高中数学 111 正弦定理优秀教案 新人教A版必修5 教案 3页

备课资料一、知识总结1.判断三角形解的方法“已知两边和其中一边的对角”解三角形,这类问题分为一解、二解和无解三种情况.一方面,我们可以利用课本上的几何图形加以理解,另一方面,也可以利用正弦函数的有界性进行分析.设已知A、B、A,则利用正弦定理,如果sinB＞1,则问题无解.如果sinB＝1,则问题有一解;如果求出的sinB＜1,则可得B的两个值,但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断.2.利用三角形面积证明正弦定理已知△ABC,设BC＝A,CA＝B,AB＝C,作AD⊥BC,垂足为D.则Rt△ADB中,,∴AD=AB·sinB=csinB.∴S△ABC=.同理,可证S△ABC=.∴S△ABC=.∴absinc=bcsinA=acsinB,在等式两端同除以ABC,可得.即.3.利用正弦定理进行边角互换对于三角形中的三角函数,在进行恒等变形时,常常将正弦定理写成A=2RsinA,B=2RsinB,C=2RsinC或sinA=.（R为△ABC\n外接圆半径）这样可以很方便地把边和角的正弦进行转换,我们将在以后具体应用.二、典型例题1．若△ABC中(A2+B2)sin(A-B)=(A2-B2)sinC,则△ABC是（　　）A.等腰三角形　　　　　　　　　　B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形分析:运用正弦定理A=2RsinA,B=2RsinB以及结论sin2A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B),由（A2+B2）sin(A-B)=(A2-B2)sinC,∴(sin2A+sin2B)sin(A-B)=(sin2A-sin2B)sinC=sin(A+B)·sin(A-B)·sinC.若sin(A-B)=0,则A=B.若sin(A-B)≠0,则sin2A+sin2B=sin2CA2+B2=C2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故答案选D.2.在△ABC中,A=45°，B∶C=4∶5，最大边长为10，求角B、C,外接圆半径及面积S.分析：由A+B+C=180°及B∶C=4∶5,可得B=4K,C=5K，则9K=135°，故K=15°.那么B=60°，C=75°.由正弦定理,由面积公式.点评：求面积时B未知但可转化为B=2RsinB,从而解决问题.3.在△ABC中,已知A=30°，A、B分别为角A、B对边，且A=4，B=4，解此三角形.分析：由正弦定理知.那么B1=60°，C1=90°，C1=8或B2=120°，C2=30°，C2=4.点评：若已知三角形两边和其中一边上的对角，如图可以看出满足条件的三角形有2个.4.已知△ABC的三个内角成等差数列并且tanA·tanC=2+,（1）求A、B、C\n的度数;（2）若AB边上的高CD=4,求三边A、B、C的长．分析：（1）由2B=A+C，得B=60°，则A+C=120°，.即(2+3)COsA·COsC-sinA·sinC=0(1+)COsA·COsC+(COsA·COsC-sinA·sinC)=0(1+)·［COs(A+C)+COs(A-C)］+COs(A+C)=0［-+COs(A-C)］+COs(A+C)=0.∴COs(A-C)=.得|A-C|=30°.又∵A+C=120°.∴A=45°,C=75°或A=75°,C=45°.（2）如图,若A＜B＜C,由正弦定理得A=8，B=4，C=BCOsA+ACOsB=4(+1).同理，若A＞B＞C时，则A=4(3+1)，B=46,，C=8.点评：这类具有一定综合性的题目，恒等变形有一定的技巧.由三个角成等差得A+C=120°,恒等变形的目标就是寻找A与C的关系，用恒等变形的方法的观点对条件等式进行转化．此题还可以由tanA·tanC=2+求出tanA+tanC=3+，运用韦达定理解出tanA和tanC,这对综合能力的训练大有益处．