【教案】高中数学选修22《数学归纳法及其应用举例》教案 7页

课题：数学归纳法及其应用举例教材：人民教育出版社A版一、教学目标【知识目标】（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。（2）初步理解数学归纳法原理。（3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。【能力目标】（1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。【情感目标】（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。（2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。（3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。二．教学重点、难点【重点】（1）初步理解数学归纳法的原理。（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。精品学习资料可选择pdf第1页，共7页-----------------------\n（3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。【难点】（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。（2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。三、教学过程设计项目内容师生活动设计意图一、师：提出问题，引导学an已知数列an,a1,1an1,我们能求出生回忆求解数列通项公an1创式的一些常用方法。它的通项公式吗？生：回忆、叙述求解数引入课题，揭示设列通项公式的步骤。分别计算a1、a2、a3、a4的值，猜想an的学习数学归纳法的必要性情值，这种方法对吗？？让学生创设一个由有限产生问题，体会境多个特殊事例得出一般等差数列的通项公式也是由有限个特殊找到解决问题结论的数学公式。法的必要性事例归纳出来的，也可能不正确，一但错设误，如何证明这类有关正整数的命题呢？教师：通过“多米诺骨牌”2、背景介绍：生活中的的例子：学计的背景介绍，提出问题：（多媒体演示多米诺骨牌游戏）过多米诺骨牌全部依次倒通过背景材料，趣教师引导，学生归纳：下的条件：程加深学生对问1第一块骨牌倒下生：观看多媒体演示并题的理解，并明分例讨论思考多米诺骨牌全白“为什么要2假设第一快骨牌倒掉后，第二快骨牌一析部依次倒下的条件学”。体会问题定也要倒下，第二快骨牌倒下后，第三快一定产生于生活。同也要倒下⋯⋯也就是说，假设前面一块倒下时激发学习兴趣，提高学习的后，后面一块一定也要倒下；即假设当第n快积极性。倒下后，第n+1快也一定要倒下，这样才能保证所有骨牌都能倒下.精品学习资料可选择pdf第2页，共7页-----------------------\n强调很显然，这两个条件缺一不可.教师启发，师生共同总这一阶段从介绍师生共同用探究出的方法尝试证明等差递推思想开始，数列通项公式。结二、到认识递推思1.置疑其中假设n=k时等式成想，运用递推思想，直到归纳出对上面的证明方法，充分让学生置疑、提立，证明n=k+1时等式探二个步骤结束．问。成立的证明目标和如何把递推思想的介2.论证（说理）利用假设主要由学生完绍、理解、运用索成。放在主要位置，本阶段用逻辑推理的形式展开研究：当一必然对理解数学个命题满足上面（1）、（2）两个条件时新归纳法的实质带n=1时命题成立因为有（2）正确（这时k=1）来指导意义.理师生共同探讨数学归纳nk1,即n=2时命题成立解数学归纳法中因为有（2）正确(这时k=2)法的原理，理解他的严的递推思想，要知nk2,即n3时命题成立密性、合理性。从而由特别注意其中第因为有（2）正确（这时k=3）二步，即证明命感性认识上升为理性认题成立时必须用nk14时命题成立n5时命题成识。到时命题成立*立⋯⋯即对一切nN，命题均成立。这个假设条件．让学生对以上逻辑推理进行充分置中学数学中的许多重要结论，用疑师生共同探讨数学归纳法的合理性。数学归纳法加以【问题思考】：根据以上逻辑推理：证明，可以使学条件（1），条件（2）分别起什么作用？生对有关知识的掌握深化一步.条件（1），条件（2）为什么缺一不可？要证明一个关于正整数的命题对所有的正整数都成立，只须满足：精品学习资料可选择pdf第3页，共7页-----------------------\n（1）n取第一个值n(0例如n01)时命题成立;*（2）假设n=k(kNk,n)0命题成立，利用它证明n=k+1时命题也成立。满足这两个条件后，命题对一切*nN均成立。这种证法的本质步骤可以归结为“证明两个条件，得出一个结论”.这种证明方法就叫做数学归纳法(板书课题).1111本例主要由学生完成，借助具体题目例1：已知数列，，，......,1447710（3n2)(3n1),计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果，猜想教师适时作必要引导。使学生进一步二、Sn的表达式，并用数学归纳法证明。这样处理有利于培养学体会数学归纳【问题探究】：生用所学知识解决问题法的原理，规范的能力。利用数学归纳1当nk1时，证明的目标是什么？探法解题的步骤2当nk1时，能否这样证明：11111索那么，14477103(k2)(3k)1(3[k)1][2(3k)1]1111111111[()()().......()]31447710(3K)12(3K)11对知识的加深11k1师生共同探求数学归纳1[]新3(3K)11(3K)11理解和进一步法两个步骤的关系以及数学归纳法两个步骤，第一个步骤是升华数学归纳法的关键步骤命题递推的基础.，第二个步骤是命题递推知的根据，二者缺一不可，其中第二步是数学归纳法的核心，在从n=k到n=k+1的递推过程中，必须要用到归纳假设，这是精品学习资料可选择pdf第4页，共7页-----------------------\n数学归纳法证题的本质特征.否则，不论形式上多么相似，也不能称此证明方法为数学归纳法.使学生“学以致师：针对学生的解答强用数学归纳法证明：三、用”利用已有知化或给予肯定。1识解决实际问122334.......n(n)1n(n1)(n)2练3生：自主思考，探究解题，增强学习数习学的兴趣2.首项是a1，公比为q的等比数列的通项公式题思路。n1是ana1q教师引导下学生总结概使学生在总结1数学归纳法是科学的证明方法；利用它可以证四、括过程中深化对明一些关于正整数n的命题。小数学归纳法的2数学归纳法证明命题的两个步骤。认识结3用数学归纳法证明命题的两步骤缺一不可。4证明n=k+1命题成立时，一定要利用假设。）5证明n=k+1命题成立时，要明确证明的目标五、师：教师布置作业运用知识解决问课本96页习题2.3A组2B组1.2作生：自主完成作业。题业精品学习资料可选择pdf第5页，共7页-----------------------\n板书设计2.1数学归纳法及其应用举例问题1例题(猜想,证明过程的板书)问题2问题3练习1练习2数学归纳法定义(练习请两位同学上黑板板演)证明步骤:(1)(2)四、教学设计说明：1．数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受．学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等．为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二精品学习资料可选择pdf第6页，共7页-----------------------\n阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束．把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳法的实质带来指导意义，也是在教学过程中努力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思想的一种尝试．2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是在于加强学生对教学过程的参与程度．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，尽快提出适当的问题，并提出思维要求，让学生尽快投入到思维活动中来，是十分重要的．这就要求教师把每节课的课题作出层次分明的分解，并选择适当的问题，把课题的研究内容落于问题中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得新的发展．本节课的教学设计也想在这方面作些研究．精品学习资料可选择pdf第7页，共7页-----------------------