高中数学 1．2应用举例教案教案（1） 新人教A版必修5 4页

第一课时1.2应用举例（一）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.教学重点：熟练运用正弦定理、余弦定理解答有关三角形的测量实际问题.教学难点：根据题意建立解三角形的数学模型.教学过程：一、复习准备：1.在△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝2(＋1)，c＝2，则∠A为.2.在△ABC中，sinA＝，判断三角形的形状.解法：利用正弦定理、余弦定理化为边的关系，再进行化简二、讲授新课：1.教学距离测量问题：①出示例1：如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=.求A、B两点的距离(精确到0.1m).分析：实际问题中已知的边与角？选用什么定理比较合适？→师生共同完成解答.→讨论：如何测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离？③出示例2：如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.分析得出方法：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=，ACD=，CDB=，BDA=.讨论:依次抓住哪几个三角形进行计算？→写出各步计算的符号所表示的结论.具体如下：在ADC和BDC中，应用正弦定理得AC==，BC==.计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离AB=④练习：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA=60.（答案：AB=20）.2.小结：解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.三、巩固练习：1.隔河可以看到两个目标，但不能到达，在岸边选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°.A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离.(答案：km)2.两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？（答案：akm）3.作业：教材P14练习1、2题.第二课时1.2应用举例（二）\n教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教学过程：一、复习准备：1.讨论：测量建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？2.讨论：怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？二、讲授新课：1.教学高度的测量：①出示例1：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.分析：测量方法→计算方法师生一起用符号表示计算过程与结论.AC=，AB=AE+h=AC+h=+h.②练习：如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50.已知铁塔BC部分的高为27.3m,求出山高CD(精确到1m)③出示例2：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.分析：已知条件和问题分别在哪几个三角形中？分别选用什么定理来依次解各三角形？→师生共同解答.解答:在ABC中,A=15,C=25-15=10,根据正弦定理,=,BC==≈7.4524(km)，CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047(m).2.练习：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.解法：画图分析，标出各三角形的有关数据，再用定理求解.关键：角度的概念3.小结：审题；基本概念（方位角、俯角与仰角）；选择适合定理解三角形；三种高度测量模型（结合图示分析）.三、巩固练习：1.为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，则塔AB的高度为多少m？答案：20+(m)2.在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的南25°西300米的地方，在A侧山顶的仰角是30°，求山高.（答案：230米）3.作业：P17练习1、3题.第三课时1.2应用举例（三）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.\n教学重点：熟练运用定理.教学难点：掌握解题分析方法.教学过程：一、复习准备：1.讨论：如何测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离？又如何测量两个不可到达点的距离？如何测量底部不可到达的建筑物高度？与前者有何相通之处？2.讨论：在实际的航海生活中，如何确定航速和航向？通法：转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题二、讲授新课：1.教学角度的测量问题：①出示例1：甲、乙两船同时从B点出发，甲船以每小时10(＋1)km的速度向正东航行，乙船以每小时20km的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A、C两点，求A、C两点的距离，以及在A点观察C点的方向角.分析：根据题意，如何画图？→解哪个三角形？用什么定理？如何列式？→学生讲述解答过程（答案：）→小结：解决实际问题，首先读懂题意，画出图形→再分析解哪个三角形，如何解？②练习：已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°，甲船自A以50海里／小时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里／小时的速度沿方位角150°方向航行，问航行几小时，两船之间的距离最小？画出图形，并标记已知和要求的→解哪个三角形？用什么定理解？如何列式？③出示例2：某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？分析:如何画出方位图？→寻找三角形中的已知条件和问题？→如何解三角形.→师生共同解答.（答案：北偏东83方向；1.4小时）④练习：某渔轮在A处测得在北45°的C处有一鱼群，离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上渔群？2.小结：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.三、巩固练习：1.我舰在敌岛A南偏西相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？2.某时刻A点西400千米的B处是台风中心，台风以每小时40千米的速度向东北方向直线前进，以台风中心为圆心，300千米为半径的圆称为“台风圈”，从此时刻算起，经过多长时间A进入台风圈？A处在台风圈中的时间有多长？3.作业：教材P22习题1.2A组2、3题.第四课时1.2应用举例（四）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题,掌握三角形的面积公式的简单推导和应用，能证明三角形中的简单的恒等式.\n教学重点：三角形面积公式的利用及三角形中简单恒等式的证明.教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.教学过程：一、复习准备：1.提问：接触过哪些三角形的面积公式？2.讨论：已知两边及夹角如何求三角形面积？二、讲授新课：1.教学面积公式：①讨论：ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，那么它们如何用已知边和角表示？→如何计算三角形面积？②结论：三角形面积公式，S=absinC，S=bcsinA,S=acsinB③练习：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S.（解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数）④出示例1：在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm）？分析：由已知条件可得到什么结论？根据三角形面积公式如何求一个角的正弦？→师生共同解答.→小结：余弦定理，诱导公式，面积公式.→讨论：由三边如何直接求面积？（海仑公式）2.教学恒等式证明：①讨论：射影定理：a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=acosB+bcosA.分析：如何证明第一个式子？证一：右边==左边证二：右边=2RsinBcosC+2RsinCcosB=2Rsin(B+C)=2RsinA=a=左边→学生试证后面两个.②出示例2：在ABC中，求证：（1）（2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）分析：观察式子特点，讨论选用什么定理？3.小结：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”.三、巩固练习：1.在△ABC中，若，判断△ABC的形状.（两种方法）2.某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶.公路的走向是M站的北偏东40.开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米.问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？（15千米）3.作业：教材P2414、15题.