高中数学 221 圆的方程1教案 新人教版必修2 教案 3页

2.2.1圆的方程(1)教学目标：1．认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法2．掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径3．能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程教学重点：圆的标准方程及其运用教学难点：圆的标准方程的推导和运用教学过程：1．问题情境(1)情境：河北赵州桥是世界上历史最悠久的石拱桥，其圆拱所在的曲线是圆，我们能否表示出该圆弧所在圆的方程呢？(2)问题：在表示方程以前我们应该先考察有没有坐标系？如果没有坐标系，我们应该怎样建立坐标系？如何找到表示方程的等式？回忆初中有关圆的定义，怎样用方程将圆表示出来？2．圆的标准方程(1)一般地，设点是以为圆心，为半径的圆上的任意一点，则，由两点间距离公式，得到：即(1)；反过来，若点的坐标是方程(1)的解，则，即，这说明点到点的距离为即点在以为圆心，为半径的圆上；方程叫做以为圆心，为半径的圆的标准方程；(2)当圆心在原点时，圆的方程则为；(3)特别地，圆心在原点且半径为１的圆通常称为单位圆；其方程为．3．例题讲解例1．分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径：\n(1)；　　　　(2)；(3)；　　　　　　(4)；(5)．教师指出：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径．例2．根据下列条件，求出符合条件的圆的标准方程．(1)圆心为，半径长为．(2)圆心是，且经过原点．(3)已知两点，，以线段为直径．(4)圆心在上且过两点．(5)以点为圆心，并且和轴相切的．(6)圆心在直线上，且与直线切于点．(7)圆心在直线上，且与两坐标轴都相切．略解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)或．注：(1)圆的标准方程有三个参数，因此求圆的方程需要三个独立的条件；(2)解题时注意圆的性质的应用，如垂径定理，过切点的半径垂直切线等等．例3．判断点，是否在例2(1)的圆上．解：把点代入方程得：，即点的坐标适合方程，∴点是这个圆上的点；把点的坐标代入方程得：，即点坐标不适合圆的方程，∴点不在这个圆上；问：点在圆内还是圆外呢？(圆内)结论：点与圆的位置关系：点与圆心的距离为，半径为，则点在圆上，\n点在圆内，点在圆外．例4．已知隧道的截面是半径为的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为，高为的货车能不能驶入这个隧道？解：以某一截面半圆的圆心为原点，半圆的直径所在的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示，那么半圆的方程为：将代入得即离中心线处，隧道的高度低于货车的高度因此，该货车不能驶入这个隧道；思考：是否有其他方法？析：货车截面对角线与半径比较．思考：假设货车的最大的宽度为，那么货车要驶入高隧道，限高为多少？略解：将代入得即限高为4．课堂小结(1)圆的标准方程及其表示的圆心和半径(2)建系思想和方程思想