意：（１）公式中的直线方程必须化为一般式；（２）若点在直线上，则到直线的距离为，此时公式仍适用；（３）特别地，点到轴的距离为，到轴的距离为．听课随笔２．两条平行直线：，：（）之间的距离：使用该公式时应该注意：两条平行直线与的形式必须是一般式，同时和前面的系数必须化为一致．第120页共126页\n第11课2.1.6第二节点到直线的距离（２）【学习导航】知识网络点到直线的距离公式两条平行直线之间的距离公式直接运用公式求值对称问题的运用平面几何中的运用学习要求1．巩固点到直线的距离公式及两平行直线间的距离公式；2．掌握点、直线关于点成中心对称（或关于直线成轴对称）的点、直线的求解方法；3．能运用点到直线的距离公式及两平行直线间的距离公式灵活解决一些问题．【课堂互动】自学评价1.若与关于点对称,则　　,　　．2.若与关于直线对称,则与的中点落在直线上,且与的连线与垂直.【精典范例】例1：在直线上找一点,使它到原点和直线的距离相等．分析：直线与直线平行，即可算出它们之间的距离，然后利用两点之间的距离公式算出该点的坐标．听课随笔【解】直线与之间的距离为：．设直线上的点满足题意，则，第120页共126页\n解得或，∴所求点的坐标为或．点评:本题主要利用两条平行直线之间的距离公式解决问题，是对上节课所学内容的一个复习与巩固．例2：求直线关于点对称的直线方程．分析：解题的关键是中心对称的两直线互相平行，并且两直线与对称中心的距离相等．【解】设所求直线的方程为，由点到直线的距离公式可得，∴（舍去）或，所以，所求直线的方程为．点评:本题也可以利用点与点的对称，设直线上任意一点（在直线上，所以）与对称的点为则，解得，，然后将，的值代入求出所求直线，比较而言，此法注重轨迹的推导过程，而前面的方法比较简便，为求直线关于点对称的直线方程的基本方法（直线关于点对称的问题）．例3：已知直线：，：，求直线关于直线对称的直线的方程．分析：直线关于直线对称，可以在上任意取两个点，再分别求出这两个点关于直线的对称点，最后利用两点式求出所要求的方程．这里可以通过求出交点这个特殊点以简化计算．【解】由，解得：，∴过点，又显然是直线上一点，设关于直线的对称点为，则，解得：，即，因为直线经过点、，所以由两点式得它的方程为：．点评:本题为求直线关于第三条直线对称的直线方程的基本方法（两条直线关于第三条直线对称的问题）．注意：这里有一种特殊情况：直线关于直线对称的直线方程为：．例4：建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．第120页共126页\n分析：要证明的结论中涉及的都是点到直线的距离，故可考虑用点到直线的距离公式计算距离，因此必须建立直角坐标系.【证明】设是等腰三角形，以底边所在直线为轴，过顶点且垂直与的直线为轴，建立直角坐标系（如图）．设，(，)，则．直线的方程：，即：．直线的方程：，听课随笔即：．设底边上任意一点为（），则到的距离，到的距离，到的距离．故原命题得证．点评:本题主要利用点到直线的距离公式进行简单的几何证明方面的运用，运用代数方法研究几何问题.追踪训练一１．点在轴上,若它到直线的距离等于，则的坐标是或．２．直线关于点对称的直线的方程为．3.光线沿直线1：照射到直线2：上后反射，求反射线所在直线的方程．【解】由，解得：，∴过点，又显然是直线上一点，设关于直线的对称点为，第120页共126页\n则，解得：，即，因为直线经过点、，所以由两点式得它的方程为．４．求证：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰（所在直线）的距离的差的绝对值等于一腰上的高．分析：要证明的结论中涉及的都是点到直线的距离，故可考虑用点到直线的距离公式计算距离，因此必须建立直角坐标系．【证明】设是等腰三角形，以底边所在直线为轴，过顶点且垂直于的直线为轴，建立直角坐标系，如图，设，，则，直线方程为：，即：，直线方程为：，即：，设或是底边延长线上任意一点，则到距离为，到距离为，到距离为，当时，，当时，第120页共126页\n，∴当或时，，故原命题得证．【选修延伸】一、数列与函数例５:分别过两点作两条平行线，求满足下列条件的两条直线方程：（1）两平行线间的距离为；（2）这两条直线各自绕、旋转，使它们之间的距离取最大值．听课随笔分析：（１）两条平行直线分别过，两点,因此可以设出这两条直线的方程之间(注意斜率是否存在)，再利用两条平行直线之间的距离公式，列出方程，解出所要求的直线的斜率；（２）这两条平行直线与垂直时，两直线之间距离最大．【解】（1）当两直线的斜率不存在时，方程分别为，满足题意．当两直线的斜率存在时，设方程分别为与，即：与，由题意：，解得，所以，所求的直线方程分别为：，．综上：所求的直线方程分别为：，或．（2）结合图形，当两直线与垂直时，两直线之间距离最大，最大值为，同上可求得两直线的方程．此时两直线的方程分别为，．点评:（１）设直线方程时一定要先考虑直线的斜率是否存在，利用平行直线之间的距离公式列出相应的方程，解出相应的未知数；（２）体现了数形结合的思想，通过图形，发现问题的本质．思维点拔：对称问题在遇到对称问题时关键是分析出是属于什么对称情况，这里大致可以分为：点关与点对称，点关于直线对称，直线关于点对称，直线关于直线对称这四种情况，一旦确定为哪种情况后对应本节课的四种基本方法进行求解．追踪训练二1．两平行直线，分别过，（１），之间的距离为５，求两直线方程；（２）若，之间的距离为，求的取值范围．【解】（1）当两直线的斜率不存在时，方程分别为，，不满足题意．当两直线的斜率存在时，设方程分别为与，即：与，由题意：，解得或，所以，所求的直线方程分别为：第120页共126页\n：，：或：，：．（２）．第12课第一节圆的方程（1）【学习导航】知识网络圆的标准方程概念单位圆圆的标准方程的简单运用学习要求1．认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法；2．掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径；3．能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程．【课堂互动】自学评价1.以为圆心，为半径的圆的标准方程：.2.圆心在原点，半径为时，圆的方程则为：；3.单位圆：圆心在原点且半径为１的圆；其方程为：．注意：交代一个圆时要同时交代其圆心与半径．【精典范例】例1：分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径：⑴；　　　　⑵⑶⑷⑸【解】（如下表）方程圆心半径第120页共126页\n听课随笔点评：本题考察了对圆的标准方程的认识，根据圆的标准方程，可以写出相应的圆的圆心与半径．例2：（１）写出圆心为，半径长为的圆的方程，并判断点，是否在这个圆上；（２）求圆心是，且经过原点的圆的方程．分析：通过圆心，半径可以写出圆的标准方程．【解】（１）∵圆心为，半径长为，∴该圆的标准方程为：．把点代入方程的左边，＝右边，即点的坐标适合方程，∴点是这个圆上的点；把点的坐标代入方程的左边，．即点坐标不适合圆的方程，∴点不在这个圆上．（２）法一：∵圆的经过坐标原点，∴圆的半径为：，因此所求的圆的方程为：，即．法二：∵圆心为，∴设圆的方程为，∵原点在圆上即原点的坐标满足圆方程即，所以，∴所求圆的标准方程为：．点评：本题巩固了对圆的标准方程的认识，第二小题的解题关键在于求出半径，这里提供了两种方法．例3：（１）求以点为圆心，并且和轴相切的圆的方程；（２）已知两点，，求以线段为直径的圆的方程．分析：（１）已知与圆心坐标和该圆与轴相切即可求出半径．（２）根据为直径可以得到相应的圆心与半径．【解】（１）∵圆与轴相切∴该圆的半径即为圆心到轴的距离；所以圆的标准方程为：第120页共126页\n．（２）∵为直径，∴的中点为该圆的圆心即，又因为，所以，∴圆的标准方程为：．点评:本题的解题关键在于由已知条件求出相应的圆心与半径．对圆的标准方程的有一个加深认识的作用．例４：已知隧道的截面是半径为的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为，高为的货车能不能驶入这个隧道？分析：建立直角坐标系，由图象可以分析，关键在于写出半圆的方程，对应求出当时的值，比较得出结论．【解】以某一截面半圆的圆心为原点，半圆的直径所在的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示，那么半圆的方程为：将代入得，即离中心线处，隧道的高度低于货车的高度，因此，该货车不能驶入这个隧道．点评：本题的解题关键在于建立直角坐标系，用解析法研究问题．思考：假设货车的最大的宽度为，那么货车要驶入高隧道，限高为多少？解：将代入得，即限高为．追踪训练一1.写出下列各圆的方程：（１）圆心在原点，半径为；（２）经过点，圆心为．【解】（１）；听课随笔（２）．２．求以点为圆心，并且和轴相切的圆的方程．【解】由题意：半径，所以圆的方程为：．３.圆的内接正方形相对的两个顶点为，，求该圆的方程．【解】由题意可得为直径，所以的中点为该圆的圆心即又因为第120页共126页\n∴，∴圆的标准方程为：．４．求过两点，，且圆心在直线上的圆的标准方程．【解】设圆心坐标为，圆半径为，则圆方程为，∵圆心在直线上，∴①又∵圆过两点，，∴②且③由①、②、③得：，∴圆方程为．思维点拔：由圆的标准方程即可写出由圆心坐标及圆的半径，反之，由圆心坐标及圆的半径即可写出圆的标准方程．在解具体的题目时，要灵活运用平面几何及前面所学直线的有关知识．第13课第二节圆的方程（2）【学习导航】知识网络圆的一般方程表示圆的条件圆的一般方程的简单运用学习要求1．掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程；2．能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题；3．解题过程中能分析和运用圆的几何性质．【课堂互动】自学评价1．以为圆心，为半径的圆的标准方程：　．2.将展开得：第120页共126页\n　．3.形如的都表示圆吗？不是　．（１）当时，方程表示以为圆心，为半径的圆；（2）当时，方程表示一个点；（3）当时，方程无实数解，即方程不表示任何图形；４．圆的一般方程：．注意：对于圆的一般方程（１）和的系数相等，且都不为（通常都化为）；（２）没有这样的二次项；听课随笔（３）表示圆的前提条件：，通常情况下先配方配成，通过观察与的关系，观察方程是否为圆的标准方程，而不要死记条件．【精典范例】例１：求过三点的圆的方程．分析：由于不在同一条直线上，因此经过三点有唯一的圆．【解】：法一：设圆的方程为，∵三点都在圆上，∴三点坐标都满足所设方程，把代入所设方程，得：，解得：，所以，所求圆的方程为：．法二：也可以求和中垂线的交点即为圆心，圆心到的距离就是半径也可以求的圆的方程：．点评:通常在求圆心与半径方便时用标准方程，在已知圆三个点时通常用一般方程求解．例2：已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段中点的坐标中满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？分析：线段的端点静止，在圆上运动，因此我们可以设出的坐标，从而得到中点的坐标．第120页共126页\n【解】设点的坐标是，由于点的坐标是，且是的中点，所以（＊）于是，有因为点在圆上运动，所以点的坐标满足方程，即：（＊＊），将（＊）式代入（＊＊），得：，整理得所以满足的关系为：，其表示的曲线是以为圆心，１为半径的圆．点评:该圆就是点的运动的轨迹；所求得的方程就是点的轨迹方程：点的轨迹方程就是指点的坐标满足的关系式．本题的方法为求轨迹方程的一种基本方法，注意方法的归纳总结．例3：某圆拱桥的示意图如右图，该圆拱的跨度是米，拱高是米，在建造时，每隔米需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到米）．分析：若能够知道该圆拱所在的圆的方程，问题就变的很简单了，所以，我们联想到建立相应的直角坐标系，将问题转化为求圆的方程．【解】以线段所在直线为轴，线段的中点为坐标原点建立直角坐标系，那么点的坐标分别为；设圆拱所在的圆的方程为，∵点在所求的圆上，则坐标代入得：，解之得，∴圆拱所在的圆的方程为：；将点的横坐标代入圆方程，解得（舍去负值）．答：支柱的长约为米．点评:本题的关键利用图形建立直角坐标系，求出圆拱所在圆的方程，用代数的方法研究几何问题．听课随笔追踪训练一1.下列方程各表示什么图形？（１）；（２）；（３）．【解】（１）圆心为，半径为２的圆；（２）一个点；第120页共126页\n（３）一个圆心为，半径为的一个半圆（）（图略）．２．圆的圆心为：，半径为．３.求过三点的圆的方程．【解】设圆的方程为，∵，，三点都在圆上，∴，，三点坐标都满足所设方程，把代入所设方程，得：，解得：，所以，所求圆的方程为：．４.求圆关于直线对称的图形的方程．【解】可化为，圆心关于直线的对称点为，所以对称的图形的方程为：．思维点拔：在确定圆的方程时，应根据已知条件与圆的标准方程和圆的一般方程的各自特点，灵活选用圆方程的形式．在解题时注意运用平面几何知识及数形结合的思想．听课随笔听课随笔第二章平面解析几何初步第120页共126页\n第二节圆与方程第14课时直线与圆的位置关系【学习导航】直线与圆的位置关系相离相切相交知识网络学习要求1．依据直线和圆的方程，能熟练求出它们的交点坐标；2．能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆的位置关系；3．理解直线和圆的三种位置关系与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系；4．会处理直线与圆相交时所得的弦长有关的问题；5．灵活处理与圆相交的问题．【课堂互动】自学评价1．直线与圆有一个交点称为相切，有两个交点称为相交，没有交点称为相离．2.设圆心到直线的距离为，圆半径为，当时，直线与圆相离，当时，直线与圆相切，当时，直线与圆相交．3.直线与圆的方程联立方程组，若方程组无解，则直线与圆相离，若方程组仅有一组解，则直线与圆相切，若方程组有两组不同的解，则直线与圆相交．【精典范例】例1：求直线和圆的公共点坐标，并判断它们的位置关系．分析：直线方程和圆的方程联立方程组即可【解】直线和圆的公共点坐标就是方程组的解．解这个方程组，得所以公共点坐标为．直线和圆有两个公共点，所以直线和圆相交．例2：自点作圆的切线,求切线的方程．分析：根据点的坐标设出直线方程，再根据直线和圆相切求解．【解】法1：当直线垂直于轴时，直线与圆相离，不满足条件当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为即如图，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，第120页共126页\n故解得或．因此，所求直线的方程是或法2：当直线垂直于轴时，直线与圆相离，不满足条件．当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为由于直线与圆相切，所以方程组仅有一组解．由方程组消去，得关于的一元二次方程，因为一元二次方程有两个相等实根，所以判别式解得或因此，所求直线的方程是或．点评:该题用待定系数法先设直线方程，应注意直线的斜率是否存在的问题．本题给出了两种解法，可以看到用“几何法”来解题运算量要小的多．例3：求直线被圆截得的弦长．分析：可利用圆心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的性质解题【解】法1:如图，设直线与圆交于两点，弦的中点为，则（为坐标原点），所以所以．法2:直线和圆的公共点坐标就是方程组的解解得所以公共点坐标为直线被圆截得的弦长为追踪训练一1.求过圆上一点的圆的切线方程．答案：．2.自点作圆的切线,求切线的方程．答案：．3.从圆外一点向圆引切线，求切线长．答案：．第120页共126页\n【选修延伸】一、圆、切线、截距例4:已知圆，求该圆与轴和轴的截距相等的切线的方程.分析：用待定系数法求解．【解】由题意设切线与轴和轴的截距为，，则①时，设的方程为，即，因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，故解得或所以的方程为或②时，设的方程为，即所以，解得或所以的方程为或综上所述：的方程为或或或.点评:本题较为复杂，要讨论的情况比较多，解题过程中要注重分析．听课随笔例5：若直线与恰有一个公共点，求实数的取值范围.分析：由题意可化为表示一个右半圆，如图所示，对于当变化时所得的直线是互相平行的，由图可知与半圆有一个交点与半圆正好有两个交点，所以位于和之间的直线都与半圆只有一个交点，另外与半圆相切也符合题意【解】由题意可化为表示一个右半圆，如图所示直线的方程为：，直线的方程为：，学生质疑教师释疑因为直线与半圆相切，所以，解得所以直线的方程为：，由图可知位于和之间的直线都与半圆只有一个交点，且与半圆相切，所以实数的取值范围为：或点评:本题应用数形结合的方法去解题．思维点拔：在解决直线与圆的位置关系的问题时，我们通常采用“几何法”．例如，求与圆相切的直线方程时，先用待定系数法设出直线方程，然后根据第120页共126页\n即可求得．这种数形结合的思想贯穿了整个章节．追踪训练二1．已知圆，求该圆与轴和轴的截距的绝对值相等的切线的方程．答案：或．2．若直线与有两个不同的交点，求实数的取值范围．答案：．听课随笔第二章平面解析几何初步第120页共126页\n第二节圆与方程第15课时圆与圆的位置关系【学习导航】圆与圆的位置关系外切相交内切外离内含知识网络学习要求1．掌握圆与圆的位置关系的代数与几何判别方法；2．了解用代数法研究圆的关系的优点；3．了解算法思想．【课堂互动】自学评价1．圆与圆之间有外离，外切，相交，内切，内含五种位置关系．2.设两圆的半径分别为，圆心距为，当时，两圆外离，当时，两圆外切，当时，两圆相交，当时，两圆内切，当时，两圆内含．3.思考：用代数方法，通过联立方程组，用判别式法可以判断两个圆的位置关系吗？为什么？【精典范例】例1：判断下列两圆的位置关系：【解】（1）根据题意得，两圆的半径分别为，两圆的圆心距因为，所以两圆外切．（2）将两圆的方程化为标准方程，得．故两圆的半径分别为，两圆的圆心距．因为，所以两圆相交．第120页共126页\n点评：判断两圆的位置关系，不仅仅要判断与的大小，有时还需要判断与的关系．例2：求过点且与圆切于原点的圆的方程．分析：如图，所求圆经过原点和，且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上．根据这三个条件可确定圆的方程．【解】将圆化为标准方程，得，则圆心为，半径为．所以经过此圆心和原点的直线方程为．设所求圆的方程为．由题意知，在此圆上，且圆心在直线上，则有于是所求圆的方程是．点评：此题还可以通过弦的中垂线必过圆心这一性质来解题，由题意，圆心必在直线上，又圆心在直线，从而圆心坐标为，，所以所求圆的方程为．追踪训练一1.判断下列两个圆的位置关系：；．答案：（1）内切，（2）相交．2.若圆与圆相交，求实数的取值范围．答案：．【选修延伸】一、两圆公共弦长及公共弦所在直线方程例3:已知圆，圆，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．分析：因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程，联立方程组，消去项、项，即得两圆的两个交点所在的直线方程，利用勾股定理可求出两圆公共弦长．【解】设两圆交点为、，则两点坐标满足方程组，得．因为，两点坐标都满足此方程，第120页共126页\n所以，即为两圆公共弦所在的直线方程．易知圆的圆心，半径．又到直线的距离为．所以，．即两圆的公共弦长为．点评:本题较为复杂，要讨论的情况比较多，解题过程中要注重分析．例5：求过两圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程．分析：所求圆圆心是两已知圆连心线和已知直线的交点，再利用弦心距、弦长、半径之间的关系求圆半径【解】（法一）可求得两圆连心线所在直线的方程为．由得圆心．利用弦心距、弦长、半径之间的关系可求得公共弦长，所以，圆半径．听课随笔所以，所求圆方程为，即（法二）设所求圆的方程为即．故此圆的圆心为，它在直线上，所以，所以．所以所求圆方程为点评:“解法二”中设出的经过两已知圆交点的圆方程叫做经过两已知圆的圆系方程．思维点拔：解题时要充分利用两圆位置关系的几何性质．追踪训练二1．一个圆经过圆和圆的两个交点，且圆心在直线上，求该圆的方程．答案：．第120页共126页\n2．已知一个圆经过直线与圆的两个交点，并且有最小面积，求此圆的方程．答案：．听课随笔第二章平面解析几何初步第120页共126页\n第16课时空间直角坐标系空间直角坐标系坐标轴坐标平面点的坐标坐标原点右手直角坐标系【学习导航】知识网络学习要求1．感受建立空间直角坐标系的必要性；2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；3．感受类比思想在探索新知识过程中的作用．【课堂互动】自学评价1．空间直角坐标系从空间某一个定点引三条互相垂直且有相同的单位长度的数轴，这样就建立了一个空间直角坐标系.点叫做坐标原点，轴、轴、轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为平面、平面和平面．2．空间右手直角坐标系的画法通常，将空间直角坐标系画在纸上时，轴与轴、轴与轴均成，而轴垂直于轴．轴和轴的单位长度相同，轴上的单位长度为轴（或轴）的单位长度的一半．3.空间点的坐标表示对于空间任意一点，作点在三条坐标轴上的射影，即经过点作三个平面分别垂直于轴与轴与轴，它们与轴与轴和轴分别交与．点在相应数轴上的坐标依次为，，，我们把有序实数对叫做点的坐标，记为．【精典范例】例1：在空间直角坐标系中，作出点．分析：可按下列步骤作出点，【解】所作图如下左图所示：例2：如上右图，已知长方体的边长为．以这个长方体的顶点为坐标原点，射线分别为轴、轴、轴第二章平面解析几何初步第124页共126页\n的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．【解】因为，点在坐标原点，即，且分别在轴、轴、轴上，所以它们的坐标分别为．点分别在平面、平面和平面内，坐标分别为，．点在三条坐标轴上的射影分别是点，故点的坐标为．例3：（1）在空间直角坐标系中，画出不共线的3个点，使得这3个点的坐标都满足，并画出图形；（2）写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件．【解】（1）取三个点．（2）三点不共线，可以确定一个平面，又因为这三点在平面的同侧，且到平面的距离相等，所以平面平行于平面，而且平面内的每一个点在轴上的射影到原点的距离都等于3，即该平面上的点的坐标都满足．追踪训练一1.在空间直角坐标系中，画出下列各点：答案略2.已知长方体的边长为．以这个长方体的顶点为坐标原点，射线分别为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．答案：，，，，，，，．3．写出坐标平面内的点的坐标应满足的条件．答案：平面上的点的坐标都为．【选修延伸】一、对称点例4:求点关于平面，平面及原点的对称点．【解】在平面上的射影为在平面上的射影为，关于平面的对称点为关于平面及原点的对称点分别为、点评:一般的，点关于平面的对称点为，关于平面的对称点为，关于平面的对称点为，关于原点的对称点追踪训练二1．写出分别在坐标轴、坐标平面上的点的坐标所满足的条件．答案：若点在轴上，则；若点在轴上，则；若点在轴上，则；若点在平面上，则；第二章平面解析几何初步第124页共126页\n若点在平面上，则；若点在平面上，则．第17课时空间两点间的距离【学习导航】知识网络平面两点间距离公式空间两点间距离公式类比空间中点坐标公式学习要求1．掌握空间两点间的距离公式及中点坐标公式；2．理解推导公式的方法【课堂互动】自学评价1．空间两点间距离公式．2．空间中点坐标公式连接空间两点、的线段的中点的坐标为．【精典范例】例1：求空间两点间的距离．【解】利用两点间距离公式，得=．例2：平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为．在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？试写出它的方程．【解】与坐标原点的距离为1的点的轨迹是一个球面，满足，即．因此，就是所求的球面方程．例3：已知三点、、，证明：三点在同一直线上．分析：只要证明即可【解】利用两点间距离公式，得、、，所以，第二章平面解析几何初步第124页共126页\n所以三点在同一直线上．追踪训练一1.已知空间中两点和的距离为，求的值．答案：或2．已知，在轴上求一点，使．答案：或3．已知空间三点，，求证：在同一直线上．答案：，．，在同一直线上．【选修延伸】一、球面方程例4:讨论方程的几何意义．分析：类比空间两点的距离公式，构造点【解】因为，所以即动点到定点的距离等于4，所以．表示动点的轨迹：一个半径为4，球心为的球面思维点拔：注意类比方法在解决一些空间问题中的应用．追踪训练二1.试解释方程的几何意义．答案：方程表示点与点的距离为，即点在以点为球心，半径为的球面上．第二章平面解析几何初步第124页共126页\n本站资源汇总［优秀资源，值得收藏］一、中小学数学资源汇总【推荐】1、中小学数学教材、教参电子书大全［PDF版］［人教版｜北师大版］2、中学数学教案、试卷大全［人教版｜北师大版］［精品整理］3、［优质数学资源下载汇总］4、新课标人教版高中数学(必修1-必修5)全部课件免费下载5、中小学精彩趣味数学题集6、十年高考全国卷精美整理打包下载（附答案）二、中小学教育管理资源汇总1、主题班会教案设计集：一   二   三2、新学生评语、优秀班主任评语3、【精编】中国教育法律法规大全4、【精品】经典德育小故事150则三、［软件介绍］精品小软件下载  ［免费］ 四、百科知识精彩文档1、服务礼仪、规范及演练2、【精品】PPT制作技巧3、基本商务礼仪---怎样让自己成为一个受欢迎的人..4、50个经典心理测试5、股民基民常备手册_怎样看盘五、营销策划、管理培训类精品文档1、某公司人力资源管理制度2、【精品】市场营销精美讲义16讲3、市场营销学基础知识4、如何成为营销高手5、某大型酒店《安全部工作手册》及《洒店岗位职责》6、酒店英语+酒店常见问题处理本站资源汇总［优秀资源，值得收藏］126