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- 2022-08-17 发布
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1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大(小)值第一课时 函数的单调性学习目标要求：1.理解函数单调性的概念；2.掌握判断函数单调性的一般方法；3.体验数形结合思想在函数性质研究中的价值，掌握其应用。一、函数单调性的概念1：增函数(1)定义：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，区间D称为函数f(x)的单调递减区间。(2)几何意义：函数f(x)的图象在区间D上是下降的，如图所示：3：单调性与单调区间\n定义：如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。思考：(1)单调性是函数在定义域上的“整体”性质吗?不是，由定义中“定义域I内某个区间D”知函数的单调递增区间或单调递减区间是其定义域的子集，这说明单调性是与“区间”紧密相关的，一个函数在定义域的不同区间可以有不同的单调性。(2)定义中的“x1、x2”具备什么特征?定义中的x1、x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1,x2，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x10,减函数有<0二、判断函数单调性的一般方法(1)定义法：利用定义严格判断。一般步骤如下：①取值：任选定义域中同一单调区间D上的自变量值x1，x2，且设x10或f(x)<0时,函数y=与y=f(x)的单调性相反;c.在公共区间内，“增+增=增”，“减+减=减”，“增-减=增”，“减-增=减”。思考：(1)单调区间的端点值如何取舍?对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括区间端点，也可以不包括区间端点，但当函数在某些端点无意义时，单调区间就不能包括这些点。(2)多个单调递增(减)区间之间能否用“∪”连接?不能取这些区间的并集，而应用“,”将它们隔开或用“和”字连接。三、函数单调性的应用1、已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数，求实数a的取值范围。名师导引：(1)二次函数的单调性取决于什么？开口方向（a>0，开口向上；a<0，开口向下）与对称轴（-b/2a）(2)(-∞,4]是函数的单调递减区间吗?可能不是，可能是其子集。解：∵f(x)=x2+2(a-1)x+2，∴此二次函数图象的对称轴为x=1-a，∴f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a]，∵f(x)在(-∞,4]上是减函数，∴对称轴x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合，∴1-a≥4，解得a≤-3，即实数a的取值范围为(-∞,-3]。思考：“函数f(x)的单调区间是(a,b)”与“f(x)在区间(a,b)上单调”有何不同的含义?前者表明区间(a,b)是其单调区间的全部，而后者表明区间(a,b)是其单调区间的子集。2、(2011~2012学年度广东惠阳高级中学上学期高一第一次段考)函数y=x2-2mx+3在区间[1,3]上具有单调性,则m的范围为——————。 解析:∵函数图象的对称轴为x=m,∴函数在(-∞,m]上递减,[m,+∞)上递增,\n∵函数在[1,3]上具有单调性,∴m≤1或m≥3.答案:(-∞,1]∪[3,+∞)3、已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数，且f(1-a)0，x2+2>0，∴f(x1)-f(x2)<0，∴f(x1)2时,由图(4)可知：f(x)min=f(2)=3-4a图3f(x)max=f(0)=-1图4方法小结：(1)如何求二次函数在闭区间[m,n]上的最值?①定二次函数的对称轴x=a;②根据a0时，f(x)=x3+x+1，求f(x)的解析式。导引：如何把(-∞,0)上的未知解析式转移到(0,+∞)上的已知解析式？(引入一对相反变量，利用奇函数定义f(-x)=-f(x)进行转化)解:设x<0,则-x>0,(2分)用-x替换f(x)=x3+x+1中的x,得f(-x)=(-x)3+(-x)+1=-x3-x+1.(5分)又∵f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x).(6分)∴-x3-x+1=-f(x),即f(x)=x3+x-1.∴当x<0时,f(x)=x3+x-1.(8分)又f(x)是R上的奇函数,故f(0)=0.(10分)∴f(x)=思考：(1)如何利用函数奇偶性求解析式?①求哪个区间上的解析式，就在哪个区间上取x；②然后要利用已知区间的解析式写出f(-x)；③利用f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x)，从而解出f(x)；④要注意R上的奇函数定有f(0)=0。(2)解析式的表达需注意什么？若是求整个定义域内的解析式，各区间内解析式不一样时其结果一般为分段函数的形式，此点易忽略。3．函数奇偶性与单调性的关系\n思考：函数的奇偶性与单调性存在什么关系?①函数在关于原点对称区间上有相同的单调性，即已知f(x)是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数(减函数)，则f(x)在区间[-b,-a]上也是增函数(减函数)；②偶函数在关于原点对称区间上有相反的单调性，即已知f(x)是偶函数且在区间[a,b]上为增函数(减函数)，则f(x)在区间[-b,-a]上为减函数(增函数)。【例3】已知是定义域为的奇函数，当时，，求的解析式，并写出的单调区间。解：设，则，由已知得，∵是奇函数，∴，∴当时，；又是定义域为的奇函数，∴．综上所述：的单调增区间为，单调增区间为和．【例4】定义在上的奇函数在整个定义域上是减函数，若，求实数的取值范围。解：原不等式化为，∵是奇函数，∴，∴原不等式化为，∵是减函数，∴，∴．①又的定义域为，∴，解得，②由①和②得实数的取值范围为．
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